【10分でわかる】整数問題を攻略する鉄則パターン（一橋大学 数学）

今回のテーマ、特に別解の発想は、ぜひとも持ってもらいたい！
これ、数１の青チャートにも載っている問題なんですが、高校生の頃、美しいな〜と思ってました。
ただ解法を１対１対応で覚えるのではなく、こういう風に１つの問題を深掘りをして、色々な解法に感動する機会が多い人ほど、数学はより楽しくなると思います。
今後も数学攻略LABOを使って、美しい解法も紹介していきますね！
リクエストがあればLINEやコメントで教えてください〜
（TwitterのDMでも大丈夫）
ちなみに昨日の問題の答えは、n=14です。
もう、引っかからないよね？
（忘れた頃に、出題しますね笑）
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[@passlabo]

[訂正]復習問題は「16以下の自然数nを求めよ」ではなく「16以下の自然数a,bを求めよ」です！かなり難しいですが、解けた人は素晴らしいです！

[@cpa_cpa]

範囲に注目するのと式化は鉄板ですね！一橋の問題出してくれて嬉しいです〜！

[@user-vr3jh9nv7b]

趣味で数学を勉強していますが、良い問題でした。

[@user-dj2yp8sm5r]

英文解釈の動画めっちゃ好きです！😊

[@user-wv5tb7qc3o]

毎回思う。復習問題10秒じゃ無理

[@Raikei.]

微積分のテクニックや解く上で気をつけるところなどを動画にして欲しいです！

[@abeshota9538]

復習問題 An=5^n+an+bとおき、以下mod16で考える。 A1=5+a+b≡0、 A2=25+2a+b≡0 これらを解くとa≡12、b≡15となりa、bが16以下の自然数だからa=12、b=15が必要である。 あとは二項定理or数学的帰納法で全ての自然数nでAn≡0であることを示してオワオワリ

[@hamacchochannel]

二項定理でいけるん？

[@bbbb-cc1fx]

これは、色んな参考書に載ってる良問ですよね。

[@user-cj6cg3oc3f]

同様に確からしいがあまり理解できずに苦しんでます。普通の確率の全事象について学びたいです

[@user-vy2ki6nv9w]

関数の応用問題をやってほしいです

[@rjmmdmmd]

解説お疲れ様です！昨日の朝補習でやったばかりでした笑 先生も良い問題だと言っていました！

[@ShinKa_ttc]

軌跡・通過領域お願いします

[@user-rv9qt9vv3q]

超絶偶然なんだが、昨日やった青チャートのexerciseに載ってたわー

[@user-pl1zl6xo8m]

100 Freddy Krueger 本当にそうか？

[@user-dj2yp8sm5r]

通過領域やって欲しいです！

[@keepgoing9560]

整数問題苦手なんですありがたい

[@zerozerozeropaper]

基礎って大事なんですね、グラフを書くとか

[@unionnnn2841]

これまでのノートをダウンロードできるようにして欲しいです！ノート見て復習したいので、

[@izawa2921]

復習の問題で、a,b は定数と限らない場合として、(a, b) = (12, 15)の他に(4, 11+4・(-1)^n)も出ました。

[@user-zl7tl9nh3e]

復習問題 f(x)=5^n+an+bとおく f(1)=5+a+b f(2)=25+2a+b=f(1)+a+20 よってa+20が16の倍数なる16以下の自然数はa=12 これをf(1)に代入 f(1)=17+b 17+bが16の倍数になる、16以下の自然数bは15

[@user-jr6qu8uk6z]

0

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

おはようございます！ 一橋の数学って難易度ものすごく高いんですよね！？ 数学毎回いちばん楽しみです！

[@Pie---------n]

通過領域お願いします

[@chakamaru_UT]

確率やって欲しいです！

[@zerozerozeropaper]

a=12,b=15（条件を満たすためのa+b〈27〉、2a+b〈39〉、3a+b〈51〉）と言うように地道に解きました

[@etoo8105]

忙しいだろうにこういう風に解説してそれを公開する行動力に憧れますわぁ

[@user-fv8qe1xc1x]

復習問題、a,bについて何も言及されてないのですが、｢16以下の自然数a,bを求めよ｣が正しいのではないのでしょうか？

[@airen8206]

初見です 駿台の雲孝さんみたいな進め方ですね

[@user-lg2vo4vt1h]

早稲田の商学部の数学の解説を して欲しいです。

[@user-xz7ks4rn5j]

最初の判別式って重解をもつのは有り得ないからD≧0じゃなくてD＞0とならないんですかね？ 見当違いな事聞いてたらすみません

[@user-lh4jx4pq1y]

同じこと思いました🥺

[@user-rd7eg6kw1y]

定期テストで出た時はびっくりした。(二次関数の分野で)

[@user-jg9zv4xu3i]

計算できる場所にいなかったので、頭の中で方針を立ててやったのですが、日本語を数式化するところが思いつきませんでした まだまだだなぁ

[@user-xb8hi2tu6c]

復習問題は答えはa=12、b=15になりました

[@hinagiku8312]

f(n)とおく。 f(0)=1+b よりb=15が必要・・・＊ f(1)=5+a+b=20+a (∵ ＊) よりa=12が必要・・・☆ ＊☆よりf(n)=5^n+12n+15となることが必要である。 逆にこのときf(n)が(16の倍数であることを合同式で示して...) したがって確かにf(n)=5^n+12n+15はすべての自然数に対して16の倍数である。 p.s.n=0はダメでしたね まあやることは変わりませんが

[@user-kw4dq3uc7d]

modの使い方教えてほしいです

[@sy-fd6wr]

微積も扱って欲しい

[@Astro-ui7iz]

合同式の使い方を完全に把握しきれてなくて復習問題が解けません教えてください

[@user-nz3gy3fj6t]

s全数a b を求めるなら、普通の代入式で解けました。　ただ　f(1), f(2), f(3) 　までしか確認してません。 一応　mod16 で確認したら、ちょうど ｎ　が４のサイクルで　17 + 15 = 32 で確かにすべて　mod 16 で 0 になるので、すべての　n に対して確認が取れました。

[@rinrintyan949]

すみません！ k≦√5は間違いではないですか？ f(n)＝0が重解を持つと成り立たないので、判別式D>0ではないでしょうか！

[@user-hv2cc7ms2w]

間違えました(^_^;)

[@user-im5dt3by8l]

結局問題文が何を言っているのかきちんと読むのが難しいけど大事よね

[@user-rl7ut7ks9c]

5:06辺りなんですが、 1.5と3.1とかだと負になる部分が2と3が発生して、2以下なのに出来てしまう気がしたんですが、どこが間違ってますか？

[@Astro-ui7iz]

nが1つのときは0＜β－‪α‬≦2を絶対に満たすということを言ってるだけで、0＜β－‪α‬≦2を満たせばnは絶対に1つであるということを言ってる訳ではないんです だからこそ最後に代入して確かめること(十分性の検証)が必要になるんです

[@user-rl7ut7ks9c]

@@Astro-ui7iz なるほど！ありがとうございます！

[@user-go9yq8kf5f]

だいすき

[@user-nz3gy3fj6t]

結構長い時間をかけて考えたのですが、文章もおかしいい変だなと思ったのですが、 やはり自然数a b の値を求めよが正しいのですね。もう一度トライしてみます。 ７０過ぎの爺さんですから、もう一度やり直してみます。

[@user-hz7bg3bt8f]

復讐問題 必要条件で絞りまくってa12b15までは行けたけど、そっからの十分性示すのがどうやればいいのか分からない(;_;) 答案だけならいいんだけども...

[@user-yy3qj5fp7k]

代入して調べたらいいのかな？

[@user-ij9xq3rc2j]

D>0じゃなくて＝つけたほうがいいのかな？？？D=0つけるとその時は負になるn存在しないのかと思って消してた

[@user-ij9xq3rc2j]

Takuro Matsumoto ありがとうございます！多分この場合イコールはつけてもつけなくてもいいアバウトな存在なのかな？

[@user-ij9xq3rc2j]

Takuro Matsumoto 丁寧にありがとうございます！優しい😭

[@r_star8603]

a=12 b=15 になった。合同式で解きました

[@user-rv9qw6fs4v]

復習問題 n=1の時 5+a+b=16k(k=1.2)・・・① n=2の時 25+2a+b=16h(h=2.3.4)・・・② ②-①をすると 20+a=16(h-k) ここでa.bの条件よりh-k=2の時しかありえないので k=1の時h=3若しくはk=2の時h=4 の2通りに絞れる。 前者は不適で後者が適切な解が得られたので 後者の時のa=12 b=15が正解かと、、、 合ってますか？必要条件十分条件満たしてますか？

[@user-tq1ye2tk3l]

ぱみお。天然 それをそのまま解答用紙に書いたとしてお話しします。 その解答では、(a,b)=(12,15)がn=1.2の時しか題意を満たしていないということになります。(いわゆる必要条件に過ぎません) aとbがこの値の時、nがどんな自然数であっても与式が16の倍数になるということを加えて証明する必要があります。(これによって十分性が保証されます。)この証明はnに関する帰納法が妥当でしょうか

[@user-rv9qw6fs4v]

掃除機ブンブン なるほどです。nの値を自分で勝手に設定して自分で出した答えだから、それをすべてのnで成り立つことを確認することで十分性が保証されるということですね、このまま書いたら全体の30%の得点をくれるかどうかも怪しいくらいですね。正しい指摘ありがとうございます。 十分性の証明はとても簡単でした！

[@qkgpanini32]

去年には思いつかなかったであろう、定数分離を思いついてる…高3生

[@Torinashi]

夏休み整数一日一動画やります！

[@user-ky1ds4qh9k]

整数問題って割となおざりにしがちですよね(隙自語

[@maitakahashi7924]

判別式すら思いつかんかった。

[@Hayabusa8823ramen]

青チャートでやったやつ

[@user-fp7jw1nd4w]

定期テストで出ました！

[@user-kx4if8if5o]

高１でチャートEXいくって…w どうしたらそういう進行具合までに至るのか教えてください…ww

[@user-zc3oo1bq1u]

青チャのエクササイズにのってたなこれ

[@user-pi9gp6lt8x]

何番？

[@user-zc3oo1bq1u]

今見たら93

[@mnr_4391]

7:22の3の場合って0になるからkが4以上の時じゃないですか？

[@user-xl1ko7vc2v]

それはあくまで十分性を満たさなかっただけだよ

[@fwlo4409]

復讐問題

[@user-sg7lr6qm9j]

良問紹介パンダに著作権はありますか？

[@user-jq8kr5kf5d]

復習問題って解けるやつなの？

[@yoko1385]

定数分離のほうが楽じゃね？

[@akuromiya6516]

英語ですが no more than not less than などの多さや少なさの強調をする表現がいつもこんがらがってしまいます。 いい覚え方教えてください！

[@hinagiku8312]

no=差が0 + 否定 だからno more than〜 だったら 〜と差が0くらいなくらい多くない ⇔〜と同じくらい少ない ⇔only

[@moll1952]

東大オープンの解説動画のリンク誰か送ってくれませんか？？

[@vacuumcarexpo]

復習問題の十分性の確認の方法が、帰納法以外思い付かないなぁ。

[@vacuumcarexpo]

@Takuro Matsumoto 4の倍数なら出来るんだけど、16だと5^nんトコ、どう処理します？

[@vacuumcarexpo]

@Takuro Matsumoto ご返信ありがとうございます。 なるほど。n＝1の時は、一応場合分けですね。どうもありがとうございました。

[@vacuumcarexpo]

@Takuro Matsumoto あ、そう言えばそうですね。どうもありがとうございました。

[@Good.efforter]

二年前か……

[@user-nv4wb6el2c]

なんか、もうチャートの問題暗記してしまった

[@user-xl1ko7vc2v]

これって一橋にしては簡単よな？

[@user-vb6jw3vd3q]

なんでβ-αが0より大きく2以下なのですが？ 1より大きく2以下になってしまいました。

[@from_ymns]

仮にβ-α=0.2でも、α=0.9, β=1.1 とかならn=1が不等式を満たしますよね。 ようは二次関数の2つの解の間に2つ以上の整数があってはいけないというだけなので、1より大きい必要はありません。

[@Difmor18723hji]

5n^2＋1＜2kn n＜＝0は不適は明らか。 n＞0とする。 f(n)＝5n＋1/n＜2kと同値。 n自然数の範囲では単調に増加。 ∴f(1)

[@colawaorenoyome]

細かいこと言うとf(1)

[@anise-cinnamon]

一橋にしては簡単かな

[@Difmor18723hji]

@@colawaorenoyomeミスっちった。編集しとく。

[@metaruraito73]

スタサプで見た

[@manabeudon0626]

すみません勘違いしてました😅

[@user-fw9rn6gk7f]

細かいけど、必要条件のところ2以下じゃなくて2未満では？解の差＝2だと必ず整数解を2つ持ってしまう。

[@user-lj6kv2mi3f]

f(x)とおいたところまでは良かったけど、 整数nがちょうど1個ある→f(n+1)×f(n)≦0かつf(n)×f(n-1)≦0 みたいな発想をもって動画見たけど全然違う解法でしたね…😅 浪人生なのに恥ずかしい…

[@user-ik8sy4fn7b]

この問題赤チャに例題としてのってるな レベルは星3(教科書章末レベル)だった 赤チャの解法はこの動画の別解と同じだけど 解法に至る過程が等閑にしか書かれてない

[@user-ik8sy4fn7b]

あと、復習は必要条件[(a, b) = (12, 15)]まではすぐに出来たが、 十分条件で多少悩んだ。 二項定理使えば(4+1)^nと4n+1がmod 16で合同 がわかるので、それを利用

[@alumn8434]

なんかノートをPDFでDLできたらいいなぁと思うのはワイだけ？

[@user-qm2bz6yp9q]

Aufstand melody それよりも自分でまとめ直すほうが頭入るよっ！

[@lele-yo4kr]

確立をやってほしいです

[@user-rh1wj9ys9x]

私文だから筆記体 bしか書けない

[@user-li9jx9hv2h]

よく考えたらこういうことやってて、医学部の勉強やってるとか過労死レベルだと思う。

[@user-bp8oe6ms5c]

☺️