Ces courbes qui colorient tout l'espace | Infini 10

Est-il possible de colorier tout un carré avec un crayon qui ne colorie qu'un point mathématique à la fois ? Et tant qu'on y, ceci peut-il se faire sans jamais lever le crayon ? En 1890, à la surprise générale, Peano prouva que oui ! Il existe des courbes qui remplissent non seulement le carré, mais même tout le plan, voire l'espace. Cette vidéo étudie en particulier les courbes de Peano et de Hilbert.

[@DIMENSI0N]

Cette série ne s'arrêtera donc jamais x)

[@turtlecraft7996]

🌠 DIMENSION 🚀 Infinie!!

[@DIMENSI0N]

xD

[@davutsauze8319]

Bah... c'est logique, pourquoi arrêter une série pareille en plus qu'elle marche?

[@user-hu9ft5qr1k]

Elle est infinie

[@astra5128]

C'est interressant, le truc de Hilbert là, ça pourrait être utilisé en construction (de bâtiments par exemple) si on limite le schémas 0 de Hilbert à un certain nombre. Cela ne porterai pas de resistance à l'air, ça le rendrerai plus léger, et surtout ça utiliserai moins de matériaux donc moins d'argent. Sinon j'adore tes videos, je trouve que tu explique plutôt bien, bonne continuation et bon courage pour la suite ;-)

[@josebag2778]

Très bons montages, tout est très clair. continuez, ça va servir à bcp.

[@charlyevin7985]

Tellement merci de parler d'un sujet aussi passionnant que l'infini en mathématique. Infiniment merci :)

[@julesp9]

Salut l'ami si tu t'intéresse a "l'infini mathématique" tu aimera ça: INFINI ET INDÉFINI Procédant en quelque sorte en sens inverse de la science profane, nous devons, suivant le point de vue constant de toute science traditionnelle, poser ici avant tout le principe qui nous permettra de résoudre par la suite, d’une façon presque immédiate, les difficultés auxquelles a donné lieu la méthode infinitésimale, sans nous laisser égarer dans des discussions qui autrement risqueraient d’être interminables, comme elles le sont en effet pour les philosophes et les mathématiciens modernes, qui, par là même que ce principe leur manque, ne sont jamais arrivés à apporter à ces difficultés une solution satisfaisante et définitive. Ce principe, c’est l’idée même de l’Infini entendu dans son seul véritable sens, qui est le sens purement métaphysique, et nous n’avons d’ailleurs, à ce sujet, qu’à rappeler sommairement ce que nous avons déjà exposé plus complètement ailleurs1: l’Infini est proprement ce qui n’a pas de limites, car fini est évidemment synonyme de limité ; on ne peut donc sans abus appliquer ce mot à autre chose qu’à ce qui n’a absolument aucune limite, c’est-à-dire au Tout universel qui inclut en soi toutes les possibilités, et qui, par suite, ne saurait être en aucune façon limité par quoi que ce soit ; l’Infini, ainsi entendu, est métaphysiquement et logiquement nécessaire, car non seulement il ne peut impliquer aucune contradiction, ne renfermant en soi rien de négatif, mais c’est au contraire sa négation qui serait contradictoire. De plus, il ne peut évidemment y avoir qu’un Infini, car deux infinis supposés distincts se limiteraient l’un l’autre, donc s’excluraient forcément ; par conséquent, toutes les fois que le mot « infini » est employé dans un sens autre que celui que nous venons de dire, nous pouvons être assuré a priori que cet emploi est nécessairement abusif, car il revient en somme, ou à ignorer purement et simplement l’Infini métaphysique, ou à supposer à côté de lui un autre infini. Il est vrai que les scolastiques admettaient ce qu’ils appelaient infinitum secundum quid, qu’ils distinguaient soigneusement de l’infinitum absolutum qui seul est l’Infini métaphysique ; mais nous ne pouvons voir là qu’une imperfection de leur terminologie, car, si cette distinction leur permettait d’échapper à la contradiction d’une pluralité d’infinis entendus au sens propre, il n’en est pas moins certain que ce double emploi du mot infinitum risquait de causer de multiples confusions, et que d’ailleurs un des deux sens qu’ils lui donnaient ainsi était tout à fait impropre, car dire que quelque chose est infini sous un certain rapport seulement, ce qui est la signification exacte de l’expression infinitum secundum quid, c’est dire qu’en réalité il n’est nullement infini1. En effet, ce n’est pas parce qu’une chose n’est pas limitée en un certain sens ou sous un certain rapport qu’on peut légitimement en conclure qu’elle n’est aucunement limitée, ce qui serait nécessaire pour qu’elle fût vraiment infinie ; non seulement elle peut être en même temps limitée sous d’autres rapports, mais même nous pouvons dire qu’elle l’est nécessairement, dès lors qu’elle est une certaine chose déterminée, et qui, par sa détermination même, n’inclut pas toute possibilité, car cela même revient à dire qu’elle est limitée par ce qu’elle laisse en dehors d’elle ; si au contraire le Tout universel est infini, c’est précisément parce qu’il ne laisse rien en dehors de lui2. Toute détermination, si générale qu’on la suppose d’ailleurs, et quelque extension qu’elle puisse recevoir, est donc nécessairement exclusive de la véritable notion d’infini ; une détermination quelle qu’elle soit, est toujours une limitation, puisqu’elle a pour caractère essentiel de définir un certain domaine de possibilités par rapport à tout le reste, et en excluant ce reste par là même. Ainsi, il y a un véritable non-sens à appliquer l’idée d’infini à une détermination quelconque, par exemple, dans le cas que nous avons à envisager ici plus spécialement, à la quantité ou à l’un ou l’autre de ses modes ; l’idée d’un « infini déterminé » est trop manifestement contradictoire pour qu’il y ait lieu d’y insister davantage, bien que cette contradiction ait le plus souvent échappé à la pensée profane des modernes, et que même ceux qu’on pourrait appeler des « semi-profanes » comme Leibnitz n’aient pas su l’apercevoir nettement2. Pour faire encore mieux ressortir cette contradiction, nous pourrions dire, en d’autres termes qui sont équivalents au fond, qu’il est évidemment absurde de vouloir définir l’Infini : une définition n’est pas autre chose en effet que l’expression d’une détermination, et les mots mêmes disent assez clairement que ce qui est susceptible d’être défini ne peut être que fini ou limité ; chercher à faire entrer l’Infini dans une formule, ou, si l’on préfère, à le revêtir d’une forme quelle qu’elle soit, c’est, consciemment ou inconsciemment, s’efforcer de faire entrer le Tout universel dans un des éléments les plus infimes qui sont compris en lui, ce qui, assurément, est bien la plus manifeste des impossibilités. Ce que nous venons de dire suffit pour établir, sans laisser place au moindre doute, et sans qu’il soit besoin d’entrer dans aucune autre considération, qu’il ne peut y avoir d’infini mathématique ou quantitatif, que cette expression n’a même aucun sens, parce que la quantité elle-même est une détermination ; le nombre, l’espace, le temps, auxquels on veut appliquer la notion de ce prétendu infini, sont des conditions déterminées, et qui, comme telles, ne peuvent être que finies ; ce sont là certaines possibilités, ou certains ensembles de possibilités, à côté et en dehors desquelles il en existe d’autres, ce qui implique évidemment leur limitation. Il y a même, dans ce cas, encore quelque chose de plus : concevoir l’Infini quantitativement, ce n’est pas seulement le borner, mais c’est encore, par surcroît, le concevoir comme susceptible d’augmentation ou de diminution, ce qui n’est pas moins absurde ; avec de semblables considérations, on en arrive vite à envisager non seulement plusieurs infinis qui coexistent sans se confondre ni s’exclure, mais aussi des infinis qui sont plus grands ou plus petits que d’autres infinis, et même, l’infini étant devenu si relatif dans ces conditions qu’il ne suffit plus, on invente le « transfini », c’est-à-dire le domaine des quantités plus grandes que l’infini ; et c’est bien d’ « invention » qu’il s’agit proprement alors, car de telles conceptions ne sauraient correspondre à rien de réel : autant de mots, autant d’absurdités, même au regard de la simple logique élémentaire, ce qui n’empêche pas que, parmi ceux qui les soutiennent, il s’en trouve qui ont la prétention d’être des « spécialistes » de la logique, tellement grande est la confusion intellectuelle de notre époque ! René Guénon "Les principes du calcul infinitésimal" Si tu le lis dit moi ce que tu en penses. Salut.

[@floven1002]

Ahh c'est vraiment cool cette série, tu fais vraiment un super travail. J'ai deux pitites questions qui me viennent à l'esprit : Existent ils des équations pour ce genre de courbe ? Est ce que ces deux courbes sont des fractals ? D'ailleurs en parlant de fractals, à quand un épisode sur Mandelbrot ? Ahh du coup ça fait trois questions.

[@aurelienperdriaud108]

Ah, ben c'est bon, là j'ai tout compris ! Un épisode génial ! D'ailleurs en parlant de remplissage d'espace, étant donné que Cantor à prouvé cette propriété de l'infini cardinal ou l'aleph zéro : Infini puissance un nombre non infini = Infini, on peut prouvé qu'il y a autant de point dans un segment que dans un carré ou que dans un cube et dans tous les Hyper Cubes à n dimensions. Du coup si on prends une infinité de cube rangée en ligne, on peut les ranger de façon à ce qu'il remplisse l'espace ;). Et cette analyse de Fourier, qu'elle est intrigante... Tiens, 11 000 abonnés, ça va vite, mais il faudrait que ça aille plus vite ! Infiniment vite en réalité !

[@valentino76600]

Au passage, les procédés que tu présentes pour la compression des images me font penser à l'utilisation des fractales (dans les images de synthèse), y a t il un rapport..?

[@nicap5919]

Encore une vidéo très claire, très simple et très bien présentée, Merci :)

[@Cargovoyage]

Nicap59 Tu a déjà eu le temps de la regarder :o GG --'

[@nicap5919]

bon timing + lecture en x1.25 ;)

[@soleilvermeil]

Que se passe-t-il pour le point situé pile au centre du carré ? Si l'on juge qu'il existe une infinité de points sur une surface, ce cas de figure doit bien arriver, non ? Dans ce cas, et si l'on considère le carré divisé en 4 parties, peut-on rattacher ce point central à l'un des quarts du carré ? Même question pour tous les autres points se trouvant à cheval sur plusieurs zones plus petites.

[@LithningWolf]

Je sais pas si tu me suis mais en gros si on arrive au motif infini et bien les carrés sont devenus des points donc absolument tout l'espace est constitué de ces zones limites à cheval entre tous les carrés... C'est assez paradoxal effectivement !

[@glgl3245]

Le problème se pose aussi pour les points entre seulement 2 parties et à toutes les étapes de subdivision.

[@LithningWolf]

goulou gili Sauf à celle infinie où toute la zone est remplie par ses zones entre 2 parties

[@MagicSerwyn]

La question est pertinente, mais il suffit de se restreindre au carré fermé à gauche et en bas mais ouvert à droite et en haut. On peut décider que chaque point pile entre deux carré appartient au carré à sa droite. On atteindra jamais le bord droit et le bord haut du carré mais c'est ce qui permet de l'étendre au plan.

[@MagicSerwyn]

Exercice : Montrer que les points situés entre deux carrés pourvun certain decoupage en carré sont exactement les nombres rationnels.

[@Laubi100]

+Science4All merci pour cette vidéo j ai appris une chose que j ignorais et de plus tu as été claire dans tes explications et cela est très appréciable Cordialement,Senna

[@kayacoleman1822]

Quel travail comme d'habitude je suis bouche bée, moi je suis un travailleur sans aucun niveaux d'étude et mon rêve c'est de comprendre c'est chose la mais je n'ai pas le niveaux enfin bon tu es mon idole 😄

[@chillselect4995]

Salut mec , super vidéo comme toujour

[@p.g.841]

Bonjour Le, merci beaucoup pour toutes tes vidéos très intéressantes et accessibles ! A la fin de cet épisode, tu nous mets l'eau à la bouche en parlant du théorème de Pythagore et de l'analyse de Fourier pour la description des espaces de Hilbert. Pourrais tu nous en dire un peu plus ?

[@Velppp]

merci, continue comme ca !

[@PolDellaiera]

Merci pour cette excellente vidéo, un de mes domaines préférés :) Dommage de ne pas avoir parlé plus en détails d'une des particularités les plus surprenantes de la courbe de Hilbert par rapports aux autres courbes, comme par exemple de garder la localité lors de la conversion 2D vers 1D et vice-versa (ceci dit, 3Blue1Brown en parle et l'explique relativement bien aussi)

[@PolDellaiera]

Une des applications de ces "Space Filling Curves" est son emploi dans la création de l'algorithme du geohash (en.wikipedia.org/wiki/Geohash). Cela permet de transformer des coordonnées géographiques (2 dimensions) en 1 seule dimension, assez pratique pour les calculs de proximités.

[@charlyevin7985]

Je vais oser une question. Peut on utiliser cette méthode pour tenter de définir la taille ou le volume d'un plan de taille préalablement inconnue?

[@sanatan3391]

Merci pour tes vidéos. Je suis vraiment nul en math, mais j'adore ça. Enfin, je voulais dire que j'adore les maths, et non pas le fait d'être nul.^^

[@valentino76600]

Super vidéo ! Dis moi, lorsqu'on colorie le motif infini de Hilbert, ne passe t'on pas une infinité de temps à colorier le premier quart du carré ...? C'est un peu le problème dr la flèche qui n'atteint jamais sa cible ?

[@marjoriehegyes7197]

En fait, on peut faire en sorte de passer un temps fini (c'est ce que l'on fait dans l'exemple) mais on autorise aussi une vitesse du crayon infini! Si on voulait une vitesse finie, il faudrait une infinité de temps. ;-)

[@valentino76600]

Marjorie Hegyes effectivement sous cet angle, je comprends mieux le parcours du crayon !

[@oncletif]

Parler de décimal en base 2 risque de prêter à confusion, n'y a t'il pas un terme pour ca (binal par exemple) ?

[@pierrelacombe4757]

Concernant l'analyse de Fourier, sans vraiment comprendre les subtilités mathématiques, je confirme qu'on peut empiriquement manipuler ça sans aucun problème avec les logiciels FFT (dont il existe des versions libres) et qui sont capables de faire ces transformations en temps réel. Je m'en sers couramment pour l'analyse des distorsions dans les systèmes de reproduction sonore... C'est un outil aussi fondamental que la règle et le niveau pour le maçon. Et je confirme bien qu'il y a très nette corrélation entre ce qu'on voit s'afficher et les sensations auditives, ce qui confirme bien cette idée que notre système auditif fonctionne par analyse de Fourier (avec une résolution temporelle de 1/30000e de seconde au moins) Pour la transition de phase, j'ai souvent observé (sans pouvoir réellement tout comprendre...) ce qui se passe sur un pare-brise de voiture quand la température est très proche de 0° (un peu en dessous) et que le film d'eau étendu par les essuis-glaces gèle... on dirait qu'il existe une troisième phase intermédiaire où l'eau n'est ni solide ni liquide, mais d'une assez grande viscosité (Atttention, n'observez pas en conduisant...)

[@professeurcultureprecieuse936]

Super vidéo, du coup j'ai une question. D'un point de vue de l'algèbre linéaire, le plan est de dimension 2 car sa base possède deux éléments (il faut 2 informations pour situer un point et un seul) mais du coup avec la courbe de Hilbert, une seul information serrait nécessaire pour définir un point. Cela veut-il dire que le plan est de dimension 1 ? Merci de ta réponse ^^

[@isacu74]

La nuance est compliqué à expliquer mais oui tu peux tu peux décrire tout l'espace de deux dimensions avec un seul chiffre (l'espace de dimension 3 aussi d'ailleurs) c'est ce qu'on appelle dans le jargon faire une bijection. Mais que l'on puisse faire une telle opération entre deux espaces ne signifie pas forcément qu'ils sont de même dimensions car cette dernière est un concept différent car ce ne sont pas les mêmes propriétés mathématiques qui sont étudiés. P-S: Je ne suis conscient que je te donne pas une réponse complète mais ce sont des formalismes qu'il faut voire en action pour comprendre je dirais.

[@professeurcultureprecieuse936]

Merci beaucoup pour cette précision. Je suis en L2 maths et c'est vrai que pour l'instant pour moi une dimension c'est le nombre d'éléments d'une base et c'est tout ^^ je me doute que les définitions vont en se précisant (et forcément en se complexifiant). Je vais continuer à étudier le truc pour en savoir plus.

[@pifmilou]

Salut. Tu as fait fait un peu de topologie ?

[@professeurcultureprecieuse936]

J'ai eu des cours d'introduction à la topologie oui.

[@pifmilou]

Je viens de voir que Lê t'as répondu dans la vidéo suivante, mais si tu veux plus de détails, je peux t'en donner. L'outil de topologie auquel il fait référence dans sa vidéo, c'est l'homéomorphisme. C'est à dire le fait d'avoir une forme topologique similaire. Intuitivement, ça veut dire qu'on peut transformer un objet en l'autre en le déformant sans le déchirer, et faire l'opération inverse. Quand on dit parfois qu'on peut transformer un mug en donut en le déformant, mais pas en sphère, car ils n'ont pas le même nombre de trous, il s'agit de ça. Un homéomorphisme, concrètement, c'est une bijection continue d'un ensemble dans un autre. Premièrement, la courbe de Hilbert n'est pas une bijection, la courbe se recoupe en certains points (je te laisse voir lesquels). Mais en plus, j'ai dit qu'on devait pouvoir faire le chemin inverse pour avoir un homéomorphisme. C'est à dire que la réciproque doit être aussi continue. Or, je peux trouver deux points proches sur le carré, qui ont des "adresses" assez éloignées sur la courbe de Hilbert. Par exemple parce que cette dernière prend de nombreux détours pour aller de l'un à l'autre. Pour retransformer mon carré en segment, en "dépliant" la courbe de Hilbert, je vais être obligé de "déchirer" mon carré. Voilà pourquoi la courbe de Hilbert ne donne pas un homéomorphisme. Mais c'est pas parce que la courbe de Hilbert n'est pas un homéomorphisme qu'il n'en existe pas. Si le segment et le carré sont bien topologiquement deux choses différentes, c'est pour une raison finalement assez intuitive. Supposons par l'absurde que j'ai un homéomorphisme f: [0,1] -> [0,1]² J'ai donc associé à chaque point du segment un point du carré, de façon à ce que les deux objets aient la même "forme". Maintenant j'enlève 1/2 dans mon segment. Ça revient à enlever f(1/2) à mon carré carré. Mais maintenant, mon segment est en deux morceaux, tandis que mon carré a à la rigueur gagné un trou, mais reste toujours entier. Or, la connexité, c'est à dire le fait d'être en un ou plusieurs morceaux, est une propriété qui se conserve entre deux objets homéomorphes (puisqu'ils ont la même forme, ils ont aussi le même nombre de morceaux). Donc le segment est le carré sont bien deux choses différentes. Et la dimension dans tout ça ? J'imagine que tu as déjà vu la définition de dimension en algèbre linéaire. Ça tombe bien, la dimension d'un objet topologique est liée à celle d'un espace vectoriel. On dit qu'un objet est de dimension n s'il se décompose en union d'ouverts, dont chacun est homéomorphe à un ouvert de R^n. Dans le cas du segment et du carré, ces homéomorphismes sont évidents, et on voit bien que le segment est de dimension 1 et le carré de dimension 2. On a fini ? Pas tout à fait. Il faut encore montrer qu'un objet ne peut pas avoir deux dimensions différentes. Autrement dit, qu'on n'a pas d'homéomorphisme entre un ouvert de R^n et un ouvert de R^m si n et m sont différents. C'est heureusement vrai, mais pas facile du tout à montrer. Je dois bien t'avouer que moi-même, je n'en connais pas la démonstration. Voici tout de même quelques informations : fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_l'invariance_du_domaine J'espère t'avoir aidé. Bonne soirée. ;)

[@thomasou3909]

J'ai un problème Quand tu dis qu'on peut montrer que la courbe de hilbert est infinie en déterminant un instant t où le point est colorié, n'est ce pas plutôt étrange? En effet, l'instant ne fait qu'indiquer où le point se situe sur le carré, rien ne montre que la courbe de Hilbert passe bel et bien par ce point De plus la courbe niveau 0 contient des espaces non remplis sur le carré, donc, en multipliant la courbe à 'infini, on conserve bien ces espaces vides, non? Merci de me répondre

[@Nossairito]

Excellente vidéo comme d'habitude. Ca me rappelle une petite info que j'avais vue je ne sais plus où: quand on a ce genre de courbe fractale dont chaque partie peut-être décomposée en la même courbe un peu plus petite, la dimension de cette courbe n'est plus de 1, mais d'à peu près 1.3 (je ne me souviens plus du nombre exact). C'est notamment le cas pour la frontière d'un pays. Si ma mémoire ne me trompe pas, c'est parce que peu importe la ligne qu'on désigne comme contour, vu qu'elle n'a pas d'épaisseur définissable, on peut aller aussi loin qu'on veut dans l'infiniment petit, et faire d'une ligne droite une ligne en zig zag, ce qui va augmenter la longueur qu'on avait mesurée au départ pour cette ligne droite. Du coup, on ne peut pas mesurer cette longueur en dimension 1 puisqu'on se retrouvera toujours avec une longueur qui tend vers l'infini. Donc cette mesure n'est ni en dim1, puisque c'est plus complexe qu'une ligne, ni en dim2, puisque ce n'est pas une surface qu'on mesure mais une distance infiniment grande.(désolé si mon explication est un peu décousue, j'explique juste de mémoire)

[@marjoriehegyes7197]

Bonjour, je pense, de mémoire, que ce n'est pas vrai ici. La definition de dimension peut changer selon ce que l'on étudie en math ( dimension de Hausdorff ou dimension de Minkowski...). il semblerait vraiment que le carré presque entier soit atteint par la courbe. Donc l'ensemble est bien de dimension 2. Certaines fractales et ensembles de Cantor ont une dimension comprise entre 1 et 2 en un certain sens et moi j'utilisais le concept de capacité afin d'en donner un sens. Je te conseille de chercher "dimension d'ensemble de cantor" pour te rappeler et te faire une idée. ;-)

[@Nossairito]

Marjorie Hegyes Au temps pour moi alors, il me semblait bien que mes souvenirs étaient trop flous pour être pertinents dans ce cas ci, merci de la précision. =)

[@warny1978]

est-ce que cette construction a un rapport avec le théorème du choix décrit par eljj dans sa vidéo sur le théorème de banach-tarski ?

[@le_science4all]

Non. Cette construction est tout à fait constructive. En effet, à la fin, on sait exactement quel point du carré est colorié à tout instant. Contrairement à ce qu'a présenté eljj où on "sait" que l'on peut couper la boule en 5 morceaux mais on ne sait pas exactement comment y arriver...

[@letsgetlyricalpijuhande4769]

J'ai adoré!!!!!! Celle là... Aussi les autres mais ils sont plus Blow might

[@TSAHAL48]

Dommage que tu n"étais pas mon prof de math à l'école .. Bon boulot, continu comme ça

[@albertmoute6917]

Super vidéo encore une fois. Merci de partager ta passion (que je partage aussi) avec autant d'amour. Mais pourrais-tu donner une définition plus rigoureuse (algébrique?) des n-motifs de hilbert et de la courbe qui en résulte ? Cela m'intéresserait beaucoup

[@VG____]

Pour être rigoureux, il faut montrer que la suite des courbes construites est une suite de Cauchy dans l'espace E des fonctions du segment dans le carré. E étant compact cette suite converge (vers la fonction qui trace la courbe de Hilbert). Toutes ces courbes étant continues, il doit y avoir un théorème qui dit qu'il y a convergence uniforme et que du coup la courbe de Hilbert est continue.

[@hydroxychloride9077]

Superbe épisode ! je sens que la partie de réponses aux comms contient une ou 2 infos qui méritent réflexion et intérêt ! petite question : est-ce qu'on peut dire que sin(1/x) se "transforme" (ou au moins se comporte) "au voisinage" de 0 en (ou comme) une surface ? et une remarque que je me suis faite : les décimales en base 2 c'est magique ! ça me fait penser à une façon décrire une dichotomie jusqu'à un rang donné. et du coup dans le cas d'une image, en décalant la virgule, on se retrouve avec une espèce d'homotétie c'est ça qui aide à l'agrandissement des images ?

[@marjoriehegyes7197]

Ce serait plus comme le segment vertical [-1;1] mais ça ne donnerait pas une fonction. Elle ne peut pas être prolongée par continuité en 0.

[@grot75]

Non, sin(1/x) ne remplit pas la surface. Tu peux prouver qu'il y a des points, aussi proches de l'axe des ordonnées que tu veux, qui ne sont pas "coloriés" par la fonction sin(1/x). Si elle ne colorie pas tout, c'est qu'elle n'est pas assimilable à une surface :)

[@falmircamion3534]

En réalité, ce qui fait qu'on remplit la surface, c'est le fait qu'on ne se contente pas d'augmenter la densité des lignes a chaque itération, mais qu'on le double à chaque fois. En effet si on ajoutait une ligne à chaque fois, le nombre de ligne resterait dénombrable. Mais par contre en le multipliant par deux, cela revient à ajouter un chiffre à la représentation binaire, et si le numéro de l'itération à l'infini reste quelque chose de dénombrable, une densité qui tend vers un nombre infini de chiffre quand l'itération tend vers l'infini, elle, tend vers quelque chose qui ne l'est plus. Et donc, pour faire une telle courbe qui se "transformerait" en surface au voisinage de il ne faut pas considérer sin(1/x) mais bien sin(2^-x) qui elle a bel et bien cette propriété.

[@Hipolay012]

Y-a un truc qui me taraude l'esprit, avec ces courbes limites, on peut faire des bijection de [0,1] par exemple dans R² a ce que j'ai compris. Et du coup ça pose pas de problèmes qu'on mette 2 espaces vectoriels (même si [0,1] n'est pas un REV) de dimension différente en bijection ?

[@le_science4all]

Bonne question ;)

[@Samuel-qn7kn]

Est-ce que ce n'est pas justement une façon de montrer que la cardinalité de [0,1] est la même que la cardinalité de [0,1]^2 ? (Donc la même que celles de R et R^2 aussi.)

[@VG____]

[0, 1] et tous les R^n ont la même cardinalité, le fait qu'il existe des bijections entre eux ne pose pas de problème car la notion de bijection n'a rien de "respectueux" de la topologie/dimension de ces espaces vectoriels. En revanche je pense que la notion que tu cherches est celle d'homéomorphisme qui elle respecte la topologie/dimension. Et en effet il n'est pas possible de trouver un homéomorphisme entre [0, 1] et le carré. La courbe de Hilbert est une quasi-bijection continue mais n'est pas un homéomorphisme car son inverse n'est pas continue.

[@flutterwondershyyay8255]

Comment on fait pour colorier un espace non pas de dimension n mais de dimension infini?

[@Moinsdeuxcat]

En dimension indénombrable, c'est clair que ça n'est pas possible (car (2^aleph0)^(2^aleph0)>2^aleph0 donc une courbe ne peut pas remplir R^R) Pour la dimension dénombrable, je pense que c'est possible et probablement pas très compliqué mais j'ai pas de construction sous la main Edit : je ne suis pas sûr que ce soit vrai. Si f continue et surjective va de [0,1] dans l'espace E des suites à support fini à valeurs dans [0,1], alors E=f([0,1]) est compact, ce qui est absurde (cf Riesz). Un ami m'a dit qu'il lui semble qu'il existe des courbes de Peano dans tout compact convexe métrique. À vérifier.

[@le_science4all]

Question difficile en effet... J'ai l'impression que ça dépend de la topologie de l'espace de dimension infinie et de l'existence d'une base (et donc de l'axiome du choix)... Je vais y réfléchir :P

[@MagicSerwyn]

Le Cardinal de R^N est le même que le cardinal de R, il existe donc une bijection dans un espace de dimension infinie. En construire une continue n'est probablement pas trivial.

[@nathanbonin8851]

Un truc me semble bizarre, si on peux faire une courbe qui rempli l'espace, en paramétrant la courbe tu obtient une bijection entre R et R^2 ,(ce qui est impossible car ils n'ont pas la même dimension) non ?

[@le_science4all]

oui c'est bizarre =D

[@grot75]

La bijection répond à une question de cardinal (et R et R^2 ont bien la même cardinal, comme N et N^2 peuvent avoir le même aussi). La dimension est un autre domaine, pour lequel la bijection ne répond pas à la question. Dans le même ordre d'idée, il y a bien bijection entre ]0;1[ et R (par la tangente, par exemple).

[@pifmilou]

En effet, je confirme ce que disent les collègues : il y a une bijection entre le segment et le carré. C'est contre-intuitif, mais ils ont le même nombre d'éléments. En revanche, et j'espère que ça va te rassurer, on ne peut pas transformer l'un en l'autre de manière continue, en les déformant sans les découper, autrement dit ils n'ont pas la même forme. En langage mathématique, on dit qu'ils ne sont pas homéomorphes. La courbe de Hilbert montre qu'en déformant un segment, on peut obtenir un carré. C'est déjà assez choquant comme ça. Mais certains points de mon segment se retrouveront au même endroit sur le carré. Je peux donc pas faire l'opération inverse, c'est à dire retransformer mon carré en segment, sans le déchirer. Justement, comme tu l'as pressenti, pour une question de dimension. Et c'est quand même rassurant.

[@caragar855]

Ne jamais passer par la tangente pour donner une bijection entre ]0;1[ et R. Pk? Parce que la tangente n'est pas si facile que ça à définir. Pk? Parce que le cosinus et le sinus ne sont pas si faciles que ça à avoir. Une bonne définition est de passer par l'exponentielle complexe. C'est bien plus simple de prendre la fonction qui à x associe x/(abs(x)+1) qui va de R dans ]-1;1[ où abs(x)=max(x,-x)

[@sergioab207]

Merci pour cette vidéo. peut on envisager une relation d'ordre dans le carré ou dans le plan?

[@marjoriehegyes7197]

Salut, est-ce que tu peux préciser ta question? Je ne suis pas sur que ma réponse soit satisfaisante : Une relation d'ordre sur les réels c'est par exemple "inférieur ou égal". On peut faire un équivalent dans le plan en faisant d'abord "inférieur ou égal" par rapport au X puis, s'ils sont égaux, "inférieur ou égal" par rapport au Y.

[@sergioab207]

Marjorie Hegyes en effet de la même façon qu'il ya une relation d'ordre total sur les reels ou sur (0;1)

[@jchristian3775]

Super vidéo comme d'hab, merci a toi. Je réagis juste sur les series de fourier, parce que pour moi non plus ca à jamais était super clerc, mais on m'a montré une petite application en flash qui ma vraiment aidé a visualiser le truck, et du coup voilà le lien pour ceux que ca intéresse : www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Elec/Fourier/fourier1.html

[@le_science4all]

Mais c'est méga-génial comme application flash ! Merci beaucoup pour ce lien !

[@AlainNaigeon]

Il semble qu'on ait une correspondance entre une configuration binaire 0, ..... et un point dans le carré. Or les décimales 0 ou 1 ne peuvent qu'être en nombre infini *dénombrable*, comment cela peut-il correspondre aux points d'un ensemble RxR ??

[@VG____]

Les nombres réels ont un nombre infini dénombrable de décimales, cela n'empêche pas R d'être indénombrable.

[@chkone007]

Un informaticien dirait que les décimales binaires, sont l'adresse des nodes du QuadTree (Comme c'est un QuadTree c'est 2 bits par "routages")... En traitement d'image on aime bien stocker les images suivant la "Z-order curve", et non en matrice (liste de ligne). en.wikipedia.org/wiki/Z-order_curve De cette manière des groupes de pixel 2x2 (quelque soit l'échelle) sont contigües en mémoire et ca c'est badass (surtout pour l'optim d'acces mémoire), on peut faire sur la carte graphique des gradients locaux "gratuitement", ce qui est bien pratique pour faire des edges detections ou autre. Les courbes de Hilbert sont aussi fun pour la compression, un de mes papers préférés: www.cs.tau.ac.il/~matias/papers/eg2000.pdf Avec de la génération de space filling curve en fonction des données, pour avoir les infos qu'on veut contigüe en mémoire et c'est c'est de la compression parfaite (moins d'entropie dans les données etc...) :) On fait aussi des belles impressions en dittering avec: citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.151.2211&rep=rep1&type=pdf Dans un domaine connexe aussi dans l'impression 3D (même si c'est pas vraiment des space filling curve): irc.cs.sdu.edu.cn/CFS/

[@ThomasGodart]

Cette courbe de Hilbert est intéressante et on peut l'étudier, mais bien sûr, comme presque tout ce qui touche à l'infini (de près ou de loin !), il est faux de penser qu'elle peut réellement colorier avec un trait (de dimension 1) une surface de dimension 2 (à l'évidence !). Démonstration : soit (a,b) la coordonnée du point qu'on cherche à colorier, et (c) la coordonnée de ce point sur la courbe de Hilbert. Alors la quantité d'information que représente la coordonnée (c) elle-même, ne peut pas en aucun cas être inférieure à la somme des quantités d'information contenue dans les coordonnées (a) et (b). En effet, si ça n'était pas le cas, une bijection entre les 2 systèmes de coordonnées ne serait pas possible. Or elle est postulée, et on ne veut pas de contradiction. Et donc, pour tout point (a) ou (b) de coordonnées utilisant dans sa notation un nombre infini de décimales, comme presque tout nombre rationnel, par exemple 1/3 = 0.3333... , aucun point de la courbe de Hilbert ne correspond. Et pour un nombre de coordonnée irrationnelle, n'en parlons même pas. Il n'y a donc pas de bijection.

[@VG____]

Incorrect, la courbe de Hilbert donne bien une bijection du segment [0, 1] vers le carré et cette bijection a la propriété remarquable d'être continue. Ton raisonnement est valable pour toutes les étapes de la construction mais pas pour l'objet asymptotiquement obtenu.

[@Enderman117]

je suis au lycée et avec un niveau mathématique plutôt bas ^^'... mais tes vidéos me font aimer les maths, je trouve cela passionnant ( quand j'arrive à comprendre ^^ ) merci beaucoup !!

[@aetuom2996]

pareil

[@ScientyProf]

Le problème est que les maths deviennent plus intéressants après le lycée, une fois que l'on possède les bases pour les comprendre je trouve.

[@Enderman117]

mais j'arrive pas avec les bases ;-;

[@ScientyProf]

Il faut le voir comme des jeux. Ce que j'utilise comme corrélation dans mes videos. Les élèves font des efforts pour passer des levels dans les jeux videos alors qu'ils ont la flemme pour les maths. Du coup je prends les même codes et ils passent des levels dans l'année.

[@clemgrigri31]

Super vidéo comme d'habitude ^^ mais il y a deux problèmes (à mon avis): - si tu veux colorier toute la surface de la feuille tu dois juste colorier les atomes qui composent la feuille et donc l'infiniment petit à une limite (sauf si l'on prend la surface d'un plan, mais du coup à quoi ça sert ?) - la forme de base n'est pas assez performante à mon goût, je trouve qu'il y a trop d'espace entre les lignes. Et donc même si on duplique cette forme pour "repeindre" la surface, il y aura toujours les espaces entre les lignes. Exemple: c'est comme si on prenait la moitié de la moitié de la moitié... Alors qu'on pourrait prendre le huitième du huitième du huitième... En moins de duplication on recouvre plus de surface.

[@marjoriehegyes7197]

Salut, 1) Quand il parle de veille carrée, il parle de portion de plan cartésien. Il n'y a pas d'atome en jeu. C'est purement mathématique. Et la mine du crayon est un point (donc elle n'a aucune grosseur) 2) je pense qu'on ne s'intéresse pas à la vitesse de convergence vers la courbe qu'on désire mais juste à la méthode afin d'entre créer une. ;-)

[@yamyam98]

Pour l'espace entre les lignes justement il rétrécit à l'infini

[@clemgrigri31]

Ok je comprends, mais il y a un autre problème. Si on se place dans l'infiniment petit, dans ce cas si tu veux déplacer ton crayon pour recouvrir la surface de la feuille (crayon qui est lui aussi infiniment petit) il faudrait une infinité de temps, en effet si l'on voit le crayon se déplacer (même au bout d'un siècle) alors ça veut dire que l'infiniment petit à une limite, parce que recouvrir du fini avec quelques choses d'infiniment petit est impensable :)

[@marjoriehegyes7197]

Alors oui, t'as partiellement raison mais on se permet quelque chose dans la vidéo : On rectifie le temps de parcourt (qui reste l'intervalle [0;1] en seconde) en augmentant la vitesse de parcourt. Ca permet de garder un temps fini mais la vitesse de parcourt de la courbe finale est infinie. (le chemin est continue mais pas différenciable)

[@ludovicb6057]

dites moi si je me trompe (mes cours de prépa sont très loin et j'ai oublié pas mal de vocabulaire mathématique). Bref. Est-ce que cette courbe de Peano, ou d'Hilbert ne prouve pas qu'il existe une bijection entre un segment et un carré et que donc un segment et un carré sont topologiquement équivalent ? Ou bien qu'il existe une bijection entre [0,1] et [0,1]x[0,1] ? Si j'ai bien compris la fin de la vidéo, on peut étendre la courbe de Hilbert non plus au simple carré, mais au plan infini tout entier. Et alors il y aurait une bijection (ou homéomorphisme) entre une droite et le plan. Quid de la dimension dans ce cas ? il me semblait que si il existait un homéomorphisme entre deux espaces topologiques, la dimension était conservée. mais la droite est de dimension 1 et le plan de dimension 2... ou est mon erreur ? si j'en ai pas fait alors 1=2, CQFD :p

[@marjoriehegyes7197]

Pour qu'il existe un Homéomorphisme ici il faut que la bijection réciproque soit continue. Je ne sais pas si c'est le cas ici... ;-) Ce qui est sur c'est que la fonction n'est pas différentiable.

[@ludovicb6057]

Merci pour cette réponse. J'ai un doute sur les termes "bijection réciproque" et homéomorphisme, mais comme je ne maîtrise pas (plus?) ces termes, je vais les mettre de côté. Pour en revenir à ce qui me perturbe le plus, à savoir cette histoire de dimension, il est dit dans la vidéo que pour tout point du carré, il existe un nombre t compris entre 0 et 1 qui le positionne sur la courbe de Péano. Autrement dit, n'importe quel point du carré est décrit parfaitement avec un seul paramètre. Donc le carré serait de dimension 1... Et puisque c'est généralisable au plan tout entier, celui ci serait aussi de dimension 1 (avec pour paramètre t compris sur R au lieu de [0,1])

[@marjoriehegyes7197]

Une bijection est une fonction qui peut être inversée (ie qui fait correspondre point par point 2 ensemble). Une réciproque est la correspondance inverse d'une fonction entre 2 ensemble. (ici je ne sais pas si elle est continue) Non, justement la dimension d'un espace n'est pas définit par existence d'une bijection, même si elle est continue. Les ensembles R et R^2 ont le même cardinal mais pas la même dimension! ;-)

[@mathieuaurousseau100]

Cette histoire d'égalité des dimension ne vaut que c'est l'application est linéaire, ce qui n'est clairement pas le cas de l'application donnant la courbe de Péano.

[@ludovicb6057]

Oui tout à fait. D'ailleurs la courbe de peano est fractale. Et si on calcul sa dimension fractale (ce que je ne sais pas faire, mais Lê l'a fait dans une autre vidéo) on tombe sur 2. Ce qui correspond au fait que la courbe de peano recouvre tout le carré.

[@eniotnayssaneb3442]

du coups si j'ai bien compris le point pris au hasard dans le carré sera désigné par une un nombre en base deux mais avec une infinité de décimales ?

[@VG____]

Correct. Autrement un nombre réel entre zéro et un.

[@grot75]

Bonjour, Il y a d'autres courbes qui remplissent tout le carré [0;1]^2. Celle où tu ne prends que la droite y=x. Puis tu réduis, par 9, et tu construis ensuite un chemin de (0;0) à (1/3;1/3), puis de ce point en ligne droite vers (2/3;0), puis de ce point vers (1;1/3), puis de ce point vers (2/3;2/3), puis de ce point vers (1/3;1/3), puis de ce point vers (0;2/3) puis vers (1/3;1) puis vers (2/3;2/3), puis vers (et enfin) (1;1). Et tu recommences (je décris les étapes 0 et 1). Ça doit ressembler à la courbe de Peano, vu que c'est avec des neuvièmes (et donc des puissances de 3), contrairement à celle du Hilbert, qui marche avec des quarts (et des puissances de 2).

[@f-trt]

ce ne serai pas les début de la découverte des fractales ?

[@le_science4all]

La réponse dans l'épisode de demain ;)

[@theanonimus7549]

@@le_science4all Je suis me seule à trouver ça débile ? Enfin par construction, dans le premier motif il y a un écart entre les traits et on va reproduire ce motif à côté de lui même on va donc jamais passer sur les points entre. Ça serait comme dire qu'en divisant la distance entre les ponts par l'infini, on va obtenir 0, bah ouais ok si tu considères que l'image de l'infini est égale à la limite et bah à ce niveau-là, pas besoin d'ecrire du temps en base 2 C'est ouf mais dans cette série de vidéo j'arrive jamais à savoir si c moi qui suis complètement con où s'ils font vrmt n'importe quoi avec l'infini Édit : Alors admettons que le fait qu'à l'infini une courbe devienne un point, que toutes les distances sont égales à 0 et que donc par conséquent un carré et même le plan et même l'espace est égale à un point et que ça ne nous choque pas, on part du principe qu'on à un temps avec des décimales (binaire certes mais peu importe) suffisamment nombreuses pour qu'un carré (vu qu'il divise et qu'à chaque fois ça donne des carrés plus petit) finisse par être égale à un point bon ok un point c un carre de côté 0 et puis c l'infini donc ça passe... L'infini? Dans un temps entre 0 et 1... Sauf qu'entre 0 et un y'a une infinité de nombre, il te faudrait donc une infinité de temps pour touts colorier CA VEUT DIRE QUE SI T'AVAIS COMMENCÉ AU BIG BANG T'AURAIS MEME PAS FINI NI MEME COMMENCÉ D'AILLEURS Donc ok c une joli courbe qui a des propriétés chouette pour coder des images mais bon c pas une raison pour prêter des super pouvoirs à l'infini... Alors ok chuis au milieu du lycée et g pas un master en maths mais enfin qu'on m'explique alors comment à un moment on peut trouver ça vrai Édit : g copier coller un commentaire que g posté sur la vidéo du coup des fois je dis "il" en parlant de toi mais j'aimerais vrmt avoir une réponse et g vrmt l'impression que je n'en aurai jamais en postant un simple commentaire alors je met ma réponse ici où tu as déjà répondu

[@morgancaptain9948]

Je m’abonnerais quand j'aurais finis mes études hein ! Allez à plus !! xD

[@juggernauthh9051]

j'ai l'impression que vous avez oublié vos remarques concernant cauchy et la rigueur.... je suis d'accord que l'on peut représenter ces deux courbes au n^{ième} rang, mais les imaginer au rang infini n'a pas grand sens! comment définir rigoureusement d'un "rang infini" si ce n'est en terme de limite? même si dans ce cas précis vos arguments de "vitesse" me laissent penser à une convergence presque partout; (au moins) de f_n(t); mais ce type de convergence n'est pas suffisant pour une suite de fonction (d'autant que la limite est assez empirique et liée aux décimales; ne serait-ce que donner "l'équation" de f_n me semble impossible a la main). a mon sens ces idées sont une généralisation absurde du questionable axiome du choix: "on peut faire une infinité de choix en une étape" qui devient "on peut faire une infinité d'étapes en une étape" (en doublant la faute d'une complexité exponentielle: une fonction définie sur un non dénombrable de cas particuliers à l’infini, c'est embêtant pour une suite). sans compter les qualités que cette courbe gagnerait/perdrait ... 2^{n+1}*f_n(t) ne sera jamais un couple d'entrier (ou 3^{n+1}): mais à l'infini on s'en fout on se retrouve avec des 0.jhfkddgykgdykdgyddkg111111111111111111111... qu'on refuse d'arrondir a la valeur qui lui est égale; ou cette série de mesure nulle (mesure borélienne de R^2) devient en limite de mesure 1 ; et bien d'autres... en tous cas merci pour vos vidéos,sans etre exhaustives ni ultrarigoureuses (vulgarisation oblige), m'ont toujours appris des choses! continuez le bon travail! mais si vous me pardonnez l'outrecuidance de vous proposer un conseil,, considérez des vidéos "hors-série" (comme el-jj)pour approfondir les sujetsde facon plus formelle (j'ai senti que ca vous démangeait dans certaines vidéos)

[@le_science4all]

Pas besoin d'axiome du choix. La courbe de Hilbert est très constructive. Il s'agit d'étudier la convergence uniforme des fonctions continues f_n : [0,1] -> [0,1]^2 vers une fonction f. En utilisant la base 2, on a même une façon très précise d'encadrer la localisation de f(x) à partir d'un encadrement de x.

[@marcvanrenterghem5468]

Il y a que moi que ça choque la complexité du truc alors qu'il suffirait de monté et descendre le crayon en décalant de 1 point sur le coté à chaque itération... Je pense que tu as oublié d'expliquer quelque chose pour mieux comprendre l'utilité de cette forme de dessin.

[@eniotnayssaneb3442]

cela marcherait si les points avaient une taille or on parle ici de points mathématiques qui n'ont pas de taille, 0 décaler ta courbe d'un point mathématique est donc un contresens, tout comme parler d'un nombre réel majorant un intervalle ouvert ou encore le point juste à côté d'un autre sur une droite

[@LesCrocsSepulcraux]

c est un diapason l objet de ta vidéo 3/4 anglais dont tu parles ?

[@sebounart3068]

Cet épisode est t-il un hommage caché au format JPEG ? Les courbes de Peano et de Hilbert ressemble à un parcours en Z pour le codage et la compression des parties de l'images (fr.wikipedia.org/wiki/JPEG#Codage.2C_compression_RLE_et_Huffman) suivi d'une variante de la transformée de Fourier qui est la transformée en cosinus discrète (fr.wikipedia.org/wiki/JPEG#Transform.C3.A9e_DCT).

[@alainrogez8485]

Merci pour cette vidéo. Je n'ai pas lu tous les commentaires (déjà près de 80) mais peut-on parler d'écriture décimale (par définition de base 10) pour une base 2 ? Ce n'est pas vraiment une question mathématiques mais plus de français. ;)

[@le_science4all]

Oui je me suis posé la question au moment d'écrire le script. Je pense qu'à défaut d'être très juste, c'est ce qu'il y avait de plus compréhensible pour le viewer moyen...

[@arnaudgaborit40]

C'est beau.

[@viviviontheway]

c'est moi ou les premières et dernières lignes sont 2X plus courtes? :/ faudrait pas que ca touche le bord pour que le concept soit juste?

[@regivanx]

Ce raisonnement me parait incorrect. À chaque étape de construction de la courbe de Hilbert, la taille du motif de base est divisée par quatre. Qu’à cela ne tienne, effectuons un zoom x4 sur la figure, de telle sorte que la taille du motif de base nous apparaisse identique. Construisons maintenant la courbe de Hilbert en répétant l’opération à l’infini, tout en prenant soin de compenser exactement la réduction du motif initial par le zoom correspondant. Que se passe-t-il alors ? La taille du carré contenant la courbe de Hilbert nous apparaît infinie. Mais la taille du motif de base reste toujours la même, et a fortiori ne recouvre pas toute la surface du plan. D’aucuns diront que « zoomer sur la figure » n’est pas une véritable opération mathématique, mais c’est justement le point fort du raisonnement. En zoomant, nous avons simplement changé notre point de vu sur la figure, mais nous n’avons pas changé la figure elle-même. Et en observant la figure de ce point de vu, nous voyons bien qu’elle ne recouvre pas toute la surface : nous pouvons désigner des points, et même une infinité de points qui ne font pas parti de la courbe de Hilbert, mais qui font pourtant partis du plan. Mathématiquement, la question se pose ainsi : est-il vrai qu’une courbe qui s’approche infiniment d’un point finit toujours par l’atteindre ? En ce qui concerne la courbe de Hilbert, je ne crois pas que ce soit le cas. Par exemple, le point central de la figure ne sera jamais atteint. (N’hésitez pas à démonter mon raisonnement s’il vous parait faux…)

[@marjoriehegyes7197]

Reference : Wikipedia (Espace Complet/quelques théorèmes) On peut montrer que l'ensemble des fonctions de [0;1] dans R^2 munie de la convergence uniforme est un espace complet et on peut aussi montrer que dans notre cas, la suite de fonction (parmétrisation) est une suite de Cauchy dans cet espace, donc elle converge. En outre, elle converge forcément vers une fonction continue à cause de la convergence uniforme de fonctions continues. Dans ton raisonnement, il y a un problème : Quand tu zoom à chaque étape de la construction, il est évident que des trous apparaissent de plus en plus grand. Mais si tu prends juste la courbe finale (la "courbe limite"), il n'y aura aucun trou à la fin de zoom infini. L'espace R^2 entier sera recouvert. Et il est vrai qu'à chaque "zoom*2" on verra la même chose que précédemment.

[@regivanx]

à chaque étape, je peux montrer que le zoom neutralise la réduction du motif initial. Par récurrence, je peux montrer que le zoom neutralise la réduction à toutes les étapes; que le nombre d'étapes soit fini ou infini, cela ne change rien à l'affaire. Avec le zoom, la taille apparente du motif est: 1 × (4/4) × (4/4) × (4/4) × (4/4)... C'est à dire: 1 × 1 × 1 × 1 × 1... Donc ce produit serait égal selon vous à... zéro? Notez que ce que je fais, c'est juste changer d'échelle en observant la figure de plus en plus prêt: la figure elle-même n'est pas modifiée.

[@marjoriehegyes7197]

Personnellement, je ne comprends pas le problème que tu poses. (Si tu prend un plan infini et que tu zoom dessus, tu retrouves le même plan infini. Non?)

[@regivanx]

Je ne suis pas un expert en mathématique, aussi je ne sais pas exactement comment rendre mon raisonnement rigoureux. Mais je pense qu’il est juste. Pour modifier la taille apparente d’un objet, vous avez deux solutions : _ soit vous effectuez un agrandissement ou une réduction, auquel cas vous modifiez effectivement l’objet lui-même, _ soit vous modifiez l’échelle ou le niveau de zoom, auquel cas vous modifiez la mesure de l’objet, mais pas l’objet lui-même. Cette dernière solution consiste par exemple à mesurer la taille d’un même triangle avec une règle 4x plus petites. Au niveau de la mesure, les deux solutions sont équivalentes, mais au niveau conceptuel, elles sont très différentes. Si vous placez un deuxième triangle à proximité du premier, dans la première solution, seul le premier triangle sera agrandi, l’autre restera identique ; tandis que dans la seconde, les deux triangles seront mesurés plus grands, du fait du changement d’échelle. (à noter que cette distinction n’a rien d’original : on la fait en SVG par exemple.) Mais comme la mesure est une propriété extrinsèque à l’objet (c’est seulement une propriété du référentiel), elle ne devrait pas modifier les propriétés intrinsèques de l’objet, comme le fait d’être continu ou discontinu, une ligne ou une surface. En particulier, le fait qu’en modifiant l’échelle, on peut montrer que la courbe de Hilbert ne couvre la surface à aucune étape, pas même à l’étape infinie, prouve selon moi que cette courbe ne recouvre la surface en aucune manière. À moins d’admettre un double standard : à certaines échelles, la courbe recouvre toute la surface, mais à d’autres, non. Ce qui est contradictoire…

[@marjoriehegyes7197]

Salut! Il faut faire une grosse distinction entre les courbes à chaque étape et la "courbe à l'étape infinie" (comme tu l'appelles). Les courbes à chaque étape laissent des trous énormes. La courbe à l'étape infini ne laisse plus aucun trou à l'intérieur du carré! Et ce à n'importe quelle échelle de n'importe laquelle des façon (1 ou 2) que tu prends. La preuve vient du fait que si on prend n'importe quel point du carré, on trouvera un temps t bien défini pour lequel la courbe passe par ce point. (c'est fait dans la vidéo) C'est un résultat complètement non-intuitif mais il est rigoureux mathématiquement. Il y a vraiment moyen de prouver l'existence de cette courbe et de montrer qu'elle remplit le carré en entier.

[@amaurylorin38]

+Science4All (français) La fonction qui divise tout nombre réel en 2 en prenant un chiffre sur deux du premier nombre et utilise ces deux nombres comme coordonnées d'un point devrait elle aussi remplir tout l'espace puisque tout point est défini par deux coordonnées qui peuvent être réunies pour former un unique réel (enfin je crois), non?

[@le_science4all]

+amaury lorin oui ! Mais cette fonction n'est pas continue:)

[@etiennedhinaut1358]

donc il y a autant de point sur un segment de longueur 1 que sur un hypercube de côté 1 et de dimension n ?

[@marjoriehegyes7197]

Oui. C'est le meme cardinal de point. pour n=2, il y avait une fonction quasiment bisjective qui est pare exemple: 0,65743213982... donne (0,673192... ; 0,54238...) Elle prend un nombre sur le segment [0;1] et en extrait un couple de nombres (en prenant un chiffre sur 2 à chaque fois). C'était une démonstration assez ancienne mais là on fait beaucoup plus avec la fonction de Hilbert... on fait une correspondance continue! et Ça c'est encore plus étonnant!

[@ryukytp]

personne ne le dit mais gros GG pour les montages (mine de rien ta passer 4 a 5 heur juste pour les "graf" )

[@Ninjatrout111]

Pourquoi est-ce qu'une courbe qui part en dans un coin et qui fait le tour couche par couche (comme le jeu de l'oie si vous voyez) ne peut pas simplement etre utilisée ?

[@VG____]

Parce que la suite des jeux de l'oie de plus en plus poussés n'est pas une suite de Cauchy et donc ne convergerait pas.

[@youssef5666]

il me semble qu il y a confusion entre limite et valeur exact surtout quand le limite est infini et ca pose des questions qui n ont pas de reponse ou alors des reponses qui contredise la coherence de l ensemble tout comme la fleche de zenon il y a forcement une erreur a la limite car on joue avec plusieurs infini (nb de point/temps/distance) questions quelle est la surface d un point ? quelle est la distance entre 2 points contigus quelle surface colorie t on a la 1er etape et plus generalement a la n ieme etape ? on connait a la rigueur certains points de la surface de facon sure (genre le 1er et le dernier) mais a la limite quel est le 2 ieme point ou bien l avant dernier pour en revenir a une autre video 0.999999... est t il egal a 1 ou strictement plus petit ? alors biensur le raisonnement marche tres bien a nos echelles (exemple pour l informatique) mais il y a un grand danger a estimer que c est vrai a l infini ca peut meme etre vrai en physique si on va jusqu au longueur de planck mais les math se foutent de l univers et des lois physique qui le regisse si les lois mathematique qui en decoule brise la coherence de l ensemble

[@youssef5666]

ou alors on abouti a des incoherence genre 0=infini

[@VG____]

Quelques réponses: - un point a une surface nulle - deux points contiguës je doute que ça existe, as tu un exemple? - a chaque étape, la surface de la courbe est nulle - la surface de la courbe limite est exactement le carré donc un

[@ilovekog]

Cest vrai que je viens de me poser la question, pour les frontieres entre les carrés, si c'est une seule ligne a quel carré appartiennent ses points? Si cest deux lignes "collées" sa reglerait le probleme mais si on peut tjrs trouver un point entre deux droites paralleles non confondues alors je vois pas comment lever cette indetermination ^^

[@marjoriehegyes7197]

Salut. En fait la courbe de Hilbert est, en effet, très très dure à imaginer toute seule. Cependant, pour la trouver, on est pratiquement obligé de passer par une suite de courbes. Ses courbes sont des paramétrisations continue d'un intervalle [0;1] dans le carré. Ca n'est pas expliqué dans la vidéo mais il y a moyen de prouver (c'est une histoire de complétude d'espace... si tu veux plus de référence je peux t'en donner) que la suite de courbe tend bien vers une courbe qui existe ET qui est continue. Et en plus de ça on peut montrer que tous les points qui étaient approchés par les suites successives appartiennent à la courbe finale. Même si on a du mal à se la représenter, il est expliqué dans la vidéo que tous les points du carré appartiennent à la courbe de Hilbert et qu'on peut aussi lui attribuer le moment où il est atteint. Il est très difficile de se représenter la courbe car le crayon va à une vitesse infinie à tous les moments ;-).

[@VG____]

Tu as mis le doigt sur le fait que la courbe de Hilbert passe plusieurs fois par les points appartenant aux frontières entre les carrés comme tu dis. Ce n'est donc pas vraiment une bijection mais une surjection. Néanmoins c'est plus un détail et on l'ignore dans sa vulgarisation. Il existe une astuce pour obtenir une vraie bijection mais elle complique un sujet déjà pas trivial.

[@thibaut6519]

9:07 ça ressemble à l'écran de veille "canalisation 3D" de Windows XP 😱

[@davutsauze8319]

Pourquoi cette emoji? C'est juste une coïncidence, détend toi

[@thibaut6519]

@@davutsauze8319 😂

[@Tchopane]

Pas mal mais tu passes beaucoup de temps sur des choses qu'on voit venir de loin (typiquement le fait que tu arrives toujours à trouver un encadrement de t) et moins de temps sur expliquer pourquoi le fait d'obtenir toujours des encadrements de t dans des carrés de plus en plus petits implique qu'on sait que t est exactement la limite de ces carrés emboîtés. Le théorème des carrés emboîtés ? :) Sinon dans 'ensemble je trouve que la qualité des vidéos s'améliore au fil du temps c'est cool.

[@vernement4752]

Tchopane Je pense que tu l'as dit toi même, un "théorème des carrés emboités", en appliquant le théorème des segments emboités sur la longueur et la largeur ;)

[@marjoriehegyes7197]

Salut. Pour un point donné, tu peux donner une écriture de "t" et une seule (à part peut être pour un certain nombre négligeable de points). si tu regarde le crayon au moment "t" que tu as trouvé, tu tomberas forcément sur le même point (car 2 points différents ne peuvent pas donner le même "t" par construction). C'est satisfaisant comme réponse?

[@Tchopane]

Non ce n'est pas satisfaissant, je sais bien que pour n'importe quel t dans [0, 1], on peut trouver un carré qui le contient, et même une suite de carrés qui le contient et qui s'emboîtent, mais toute la subtilité de la chose réside justement dans ce théorème des segments emboités version 2D, ça aurait été utile de mentionner le nom du théorème et d'en donner la démonstration dans les grandes lignes.

[@marjoriehegyes7197]

En fait la preuve est simple mais un raccourcit est d'utiliser que l'espace R^2 est un espace complet. En fait comme R est le complété de Q (par définition), on peut dire que R^2 est le complété de Q^2. Ainsi, toute suite contenu dans un carré de plus en plus petit peut être comparée à une suite de Cauchy. Et cette suite converge bien vers un point car l'espace est complet. Là, t'es ok? :D

[@Tchopane]

Oui en effet c'est bien la complétude de R qui intervient mais ça aurait été bien de la mentionner au moins non ? :)

[@mickeilkeil]

tres bonne video tres sympa et instructif. .. par contre l accroche... instinctivement on ce dit qu il est pas,si dure de remplir un carré .... apres cette technique a l interet d etre demontrable.

[@noa29Enib]

En fait l'histoire de la courbe qui peut remplir une surface ne me choque pas plus que le fait qu'une infinité de point puisse faire une courbe. Si on assume l'une pourquoi l'autre doit être démontrée ? Peut-être que je suis à côté de la plaque, si c'est le cas je m'excuse ^^'

[@marjoriehegyes7197]

Salut, je me permet de dire juste que là on ne parle pas d'une infinité de courbes qui donnent un plan (ce qui serait l'équivalent d'une infinité de point qui donnent une courbe). En fait, il y a le même cardinal de point dans le plan que sur une droite mais il n'y a pas de courbe C1 (c'est à dire dérivable et de dérivée continue) qui puisse faire la correspondance entre un intervalle et un carré. Dans cette vidéo, ce qu'on présente c'est une correspondance entre une courbe et un carré qui soit C0 (c'est à dire continue). Et ça paraissait assez hallucinant vu que les ensembles sont de dimension différentes.

[@Solaris428]

oui car avec une infinité de courbes c'est plus simple je pense:on trace une ligne au milieu, puis dans chaque partie on trace une ligne au milieu de la partie, etc...

[@Cave-a-lier]

Étant donné qu'il est impossible de choisir un nombre au hasard, c'est impossible de vérifier, si?

[@Fumeal]

Je t'en supplie fait une vidéo sur les fractales !!

[@le_science4all]

Yep ! Et il y a aussi celle de MicMaths : kzbin.info/www/bejne/n3ekZJqVadKsfNk

[@romanjoseph2249]

C'est comme meme fou que cela ne marche plus sur une sphere... Ou sinon superbe video!

[@romanjoseph2249]

J'ai mal compris le probleme je crois. Petite question, a 6:55, dis-tu que la courbe de Hilbert est injective? Je pense que si c'est le cas, il y aurait un probleme. En effet continue, surjective et injective devrait creer un homeomorphisme de [0,1] sur [0,1]^2 ? Ceci n'est pas possible car si l'on enleve un point a [0,1] ce n'est pas connexe et si l'on enleve un point a [0,1]^2, c'est connexe...

[@MagicSerwyn]

il n'est pas garanti que le temps nécessaire à arriver au bout de la courbe soit fini, auquel cas on ne peut pas parler de l'intervalle de temps correspondant. La bijection entre R et R^2 est joli et claire, mais son analogie est-elle vraiment bien définie ?

[@marjoriehegyes7197]

Oui, on peut faire en sorte que la paramétrisation se face pour un temps entre 0 et 1. Cependant, la vitesse du crayon est infini. La paramétrisation est continue mais pas dérivable ;-)

[@Cave-a-lier]

► Plutôt que de considérer le trait de crayon, si on considère l'espace qui n'est pas parcouru par le trait de crayon ça marche aussi. . Du coup à l'infini les courbes colorient tout l'espace, et l'espace colorie lui aussi aussi tout l'espace? moi ça me dérange.

[@guillaumelecam6257]

mais les caractéristique de la courbe de hilbert sont les mêmes chez peano pas vrai?

[@le_science4all]

En gros, oui.

[@guillaumelecam6257]

ok merci

[@PolDellaiera]

Je pense (je peux me tromper) que la courbe de Hilbert est celle qui préserve le mieux la localité lors de la conversion 2D -> 1D et vice versa.

[@guillaumelecam6257]

je ne comprends pas ta remarque

[@lecubelecube8560]

J'ai quand même envie de parler d'un petit truc qui me vient à l'esprit, est-ce qu'on peut dire que la fonction f (x) = infini*cos(x/infini) de la même manière que les courbe de de l'épisode, colorie le plan ? je doute qu'on le droit de faire ça en maths mais bon !

[@le_science4all]

C'est une bonne idée. Mais a priori j'ai envie de dire non, ça ne marchera pas. Une formalisation de ton idée consisterait à écrire f_n(x) = cos(nx), qui a l'air de colorier beaucoup de choses : www.google.ch/search?sclient=psy-ab&site=&source=hp&btnG=Search&q=cos%282x%29&oq=&gs_l=&pbx=1#q=cos(1000x) Mais le problème c'est que pour chaque x, f_n(x) ne converge pas quand n tend vers l'infini, ce qui empêche de définir la "limite" des f_n.

[@arthurbelleville3641]

En fait tu montres que {k/2^n/ 0

[@michellambin429]

Moi pour colorier le carré, j'aurais fait des lignes de gauche à droite ou de haut en bas. Pourquoi ça marcherais pas comme ça ?

[@marjoriehegyes7197]

Je suis pas sur d'avoir compris mais dans les réels il n'y a pas de nombre qui suit un précédent. Par exemple, quel serait le prochain réel après 0,5? En fait il n'y en a pas car il serait si proche de 0,5 qu'il serait lui-même appelé 0,5. Ce qui veut dire que si tu fais un "trait vertical" (par exemple pour X=0,5), il n'y a pas de "trait vertical suivant". J'ai répondu à ta question?

[@marjoriehegyes7197]

Non, je ne dis pas ça. Je dis qu'il n'y a pas moyen de mettre un ordre sur les réels. Tu peux mettre un ordre sur un ensemble dénombrable (en choisir le premier, le deuxième ...etc et tous les faire) même s'il est infini! Mais tu ne peux pas faire ça avec les nombres réels!!! Donc tu ne peux pas, de manière constructive, remplir un carré avec une infinité (dénombrable car c'est une construction) de lignes verticale.

[@MagicSerwyn]

Le problème c'est qu''il te faut une infinité de ligne, une seule ne suffit pas. Du coup pour caractériser un point de ton carré tu dois donner la ligne sur laquelle il se trouve, et à quelle partie de la ligne il est. Ça fait deux nombres réels au lieu d'un seul. La courbe de hilbert n'est qu'une seule ligne, elle permet de décrire un point dans le plan avec un seul nombre.

[@noname8192]

Il te faudrait dessiner une infinité de ligne infiniment fine. Après, si t'imagines une ligne infiniment fine, la distance séparant cette ligne de la suivante devra être infiniment petite. Autrement dit, la distance séparant tes 2 lignes sera infiniment proche de 0. Au point que tes 2 lignes ne seront pas différentes. Et idem pour les lignes suivantes. Du coup, tu remplirais ton carré infiniment pas. C'est ce que veut dire Marjorie par "dans les réels il n'y a pas de nombre qui suit un précédent" et "si tu fais un 'trait vertical', il n'y a pas de 'trait vertical suivant'". En parallèle, tu peux te renseigner sur l'égalité 0.99999...=1 :) Dans le cas de Peano, le trait à beau être infiniment fin, le motif "couvre" une portion de la surface de ton carré. En prenant l'exemple du motif de Hilbert, en dupliquant le motif 4 fois, retournant les deux du bas puis en divisant la taille de l'ensemble par deux, on obtient un nouveau motif qui couvre une valeur plus précise de la surface du carré. Donc en en répétant ce processus une infinité de fois, tu obtiendra une valeur infiniment précise de la surface de ton carré. Au point qu'une valeur infiniment précise de la surface de ton carré est assimilable à la surface de ton carré.

[@MagicSerwyn]

C'est pas tout à fait ça. il n'y a pas de "ligne suivante" ça signifie que quand tu as parcouru une ligne, tu ne peux pas aller à la suivante parce qu'il n'y en a pas.

[@vincentbarreau1530]

Yop, Déjà super vidéos (je saurai pas trop quoi rajouter de plus ^^'). Dans cette dernière qui parle des courbes de remplissage on y voit que le cas ou l'on veut "remplir" un carré, mais Polya avait défini une courbe qui remplissait non pas un carré mais un triangle rectangle. Cependant, sans s'arrêter à la continuité d'une telle courbe (propriété presque "facile" à obtenir en se basant sur les travaux de Peano), il arrivait à montrer que cette courbe était de plus différentiable selon le triangle rectangle que l'on souhaite remplir (j'ai eu un beau mémoire de licence :D). Un petit papier de Peter D Lax explique certainement mieux ça que moi (www.sciencedirect.com/science/article/pii/0001870873901254), et je voulais surtout à la base demander, à quoi correspond cette propriété de différentiabilité pour une telle courbe ? Voilà voilà, encore bravo et merci pour la chaine, les vidéos, tout ça, merci si tu trouve le temps de lire ça :D

[@vincentbarreau1530]

Bien sûr si y'a quelqu'un qui saurai m'éclairer j'en suis fortement reconnaissant d'avance :D

[@le_science4all]

Je ne connaissais pas mais ça a l'air bien rigolo en effet... Je vais peut-être prendre le temps de lire tout ça ! Le prochain épisode parlera entre autres de la fonction de Weierstrass et j'expliquerai rapidement la non-différentiabilité d'une courbe.

[@marjoriehegyes7197]

C'est bien étonnant! Question 1 : Et on part bien du segment [0;1]? Question 2 : On a la diférentiabilité mais a-t-on la continuité de la dérivée?

[@vincentbarreau1530]

Oui on part bien de [0,1], on a une bonne définition de la courbe, la surjection dans le triangle tout ça tout ça Au niveau de la diférentielle (j'ai toujours eu du mal pour bien saisir les nuances entre différentielle et dérivée) on arrive à la faire tendre vers 0 pour presque tout x du segment unité dans le cas d'un triangle dont le plus petit angle est inférieur à 15° (un théorème de Borel montre que presque tout nombre est normal sur un intervalle de R, et en bossant avec la décomposition en "décimale binaire" d'un x normal de [0,1] on arrive au résultat) Après ça remonte à un petit moment et je me suis pas penché sur le sujet depuis ^^' aussi je t'invite à regarder de plus près le lien que j'ai intégré dans mon tout premier commentaire, c'est très calculatoire et il y a peu d'explications en détail mais les résultats restent (selon moi) cohérents Voilà voilà :)

[@marjoriehegyes7197]

Petit bémol... Il me semble me rappeler (et c'est tout à fait logique) que si on veut parcourir la courbe en un temps fini, la vitesse de notre crayon sera à tout moment infinie.

[@yamyam98]

Mais quand on parcourt la courbe, celle-ci est fixe (le motif ne se multiplie pas quand on parcourt la courbe ) non ?

[@marjoriehegyes7197]

On veut que le temps reste entre 0 et 1 donc on doit ajuster la vitesse du crayon afin que le temps soit conservé. À chaque étape on prend le motif, on le rétrécit de 2 fois (donc la distance est divisée par 2) et on en fait 4 copies (ce qui augmente la distance de 4). On en déduit qu'on doit, à chaque étape, faire 2 fois la distance précédente en un même écart de temps et alors la vitesse est doublée moyenne est doublée.

[@Gaby-xn5fw]

Je comprends le principe et j'imagine que si tu nous as présenté ce théorème c'est qu'il a du être validé. Mais il y a une chose ou j'ai du mal, c'est que tu dis toi même qu'au premier essai le motif 0 ne colorie pas du tout le carré. Or, le motif infini est composé d'une infinité de motif 0, et, pour moi, cette infinité de motif 0 peut être considéré comme une infinité de carré comportant le motif 0 (le carré du premier essai), et donc de carrés n'étant pas colorié du tout. Je sais que personne n'a idée de ce que représente l'infini, mais là où j'ai du mal c'est qu'on admet que (infini)*(petits carrés pas coloriés infiniment petit)=Un grand carré colorié en tout point. Sinon j'aime beaucoup tes vidéos, continue comme ça! :)

[@VG____]

Ce n'est pas parce tous les éléments d'une suite convergente partagent une même propriété que leur limite la partage aussi. Avec ton raisonnement, on pourrait conclure que comme tous les entiers naturels 1, 2, 3... sont chacun fini, alors leur limite (+infini) est donc finie. Avec cet exemple simpliste j'essaie juste de te montrer le problème dans ton raisonnement.

[@tisiphone535]

Merci de répondre à pourquoi ne pas utiliser une figure en serpentin ^^

[@VG____]

Car la suite des courbes obtenues ne serait pas une suite de Cauchy et donc ne convergerait pas.

[@Yosh1tcd]

En faite je me demandé un truc tes video sont destinés à quel publique pour les comprendre à 100% Est ce que tous le monde peut les comprendre ou c'est que sont qui font des études supérieures en maths ?

[@vladstatnike2314]

Yo 01/06 je pense qu'en regardant toute les vidéos d'une série et en ayant fait math jusque lycée tu peux comprendre (sauf pour les hardcore)

[@KahlieNiven]

vive les fractales :)

[@davutsauze8319]

Surprise: Il se trouve que la courbe de Hilbert, la courbe de Peano et la version 3D de la courbe de Hilbert ne sont pas des fractales Une fractale n'est pas vraiment quelque chose qui se répète à l'infini, c'est quelque chose dont la dimension n'est pas un nombre entier (oui ça existe), la courbe de Hilbert et de Peano sont en 2D et la version 3D de la courbe de Hilbert est en 3D... Alors ça ne veut pas dire que tout ce qui peut se mettre sur un plan est en 2D, par exemple le triangle de Sierpenski est en logarithm base 2 de 3 (environ 1,584962500721156)D C'est parceque quand tu *doubles* la longueur de la base du triangle tu multiplies par *3* le nombre de triangle

[@davutsauze8319]

Ah et oui funfact, les frontières de l'Angleterre est aussi une fractale

[@KahlieNiven]

@@davutsauze8319 Ton explication n'était pas très claire (et, pire ! Il manquait l'éponge de Menger). Trêve de plaisanteries, il existe bien une fractale basée sur la courbe de Peano (le motif appliqué sur chaque face d'un carré, puis, le même motif appliqué sur chaque segment de la nouvelle forme, etc). C'était l'objet de mon exposé en 4ème (houlala ça date ...) (l'objet était d'étudier une surface qui ne varie pas et un périmètre qui tend vers l'infini) ... cette fractale là n'a plus rien a voir avec la courbe de Peano, en tout cas sur la forme. (... on étudiait ce genre de truc à 13 ans ...)

[@leyopro]

je n'ai pas compris pourquoi il faut faire ces figures pour colorier entièrement un carré, on pourrait juste faire une infinité "zig-zag" tout en collant les lignes non?

[@leyopro]

Merci, je comprends déjà mieux ^^

[@falmircamion3534]

Pas tout à fait : Si au lieu de compter comme ça on fait aussi un système itératif dans lequel on double le nombre de zig-zag à chaque itération i, il me semble que quand i tend vers l'infini, le nombre de zig-zag, lui, tend vers un infini non dénombrable. (intuitivement, l'espace entre les lignes tend vers quelque chose dont la représentation binaire possède une infinité de 0).

[@VG____]

@@falmircamion3534 Ta construction a un sens mais techniquement elle ne donnera pas une suite de Cauchy et donc ne convergera pas. Pareil pour les itérations en serpentin ou jeu de l'oie.

[@triview129]

Pourquoi ne peut on pas diviser par 0 , ma théorie est que cela est possible et équivaut à une division par 1

[@paulbarbat1926]

On ne peut pas diviser par 0 car 0 est l'élément dit absorbant de la multiplication. 0×quelquechose = 0 pour tout quelque quelquechose appartenant à l'ensemble des réels. Or, la division est définie comme l'opération inverse de la multiplication. Multiplier puis diviser par le même nombre doit donner le nombre de départ. En gros, faire une division a/b cest trouver l'antécédent de a par la fonction f(x) = b*x, autrement dit trouver x tel que f(x) = a. Sauf que si tu prends b=0, la fonction qui arrive est constante, donc tu as 0, qui a une infinité d'antécédents, et cest tout. Comment tu choisis le BON antécédent de 0 parmi cette infinité ?

[@Chatkovski]

J'ai du mal à comprendre que la répétition à l'infini d'un procédé ne coloriant pas tout le plan à la base, puisse au final colorier tout le plan. Il restera toujours du blanc, son aire tend juste vers 0, non ?

[@chamb6509]

James Lehmann C'est le moment où on se rend compte qu'on a juste tendance à penser que l'infini est comme un nombre fini mais plus grand.... en fait l'infini c'est bizarre !

[@Chatkovski]

C'est une réponse satisfaisante, je dois l'avouer.

[@marjoriehegyes7197]

Salut! L'air restante est égale à 1 à toutes les étapes car une courbe très simple (constituée d'un nombre fini de segment) ne possède pas d'aire. Donc elle ne tend pas vers zéro. Cependant, la courbe "limite" existe! Il y a des théorèmes mathématiques pour le prouver et ça fait intervenir la "convergence absolue" de courbes continues. Puis, on peut prouver que tous les points (je sais pas si c'est pas presque tous les points car ça doit dépendre de la construction) peuvent être atteints par la courbe limite. Donc la courbe limite a une aire!!! (ce qui défi l'imagination!!!)

[@jchristian3775]

s'il est vrai de dire que ces courbes ont une aire alors elles ont une aire infini, ca veut dire qu'elles ont aussi un volume infini et meme un truck à n dimensions de taille infini (il a pas précisé pour une infinité de dimension mais y a pas de raison que ca marche pas) Mais ca veut peut etre juste dire que tous leurs points peuvent etre représentés sur ces courbes qui meme à l'infini n'ont pas d'aire...

[@marjoriehegyes7197]

La courbe présenté se trouve dans un carré et elle a la même aire que le carré (c'est à dire 1). C'est une "limite" de courbes d'aires nulles (ce qui est étrange). Elle n'a pas de volume car elle est sur un plan. Cependant, on peut généraliser le processus à n'importe quelle dimension fini donc on peut obtenir des courbes continues dans R^n qui on un certain "n-volume" ;-)

[@didierbienassis8646]

Il y a aussi la courbe de lebesgue...mais comment peut-on être à la fois courbe et surface (ou un volume à n dimensions)🤡...s'agit t-il d'un paradoxe...🤔...ce qui est sûr par exemple, c'est qu'une surface objet à deux dimensions ne peut-être une courbe objet à une dimension....mais le contraire est t-il valable...une courbe peut t-elle être une surface ? En fait il s'agit de fractales... 🤗...C'est pas pour autant qu'une courbe soit une surface...si on enlève un Point à une courbe,on obtient deux courbes....alors que si on enlève un point à une surface,cela reste une et une seule surface...🤡

[@fvcostajr]

ce ne serait-il pas plus naturel d'écrire en base 4 plutôt que base 2 ?

[@theanonimus7549]

Je suis me seule à trouver ça débile ? Enfin par construction, dans le premier motif il y a un écart entre les traits et on va reproduire ce motif à côté de lui même on va donc jamais passer sur les points entre. Ça serait comme dire qu'en divisant la distance entre les ponts par l'infini, on va obtenir 0, bah ouais ok si tu considères que l'image de l'infini est égale à la limite et bah à ce niveau-là, pas besoin d'ecrire du temps en base 2 C'est ouf mais dans cette série de vidéo j'arrive jamais à savoir si c moi qui suis complètement con où s'ils font vrmt n'importe quoi avec l'infini Édit : Alors admettons que le fait qu'à l'infini une courbe devienne un point (vu que la distance entre les deux traits verticaux du motifs 0 doit être égale à 0 sinon il existerait tjrs un point au milieu qui ne serait donc par construction pas colorier), que toutes les distances sont égales à 0 et que donc par conséquent un carré et même le plan et même l'espace est égale à un point et que ça ne nous choque pas, on part du principe qu'on à un temps avec des décimales (binaire certes mais peu importe) suffisamment nombreuses pour qu'un carré (vu qu'il divise et qu'à chaque fois ça donne des carrés plus petit) finisse par être égale à un point bon ok un point c un carre de côté 0 et puis c l'infini donc ça passe... L'infini? Dans un temps entre 0 et 1... Sauf qu'entre 0 et un y'a une infinité de nombre, il te faudrait donc une infinité de temps pour touts colorier CA VEUT DIRE QUE SI T'AVAIS COMMENCÉ AU BIG BANG T'AURAIS MEME PAS FINI NI MEME COMMENCÉ D'AILLEURS Donc ok c une joli courbe qui a des propriétés chouette pour coder des images mais bon c pas une raison pour prêter des super pouvoirs à l'infini... Alors ok chuis au milieu du lycée et g pas un master en maths mais enfin qu'on m'explique alors comment à un moment on peut trouver ça vrai

[@DanielBWilliams]

Bien sûr que si à un moment on va passer entre, pourquoi ne pourrait-on ? Quand on copie les motifs on va prendre un peu plus de place.

[@theanonimus7549]

@@DanielBWilliams on prend le 1er motif, on le recopie à côté de lui (donc ça le chevauche pas) puis le dernier symbole c globalement un carré avec un côté en moins donc ouias on va relier les extrémités mais pas l'intérieur et comme ce sont des carrés, le fait de les retourner ne va pas changé le fait qu'il ne se touchent pas et puis on va prendre ce nouveau symbole, le reproduire A CÔTÉ encore une fois de lui même, relier les extrémités et par conséquent les vides de l'intérieur ne seront jamais comblés

[@DanielBWilliams]

​@@theanonimus7549 Sauf qu'en réduisant la taille, on atteint des points que l'on atteignait pas avant. Comme il le dit dans la vidéo, en prenant n'importe quel point au hasard du carré, on peut déterminer à quelle étape il sera atteint.

[@theanonimus7549]

@@DanielBWilliams au delà de son argument qui repose sur un temps divisible à l'infini qui est purement impossible vu que admettons tu fait 1 point/seconde sachant qu'un point est défini par un carré tellement petit qu'il est devenu un point et que donc il a un côté de 0cm sachant qu'à chaque fois le côté du carré est divisé par 2 (on passe de 1 grand carré à 4 carré dont le côté et de fois moins grand, puis 16 etc... A chaque décimal en base 2) ce qui insinue qu'à un moment, à force de divisé par 2, tu trouveras 0 ce qui est strictement impossible SAUF à l'infini, ce qui veut donc dire que tu dois divisé indéfiniment le temps ce qui signifie qu'entre son 0 et 1, il y a une infinité de possibilités d'instant et donc de points par lesquels il faudrait donc TOUS passé OR si tu dois tracé pendant un temps infini, même si tu fais 1 point par micro-seconde depuis le Big Bang ce qui fait que cette courbe et certe très joli mais qu'elle est littéralement intraçable du coup bah une courbe intraçable bah en pratique, elle ne peut pas exister (même si ça ne l'empêche pas d'avoir de très belle propriété théorique)

[@DanielBWilliams]

@@theanonimus7549 Non mais l'idée c'est d'obtenir un objet limite, on a jamais dit qu'elle était traçable humainement parlant. Vous êtes familié avec le concept de limite mathématique ?

[@cdemr]

Pourquoi ne pas juste faire une ligne jusqu'a l'autre cote puis de tourner pour revenir au précédent côté et ainsi de suite pour finir le carré? Juste. Non ? XD

[@cdemr]

Mais bon la courbe de Hilbert m'a l'air plus pratique

[@VG____]

Si tu parles du motif en serpentin ou jeu de l'oie ça ne marche pas car la suite de courbes obtenue n'est pas une suite de Cauchy et donc ne converge pas.

[@matete2528]

K

[@yanoian3731]

Copieur, pas copiteur.... (2.30)

[@__harotile__4594]

C'était fait exprés

[@yannickdufil9739]

Ça fait quoi un quart d'infini ? Parce que pour dessiner le motif infini il faut un temps infini non ? Ou alors une vitesse de coloriage infinie. Ça fait bizarre = / Enfin, bizarre pour cette série de vidéo .... c'est un peu un pléonasme.

[@VG____]

Il faut soit un temps fini et une vitesse infinie, soit l'inverse. Dans l'exemple de la vidéo on est dans le premier cas.

[@freestylebrothers7283]

0,1 cest plus proche de 0 que de 1.

[@notkamui9749]

0.1 est plus proche de 0 EN DECIMAL, dans la vidéo il parle du système binaire (que des 0 et des 1). Or, en binaire, 0.1 est bien plus proche de 1 que de 0. Faut suivre mec... ._.

[@VG____]

Vous avez tous les deux tort et raison à la fois. 0.1 en binaire c'est 1/2 qui est exactement au milieu de 0 et 1 :-)

[@morgancaptain9948]

Je comprend rien !!! x)

[@davutsauze8319]

Bah si tu es pas bon en math et que tu te lances tout de suite sur des choses comme ça il faut pas t'étonner

[@morgancaptain9948]

@@davutsauze8319 Bah 3 ans plus tard après avoir vu les intégrales et transformée de Fourier, les notation en base 2 etc.. bah ça va mieux en fait...

[@kekeboss67]

Oui sinon pour remplir un carré il suffit de faire un trait en longeant un côté puis décalé à chaque aller retour, plus simple nan ??

[@Faxbable]

Gé-nie... 😯 Comment toutes ces générations de mathématiciens n'y avaient pas pensé avant...😂

[@Faxbable]

De deux choses l'une : ou bien ton "décalage", comme tu dis, a une certaine épaisseur, même extrêmement petite, et il restera tous les interstices à combler. Ou bien il est assez fin (et la *seule* possibilité est : d'épaisseur nulle sinon on se retrouve dans le 1er cas), et alors on ne décolle jamais du côté de démarrage, même après un nombre d'étapes infini. Il n'y a pas de solution intermédiaire avec ton procédé.

[@kekeboss67]

Fabien Ben honnêtement je me pose la question enfaite

[@kekeboss67]

Fabien Même question avec cette méthode, quel est l’épaisseur du décalage ? Dans la méthode proposé dans la vidéo il y a aussi le concept de « répétition à l’infini », alors ce truc que je propose ça peut aussi être des aller retour une infinité de fois avec un décalage infiniment petit

[@Faxbable]

SoloMan75 Non, ce n'est pas du tout la même chose ;) Avec la méthode que tu proposes, il n'y a que deux possibilités vouées à l'échec et pas (!!!) de 3ème intermédiaire ; "infiniment petit" ça n'existe pas ou en tout cas, ça n'a pas de réalité dans ce cadre ! c'est soit zéro (et on ne décolle jamais) soit supérieur à zéro (et il restera encore presque tout à remplir). Les procédés de Peano et de Hilbert sont fondamentalement différents de ta "solution" puisque tout leur génie consiste à remplir le carré de manière non linéaire ("ordonnée") en un nombre infini d'étapes, certes, mais qui fonctionne comme l'explique Lê dans la vidéo. J'insiste, avec ton procédé, soit l'épaisseur à chaque détour du crayon est nulle, et alors même après une infinité d'étapes, il n'y a que le côté de départ du carré qui est tracé et retracé et reretracé à l'infini ; soit l'épaisseur n'est pas nulle et alors après un certain nombre fini d'étapes (peut-être extrêmement grand si ton épaisseur est extrêmement petite), presque tout le carré sera encore vide (car l'épaisseur du crayon, elle est nulle). Infiniment petit n'a pas de réalité applicable dans une perspective linéaire : c'est soit zéro, soit strictement supérieur à zéro (peu importe à quel point c'est petit). Si tu veux, c'est comme si tu voulais énumérer TOUS les nombres compris entre 0 et 1 dans l'ordre. C'est impossible MÊME APRÈS UN TEMPS INFINI car il y aura forcément des trous. Et ce même si tu ne voulais énumérer que les rationnels (fractions d'entiers) de 0 à 1 dans l'ordre, ça reste impossible. (Par-contre il est tout à fait possible d'énumérer TOUS _après un nombre infini de "coups"_ les rationnels de 0 à 1 si on n'exige pas que ce soit fait dans l'ordre, mais l'ordre dans lequel le faire est un peu astucieux.)

[@julesp9]

L'infini mathématique n'existe pas.

[@DanielBWilliams]

Pourquoi dites-vous ça ? Vous en avez une preuve ?

[@julesp9]

@@DanielBWilliams Salut. je dis ça car on confond, dans les temps modernes, l'Infini et l'indéfini. Voici un texte de René Guénon tiré de son livre "Les principes du calcul infinitésimal" qui est tout a fait clair sur cette question importante. Le texte fait quelques pages et est tout a fait instructif. En voici une partie. Je serais heureux si vous pouviez me faire part ce que vous en pensez. INFINI ET INDÉFINI Procédant en quelque sorte en sens inverse de la science profane, nous devons, suivant le point de vue constant de toute science traditionnelle, poser ici avant tout le principe qui nous permettra de résoudre par la suite, d’une façon presque immédiate, les difficultés auxquelles a donné lieu la méthode infinitésimale, sans nous laisser égarer dans des discussions qui autrement risqueraient d’être interminables, comme elles le sont en effet pour les philosophes et les mathématiciens modernes, qui, par là même que ce principe leur manque, ne sont jamais arrivés à apporter à ces difficultés une solution satisfaisante et définitive. Ce principe, c’est l’idée même de l’Infini entendu dans son seul véritable sens, qui est le sens purement métaphysique, et nous n’avons d’ailleurs, à ce sujet, qu’à rappeler sommairement ce que nous avons déjà exposé plus complètement ailleurs: l’Infini est proprement ce qui n’a pas de limites, car fini est évidemment synonyme de limité ; on ne peut donc sans abus appliquer ce mot à autre chose qu’à ce qui n’a absolument aucune limite, c’est-à-dire au Tout universel qui inclut en soi toutes les possibilités, et qui, par suite, ne saurait être en aucune façon limité par quoi que ce soit ; l’Infini, ainsi entendu, est métaphysiquement et logiquement nécessaire, car non seulement il ne peut impliquer aucune contradiction, ne renfermant en soi rien de négatif, mais c’est au contraire sa négation qui serait contradictoire. De plus, il ne peut évidemment y avoir qu’un Infini, car deux infinis supposés distincts se limiteraient l’un l’autre, donc s’excluraient forcément ; par conséquent, toutes les fois que le mot « infini » est employé dans un sens autre que celui que nous venons de dire, nous pouvons être assuré a priori que cet emploi est nécessairement abusif, car il revient en somme, ou à ignorer purement et simplement l’Infini métaphysique, ou à supposer à côté de lui un autre infini. Il est vrai que les scolastiques admettaient ce qu’ils appelaient infinitum secundum quid, qu’ils distinguaient soigneusement de l’infinitum absolutum qui seul est l’Infini métaphysique ; mais nous ne pouvons voir là qu’une imperfection de leur terminologie, car, si cette distinction leur permettait d’échapper à la contradiction d’une pluralité d’infinis entendus au sens propre, il n’en est pas moins certain que ce double emploi du mot infinitum risquait de causer de multiples confusions, et que d’ailleurs un des deux sens qu’ils lui donnaient ainsi était tout à fait impropre, car dire que quelque chose est infini sous un certain rapport seulement, ce qui est la signification exacte de l’expression infinitum secundum quid, c’est dire qu’en réalité il n’est nullement infini. En effet, ce n’est pas parce qu’une chose n’est pas limitée en un certain sens ou sous un certain rapport qu’on peut légitimement en conclure qu’elle n’est aucunement limitée, ce qui serait nécessaire pour qu’elle fût vraiment infinie ; non seulement elle peut être en même temps limitée sous d’autres rapports, mais même nous pouvons dire qu’elle l’est nécessairement, dès lors qu’elle est une certaine chose déterminée, et qui, par sa détermination même, n’inclut pas toute possibilité, car cela même revient à dire qu’elle est limitée par ce qu’elle laisse en dehors d’elle ; si au contraire le Tout universel est infini, c’est précisément parce qu’il ne laisse rien en dehors de lui. Toute détermination, si générale qu’on la suppose d’ailleurs, et quelque extension qu’elle puisse recevoir, est donc nécessairement exclusive de la véritable notion d’infini ; une détermination quelle qu’elle soit, est toujours une limitation, puisqu’elle a pour caractère essentiel de définir un certain domaine de possibilités par rapport à tout le reste, et en excluant ce reste par là même. Ainsi, il y a un véritable non-sens à appliquer l’idée d’infini à une détermination quelconque, par exemple, dans le cas que nous avons à envisager ici plus spécialement, à la quantité ou à l’un ou l’autre de ses modes ; l’idée d’un « infini déterminé » est trop manifestement contradictoire pour qu’il y ait lieu d’y insister davantage, bien que cette contradiction ait le plus souvent échappé à la pensée profane des modernes, et que même ceux qu’on pourrait appeler des « semi-profanes » comme Leibnitz n’aient pas su l’apercevoir nettement. Pour faire encore mieux ressortir cette contradiction, nous pourrions dire, en d’autres termes qui sont équivalents au fond, qu’il est évidemment absurde de vouloir définir l’Infini : une définition n’est pas autre chose en effet que l’expression d’une détermination, et les mots mêmes disent assez clairement que ce qui est susceptible d’être défini ne peut être que fini ou limité ; chercher à faire entrer l’Infini dans une formule, ou, si l’on préfère, à le revêtir d’une forme quelle qu’elle soit, c’est, consciemment ou inconsciemment, s’efforcer de faire entrer le Tout universel dans un des éléments les plus infimes qui sont compris en lui, ce qui, assurément, est bien la plus manifeste des impossibilités. Ce que nous venons de dire suffit pour établir, sans laisser place au moindre doute, et sans qu’il soit besoin d’entrer dans aucune autre considération, qu’il ne peut y avoir d’infini mathématique ou quantitatif, que cette expression n’a même aucun sens, parce que la quantité elle-même est une détermination ; le nombre, l’espace, le temps, auxquels on veut appliquer la notion de ce prétendu infini, sont des conditions déterminées, et qui, comme telles, ne peuvent être que finies ; ce sont là certaines possibilités, ou certains ensembles de possibilités, à côté et en dehors desquelles il en existe d’autres, ce qui implique évidemment leur limitation. Il y a même, dans ce cas, encore quelque chose de plus : concevoir l’Infini quantitativement, ce n’est pas seulement le borner, mais c’est encore, par surcroît, le concevoir comme susceptible d’augmentation ou de diminution, ce qui n’est pas moins absurde ; avec de semblables considérations, on en arrive vite à envisager non seulement plusieurs infinis qui coexistent sans se confondre ni s’exclure, mais aussi des infinis qui sont plus grands ou plus petits que d’autres infinis, et même, l’infini étant devenu si relatif dans ces conditions qu’il ne suffit plus, on invente le « transfini », c’est-à-dire le domaine des quantités plus grandes que l’infini ; et c’est bien d’ « invention » qu’il s’agit proprement alors, car de telles conceptions ne sauraient correspondre à rien de réel : autant de mots, autant d’absurdités, même au regard de la simple logique élémentaire, ce qui n’empêche pas que, parmi ceux qui les soutiennent, il s’en trouve qui ont la prétention d’être des « spécialistes » de la logique, tellement grande est la confusion intellectuelle de notre époque ! 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