1+2+3+4+...=-1/12? What is Riemann hypothesis(1)

最近数学圈爆出一个大新闻
英国数学家阿蒂亚(Michael Atiyah)爵士
宣布自己证明了黎曼猜想
并将在9月24号的获奖者论坛上宣读自己的论文
因为阿蒂亚爵士是阿贝尔奖和菲尔兹奖的双料得主
世界顶级的数学家之一
而黎曼猜想又是150多年来没有人能够解决
但是又特别重要的数学猜想
所以这则新闻一出一下子就引爆了人们的神经
那么许多小朋友就问我说 黎曼猜想到底是什么呢
因为黎曼猜想的内容实在是太丰富了
所以我们一期内容没有办法讲完
我们准备用三期的时间给大家介绍一下黎曼猜想
那今天我们不妨先来解决一下
小朋友们以前一直在问我的问题
全体自然数的和到底是不是-1/12
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最美的数学公式是哪个？自然数是如何拓展出复数的？ • 最美的数学公式是哪个？自然数是如何拓展出复数...

[@TchLiyongle]

视频禁止搬运。 有字幕！

[@user-rw5tu9zb3t]

今天的內容很有深度，期待往後的兩期

[@BleachByakuya]

我不是中国学生，不是学中文版，所以有很多名词听不明白。可以提供英文版吗？

[@yijinwang892]

什么时候在b站发

[@user-gz6mr3fm5k]

感謝老師給我這種數學的觀念。數學看的人不多但麻煩繼續下去

[@zhangcheng8186]

英文字幕可以由用户自己添加。不知道李老师有没有兴趣，招募志愿者来添加英文字幕？或者插一点广告，然后用广告收入支付英文翻译的童鞋。

[@user-gg6hx6nk8o]

幫大家總結一下重點： 1.自然數的和是無限大的這件事是對的 2.數學家把自然數的總和換成比較好計算的公式，而這個公式算出來是負數 3.而數學家了解自然數的和不可能會是負數，所以在找為什麼這個公式會算錯 4.這個影片主要就是講解為何這個公式不能代表自然數的和，原因就是定義域的不同 5.自然數總和是無限大的(再提醒一次😂)

[@gaz95420]

除bug就是了

[@weiweiyang3306]

問題就是無限大的一半他直接算成無限大 兩個不同數各加無限大 再各減無限大 會一樣嗎？

[@begoniasuccess]

謝謝樓主整理

[@norrisleung666]

@@weiweiyang3306 無限+一個數還是無限, 負無限+一個數還是負無限

[@user-mz1pl2hs7p]

weiwei yang 無限加無限還是無限 負無限加負無限也還是負無限

[@huiwangterry]

除了知识和讲课技巧之外，李老师的口才也太好了！这么快的语速讲课、同时板书，这么短的时间里这么大的信息量，真是佩服。另外例子有趣生动，语言准确、简练、风趣、而毫不哗众取宠，点赞！

[@su5758]

我真的是膨脹了，連黎曼猜想都敢看了

[@pingenlin6272]

真的哈哈哈 我一類組的結果跑來看這個

[@user-kc4tl5yv8f]

一起膨胀

[@weichia0314]

哈哈哈哈😂一起膨脹吧⋯⋯

[@jh3543]

+1🤣🤣🤣🤣🤣

[@sohei1230]

証明你的數學進步了

[@marumaru4039]

已订阅了，李老师真的讲得很清晰明了，也拓展了很多知识。比我们的高数老师讲得好多了，很多知识是老师和教材不会讲的，或者是讲不清楚。

[@shunruzhang4237]

我大学的时候，高数的通过率是30%，不是很多人能弄懂高数。

[@Martin-ok1jm]

李老师的视频很好，跟公众解释有关数学的热点问题，很受益👍

[@ijibang7584]

老师太厉害了，3言2语就把古人的半生心血点破的明明白白，17分钟就打通了学子的脑袋，幸福了！

[@hook227]

李永乐老师 最強科普youtuber !! 把這麼難的東西講得清楚好懂，很不容易

[@12693f]

記得第一次看到1+2+3...=-1/12的時候覺得這在逗呢 但實際看過有人解釋後覺得有那麼一點道理 但又好像哪裡怪怪的 剛剛把整部影片看完了 原來就是定義域的問題 李老師的教學不會用過於艱澀的理論 讓廣大的網友都可以理解 受惠不淺 感謝老師

[@cmk105]

RUI TSU 看完後-1/12是自然數的和這件事不在這個時空之內，在虛數次元中！

[@googlejay7312]

自然数是无穷大的，自然数的和肯定也是无穷大的，如果自然数的和是一个确定的实数，那真是颠覆我的世界观了

[@user-kope]

RUI TSU 自律說的不錯

[@reck1esss164]

Google Jay 正因为这个级数不收敛 所以才不能用一般的思路去理解它的值

[@taochen7016]

定义域的限制性 ，其实也就可以辅助证明，哲人云：人不可能两次踏入，同一条河流 ！ 这句话的正确性。 同时为时间旅行，这一物理概念，提出了更严格的约定。简而言之 就算能超光速运行，但是回到的那个过去，并不是和离开时候的那个过去 完全一样。

[@Yanagita9]

幸好李老師替我解惑了，否則我真的無法接受全體自然數的和=-1/12這件事啊。

[@wildcoolorange]

谢谢李老师的视频！ 懂了不少，希望以后还可以看到

[@ken52037g]

李老師真的超級猛，釐清了我多年來對多項式的疑問。 我都忘了當初還需要定義多項式的有效半徑，難怪一堆牛鬼蛇神的級數和。

[@chen-kim9440]

精彩！还是挺浅显易懂的，支持李老师！也希望李老师能够多多介绍数学前沿方面的一些研究:)

[@user-ch4ki2nh7r]

所以我第一天欠1塊錢，第二天欠2塊錢，第三天欠3塊錢······一直延續下去，最後我是不是賺了1/12元?

[@kc9420]

是不是我不知道，但我覺得會被打

[@jiangzhe3814]

你好陈独秀

[@a8572069]

沒錯 你還賺了一頓免費的牢飯

[@Awu]

可是你沒有無限的壽命和給你無限的錢的人

[@zehansun1751]

子曰：不要这么皮。

[@lalitamoon9212]

感谢老师，坐等下集🤓🤓

[@zhoujinpei]

剛剛把香蕉吃完了，等一下要去買來配著下一集吃。 李老師講課功力實在強大，流暢清楚引發學生興趣，學生有興趣了自己去深入探究。

[@matoahsteven5546]

开开心心进来，一脸懵逼出去！

[@user-pu8hl3od8s]

這就是李老師的賣點

[@boxuanma6936]

读过大二数学才好理解这一期

[@tomzhang5943]

你应该这么说：李老师的每个字、每个词、每句话都听得懂，但是连起来就是不知道在说啥。

[@user-uo9gq2zh3n]

Boxuan Ma 不用的 大陆的话高中就足够了

[@darwinwon2779]

不要装逼 里面讲的很多概念都是《高等数学》里的内容，你确定你高中就学过？

[@user-kv1bn3zo8w]

很认真看了李老师的视频，非常好，因为我本身也是在大学教物理学，希望借此可以提升自己的讲课水平哈。对于李老师的观点大多认同，只是对于定义域和解析拓展的理解，我可能不同于李老师。视频中“通过解析拓展在定于域外的部分被认为是没有含义的”，这个结论可能下的太早了，事实是：通过数学中进行解析拓展到非定义域并且认识到其物理学含义的例子绝对不少。简单的说一个（其实很多，包括相对论里也有），虚数i的定义其实就是一种数学上的解析拓展，i^2=-1,i并不是现实可观测量，这个量就是为了令函数y=x^2中y的取值拓展到整个实数范围而凭空定义出来的。然而！量子力学的基本方程-薛定谔方程直接就是一个复数微分方程，得到的解也是复数（这里的复数是x=a+bi,a是实数部分，bi是虚数部分），在量子态的叠加过程中必须直接利用这个复数进行运算才能得到与实验相符合的结果！所以不夸张的说，数学上没创造i，量子力学根本就无法理解。在建立在这样的认识上，黎曼猜想中超出定义域的部分只能说其含义或在物理学上的应用还未知，绝对不能说没有含义！所有自然数之和等于-1/12，看似不合理，但不排除在物理更深层次的理论中，需要这个等式成立才能解决问题，或解释实验现象。毕竟，如果我忽略一切中间过程，直接说：一个平方为负的数在物理学中存在真实的对应，这听起来是不是也很不合理啊？但它却是真的！统一场理论为什么做不出来？会不会就是没找到类似于量子力学中的i呢？谁又敢说黎曼函数中非定义域的区间不会提供一些线索呢？

[@wangpei]

这段评论太棒了!

[@user-dq5oo9zl3q]

对，还有就是解析延拓不是处处可导，而是处处可以无限次求导

[@hsccbo32385]

複平面上某個點的neighborhood處處可導等價於該點無窮可導(實際上是可解析

[@abada00zhanghongbing]

姜昱丞 1+2+3+4+...=-1/12, 这个公式在量子场论和弦论中早已有应用。

[@TomYuBazi]

复数在量子理论中怎么应用的？我之前在我公共号文章里猜想复数本身就是我们这个世界的描述，物质对应实数部分，意识对应虚数部分，意识可以超光速传递，投胎在特殊条件下可能会保留记忆。没想到科学已经有某些部分的应用了呀，我应该好好研究一下。

[@user-yv2hu4ug5e]

感谢李老师！如何证明黎曼猜想呢？个人认为，必须要引入理论物理学中的超弦定理M理论和全息宇宙理论才能推导证明出黎曼猜想。 简单地说，首先就要在ζ(s)实数和复数的坐标系中，把M理论中的膜空间（平行空间）坐标形态融入实数和复数坐标系中表达；第二步，就是要证明宇宙有无数个膜空间（平行空间）的存在；第三步，就是证明每个膜空间都有ζ(s)为零点（实数为2分之1）的对应点，由此推导出每个ζ(s)为零点、实数均为2分之1的点有无数个，最终证明出黎曼猜想成立。相信在不久的将来，一定会有数学家成功证明出黎曼猜想！

[@hailaer2001]

看到这个视频，我就知道会有人来挑三拣四。 我只想说： ---------李老师，我支持您的视频和无私的奉献！ ---------您给了孩子们，一盏明灯，点亮了他们对物理和数学的无穷好奇和好感。为应试教育下，那些不喜欢，不愿意学习，但又不得不学习以求出路的苦苦求学的学子，引入了兴趣这个最好的老师！万分佩服，感谢您的付出！

[@zyliu3517]

李老师更新真勤快，刚爆了大新闻就出视频了，说实话还是真希望老爵士的证明是正确的。

[@skycombinelin7693]

可能性不大，毕竟已经89岁高龄了，数学还是属于年轻人的，怀尔斯40岁证明费马大定理已经算年龄很大的了，如果真能做到绝对是一件颠覆人认知到事情。

[@softwater0101]

反推密码的算法将会普及。

[@hongliangliang2264]

这期太牛逼了，太爽了，太开心了，请收下我的膝盖

[@tanmiba]

李老师不仅获得了大众的认可，同时也获得了大师的收入。赞一个！

[@garethxue8938]

李老师讲课流畅、清晰

[@ao5youtubetw_nvlose975]

老師您上課真的精采，讓人每一期都想認真看完，如果大學教授是您，現在的成就可能就不一樣了。

[@user-ri1nu9xq2m]

大学里不能倒退暂停哈哈

[@huichu2100]

@@user-ri1nu9xq2m 有课程录像😂😂😂

[@user-lf7qi2fe1f]

人家是中学老师

[@arieltolosachang6649]

阿西，竟然在这里也能看到战地粉丝

[@user-cj4ns2tz2x]

最后听到“数学家做这些事只是觉得很好玩”的时候，我心态崩了。。。

[@larrychen4831]

李雪 哈哈，心态天天崩

[@honeniheixiu8119]

李永乐老师讲到数学家也是猴子进化来的时候我心态崩了

[@xxxz3086]

猴子🐵永远不可能进化成数学家！！！

[@zerotedeza]

@@honeniheixiu8119 猴子先进化成人，然后人再变成数学家，所以不存在由猴子进化成数学家的，性质已经变了

[@zhongzhongclock]

本来就很好玩啊？确实很好玩啊？哪里不好玩了？

[@ehong3398]

太棒了老师您是我的英雄。居然还有德语字幕，我去给朋友看看。如果我去读数学，我就回来看您的视频。看了一遍不懂。但是我很高兴老师和我们分享知识，这个不是哪里都有的。希望有一天我也可以懂得这些。老师保重。

[@user-ef9nv8xy8q]

李老师晚上好！每一次看你的视频开头开场白结束后你转身面对黑板的这一刹那就感觉姿态很优雅淡定！谢谢你的分享！

[@user-bo1nn3lj1t]

当初在大学课本里看见这些人的名字只觉得头疼。。听了这么多课才发现每个数学家还都有番外篇故事。。后悔没有早点发现数学的美啊。。。

[@user-uu1hk8zp2n]

终于看到李老师把数学理论带入现实生活里举例啦：解析延拓知识推广“有条件下全等的两个公式，并不能超越条件的相等。就像人和猴子有一段完全重叠的历史，但超出那段历史后就不能再拿猴子当人啦”。

[@lightrao]

谢谢你的辛勤工作，很喜欢你的课程，加油，继续努力。

[@cui_xiaofei]

期待下一期，还有字母真是太良心了

[@user-pe7xy2vh9p]

讲得很详细。

[@zl1420]

老师什么时候也科普一下Collatz 猜想，毕竟在国外很火

[@Gjanzz]

這影片內含量真屌 ，建議攜帶泰勒級數(對點展開的概念), 審歛收散, 合成函數的想法 會有更好的收穫

[@dahlia_ukn2768]

李永樂老師的解釋太棒了。

[@thankyouthankyou1172]

看惯了ppt的讲课模式，看这种黑板粉笔的讲课模式好有感觉

[@la4588]

李老师的板书都很有美感

[@estelle7294]

Thanks for the video! A viewer from USA!

[@shenglee133]

一年后的今天终于看的懂这集的内容，好开心🤣🤣

[@2012Thunter]

看完李老師的解說我明白了原來是怎麼一回事了, 謝謝老師

[@user-user-user-user-user-888]

7:29 -1/12 太棒了 原來是定義域不同的兩個式子 數學家沒真的覺得全自然數和等於-1/12 我當初看到移項對無窮級數做加法就覺得很有問題

[@pascalemetu]

最有问题的是欧拉这个人，用错的方法也能做出正确的答案。

[@Aleph-Ord]

數學家一開始就已認定-1/12是錯的，然後才把“無限級數求和”的意義塑造成他們“需要”的樣子，這才是此事的邏輯順序。

[@sadkritx6200]

Lol I don't know how I got here but really awesome video 😅 the English cc saved me

[@wenjuanchen6293]

最喜欢永乐大帝讲着讲着就隐藏在摄像机之外了，这集居然讲着讲着又回来了~

[@anmiriam]

算法把我带到来了这里。我接触到了解析延拓这个概念。谢谢李老师。

[@ChenXiajie]

感谢李老师，虽然我在大学里没有好好学习高等数学，也不是好学生，但是听了老师的课感觉数学之伟大

[@xxxz3086]

以往老师的视频我都是0.99倍速看的(偶尔暂停思考)，这集我是以0.5倍速看的(整理思考的时间多了许多)，幸好最后都能懂。我想说，这集看完有种惊艳的感觉，几乎是目前为止李老师最好的一集(居然能把这么复杂联系的事情说得那么清楚易懂，服气！)只想狂点1+2+3+…个赞👍👍btw瑕不掩瑜，中途有处笔误了，写成1+2+3+…=-1/4😉

[@asac7932]

0.99倍速是怎么开的？好厉害

[@user-dg6it7wh7m]

15:20 看到这个函数也看懂了吗，好厉害

[@user-zi9vk4vf2b]

0点儿5倍速。。。那李老师性感的音色就被完全破坏了

[@zhangtongshu3945]

1.5倍速看的怎么办。。。

[@user-db7lc2vq7k]

所以点了-1/12个赞？

[@weiyemo]

谢谢李老师~讲的好好

[@longkunzhu8563]

很清晰，谢谢讲解！

[@chokyuksan]

有这样一位老师真是数学人的福气，也是中国教育的福气。

[@weeeeeeliu]

記得我第一次看到這個等式,是在介紹弦理論的書裡面(也忘記是不是了.反正不是數學的書籍) 謝謝老師的解說,非常清楚!

[@mrfong2533]

李永乐老师讲得好！🥰 歐拉的“数字遊戏”被黎曼用严谨的“数学逻辑”方法整顿了！有功於後学🎉😮

[@doors8817]

感谢李老师的分享

[@petermu2105]

永乐老师果然讲黎曼猜想了！

[@namikkizamik7363]

anlattığı konuları matematikle olanları kafamda biraz yorumlaya bilsemde dilini bilmediğim için ne anlattığını tam anlamıyorum fakat gerçek oloan şudurki anlattığı konuların hepsine hakim özgüveni tam bir eğitimci keşke tüm eğitimciler bunun kadar becerikli olsa tüm dersler sevilir o zaman.

[@smilelife1660]

太多跳過結論了，希望有詳細一點會更好，很喜歡這種影片

[@ryz6514]

李老师讲课讲得太好了！

[@zzz89782599]

15:20 看到这个函数，我决定还是去吃香蕉了

[@TchLiyongle]

Isaac Z 哈哈哈哈哈

[@Qiang12345]

本性不改！😄

[@terrygao4027]

拉过去看了一眼，长得好像gamma distribution

[@hellochii1675]

看到这个函数，吓得我赶紧吃了根香蕉🍌！

[@clauselu706]

对啊，学统计的时候学过，但是现在完全懵逼了。。

[@syxzzy0304xxoo]

我和小伙伴安利jojo的奇幻冒險時 也是從歐拉說起的

[@felixcao8841]

欧拉欧拉欧拉。。。

[@user-gh5vz7fk5r]

Felix Cao 木大木大木大

[@KilaKilaKilala]

哈哈哈哈哈哈哈哈

[@maxl2950]

神奇的歐拉

[@la4588]

皮

[@LL-el2gd]

非常清楚的阐述了问题，高👌

[@hankdalampa]

言簡意賅的解釋了我長久的疑惑，感謝老師

[@gigiininder]

懂學問沒什麼了不起，能把學問以最淺顯易懂的方式教授於他人才是功夫。老師好樣的。

[@exorcist7047]

都很了不起

[@jwn513]

终于明白了！感谢！！！

[@kisekik5346]

每次看这视频对于中小学一些莫名其妙的地方感觉醍醐灌顶了只可惜大学高数学了一半没有继续深入了好多地方都忘得差不多了哈哈哈

[@jackywong941]

詳細易懂👍

[@xiaominyu8104]

真精彩！

[@zhuxiaoyueric]

老师讲到 “猴子不可能进课堂去学习，猴子宁可吃香蕉，它也不学习” 的时候， 我刚刚吃了一个香蕉！唉，这心里给堵得：） 不过真的谢谢老师，老师讲解很精彩，清晰易懂。如果我中学碰到李老师，现在就不用看视频吃香蕉了。

[@jtyoui]

666

[@user-ts7vw8ey4u]

Yes but no

[@vandick1103]

真有趣，清晰明瞭

[@jerryzhang9797]

谢谢李老师！

[@superXLB007]

哈哈,本小朋友被翻牌了,我上期留言点了黎曼猜想

[@CML_]

我有看到你的留言XD

[@user-kz1pp6gl3s]

你就是小朋友

[@AntonioYan]

你这个小朋友太调皮了。

[@huipang8914]

小朋友啊，小朋友

[@PR-kf9lf]

小朋友，你很优秀

[@kholmsk20]

老惯例，先顶后看。

[@sherrywang9430]

老师 求后续！ 今天是个大日子啊！

[@xxxhjsxxx]

之前也陆陆续续看了些李老师的视频，很多内容太浅显有些不痛不痒，直到看完这期我连滚带爬点了订阅加点赞

[@pc0805]

0:04 我還以為是土條哥大戰物理哥耀淵

[@MrQaabb]

有人說一個問題的美妙或說一個美妙的問題在於他的看似簡單卻無人能知曉答案

[@mr6462]

搜黎曼猜想看到老师的视频，觉得非常有趣，感谢老师讲的深入浅出。希望老师能出更多数学的视频，我很喜欢数学，现在在学数学分析入门，以后闲暇时间看一些老师的视频补充课外知识，谢谢老师！

[@Tsai_Ingwen]

馬上被圈粉，太狂啦，老師～受小的一拜

[@lindacheng203]

看到李永樂老師的影片就讓我想起高中數學老師也是用黑板手寫上課內容，我在底下狂抄筆記基本上一字不漏的抄了，說實在高中根本沒打開課本😂有時候老師會要求我們先把公式用自己的想法證出來（超難的😅）但在老師提示下證出來超有成就感的🤣

[@mqhu2857]

9:45 好像稍有些问题，实函数的解析延拓应该是不唯一的，具体的例子可以利用插值法进行构造，解析延拓的唯一性只对复函数有效，因为复函数有一个非常深刻的性质，即举凡复函数是解析的，便一定是全纯的，复函数的解析性和共形性具有直接的联系，于是连带着在延拓时对被延拓部分的导数就有了严格的要求，于是解析性可以推到延拓的唯一性。

[@vectorwang6588]

实函数的延拓不唯一，实函数的解析延拓唯一的，解析延拓是要延拓到全纯函数的，这个是他混淆了延拓和解析延拓的概念。

[@mqhu2857]

Vector Wang 受教了，我也是，解析和全纯傻傻的分不清...我知道复可微和实可微差得很大，但实际上理解还差得很远...

[@kesai119]

你们在说什么？一脸懵逼。。。。。。。嗯。。你们一定不是地球人。。。地球人的极限就是混合加减运算。。。会使用一元二次方程以上的全是非人类，是异教徒。。。

[@fleeingturtle]

讲的很好！

[@xin4941]

感谢李老师的解惑

[@junc9094]

7:48 结论 1+2+3+4 +...... = -1/4 除以3 ， 老师写漏了

[@alberttian2218]

嗯，应该是-1/12

[@user-xe3gt5zh1d]

上学的时候也是这样，明知道老师是口误，笔误，但是后面就听不下去了。

[@smithjo2603]

没关系啊，我记得前面写的没擦，那里的没错。后来证明的时候确实漏了

[@ArgentSoulmancer]

但是7:48恰恰是全文重点😂 到这儿我就去复习泰勒级数了，然后很多很多东西老师默认我们都好好学习微积分了就在这里用“不收敛”一句话带过。搞得我我压根没注意到最底下不是-1/12。

[@zhanhujulee5744]

写漏很正常，老师还写过2+3=7 2×6=3呢 哈哈

[@zhongzhongclock]

真好玩啊！欧拉他们那会儿就已经研究这么好玩的东西了，一定是因为他们那会儿没好玩的游戏玩，只好研究数学玩了

[@jiayingli7992]

严重同意，我以前也以为数学家闲来无事才弄个什么猜想，后来发现不是，

[@ryuevil5438]

G+好友路过😂

[@ekohsieh849]

钟 钟 现在有这么好玩的游戏玩，还是有人去证明黎曼猜想。数学才是人家的爱好。

[@zhongzhongclock]

Brade Wang, "我们要强大"？"我们"是谁？为啥要强大？我可以因为好玩而研究数学吗？我们可以愉快的玩耍吗？而不是为了那个狗娘养的”强大“而玩耍吗？

[@achillesarmstrong9639]

举个例子。如果你经常玩cs，或者overwatch，或者其他第一人称游戏，你每动一下鼠标，计算机其实在不停做线性代数计算

[@snowleafecho34]

谢谢老师，讲的很清楚

[@paulliu0701]

期待更新哦

[@msYJhere]

我在想， 数学这门艺术真是要靠天赋啊， 如此抽象， 又如此逻辑。不得不承认， 在某个时刻， 我的大脑已经不知不觉的断片了

[@user-tu6rb9zb2b]

所以提升数学最快的方法是投胎啊

[@WilliamK7]

@@user-tu6rb9zb2b hkzkzozkza

[@user-fk5be5hp3d]

我沒有要貶低數學的意思，數學一些東西先研究起來，將來可能在某些領域有大用，不過這些東西學起來耗腦力爾且跟生活脫節，以改善生活水平為目的的話，學這些東西的cp值已經低到一個浪費時間的地步

[@ricky9211]

有一天歐拉只是去超市買過東西, 結帳時店員跟他說 香腸$1 口香糖$2 飲料$3 所以就是1+2+3 = ..6, 聽到答案之後歐拉馬上瘋了, 難道店員是天才嗎這麼快就能算出來🤣

[@longzi3641]

太棒了，受益良多。

[@neoweechang8256]

我看了兩遍，這次終于看懂了，開心。

[@ChrisYang615]

數學家的快樂 往往就是這麼樸實無華且枯燥

[@lipingsun4279]

对，我现在也感觉到了数学家的乐趣🤭

[@terencehuang6134]

1.5倍速看完后感到神清气爽

[@kamingchun]

老師很強! 看來"等於" 符號不能將"無意義"跟"有意義"放在一起

[@singleone]

喜歡數學的，會覺得整個推導過程，是蠻有趣的

[@yingjiewu8650]

我边吃香蕉边看这个视频，听到那句话的时候我默默关了视频

[@veronicahu9596]

wu yingjie 哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈笑死我了

[@CarlosUTB]

🐒

[@estella3387]

wu yingjie 我听到那句话时立刻饿了想吃香蕉

[@kelvinchan8510]

🍌

[@Cohamy]

哈哈😂 猴子寧可吃香蕉也不學習嗎？

[@worldking5059]

1+X........+X^N=1/(1+X)的,它只符合在-1

[@ukyo1541]

李老师我经常学您的视频知识，最近也是突发奇想有了一个问题，中国象棋内的马在原始位置开始走，一共可以在无其它子的情况下走出多少种不同的走法呢？如果一个日字形A点马起跳点与B落地点反向走不算重复，求这个马在象棋牌中最大的走法数量，这个有没有较为方便的方法。

[@user-nq2wk6hx3b]

老师板书真好看，佩服👍

[@andywang522]

这回的小朋友们终于是真人了

[@szetochun1680]

这视频似乎有数处可改善之处： 1. 9:15 解析延拓要求不仅是处处可导，更要求处处无限可导。 2. 14:13 此式子不仅可应用于实数s>1，只要通过定义n^s=exp(s Log(n))，该式可应用于任何实部大于1的复数s。 3. 15:11 该积分只适用于s>1，我相信通过选取对数的分枝，此积分亦可应用于任何实部大于1的复数s。然而，视频中老师似乎暗示该积分式可应用于除1以外的所有复数。这并不正确。 其实，数学家很轻易地便把欧拉的函数延拓至Re s>0。黎曼最大的贡献在于他发现的functional equation。他的functional equation，让人可以通过对函数在Re s>0.5的认识，从而把函数延拓至Re s

[@TchLiyongle]

Szeto Chun 你说的对，讲得没有那么细

[@user-vs9ex7ys3z]

李永乐老师 老帥可以請你在拍第4段，把想說的部份說個痛快

[@frankhuang6974]

。。。要看trivial的也不该指望视频吧。。。科普向，娱乐一下就好啦。

[@seanlu8832]

李老师很有效的解决了我的失眠问题

[@user-yc7ly3ct6q]

每次看到老師的影片都很有興趣，但都因為影片太長所以懶著看，這次點進來雖然影片還是很長，但我調了1.5倍速看，看的懂，但頭好痛啊