0,9999... = 1 ??? Infini 2

Pour se familiariser avec l'infini, un détour par le fameux paradoxe de Zénon est nécessaire. Ce paradoxe affirme qu'Achilles ne pourra jamais dépasser une tortue qui avance pourtant moins vite que lui ! Et ce qui est amusant, c'est que la résolution de ce paradoxe flirte avec l'étrange égalité 0,99999... = 1.
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Googology wikia
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googology.wikia.com/wiki/Tree(3)
googology.wikia.com/wiki/Goods...
googology.wikia.com/wiki/Busy_...
Will someone explain to me what TREE(3) is? Reddit
/ will_someone_explain_t...

[@samirbs3913]

Salut Lê. J'ai découvert ta chaîne ces derniers jours : juste géniale. Moi plus jeune j'ai carrément boycotté les maths à l'école. Personne n'expliquait à quoi elles servaient et leur importance monstrueuse dans la compréhension du monde. Je suis revenue au science parce que l'univers m'intéressait. Pas tellement l'astronomie (observation donc) mais beaucoup plus l'astrophysique. Le fait qu'on puisse expliquer comment les étoiles se forment avec le formalisme de la physique quantique et la relativité générale. Et sans avoir la maitrise des outils mathématiques, j'ai compris que c'était très élégant et très beau ! Notamment grâce à des gens comme Etienne Klein. Donc j'ai essayé de comprendre d'un point de vue purement conceptuel et épistémologique (donc sans passer par les outils mathématiques) ces théories et j'ai appris plein de choses. Je suis très content que tu fasses de la vulgarisation exigeante. J'ai compris plein de chose sur ta vidéo "hardcore" à propos du tenseur de Riemann même si évidemment je n'ai pas l'acuité du mathématicien. En tout cas je sais que si la Relativité générale est très compliquée à comprendre c'est à cause du calcul tensoriel et que ce dernier est compliqué car il prend en compte tout un tas de point de vue (désole pour le langage non scientifique). Le tenseur c'est la compréhension la plus fine de cette notion de courbure,qui généralise de façon très abstraites des choses déjà abstraites ! L'énergie-matière dit à l'espace comment se courber (tenseur energie-impulsion), et l'univers en se courbant dit à la matière où se trouver, et cette dialectique est juste magnifique. Donc très grand respect à toi de maitriser ces outils, je ne suis pas mathématicien encore une fois mais j'ai l'impression de sentir (un tout petit peu) la difficulté que ça représente, l'élégance de la chose, et son incroyable puissace. et merci pour ton exigence. Tu ne te sers pas de ton savoir pour te faire mousser mais vraiment faire monter le niveau. Il y a une video que j'aimerais beaucoup que tu fasses, c'est une vidéo présentant les différentes branches des mathématiques (algèbre, arithmétique, l'analyse, la GEOMETRIE ect...) et de dire à quoi correspondent ces différentes domaines (bien sûr je sais qu'il y a tout un tas de sous-domaine, que tout ceci se recoupent ect...) En tout cas merci infiniment, c'est proprement génial ce que tu fais.

[@gaetangtz]

Tes vidéos sont de plus en plus propres, le flow est de plus en plus assuré. Pleins d'encouragements et bravo pour ton travail !!!

[@malkobesschops3753]

Je ne m'y attendais tellement pas, d'ailleurs je n'y croyais même pas au début de la vidéo. Il est vrai que pour l'Homme, c'est difficile à admettre mais avec tes explications, impossible de le nier maintenant ! Merci pour ces éclairages, super chaîne au passage !

[@FONTAINEfps]

Pourquoi tu n'a pas présenté le problème du 1 = 0.999... avec le tiers ? pour rappel : 1/3 = 0.3333.... 3*0.3333 = 0.99999.... alors 3* (1/3) = 0.99999 or 3* (1/3) = 3/3 = 1 Donc 1 = 0.99999... Je le trouve beaucoup plus intuitif comme cela ^^

[@aurelienperdriaud108]

C'est vrai que cette démonstration est intéressante, mais elle n'est pas très rigoureuse malgré le faîte qu'elle soit intuitive. Je reprend une réponse que j'ai posté pour répondre à un commentaire de ce genre : "La question se pose aussi pour 1/3 ou 3/9 : Est-ce qu'un tiers peut être écrit 0,3333... ? Comme 9/9 soit 1, peut-il s'écrire 0,9999... ? C'est pour cela que la démonstration n'est pas rigoureuse."

[@FONTAINEfps]

je sais quel n'est pas rigoureuse, mais beaucoup plus intuitive pour introduire ce problème.

[@aurelienperdriaud108]

FONTAINE Je vois, il aurait pu commencer par cette démonstration. Mais je tenais juste à dire cela.

[@neutrino5266]

commencer par 1/3 = 0,333... c'est faux

[@stephaneduhamel7706]

1/3 = 0.33...=Σ(3/(10^k)) est vrai En revanche 2/3 =0.66667 c'est faux

[@BIMMERFRANCE]

Je me refait une session de toutes tes vidéos, et celle ci, particulièrement, me rappel a quel point les mathématiques sont magiques! J'en veut a mes profs de m'en avoir dégoute, et je te remercie de m'avoir réconcilier avec elles :)

[@jules5265]

Tes vidéos sont vraiment très intéressantes, continue de nous émerveiller !

[@mathieudasilva6846]

super vidéo comme d'hab ! Ce serait cool une petite série sur l'algorithmique *vient de penser* !

[@kokoloko12398]

Passionnant ! Continue ces vidéos :)

[@Aoyuki974]

vidéo intéressante :) je connaissais pas tree(3) et ce que tu as expliqué après mais c'est vraiment beaucoup trop grand pour que je puisse me l'imaginer ^^

[@t4hr3ef]

Paradoxe connu, comme tu le dis dans la description , ça reste sympa merci pour la video :o

[@doomitlade]

L'utilisation de notre langage pour les raisonnements induit nécessairement des erreurs. On doit toujours creuser au-delà de nos raisonnements, toujours voilés par des connotations, des préjugés, des systèmes etc. Très bonne vidéo !

[@ElJj]

Dans le dernier pour la science, JP Delahaye explore les conséquences de 0,9999... < 1. Ça ne donne pas de mathématiques contradictoires, mais on perd tout de même la commutativité de la multiplication !

[@renaudg9311]

Un lien ? :)

[@le_science4all]

Tu peux m'en dire un peu plus ? Est-ce que ça a des similarités avec la construction de Richman (math.fau.edu/richman/HTML/999.htm) qui consiste à dire quel les listes infinies de chiffres forment un ensemble "distinct" de l'ensemble des réels, mais que l'on peut en faire un (semi)-anneau commutatif malgré tout ? Ou est-ce un argument plutôt comme les hyperréels (fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A9veloppement_d%C3%A9cimal_de_l%27unit%C3%A9#Nombres_infinit.C3.A9simaux) qui considère une quantité indénombrable de décimales ? (Visiblement ce n'est aucun de ces deux cas pour lesquels la multiplication reste commutative)

[@ElJj]

J'aurais du vérifier avant de poster mon commentaire hier à 2h du mat depuis mon téléphone :S. En fait, la multiplication est bien commutative, c'est juste que le nombre 1 n'est plsu élément neutre (on a 0.9999... × 1 = 1). Il, appelle ça les "nombres de l'étudiant récalcitrant", qui consiste à dédoubler tous les nombres décimaux. www.pourlascience.fr/ewb_pages/a/article-est-il-vrai-que-0-999-1-37287.php

[@le_science4all]

Merci pour le lien ! J'en reparlerai dans la prochaine vidéo, mais si je comprends bien, l'approche de "l'étudiant récalcitrant" est un peu similaire à celle de Richman, sauf que Delahaye va un peu moins dans la distinction entre réels et listes de chiffres, et résout le problème de "la preuve par 1/3" en arrondissant "vers le haut" tout résultat de multiplication ou de somme (d'où le 0,9999... x 1 = arrondi vers le haut de 0,999.... = 1).

[@loi-phile5052]

Après avoir visionné la vidéo plusieurs fois, je trouvé la petite subtilité et qui faisait que je ne comprenait pas à 100% ;) Merci!

[@MagicFr49]

Encore génial !

[@minalor_]

cette vidéo est géniale. Un peu comme toutes les autres ;)

[@moutonb8918]

la revelation ! tu viens de répondre a une question que je me posais à savoir, pourquoi l’hypoténuse d'un triangle rectangle de coté 1 (racine de 2 ) n’était pas de longueur infinie , vue que rac2 a une infinité de chiffre après la virgule. Ca me perturbais depuis pas mal de temps, je viens enfin de rattraper la tortue ! Merci!! ;)

[@n2nh2o22]

Rien à voir c'est une infinité de décimales

[@cedriccoulon4647]

@@n2nh2o22 en fait ce quil veut dire cest comment on est capable de tracer un segment qui est si précis que sa mesure contient une infinité de decimales

[@mariusvanmierlo539]

Une vidéo super intéressante, merci pour ton travail et continue comme ça ! Au passage, les premiers J.O. ont lieu en 476 avant J-C (après -676) donc ta situation est anachronique :D

[@tomched]

Super sympa cette nouvelle série (Infini). Bien que j'ai un background scientifique, j'étais largué sur une bonne partie de la série Relativité. Je regardais tous les épisodes mais je ne réagissais plus.

[@gattacataca9711]

Bonjour Lê, j'adore vraiment tes vidéos ! Parleras-tu un jour de la Bibliothèque de Babel (cf roman de Borgès) ?

[@le_science4all]

A priori non, malheureusement...

[@ericdupuis8819]

Tiens oui, moi aussi je fais mes soustractions en partant de la gauche (quand je fais le calcul de tête en tout cas)... C'est fou ça, j'avais jamais fait gaffe :o J'ai l'impression que c'est lié à l'utilisation du PC parce qu'en faisant comme ça, ça me permet de le taper chiffre par chiffre directement et de pas avoir à retenir tout le résultat pour ensuite le taper en une fois (ou de faire un retour arrière à chaque fois que je tape un chiffre). Any thoughts about that ?

[@moreausebastien6851]

Super vidéo ,vraiment intéressant je pourrais avoir le nom de la musique à partir de la moitié de la vidéo a peut pret merci .

[@brusicor02]

Très bon épisode. Les lecteurs du blog d'ElJJ auront déjà la réponse à ton pont de cartes. 😉

[@cocog3446]

pour la pile de carte, ça semble impossible car il y aura forcément un instant où le nombre de cartes dont le centre de gravité n'est pas au dessus de la table dépasse le nombre de cartes dont le centre de gravité est au dessus de la table, donc la pile ne pourra pas tenir. je pense même qu'elle tombera avant, quand il y aura assez de cartes pour déplacer le centre de gravité de tout le système de cartes au dessus du vide et non plus de la table. PS : super vidéo encore une fois !

[@Biliklok]

Coucou Pour le problème des cartes voici ma réflexion : Mathématiquement parlant on pourra le faire : on pose la première carte entièrement sur la table, puis on pose la deuxième carte de façon à ce qu'elle ait sa moitié en dehors de la table, puis la troisième de façon à ce qu'elle dépasse la deuxième d'1/3 de sa longueur, etc de façon à ce que la n-ième carte dépasse la (n-1) ième de 1/n . On a donc une série de terme général 1/n qui diverge, c'est-à-dire tend vers l'infini (donc on pourra couvrir autant de distance que l'on veut) Physiquement parlant c'est autre chose : En prenant les dimensions de cartes de poker classiques : 88mm de longueur : si on veut arriver à faire 2 mètres, il nous faut un peu plus de 10^9 cartes. Donc si l'épaisseur est de 0,28mm, ça nous ferait quand même 280 000 km. Vu que j'ai un peu sous-estimé le nombre de cartes qu'il nous faut, je pense qu'au final on arrive pas loin de la distance Terre-Lune (380k km). A ça rajoutons le fait que poser une carte de façon à ce qu'elle dépasse d'1/n la carte précédente est possible pour n petit, mais quand il faut réussir à dépasser d'1/10^8 de façon précise, ça commence à être compliqué... et si on fait ça "à l'infini" on sera un moment ou un autre confronté au fait que les atomes sont trop grands pour pouvoir juste recouvrir 1/x d'une carte (pour x grand). Voilà mes 2 cents ! J'espère ne pas m'être trompé dans mon raisonnement ! (p.s. bien évidement on peut se passer de la première carte qui est entièrement sur la table.... et commencer directement par la mettre à moitié en dehors de la table :p)

[@sarahmasson9238]

Bonjour, si l'on remarque qu'il n'y a aucune écriture décimale venant s'intercaler entre 0,9999... et 1, n'a-t-on pas démontré l'égalité, le corps des réels étant séparé ? Merci pour tes vidéos !

[@Abraccuda]

Très bonne vidéo ! Tu comptes faire une série entière consacrée à l'infini ? Tu risques de n'en plus finir hahahah :P Je t'ai découvert grâce à la vidéo sur les trous noirs et une question m'est venue (mais je pense pouvoir obtenir plus de réponses sans une vidéo récente) : J'ai entendu parler de particules dites "intriqués" (bon c'est de la mécanique quantique et pas de la relativité je crois). Si j'ai bien compris deux particules intriquées auront toujours le même état quantique quelle que soit la distance qui les sépare. Et que cette information se transmet instantanément (et donc plus vite que la lumière). Imaginons que l'on arrive à intriquer deux particules et que l'on invente un protocole de communication basé là dessus, on pourrait en théorie communiquer instantanément sur des distances infinies. Si maintenant on envoie une sonde dans un trou noir qui peut communiquer avec un observateur extérieur grâce au système décrit plus haut. Pourrons-nous alors recueillir des informations sur l'intérieur d'un trou noir ? J'imagine qu'il y a forcément qqch que j'ai mal compris, parce que cela me parait détourner le "principe de trou noir" avec une telle facilité. Merci pour vos réponses ! EDIT : Je viens de voir une vidéo de Passe-Science sur l'intrication : il est impossible de communiquer grâce à des particules intriquées car elles ne transmettent pas l'information... Dommage, on ne pourra sans doute pas vérifié ce qu'il y a réellement au cœur d'un trou noir :(

[@gontranristeck9368]

Question: est ce que 0,9999999999 est relié a la definition de développement impropre dont 1 serait le developpement propre?

[@MadChat303]

1001 personne à aimer ! j'aime !!! sinon Merci c génial ce que tu fais ;-) tu as le bonjour du 5 :-)

[@jchristian3775]

Je me suis abonné y à pas longtemps et superbe vidéo, comme toutes les autres d’ailleurs. Petite question tout les nombres (au moins les réels) peuvent-il s'écrire sous forme de suite infini ?

[@le_science4all]

Les nombres réels, oui ! Mais pas les nombres complexes... ni d'autres nombreux mystérieux dont on parlera dans la série !

[@jchristian3775]

Merci pour ta réponse, c'est du super boulot tout ca, vraiment une super chaine. Et j’espère qu'on véra quelques exemples de ces nombre, mais pour les complexe il doivent pouvoir etre écrit sous une suite infinie complexe nan ?

[@alanaliyev456GT]

votte Video est super. Meci pour ce bon moment

[@Pradowpradow]

Tres bonne video

[@arnulya1692]

Bravo pour cette vidéo qui permet de mieux comprendre les mathématiques et les rapports humains. Remarque: dans la démonstration [1:30] Soit x=0,99999... 10x-x = 9 donc x=1. J'ai l'impression que la simplification n'est possible que parce qu'on suppose que x converge (ce qui est vrai et facile à prouver, bien sûr).

[@kevinfro8710]

Bonjour, Je reste sceptique sur la démonstration. A priori, 1 est un nombre entier doc un nombre rationnel (les entiers sont inclus dans les rationnels si je ne me trompe pas). Quant à lui, 0.99999... ne semble pas être rationnel. Comment deux nombre qui ne sont pas inclus dans les mêmes ensembles pourraient être égaux? Évidemment, il doit y avoir une erreur dans ce que j'ai dit, mais je ne la trouve pas... Une idée?

[@jeromer.2205]

Oui, à mon avis, plusieurs erreurs : 1 est un entier donc un nombre rationnel donc un nombre réel. 0,9999... est un nombre réel donc pas d'incohérence (1ère erreur) Mais le plus fun, c'est que 0,9999... est aussi un entier puisque c'est 1. Ce sont 2 représentations graphique différentes du même nombre. C'est comme si tu disait 2 ne peut pas être égal à 2,00 car il y en a qu'un des deux qui est entier. Non : 2,00 est un entier.

[@flutterwondershyyay8255]

Pour répondre à la question de la fin, je vais un peu tricher parce-que c'est quelque chose que j'ai vu en cours en sup ;) Il me semble qu'avec les lois de la physique, on arrive à montrer que quand on ajoute une n-ième carte, on gagne 1/n de distance Or la série de therme général 1/n diverge donc on pourra toujours trouver n tel qu'on dépasse un certain seuil

[@gabrielazam484]

jviens de tomber sur tes vidéos et donc je suis allé voir d'où tu venais via ton CV et wouah c'est impressionnant 20eme sur l'X, je suis actuellement en 3/2 dans un petit lycée sans prétention ça donne vraiment envie de donner le maximum !!!

[@gabrielazam484]

et quant à la prochaine vidéo j'ai une amie qui a commencé un TIPE sur ce sujet, ça promet d'être intéressant !!!

[@le_science4all]

Bon courage pour la 3/2 !

[@illuzionnistfr8936]

Bonjour, Ca n'a rien à voir avec cette vidéo mais j'aimerais vous poser une question sur la première vidéo. Vous avez dit que Pi contient toute suite finie de suite, et qu'il ne se contient pas lui même de manière infinie. Ce que je ne comprends pas, c'est que si Pi ne contient pas lui même, alors Infini x Infini =/= Infini. Ce que Ei Jj a démontré le contraire. Merci d'avance pour les réponses

[@LePandu]

Très, très intéressant. Ça implique une chose importante, qui est la différence entre une unité ontologiquement absolue et une unité opératoirement absolue. S'il est une égalité entre ces deux termes ce serait plutôt une indifférentiabilité, j'allais dire une indécidabilité mais AU CONTRAIRE, c'est justement là qu'il est POSSIBLE de décider. En vérité Achille tend bien infiniment à dépasser la tortue, il la dépasse quand un choix est opéré entre 0,999... et 1. Alors que 0,9999 contient encore un possible ontologique, une structure probabiliste, 1, qui est pourtant son égal mathématique possède une propriété particulière, donc particulaire. 0,999 est immanence, 1 transcendance, la transformation de l'un à l'autre est le choix: la conscience en acte, un acte de prise de position, ou prise de mesure, sur elle-même.

[@bertrandrussel3680]

Bravo.

[@magicmag100]

Cette histoire avec Achille est superbe ! Je l'ai déjà rencontrée dans de nombreux livres. Mais quand on s'approche de 1 par 0.9 + 0.09 + 0.009 etc.... On voit bien Achille " ralentir " jusqu'à le voir limite fixe. Mais toute cette histoire repose sur une question d'espace, mais pas de temps ? Dans la réalité, si je cours a coté de la tortue je vais la dépasser, je ne vais pas ralentir. Je franchie bel et bien cette infinité de nombre. Mais ce qui brise cette infinité de nombre c'est le temps non ?

[@pierrechambon4012]

super ton nombre d'abonnés explose !

[@vlp1997]

Je pense pas que l'explication de Achille et la tortue soit cohérente, je pense que c'est comme le problème de l'accélération continue: un cycliste qui démarre et accélère balaye TOUTES les vitesses possible entre 0 et sa vitesse pointe: autrement dit une infinité de vitesse différentes. Or comment ce fait-il qu'il arrive a faire son accélération jusqu'à une vitesse v en un temps fini alors qu'il balaye une infinité de vitesses en accélérant petit à petit.

[@XxMrWeshxX]

vlp1997 Les mathématiques ont démontré qu’Achille dépasserait bien la tortue.

[@hydroxychloride9077]

Bonjour ! J'suis tombé par ici via twitter, ça a l'air vraiment intéressant, j'irai regarder le reste aussi tiens ! Typiquement le genre de choses que j'aime écouter et regarder. Petite question, est-ce que c'est "légal" d'écrire ça ? : 1 = 3 * 1/3 = 3* 0,33333... = 0,9999........

[@aurelienperdriaud108]

C'est légal, mais la démonstration n'est pas rigoureuse, car la question se pose aussi pour 1/3 ou 3/9 : Est-ce qu'un tiers peut être écrit 0,3333... ? Comme 9/9 soit 1, peut-il s'écrire 0,9999... ? C'est pour cela que la démonstration n'est pas rigoureuse.

[@wassimsxf8092]

je pense que le problème est quon ne peut pas faire de calcul avec 0,3333..... ou 0,999.... car les hommes ne pourront jamais decouvir linfini. on ne sait sait pas ce que cest une infinité de 3. 1/3 est un nombre que lon connait on peut dire que 1/3*3=1, mais je pense que lerreur est de dire 1/3=0,3333... en tous cas personnellement je pense que 0,9999... est plus petit que 1 !

[@titou1er870]

Aklim Berkani Je suis entièrement d'accord avec toi ! C'est ce que j'ai pensé tout au long de la vidéo; pour faire simple on ne peut pas (à mon avis) appliquer les opérations comme l'addition la soustraction ou encore la multiplication et la division à des nombres infinies comme on le fait pour des nombres finies. Comme tu le dis Aklim on ne connaît pas l'infini c'est pourquoi on n'eut peut pas faire ces calculs. 1 et 0,99999999999... ne sont pas égaux :P !

[@hydroxychloride9077]

j'avais vu une autre démo de l'égalité à l'aide d'une série : 9 * somme des 10^(-n) comme c'est une série géométrique, on sait que sa somme vaut premier terme * 1 / (1-q) avec q = 0.1 0.9/(1-0.1) ce qui fait bien 1

[@jcgraviniservant]

vraiment bien ces vidéos ! bravo. par contre la fin ... rien pigé...

[@Ricocotamus]

Je t'aime C'est tout ce qu'il y a a dire xD

[@manucyan]

Bonjour, en faculté de science je n'y avais pas cru non plus, je pensais "non c'est environ égal et pas exactement égal", on avait appris que ces points de suspensions avait pour nom "écriture impropre". Il y a deux autres démonstrations pour prouver que l'écriture impropre de 1 peut être 0.999..., les neuvièmes : 9/9 = 1, or 9/9=par exemple 2/9+7/9, si on prends la calculatrice, on se rends compte que 2/9=0.222...et 7/9=0.777... (un neuvième a une écriture impropre x/9 = 0.xxx...), or 0.222...+0.777... = 0.999... exactement = à 1. La seconde démonstration utilisait les suites et les limites, et personnellement ce fut la seconde démonstration qui me convaincu psychologiquement, ça consiste à dire que ça fait 0.9+0.09+0.009..=9/10+9/100+9/1000...etc. Enfin, si on cherche sur le net il y a aussi ce super argument : Si 2 nombres réels sont différents, alors il en existe au moins un 3ème entre les deux, différent des deux autres.Ce troisième nombre peut être la moyenne entre les deux. Or, on ne peut pas intercaler de nombre entre 0,99999... et 1 ; ils sont donc égaux. Merci pour la vidéo et bonne continuation.

[@renangimenez9780]

J'ai jamais été fan de cette égalité, à vrai dire j'y croyais pas... jusqu'à la démonstration par la soustraction. Je dois avouer que je suis sur le cul! Et c'est pour ce genre de choses qui me scotchent que j'aime les maths!!

[@aurelienperdriaud108]

(Encore moi) J'ai un peu réfléchi à la question et je pense que non, car pour garder un équilibre je pense qu'il faudra à chaque fois diviser par deux la distance entre les cartes, du coup on aura une somme du style 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... = 2. Donc la taille maximale sera de je crois une carte par rapport à la table (mais je ne suis pas sûr).

[@aurelienperdriaud108]

ça marche pour l'équilibre mais donc ce n'est pas la situation optimale x))

[@Tarlamu]

Super vidéo ! par contre, tu peux encore améliorer plus ta qualité de son en supprimant le fond sonore grâce à audacity. ça prend pas plus de 1 min pour supprimer le fond sonore et en plus il y a plein de tutoriels à ce sujet

[@le_science4all]

Merci pour le conseil !

[@Tarlamu]

De rien ! ça fait plaisir d'aider

[@nicolasgauthier9382]

Cela peut-il signifier en poussant à l'extrême pour tout nombre, que la conséquence serait que l'ensemble des entiers naturels N serait égal à celui des réels R ?

[@DanielBWilliams]

Pas du tout, pourquoi dites-vous cela ?

[@pepette4551]

Merci

[@micky1234564789]

Du coup, est ce que par exemple : 17,999... = 18 est vrai ??

[@LucasGaudichon]

Bonjour, Une vidéo de Micmaths sur le nombre 333 333 et ce qu'il dit sur la division par 3, 33, 333 etc m'a fait penser à une observation que j'avais fait quand j'étais enfant et que je m'amusais avec la calculatrice de mon père. Voilà l'observation : 1/1...1 = 0,0...9 0...9 0...9... 1/1111 = 0,0009 0009 0009... 1/111 = 0,009 009 009 009... 1/11 = 0,09 09 09 09 09... Si l'on suit ce schéma, alors, on devrait obtenir le résultat suivant : 1/1 = 0,99999999... alors que la calculatrice me répondait et me répond toujours invariablement que 1/1 = 1. Qu'en pensez-vous ? En essayant de mieux comprendre, je suis arrivé sur votre vidéo.

[@yvesreynaud6143]

On peut surement écrire aussi : 1/9 = 0.1111... 2/9 = 0.222... ... donc : 9/9 = 0.99999... mais on sait qu'un nombre divisé par lui même est égal a 1 donc 0.999...

[@jadseif8102]

Quelle langue n’est pas ambigüe ? Toutes le sont, pas seulement le français. Heureux, en tout cas, heureux d’entre quelqu’un parler de l’ambiguïté du langage.

[@PlayerVideoDu13]

Salut , pour le calcul à 1:38 je suis d'accord jusqu'à la ligne 9x=9 car si on fais 9*0.9999999... On obtient 8.999999..... Qui n'est pas egal à 9 donc le problème reste le même... J'aimerai une réponse pour savoir ou j'ai faux si j'ai faux car je comprends pas trop là

[@Varlane]

On n'a pas demandé de calculer 9x mais de calculer 10x - x. Voilà pourquoi tu te trompes.

[@corentinjulie5688]

Avec ce résonnement, en utilisant une autre infinité de chiffre tel que 1,99999999.. peut on aussi dire que ce nombre infini est égal à 2 Et si cela est possible, n'avons nous pas un problème en disant que tous les nombres en eux même sont égaux à tous les autres à la fois ? Merci d'éclairer ma lanterne d'humble 1ere S

[@alexandrebeaudry8382]

Donc 1,9999...=2; 2,99999...=3; 3,9999...=4; ... ? Est-ce que ça marche pour tous les nombres où seulement pour 0,999...=1?

[@Varlane]

Pour tous les décimaux.

[@cedricklyon]

"0,99999..." est une forme d'écriture qui sous-entend une limite de suite. La convention d'écriture "0,99999..." signifie en fait "lim n=1->∞ ∑ 9.10^-n" Du coup, rien de choquant à écrire 1 = 0,99999...

[@xmordal666x]

C'est un mathématicien qui rentre une infinité de fois dans un bar. La première fois il demande une bière, la deuxième fois une demi-bière, la troisième fois un quart de bière, la quatrième fois un huitième de bière etc... Le barman soupire en posant deux bières sur la table et lui dit : "Il est grand temps que tu apprennes à connaitre tes limites!"

[@Ricocotamus]

J'avais déjà lu plusieurs fois cette égalité mais avec une autre preuve. En utilisant une définition de l'égalité un petit peu modifiée on arrive à la même conclusion : Deux nombres sont égaux seulement s'il est impossible d'interposer un autre nombre entre les deux. Du coup la preuve est immédiate. Cependant je sais pas si cette définition reste exacte

[@Ricocotamus]

J'ai pas compris ton commentaire...

[@arnaudelectrik6652]

salut Le, j'ai pas compris si la tortue a 1000 mètres d'avance et le coureur coure a 10 fois plus vite alors c'est le moment ou le coureur depasse la tortue qui n'est pas definissable puisque la tortue ne peut pas etre dépassé, 1111,111111111111.... a l'infini ne peut pas etre calculable comme toi tu l'a fait non j'aimerais bien que tu m'explique si t'a compris ma question a plus tard Le et merci d'avance ou si quelqu'un d'autre peut m'aider sa serait super mega génial pour reprendre les termes de Le abientot pour regardez t nouvelles vidéo Le

[@arnaudelectrik6652]

et 1111.11111111111........c'est bien un chiffre infini et okay pour 0,9 es égal a 1 sa j'ai compris

[@7MM723WH4J4DV37]

Intéressantes ces vidéos sur l'infini, quand au paradoxe de Zenon et l'apparent paradoxe des nombres à décimales infinies, cela me semble juste vouloir dire que le temps comme l'ensemble des nombre réels (R) sont continus. Ainsi, on ne peut tout simplement pas raisonner comme Zenon en considérant le temps comme une succession d'instants et de même en maths on n'exprime que des rapports et l'apparente infinité des décimales n'en est une que relativement à un choix, purement arbitraire, d'unités de mesure. Ainsi, si par exemple je décide qu'Achille parcours 10m en 3 secondes, j'aurai une vitesse qui sera égale à 10/3 indéterminable, mais il suffit que je change la "longueur" de mes secondes et que je décide, qu'à la même vitesse réelle, Achille parcours ces même 10 m en 4 secondes et le problème se résout. De même, le paradoxe de Zenon ne se pose qu'en vertu d'un choix de calcul : Zenon calcule le temps comme une série, comme succession, ce qui suppose une unité (abstraite), un t+1. Si le temps peut être représenté par un continuum numérique, alors oui on tombe sur le 0.99999... mais si ce n'est pas le cas alors un nombre ne peut être attribué au temps qu'"a posteriori," par la résolution par exemple d'une équation postulant l'égalité, ce qui tombe sur un nombre fini voire un entier naturel si on choisit bien ses unités de mesures. Je reprends plus didactiquement : Zenon dit : lorsque Achille aura parcouru la distance d qui le séparait de la tortue (ici 900m), la tortue aura, pendant ce temps, parcouru une distance non nulle p, donc comme d+p>d, Achille n'a pas rattraper la tortue, il doit donc avancer de p, mais alors la tortue parcours p1, etc. A chaque fois qu'Achille avance alors la tortue avance, oui mais ce "à chaque fois", à quoi correspond-t-il? L'unité ici prise est en réalité une unité de distance et non de temps : c'est la distance qui sépare Achille de la Tortue, unité que Zenon transpose en temps, et c'est là tout le problème. Il pose comme première unité de mesure la distance initiale séparant Achille de la Tortue, ici 900m, puis dit "pendant cette unité (de distance), quelle distance la tortue à parcourue pendant cette unité (de temps)". Or en faisant cela on oublie que l'unité de temps considérée "en second" est relative aux vitesses respectives d'Achille et de la Tortue, à leur rapport, et qu'elle ne peut pas être obtenue par simple dérivation par exemple de la seule vitesse d'Achille en fonction de la distance qu'il doit parcourir. En l'occurrence seule une équation (donc des mathématiques appliquées "a posteriori", puisqu'on postule l'égalité des rapports, ici on postule le fait qu'Achille va rejoindre la Tortue) permet de dériver l'unité de temps suivant laquelle il faut mesurer l'avance supplémentaire de la tortue par rapport à la distance parcourue par Achille. Si A=vitesse d'Achille, T=vitesse de la Tortue, d=la distance initiale séparant Achille de la Tortue (ici 900m), t=le temps mis par Achille pour rejoindre la Tortue et D=la distance mise par Achille pour rejoindre la Tortue (ici 1000m), on a t=d/(A-T) ou t=D/A ou t=(D-d)/T, de même, D=tA ou D=d+tT. Bref, on a que des rapports, ainsi, lorsque Achille aura parcouru les 900m le séparant initialement de la Tortue, le temps t1 qui se sera écoulé sera t1=d/A (on voit qu'on perd dans cette expression le rapport A/T), "pendant ce temps", la Tortue aura parcourue une distance d1=t1T=(d/A)T (on retrouve les trois termes), mais du coup en combien de temps Achille parcourra cette distance d1? en t2=d1/A soit (t1T)/A soit ((d/A)T)/A. En fait, on voit que dès qu'on connaît d, A et T on connaît l'ensemble des temps et distances de la série double (t1, d1),(t2,d2),...(tn, dn). Tous les résultats de cette série sont "connus d'avance", "instantanément", ce qui veut bien dire que la succession ici n'est rien (on voit bien que la dissociation de la distance et du temps n'a pas de sens, car on perd le rapport constant des trois termes comme par exemple dans t1) et que tout tient dans les rapports initiaux de d, A et T. La seule manière mathématique ayant du sens pour poser le paradoxe de Zenon est donc un système d'équations faisant intervenir les trois termes d, A et T. On a par exemple ici D=(d/(A-T))A ce qui veut bien dire que la solution au paradoxe de Zenon est uniquement contenue dans les trois "données" d, A et T soit les vitesses respectives d'Achille et de la Tortue et la distance initiale les séparant...

[@warny1978]

Après toutes les vidéos sur l'infini, je me demandais si on pouvais considérer la double écriture de 1 comme 0.999999... et 1 comme l'"épaisseur" du point 1 ?

[@Balbuzard90]

Autant, j'ai bien compris la 1ere partie, autant je suis largué pour la suite. En même temps, ma terminale D est loin .... très loin ... ;-)

[@kenzocusinato6227]

Donc si j'ai bien compris, 4,999...= 5 ou 7,999...=8 ?

[@le_science4all]

+CF Gauss oui ;)

[@niag8027]

@@butwhoasked1821 Si tu lis ce message (parce-que le thread date un peu), le paradoxe n'est pas une histoire de limite mais d'écriture: si x tend vers 1, alors j'ai 0

[@niag8027]

@@butwhoasked1821 oui les preuves de ce style sont fausse car notre B=1+1-1+... ne marche pas puisque l'infini n'est ni pair ni impaire (donc B=0 ou B=1 pour un très grand nombre de calcul mais pas pour une infinité de termes). En fait cette preuve est donné plus pour convaincre qu'il y a quelque chose avec les sommes d'entier infini. D'ailleurs Science4all à fait une vidéo sur cette somme pour expliquer pourquoi les preuves sont fausses mais que le résultat est quand même bon (avec de vraies preuves)

[@MD530F]

Bonjour. Je voudrais ajouter un petit commentaire (peut-être faux !...) exprimant mon désaccord sur cette égalité : 0,99999... = 1 J'ai une vision assez différentes de ceci avec une approche plutôt géométrique. Comme chacun le sait, tout polygone régulier peut s'inscrire dans un cercle. Un polygone régulier se compose aussi d'un nombre fini de côtés, avec une certaine ouverture angulaire à la jonction de ceux-ci. Exemples : pour un triangle équilatéral, on a 3 côtés ayant une ouverture angulaire de 60°. Pour un carré, on a 4 côtés ayant une ouverture angulaire de 90°. Pour un pentagone, on a 5 côtés ayant une ouverture angulaire de 108°. Pour un hexagone, on a 6 côtés ayant une ouverture angulaire de 120°. Pour un octogone, on a 8 côtés ayant une ouverture angulaire de 135°, etc, etc... Or, il existe une limite à cette ouverture angulaire qui ne peut atteindre les 180° ! Supposons maintenanr un autre polygone régulier ayant 100, 1 millon, voire 10.000 milliards de côtés ! Aussi grand que peut être ce nombre, l'ouverture angulaire de chacun de ses côtés tendra vers 180°, mais sans jamais atteindre cette valeur ! Un cercle, considéré comme un polygone régulier ayant une infinité de côtés, ces derniers ayant chacun une longueur infiniment petite. Prenons 3 points infiment rapprochés sur ce cercle et essayons de tracer une droite les reliant. Ce n'est pas possible, car ces derniers ne sont pas alignés (puisqu'ils suivent la courbure du cercle). La droite en question ne pourra être en "contact" qu'avec un de ces 3 points. Dans ce cas, on dit qu'elle est tangentielle au cercle en ce point. Nos 3 points n'étant pas alignés, si l'on trace des segments de droite (infiniments petits) permettant de les relier deux à deux, et que l'on mesure (ou calculons) l'ouverture angulaire de ceux-ci, on trouvera donc une valeur strictement inférieure à 180°. On pourrait illustrer ceci en disant que notre angle d'ouverture serait de 179,999999...°. Si nous atteignons réellement les 180°, alors, nous aurions un angle plat, soit 3 points alignés. Répétons cela avec tous les autres points, et nous obtenons une droite au lieu d'une courbe (telle que notre cercle). Donc, dire que 0,99999... = 1, revient (pour moi) à dire que 179,99999...° = 180°, n'est pas franchement cohérent ! En résumé, cela revient à dire (selon moi) qu'une droite est un cercle, d'où mon désaccord !... Donnez-moi votre avis et dites-moi ce qui cloche dans mon raisonnement...

[@pierrechambon4012]

oui la pile de carte pourra pencher indefiniment car la série de terme général 1/k diverge (etant donné que l'on peut eloigner la premiere carte de 1/2 longueur, deux cartes de 1/2+1/3, trois cartes de 1/2 +1/3+1/4 .... cf archimede pour cette relation sur les centres de gravité)

[@pierrechambon4012]

je crois que c'est archimede pas sur

[@CosHyperbolique]

C'est dingue une égalité pareil, pourtant je crois me souvenir que toute somme > 1 n'a pas de résultat fini

[@eniotnayssaneb3442]

quand j'avais appris la soustraction et la multiplication je m'étais posé cette question, je n'ai la réponse que maintenant ! merci une autre qui en découle, est ce que 0,000...1=0? Parce qu'on peut considérer que 1-9,99999... =0,000...1 puisque le 1 on le verra jamais ! Sauf qu'en prenant l'inverse de ce nombre, il est peut être calculable donc non nul sinon ce qui est bien avec cette chaîne c'est qu'elle répond à des questions qui nous viennent des démonstrations précédente avant qu'on ai pu la poser dans les commentaires (sauf pour celle là du coups) ah oui et aussi concernant la langue je suis totalement d'accord le nombre de fois où on se contredit alors qu'on est d'accord, juste à cause d'une histoire de définition... Il devrait y avoir une loi pour interdire ça (sujette à interprétation TT)

[@walhanassim518]

Je pense que l'écriture 0,0000...1 ne peut pas représenter une somme infinie, autrement dit , tu dois préciser le nombre de 0s avant le 1 , ce qui le rendra évidemment un réel non nul. Je vois que ça n'a pas de sens de mettre un 1 après un nombre infini de zéros, parce que le nombre de zéro de va pas finir , pour qu'on trouve un 1 après. Sinon tu peux considérer la suite Un= 10^(-n), et calculer sa limite lorsque n tend vers +oo , tu trouveras 0.

[@eniotnayssaneb3442]

+walha nassim hum je vois, c'est comme si le 1 n'existait pas

[@julienmanowicz5880]

Je ne suis pas certain du contraire mais reste perplexe. C'est si déroutant et il y a très certainement quelque chose à comprendre de plus profond.

[@Zane3Erik]

C'est censé être une simplification, vulgarisation. Donc tu évites les notations trop compliquées, mais perso je comprends difficilement ces opérations avec ces chiffres approchées. Les sommes et les produits sont plus simples à appréhender selon moi avec les Symboles Sigma et Pi.

[@martinbraquet]

Petit complément d'info au sujet du problème de la pile de carte: Dans un système à l'équilibre, la résultante des moments de forces est nulle. Les forces en présence sont la gravité sur chaque carte (en leur centre de masse) et la force de réaction de la table sur la 1e carte (à la surface de la table). En considérant le cas limite, la force de réaction de la table agit uniquement au bord de la table, de sorte que les cartes sont à la limite de basculer. On doit conserver un moment de force nul par rapport à n'importe quel point de référence, on choisit donc le bord de la table comme point référence. Le moment de force impliqué par la force de réaction de la table est donc nul. Il suffit donc que le moment de force par rapport aux forces de gravité de chaque carte s'annule. Pour cela, on considère juste la force de gravité agissant au centre de masse des cartes. Le centre de masse se calcule par somme(x_i*m_i)/somme(m_i). Le problème revient donc à placer les cartes de façon à ce que le centre de masse soit au niveau de la table ou au bord dans le cas limite. On ajoute les cartes pas le bas. On pose la 1e carte avec une moitié en dehors, le centre de masse est bien au bord de la table. x1 est la longueur de la carte 1 en dehors. x1=L/2 Ensuite, la carte 2 est posée sous la carte1: ((x1-L/2)*m+(x2-L/2)*m)/2m=0 => (x1=x2+L/2) => x2=L/4. La carte 2 dépasse donc de L/4 de la table, et par après de la carte 3 placée en dessous de la carte 2. Après, ((x3-L/2)*m+x1x2*2m)/3m=0 => (x1x2=x3) => x3=L/6. La carte 3 est L/6 en dehors de la table. On continuant ainsi, on voit que la n-ième carte est à une distance de L/2n de la carte en dessous. Puisque la série harmonique est divergente et que la facteur 1/2 ne change pas le critère de divergence, on pourra atteindre un distance infinie (en négligeant les soucis physique de l'épaisseur des cartes). On peut enfin noter qu'en posant 4 cartes, la carte 1 (tout au dessus) sera à L/2+L/4+L/6+L/8=25/24L du bord, elle a donc entièrement dépassé la table. Bonne continuation!

[@sorayab8999]

Bonjour j'ai une remarque à faire même si elle est peut-être fausse. Soit x=0,99999...=1 on a alors y=1-x=0,0000...1=0 Soit j le réel se trouvant juste après 0(0,0000...1) on peut ainsi dire que j est l'inverse de l'infini (je ne sait pas si ça existe) donc on arrive à 1/infini=0 ? Mais c'est impossible ? Désolée il y a sûrement des erreurs de raisonnement ( j'ai seulement un niveau de 1ère 😅)

[@Gris_Bouille]

Le souci c'est ton "0,0000...1" : je pense qu'on ne peut pas définir un nombre décimal qui possède une infinité de 0 ET qui se termine par 1.

[@jeanfred5353]

Si quelqu'un pouvait m'éclairer ce calcul je lui en serais très reconnaissant. Quel est le resultat de 0,999...+0,111... est ce 1 comme on ce l'imaginerait intuitivement ou bien 1,111... comme le suggère cette vidéo puisque 0,999...=1 mais ce qui semble poser problème. Bon je suppose que vu mon niveau en math j'ai mal compris quelque chose. Merci d'avance.

[@AIreflection]

Dans tout les cas le résultat est 1,111... :) exemple : 0,999 + 0,111 est égale à 1,111... et si tu considère 0,999 = 1 soit 1 + 0,111.. donc le même cas de figure 1,111..

[@michellambin429]

La pile de carte tombe quand le centre de gravité de l'ensemble qui commence à pencher, s'éloigne de la première carte posé sur la table ? Evidement, ça sera plus compliqué que ça.

[@azurena_]

J'avais posé cette question à ma prof de math, elle m'avait répondu qu'écrire "0.999999999..." n'est pas rigoureux mathématiquement, et que l'écriture exacte serait "lim(1-x) ; x--->0", bref en utilisant la notion de limite.

[@theojycece9610]

Alors je ne suis pas super calé en Maths... Mais j'avais juste une question. Si 0,9999999999...= 1 alors pourquoi toutes les valeurs telles que 0,3333333... jusqu'à l'infini ne seraient soumis à une règle similaire genre 0,3333333...=0,4 ?

[@le_science4all]

Non parce que 0,3333... ne finit pas par des 9. Ce ne sont que les nombres dont les décimales finissent uniquement par des 9 qui posent problème (car 9 est le plus grand chiffre).

[@tctrainconstruct2592]

La course: la dist. /= 10 mais le tps /= 10 aussi donc selon le titre quand A sera arrivé à T-1/Infini alors il l'aurait dépassé

[@unbeaunom]

C'est peut-être culturel, mais quand je place les retenues anticipées dans la soustraction 1-0,9999, je les mets en haut, ce qui fait que je calcule 9-9=0 et non 10 -10=0 ... Ce qui revient au même, mais ça m'a tout de même pris quelques secondes pour comprendre ce qui était différent !

[@unbeaunom]

P.s . Je parle des chIffres à droite du zéro, car pour le chiffre à gauche, ça me donne 0-0, au lieu de 1-1 ! ;)

[@pierrefermat1343]

Quel est le chiffre des unités de BusyBeaver(TREE(Graham)) ? Vous avez 4h...

[@le_science4all]

J'ai bien peur que même avec BusyBeaver(TREE(Graham)) heures, je ne trouverai pas la réponse...

[@didrei]

Hello, une réflexion qui ne tient bien sûr qu'à moi, me pose la question , est-ce que les mathématiques n'utilisent pas un raccourci pour calculer l'infini... en effet, est-il vraiment judicieux de dire qu'on puisse diviser et multiplier des nombres quand le résultat est infini ? Je ne parle pas d'un point de vue théorique , mais d'un point de vue concret. Pour moi, 1/3 devrait être interdit à calculer car le résultat est infini. inversement on ne devrait pas pouvoir multiplier 0,333...×3 car le résultat n'a aucun sens. Dire que 3×(1/3)=3/3=1 est un racourci mathématique dans le sens où un tiers ne devrais pas être divisible, qui à mon sens ce serait plus logique de dire que 0,33...x3 est différent de 1... je ne sais pas si tu m'as bien compris... ;)

[@DanielBWilliams]

Votre réflexion est intéressante ! Quand on parle de 0,3333... à l'infini, on lui donne une définition précise. Nous pouvons montrer que si nous prenons la suite 0 - 0,3 - 0,33 - 0,333 et etc, c'est suite va se rapprocher aussi proche que l'on veut de 1/3 (si vous me donnez une précision, je peux vous trouver une étape de la suite à partir de laquelle tous les éléments de la suite seront proche de 1/3 à cette précision là), et uniquement de 1/3. Concrètement, 1/3 est en quelque sorte l'objet limite atteint par cette suite. Donc quand on parle de 0,333... à l'infini, on parle de cet objet limite, et donc de 1/3.

[@NakeoGames]

0,99999... = Σ9/10^k (pour k allant de 1 à l'infini) = 9Σ(1/10)^k On obtient une série convergente (géométrique) dont la somme se calcule simplement : 9Σ(1/10)^k = 9*(1/10)*(1/(1-1/10) (ne pas oublier le premier terme, en k=1) = (9/10)*(10/9) = 1 Pas besoin d'en parler pendant 15 minutes !

[@Carlito0o0o0o0o0o]

J adorerai comprendre ce que t as ecris

[@andreag5971]

Yes, c est la preuve que j ai trouvé aussi, mais bon quand t es un kikoo lol de 12 ans qui sait que faire 1 + 1 et qui aime ecrire dans les commentaires bah forcément tu te retrouves avec des preuves completement fallacieuses, qui travaillent avec des nombres qui ne sont meme pas définis et qui pensent être les nouveaux Eistein

[@nylda97]

@science4all je me suis connecter sur le compte de ma souer peut tu me dire exactement combien de 0.9999 combien de 9 pour sa va etre 1 enfin

[@DanielBWilliams]

Une infinité de 9.

[@EniXdu37]

J'ai vu je ne sais plus où (si je trouve je donnerais le lien), que si 0.9999... = 1 c'est par ce que cette égalité est vérifié par l'algèbre que nous utilisons et que nous préférons la garder plutôt que de la changer. En réalité 0.9999... et 1 sont "seulement" infinimement proche mais pas égaux (je crois que l'on parle de monade), ainsi 1-0.9999 trés proche de zéro mais nul, de la même manière que lorsque j'écris limite de 1/x en l'infini = 0+ Du coup cette "démonstration" m'avait convaincu et j'aimerais savoir ce que vous en pensez ;)

[@Flynuxs]

Ha ha, juste après avoir vu cette vidéo, je m'attaque au hardcore 2 "les groupes d'homotopie" ou tu cites au début : "La mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes" (Henri Poincaré) . Ici on donne des noms différents à la même chose lol

[@Flynuxs]

ou pas en faite, en y réfléchissant bien 1 et 0,9999999... sont des représentations différentes du même objet platonicien.... Et donc avoir prouver cela c'est l'essence même des maths selon la définition de Poincaré.

[@le_science4all]

J'ai eu la même réflexion que toi en écrivant le script ! Poincaré dirait d'appeler "un" le nombre 0,9999.... :P

[@armenminassian1680]

1/3 = 0.333333... 0.33333... * 3 = 0.999999... Et OH ! Tiens ! 1/3 * 3 = 1 ! J'aime bien cette démonstration-là :P

[@philippegenet7754]

Je ne suis pas mathématicien, mais il me semble que tout ces raisonnements font abstraction du concept de limite. Je me rappel mes cours au lycée, lorsqu'on devait calculer des dérivées. Si comme résultat intermédiaire j'obtenais delta x plus x j'en concluais que ma dérivée était égale à x. Si le résultat intermédiaire était delta x multiplié par x, le tout divisé par delta x, je devais en conclure que ma dérivée valait également x. Ce qui peut paraître contradictoire puisqu'on n'a pas le droit de diviser par zéro. En fait ça ne l'est pas puisque la formulation exacte n'est pas égal à ceci ou égal à cela, mais que si delta x tend vers zéro alors à la limite, x tend telle ou telle valeur (mais ne l'atteint jamais). Je crois avoir compris que ce problème à turlupiné les mathématiciens jusqu'à ce que l'un d'entre eux invente le concept de limite qui permettait de ne pas chambouler toutes les mathématiques avec un delta x tantôt égal à zéro et tantôt pas. Il en est de même je crois pour la soustraction par la gauche. Il est clair en effet que je ne peux effectuer une soustraction par la droite avec un nombre infini de terme. Tout bêtement parce que je n'atteindrais jamais, par définition, le terme de droite. Est-ce que cela change vraiment avec un soustraction par la droite ? Je ne crois pas, tout simplement parce que je ne peux pas plus atteindre le terme final de droite. Autrement dit, si je disposais d'un temps infini pour parcourir ce nombre... je n'aurais tout bêtement jamais la solution (il restera toujours une infinité de terme à parcourir). Et si je m'arrête à un moment quelconque il me restera toujours un petit 1 qui fait toute la différence. J'ai donc tout à fait le droit de dire qu'à la limite 0,999... tend vers 1, mais en aucun cas de dire qu'il est strictement égal à 1. Evidemment, cela ne résout pas l'apparition du -1/12ème dans certaines séries, mais ça c'est au-delà de mon niveau :-)

[@palicot]

J'admire le travail, cependant ne suis pas un grand fan de ce genre de preuves qui ne parviennent pas a me convaincre (pourtant, je suis d'accord avec le résultat final). Afin de répondre à la question plus proprement, je pense qu'il faudrait redéfinir proprement le signe égalité. Il y a un début de réponse a partir de 8:00, mais il faudrait le formaliser mathématiquement. J'imagine une définition mathématique (a partir du symbole '0 on a : abs(a-b) < epsilon." A partir de cette definition, je pense que l' on peut dire que 0.9999999....=1. Je ne suis toutefois pas moi-même convaincu de cette définition, car en utilisant l'associativité de l'égalité, on peut alors prouver que tous les réels sont égaux (l'associativité fonctionne pour 3 valeurs A, B et C, mais fonctionne t-elle pour une infinité de valeurs ? ) Ainsi quelqu'un aurait il connaissance d'une preuve reposant sur une redéfinition du signe égal sans ambiguïté ?

[@DanielBWilliams]

L'égalité usuelle en mathématiques et celle que vous proposez sont exactement les mêmes ! Il n'y a donc pas besoin de redéfinir quoi que ce soit, et il n'y a aucune raison pour que tous les réels se mettent à être égaux, pourquoi pensez-vous cela ?

[@Phoenixlechannel]

Tu m'impressionnes.

[@vinnyd5471]

Bonjour, je ne suis pas mathématicien, j'ai un petit niveau lycée, et ma question va peut être sembler stupide, mais je remarque que si on additionne 0.999999... avec lui même, le résultat semble plus éloigné de 2x1. Plus on additionne 0.99999999 et plus l'écart avec ce que donnerait l'addition avec des 1 s’agrandit. Si on devait les matérialiser graphiquement comme des fonctions j'ai l'impression qu'on aurait une droite et une courbe qui divergeraient de plus en plus. Pour résumer si le calcul 0.9999.....=1 est vrai je ne vois pas où je me trompe dans mon raisonnement.

[@sebastien5048]

J'imagine que tu penses aux calculs 0.99+0.99=1.98 et 0.999+0.999=1.998 dans lesquels on remarque qu'on finit par faire apparaître un "8" en dernière position du résultat. Suivant cette réflexion, tu es tenté de dire "0.999... +0.999... = 1.999...8" ? N'hésite pas à me dire si j'ai mal compris ton raisonnement. En tous cas, le raisonnement que j'ai décrit ici est faux. Tout simplement, il faut se demander ce que ça signifie, "1.999...8". Il est où le 8, dans ce nombre ? En dernière position ? Oui mais justement, il n'y a pas de "dernière position" puisque les points de suspension dans "1.999...8" sont censés signifier qu'il y a une infinité de 9. Or s'il y a une infinité de 9 tu vas avoir du mal à placer un 8 derrière ^^.

[@vinnyd5471]

@@sebastien5048 mais alors cela signifie qu'il n'est pas possible d'additionner 0.99999 avec lui même où que ça fait 2?

[@sebastien5048]

@@vinnyd5471 Attention, les "..." sont importants^^ -Tu peux tout à fait additionner 0.99999 avec lui même, tu trouveras 1.99998. (Mais je ne t'apprends rien). -En ce qui concerne 0.999... , tu peux là encore l'additionner avec lui même. Puisque 0.999...=1, eh bien 0.999...+0.999... = 1+1 = 2. Donc en fait on peut tout à fait faire cette addition, on connaît son résultat (c'est 2). En revanche si tu souhaites faire l'addition en la posant, alors là tu ne pourras pas utiliser la technique classique qui consiste à additionner en commençant par le nombre le plus à droite, puisqu'il n'y a pas de nombre "le plus à droite" ^^. Mais ce que tu peux faire c'est poser l'addition en la commençant par le chiffre le plus à gauche. Par exemple à 6:15 dans la vidéo, tu as un exemple de soustraction qu'on commence par la gauche, tu pourrais suivre le même principe avec l'addition 0.999...+0.999... et constater qu'on trouve "1.9999...." comme résultat, c'est à dire 2.

[@vinnyd5471]

@@sebastien5048 oui cette façon de calculer m'a beaucoup intéressé et effectivement on doit pouvoir l'appliquer. Le brouillard s'éclaire un peu. Merci beaucoup

[@sebastien5048]

@@vinnyd5471 Pas de soucis !

[@tmhsglfrt9556]

Vous avez pensé à TREE(graham)?

[@ZePapyZ]

C'est un paradoxe de la flèche on ne pet pas connaitre la position et la vitesse d un objet au même moment cela a éte formuler par Zénon d'Élée mais bon les maths si on reste sur les nombre entier on ne peut pas vraiment décrire les cercles

[@ARM-if5cr]

Martial Grelat sa sort d'où ce que tu a écris? Pourquoi on ne pourrait pas savoir la vitesse et la position en même temps ? PS je ne dis pas que tu dis de la merde je ne comprend pas ton raisonnement

[@patricetrotel5242]

Il y a un petit problème d'approximation. En fait 1=0,9999999...…+10^(-∞) et 10^(-∞) représente l'approximation. Ceci donne au rang n, 1=0,9999999avec n9 et donc l'approximation est 10^(-n). Maintenant vous pouvez donner n'importe quel valeur à n et vous connaissez l'approximation pour trouver 1. Un exemple: 0,99999999999+10^(-11)=1 car il y a 11 chiffres 9 derrière la virgule. Par contre, il est vrai que même technologiquement, si l'approximation =10^(-10^1000), on ne perçoit aucune différence. Cependant, on ne peut pas dire pour cela que c'est égal, c'est faux. Cela restera toujours inférieur à 1.

[@pukeipukei62]

Autre méthode: 18÷9=2 Mais c'est aussi égale à (8÷9)+(10÷9)=(0,8888888...)+(1,1111111...) =2 Mais du coup 2-1=(0,8888888...)+(1,1111111...-1)= 0,11111...+0,88888...=0,9999999... CQFD

[@TaxiSatyre34]

Salut je viens de regarder cette vidéo et j'ai donc tenter des truc : 4/6 = 0,6666666.... 1/3= 0,33333333... 0,66666...+ 0,33333... = 0,9999... Or 4/6 = 1/3 = 1 Une réponse à ce raisonnement ?

[@Varlane]

C'est un raisonnement analogue à la version 9x = 9, qui revient (en ton cas), à monter que x/9 = 1/9, ou alors x/3 = 1/3 etc. Utiliser 4/6 et 1/3 pour les sommer est superflu cependant.

[@fabienlelaurin7760]

Mince, j'ai appris que sa tendais vers 1, est en faite c'est égale a 1, je vais pas en dormir de la nuit

[@laurag.9966]

Mais donc cela veut dire que 0,99999 peut être supérieur à 1 ou non ?

[@yannlandry1432]

Pour le paradoxe d'Achille, j'aime me représenter deux fonctions f(x) = 900 + x et g(x) = 10x, ça permet de mieux comprendre qu'Achille dépassera bien la tortue. C'est juste qu'il y a une infinité de nombre dans l'intervalle [0;1000] qui fait que ce paradoxe peut donner mal à la tête.

[@Varlane]

Et oui, malheureusement la théorie des fonctions n'existait pas à l'époque de la Grèce Antique.

[@belanissart7621]

A condition que la tortue ne fléchisse pas sa vitesse.de façon que cette vitesse soit constante mais comme toute machine elle ralentira même les particules ralentissent.

[@chrisbarbaz5287]

En effet, on ne peut intercaler aucun nombre entre 0,999... et 1 !!! Tout simple ! Pour les écritures différentes, on a 5 = 4,999.... , ou encore 2,3 = 2,2999....J'ai fait une vidéo sur le sujet hier (transformation des nombres à virgule en fraction) sur mon autre chaîne.

[@skrypie_8042]

On ne répondras sûrement pas à ma questions mais dans ce cas,puisque 1÷2 = 0.5, est ce que 0.5 × 2 = 0.9999999999999(infinis) ?

[@francepromenade4291]

Bonjour :) ... en fait, la question que tu poses ne concerne pas vraiment le 1/2, car il est sur que 0,5x2=1... mais finalement, tu cherches à savoir, dans l'autre sens, si 1=0,999... . Et c'est intéressant ! Car la vidéo tente d’appréhender et réfléchir sur "0,999..." qui est assez 'spécial' puisque de décimales 'infinies'. Comme il nous intrigue, on tente de savoir comment l'écrire 'autrement' (en fraction ? égal à un autre nombre connu ? etc...). Et ta remarques est intéressante, car on ne s'est jamais posé la question de savoir si 1 était égal à autre chose :) .... Personne ne se pose cette question. Les démonstrations sur KZbin qui tente de prouver que 1 est égal à "0,999..." ou autre chose doivent etre rares ! En faisant la démo inverse à la vidéo on devrait y arriver, mais je trouve que ça coince : Donc on part de la fin: x=1, et on remonte : 9x = 9 donc 10x - x = 9 donc 10x - x = 9,000... donc 10x = 9,000... + x donc 10x = 10,000... donc x = 1,000... ...et je retrouve pas 0,999... :p ...et même ça n'a plus vraiment de caractère extraordinaire... On se doute bien qu'un entier est égal à lui-même à qui on ajoute une infinité de 0 en décimal... On peut essayer de se forcer à faire apparaitre 0,999... et l'isoler d'un côté pour voir à quoi il est égal ? 10x-x = 9,999... - 0,999... donc 9x-9,999... = -0,999... donc 9,999... - 9x = 0,999... donc 0,999... = 0,999... Pas mieux :( ...

[@skrypie_8042]

@@francepromenade4291 je vais faire des calcules de mon coté, je suis sur qu'on va trouver