11. Удивительные многогранники

Российская платформа математических вычислений и динамического моделирования Engee:
сайт: clck.ru/37kCz5
Телеграм канал: clck.ru/37kCww
###############
Задача: у каких многогранников каждая грань граничит с каждой? Тетраэдр, многогранник Силаши и другие.
Мы в соцсетях:
VK ‣ mathworks​
Telegram ‣ t.me/exponenta_ru
#Алексей_Савватеев #Леонард_Эйлер #математика #высшая_математика #наука

[@foobar1672]

11:39 - Ноль граней с дыркой 🙂 Это выколотая точка в пространстве.

[@safulkin]

вот двойственный двенадцатиграннику двенадцати вершинник и его 44 треугольника (вершины треугольников в порядке, гарантирующем ориентированность поверхности): ABC ACE ADB AEF AFH AGD AHJ AIG AJL AKI ALK BDJ BEH BFE BGC BHK BIF BJI BKL BLG CDE CFD CGK CHL CIJ CJF CKH CLI DFK DGH DHI DIL DKJ DLE EGI EIH EJK EKG ELJ FGL FIK FJG FLH GJH. На резиновой сфере с шестью дырками это можно нарисовать. Хоть какой-то пятнадцати-, шестнадацти-, девятнадцати-, двадцатичетырёх-... гранники я получал, но это всё для резиновой сферы с дырками. вплоть до Г=123, там вершину больше пяти тысяч. дальше возможности моего компьютера уже не хватает.

[@alexandrvoevodsky4247]

4:10 Вообще непонятно, почему делается заключение, что ребер у каждой грани на одно меньше, чем граней всего. Непонятно даже, почему вообще у разных граней одинаковое кол-во ребер. Вроде бы ведь ничто не мешает каким-то парам граней граничить по двум и более ребрам (и тогда у них ребер становится больше)... 6:07 полностью аналогичный вопрос. В месте, где "... но тогда вот эти две уже не имеют нигде..." всего лишь надо допустить, что где-то в этом многограннике есть дырка (в районе верхней из 4-х граней, сходящихся в одной вершине) и через неё вполне может и вертикальная пара граней где-то в стороне иметь общее ребро.

[@alexandrvoevodsky4247]

@@highops А что им может помешать? Понятно, что эти несколько ребер (или вершина + ребро) должны быть на одной прямой - той, по которой пересекаются плоскости граней (теоретически возможный случай с двумя гранями, расположенными в одной плоскости, не представляет интереса, поскольку их можно объединить в одну). Но ведь грани не обязаны быть выпуклыми многоугольниками, а значит несколько сторон/вершин каждой из граней (не соседних сторон) вполне могут оказаться лежащими на одной прямой, и именно такие несколько ребер/вершин могут оказаться общими для двух граней. Проще всего такое себе представить в виде двух жирных букв П, соприкасающихся основаниями ножек. Upd: про "Как грань, имеющая только одну общую вершину с другой гранью, может иметь с ней и общее ребро?". Конечно, грань, имеющая ТОЛЬКО одну общую вершину с другой гранью, не может иметь с ней общих ребер (общее ребро - это как минимум две общие вершины). Но я нигде не говорил про ТОЛЬКО одну общую вершину. Вариант с тремя общими вершинами (две из них относятся к общему ребру, а третья является как раз той, к которой примыкают 4 разные грани) тоже вполне подходит.

[@alexandrvoevodsky4247]

@@highops Вовсе нет. Формулировка задачи указана в самом начале. На 0:30. Там нет ни слова про выпуклость грани. На 3:32 прямо указано, что рассматриваемая грань может быть и невыпуклой. Если б рассматривались только многогранники с выпуклыми многоугольниками в качестве граней, то задача была бы тривиальна. Очевидно, что таким может быть только тетраэдр. Даже многогранник Силаши, который является единственным на данный момент найденным подходящим к этой задаче многогранником, кроме тетраэдра, уже имеет в качестве граней невыпуклые шестиугольники. Кстати, к моему исходному вопросу про 6:07 и Вашему недоумению как вообще две грани могут иметь общую вершину и отдельное от неё общее ребро. Непосредственно ПЕРЕД этим Савватеев прямо на доске рисует как пара граней (горизонтальная пара противоположных из нарисованных им 4-х сходящихся к одной вершине) ОЧЕВИДНО может иметь общее ребро где-то в стороне. Вот потом он делает в общем случае очевидно неверное утверждение, что тогда вертикальная пара противоположных граней из этих 4-х уже НЕ МОЖЕТ иметь этого общего ребра где-то в стороне. Я вполне готов допустить, что каким-то сложным образом из требования ко всем вообще (а не только к этим 4-м) граням попарно граничить друг с другом и следует, что в одной вершине 4 грани сходится не могут, но тогда Савватееву так и надо было сказать - "Тем-то и тем-то тогда-то и тогда-то доказано, что в рассматриваемой задаче ко всем вершинам должны сходится ровно 3 грани. Это доказательство слишком сложно, чтобы целиком приводить его здесь, но общая идея примерно такая:".

[@nikolaymarusov9593]

Это справедливо только для многогранников, у которых каждая грань граничит с каждой.

[@MrsOliva]

Скажите, как называется многогранник, чьи грани - треугольники, но не икосаэдр, а с куда большим количеством граней? Такую форму обычно используют, как сферы-купола для локаторов или телескопов. Так как он называется?

[@user-lo5sh4ss6o]

19.05 6 дыр. а можно через 1 выбирать куда пойти? например во вторую или 3ю? а через 4 в 5 или 6. тогда можно нарисовать. пробуйте.

[@adminroot1345]

Саватеев вдохнавляет.)

[@maxdefire]

на суицид. Если это такая наука, то стране @#$%^

[@someoneperson5224]

))))

[@lastengineer9175]

Чтобы не мучиться с клеем скочайте 3д модель Силаши и на принтере напечатать))

[@user-br5uy9xi9z]

слушай ))) а у меня есть... в конторе оставил..нашел в инете раскрой, распечатал, закрасил(скорее для более быстрой сборки), склеил и все! прикольный такой

[@user-br5uy9xi9z]

ну пардон не 3D принтеры, но так как распечатал на принтере с форматом А3- он получился компактным и ЖЕСТКИМ...короче смотрится норм

[@user-br5uy9xi9z]

собрал быстро-хотя - выкройки и прочая неспешная работа, это не мое

[@raznocty]

6:56 ... Г(Г-1)/3-Г(Г-1)/2+Г=2-2Д Г-1=г || 1-Д=-д (г+1)+(г+1)г(-1/6)=-2д (г+1)[6-г]=-12д 12д=Г[г-6]=Г[Г-7] 12(Д-1)=Г[Г-7] 48(Д-1)=4Г[Г-7]=4Г²-2×2*7Г+7²-7² 48(Д-1)=(2Г-7)²-7² 49-48=(2Г-7)² - 48Д (7²-1)(Д-1)+7²=(7-2Г)²

[@Ivan27a6]

А зачем нам нужна граничность каждой грани с каждой?