#160

[@WildMathing]

МОЙ КУРС ПОДГОТОВКИ К ДВИ: vk.com/market-135395111?w=product-135395111_1292676 *ТАЙМИНГ* #1. 0:48 #2. 1:27 #3. 2:09 #4. 3:42 #5. 5:27 #6. 9:08 #7. 11:05 #8. 14:37

[@skushneryuk]

Не мог бы ты объяснить, откуда в 4 задаче в уравнении последней системы появилось (x-1)^2 ?

[@Aramizyera23]

Сергей Кушнерюк метод рационализации для логарифма дважды

[@WildMathing]

Сергей, тебе правильно подсказывают, был использован метод рационализации: для x>0 множитель log₆x можно заменить на (x-1), и новое неравенство останется равносильным исходному. Вот здесь есть подробности на этот счет: kzbin.info/www/bejne/iIXUdGZoht9smqM

[@cloudch1ld180]

Ну хоть первое и второе понял

[@WildMathing]

Уже неплохо!

[@VS_Cars]

привет ! Мне нужно решить на порог ДВИ 2018 Это сколько заданий ?

[@ie194]

1

[@VS_Cars]

почему 1?? В прошлом году было минимум 2 это порог

[@ie194]

Ой, извиняюсь, 2. Две задачи давали в прошлом году 25 баллов, 2.5 - 40 баллов, 5 - 70 баллов.

[@Об1ВаН]

Зашёл ради мотивации перед экзаменом Хочу просто сказать Вам огромное СПАСИБО!!! Вы вдохновляли меня, учили, давали надежду. Спасибо, wild mathing, и да прибудет с Вами Сила

[@denisvorkozhokov5606]

В 5 задаче можно сразу расписать cos(a+b)=cos a * cos b - sin a * sin b, а туда уже подставить значения триг функций через x, sqrt(2) и sqrt(5). Получается то же самое уравнение, но без теоремы косинусов и Птолемея

[@quickspace861]

Ого, никогда не видел ещё такого приёма, когда в задачах на движение на графиках ищут подобие треугольников! Спасибо

[@AlexeyEvpalov]

Всё просто и понятно. Большое спасибо за подробное решение.

[@btain6299]

Что же ещё делать в час ночи? Конечно же, смотреть новый видеоролик от тебя! Спасибо!

[@WildMathing]

Спасибо и тебе!

[@rr-xh6no]

В том году писал дви ,это же вариант ;написал на 100 сделал все кроме стереометрии,еще год назад смотрел ваши ролики :3все очень понятно ,огромное спасибо

[@WildMathing]

Молодчина, это победный результат! Спасибо, что заглянул!

[@ТимурАхметов-к6м]

Все теперь после решения каждой задачки я буду делать такие же рукодвижения как и ты

[@WildMathing]

Всецело рекомендую!

[@inyouhead]

Спасибо за видео! А вот графический способ довольно интереснен... Помню попалась мне задачка, где было "сотня" лыжников, которые гоняли туда сюда, встречались, обгоняли друг друга, начал решать и просто поседел... Но потом наша математичка показала этот графический способ, а так так я "малесь" физик, то с графиками у меня проблем нету) Кайфую от Ваших вставок с шутками😂

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста! Да, порою графический подход сильно упрощает дело.

[@РодионВолков-щ9р]

5 задач это норм?

[@ДианаНосик-р5ю]

Господи, вы просто шикарны. Огромное спасибо за объяснения, всё максимально понятно

[@WildMathing]

Спасибо и тебе, что смотришь-готовишься!

[@ПавелМатематик]

Спасибо! Благодаря этому каналу я решил на 72. Хотя Расчитывал на 60

[@WildMathing]

Молодчина!

[@Samm1X0110]

Просто машина, уважаю таких)

[@baynerfentv819]

Благодаря этому видео я научился укокивать удвоенные произведения

[@WildMathing]

Да, это был поучительный момент!

[@sldkate5591]

Здравствуйте-здравствуйте-здравствуйте! Как я по Вам скучала :D Наконец-то любимое ДВИ от Вас! Книги, учебники, сборники - это всё отлично, но в формате видео-роликов мне работает куда проще и наглядней) Честно признать, начала я решать 5 задачку как-то странно (9:00 - уже ответ). После построения увидела, что имеем отрезки NB, ND. "Ах, пускай это будут касательные к окружности" - подумала я (хотя с NB это и без того очевидно). В итоге получаем р/б (DN=NB, т. к. отрезки касательной из одной точки равны), прямоугольный треугольник BND, где tgDBN (искомый угол)=DN/NB=1, т. е. наш искомый угол равен 45. Как-то всё получилось так быстро и просто, что я сразу махнула рукой - это не может быть ответом, ведь я даже толком условие задачи не использовала. Каково же было моё удивление, когда эти 45 совпали с реальным ответом, отчего пришлось моментально вернуться к своим каракулям и, действительно, если доказать, что ND - касательная, то всё может получится. Или я что-то путаю, забываю? Имеют ли мои размышления шанс на существование? Не смогла не сдержаться и не поделиться. А вообще лайк, как всегда, огромное-преогромное спасибище и больше-бооооольше материала для ДВИ :D P. S. Когда присоединилась к каналу смотрела всё на 0.75 скорости, а теперь 1.5 - геометрию и 2.0 - алгебру. Растём! Сила-мощь-математика!

[@WildMathing]

Катя, добрый день! Ждал твоего комментария! Ты во многом права: если доказать, что ND - касательная, то моментально следует ответ. Но, увы, для доказательства этого придется проделать приблизительно такие же по сложности и количеству шаги: либо вычислить длину BN в явном виде, либо доказать, что радиус окружности, проведенный в точку D, перпендикулярен прямой DN.

[@sldkate5591]

Спасибо за пояснение! Но даже так, в принципе, ничего сверх невероятного уже нет, это радует за месяц до ДВИ) На некоторых каналах за прошлые года видела, как люди пытались предсказать задания, точнее теорию, которая будет использоваться на ДВИ. Сделаете ли Вы нечто подобное для 2018 года? Или наконец уйдёте в заслуженный отпуск после столько напряжённого года?) Каникулы все любят, и всем они нужны, чтобы вернуться с новыми силами :D

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста! Да, здесь все решаемо. Работы и планов на летом много, отдохнуть тоже успею, но разборов задач такого формата не планируется, то же и по поводу гаданий на задачи ДВИ. На мой взгляд, все три последних года были предельно схожими по структуре, того же стоит ждать и в этот раз.

[@ukupchik]

8:00 не могу понять, куда девается минус, по формуле приведения же должно быть -cos(a+B)

[@WildMathing]

Все верно, но ведь по теореме косинусов там уже был один минус, а минус на минус дает плюс.

[@koshainn7919]

5 задача на два действия: треугольник bnd-прямоугольный,тк угол dnc=90 но,этот треугольник также будет равнобедренным,тк bn и nd-отрезки касательных,значит получим равнобедренный прямоугольный треугольник,у которого острые углы по 45.

[@ГерманСудницын]

В 5 задаче вместо решения через теорему косинусов и теорему Птолемея я просто раскрыл формулу косинуса суммы, далее решил несложное уравнение и получился такой же ответ, но решение, по-моему, более лёгкое, чем у вас.

[@WildMathing]

Молодчина! Если уравнение получилось четвертой степени, то сложность сопоставимая. Но если подключил что-то еще, и уравнение было проще, то такой путь актуальней.

[@ГерманСудницын]

Wild Mathing я делал все так же как у вас до того момента, где вы начали использовать теорему косинусов. Вместо этого я, выразив косинус угла альфа+бета через отношение 0,5*AB/BC, раскрыл косинус суммы через синусы и косинусы углов альфа и бета, там единственной неизвестной является сторона BD. Получается совсем несложное уравнение. Мы выражаем BD, а затем находим сам угол бета.

[@ДмитрийПерчемиди]

Все на высоте, как всегда!

[@WildMathing]

Спасибо, что дождался и оценил!

[@ВсеволодШевель-р3ъ]

Шикарно как всегда :)

[@WildMathing]

Спасибо!

[@alekseqkireev1056]

8:20. Выразил NH через треугольник NHB по т. кос косинусов через угол В. Приравнял к Вашему ур-ю 2 и получил.... два корня: x=sqrt(10) и x=sqrt(7) При этом второе под одз подходит. Как быть?

[@ДаниилДрябин]

Спасибо за очередную дозу качественного контента Тем не менее, хотелось бы спросить: почему при возведении в квадрат мы не отслеживаем никаких дополнительных условий положительности левых частей уравнений? Разве переход тут равносильный? Или просто проверка подстановкой осталась за кадром?

[@WildMathing]

На здоровье! Если речь идет о №8, то после возведения в квадрат найденное значение x²-y²=π/6 мы подставили (15:45) как в первое уравнение системы, так и во второе - это и была своего рода проверка.

[@alekseqkireev1056]

12:45 - 13:20 Мне считать лень, поэтому предлагаю альтернативу: S(ABC)/S(AHB)=CN/HN=9/4

[@АндрейМаркин-в1о]

В задаче №8 прежде чем писать ответ нужно проверить, что х^2-у^2 действительно равно pi/6, т. к. уравнение, полученное после постановки х^2-у^2=pi/6, как с само это выражение является следствием системи и не факт, что ей равносильно. Если не прав, прошу поправить P. S. Огромное спасибо за ролики!

[@raidren7954]

Ребят, это демон!

[@WildMathing]

Ну, приблизительно

[@МихаилПономарев-с6с]

Очень интересный подход решения задачи на движение! Посоветуйте пожалуйста, а есть ли хороший учебник/задачник/методичка по движениям по прямой/кругу/воде/масле и т.п. где хорошо подобраны задачи И по полочкам расписаны все методы решения?

[@bakanchev]

Есть небольшая методичка Колесниковой С.И. "Текстовые задачи" (МФТИ готовит к ЕГЭ), там про движение по кругу, про смеси всякие и про работу, ну и по классике задачники: всякие Ткачуки и так далее

[@WildMathing]

Михаил, рекомендую с этой темой разбираться по пособиям для абитуриентов, вот три хороших сборника в порядке полноты изложения темы текстовых задач: Шабунин, Сканави, Ткачук.

[@АнастасБеляев]

В 5 задаче можно обойтись без теоремы Птолемея, если записать вместо нее теорему косинусов в треугольнике NHB для угла HBN

[@MikhailNazarov_Sci]

Вау Классный разбор Быстро-информативно-весело Каеф Спасибо большое Подписался Репостнул друзьям:)

[@WildMathing]

Спасибо и тебе!

[@goodigorek]

Божественно.

[@ЯрославПосадский-с5д]

Эти шутки шедевральны

[@vgtstptlk]

Спасибо Вам за канал!! Никогда не отпишусь! А будут ли видео по высшей математике?

[@WildMathing]

Спасибо вам, что смотрите! Да, кое-что уже есть: kzbin.info/www/bejne/nqqwnZKgjraceM0 Но в сентябре постараюсь пополнить этот раздел, уважив тем самым первокурсников.

[@adrianablack752]

@@WildMathing спасибо, будем ждать!

[@АлександрКонстантинов-э3ь]

Это великолепно!

[@WildMathing]

Все для вас!

[@ИванМатьего]

@Wild Mathing Спасибо большое за ответ, скажите пожалуйста почему сложение двух уравнений(с сохранением одного из исходных уравнений изначальной системы) не является равносильным переходом? И можно ли придумать такую иллюстрацию, где такая неравносильность очевидна?

[@WildMathing]

[Дублирую ответ] Всегда пожалуйста! В видео было просто сложение двух строк и получение одного уравнения - следствия, об этой ситуации и писал ранее как не о равносильном преобразовании. Однако проверка дает достаточность.

[@Павел-б1т8ф]

Каеф, Видео топ!

[@WildMathing]

Спасибо, что оценил!

[@Ya_huzhe]

Просто Эминем в сторонке курит!)

[@WildMathing]

Само собой: здесь как минимум тексты посерьезней будут!

[@goodigorek]

"Естественно, задачу можно решить и без теоремы Птолемея. Попробуйте ....Ну, и в комментариях напишите, как успехи. " Просто убило)))))

[@shaniser]

Спасибо большое, твои ролики реально мотивируют заниматься математикой) Мучает вопрос: это реклама орбит или нет?))

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста! «Ешь, жуй, спи - ибо зачем еще был рожден человек?» - так себе рекламный слоган. Это была просто шутка

[@shaniser]

Wild Mathing, почему же так себе Я б купил с такой-то рекламой))0)

[@СафияСапаралиева]

я для себя Америку открыл в 6 задаче, спасибо за новый опыт

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@aeuonep]

Спасибо за видео. Подскажи, пожалуйста, откуда взялся (x-1)^2 вместо log^2 x по основанию 6? 5:05

[@WildMathing]

Спасибо и тебе! С учетом того, что x положителен был использован метод рационализации (метод замены множителей): (log₆x)²=(log₆x-0)²=(log₆x-log₆1)(log₆x-log₆1) ~ (6-1)(x-1)(x-1) ~ (x-1)². Вот здесь можно посмотреть вывод этого эквивалентного перехода в общем виде: kzbin.info/www/bejne/iIXUdGZoht9smqM

[@brinushka1579]

Здравствуйте. Извините, что так поздно пишу, но возник вопрос... Как проверяется то, совпадают ли найденные корни (и как понять, что совпадают), и если действительно это так, то на что и как это повлияет? Как изменится ответ?

[@WildMathing]

Добрый день! Если поздно - это по отношению к экзамену, который сегодня, то приношу извинения за поздний ответ! Совпадение корней, как правило, видно невооруженным глазом: например, решая некоторое уравнение, могли получиться корни x=±2, x=0, x=3, x=2, очевидно, в ответе будет культурным написать лишь ±2, 0, 3. В тригонометрических уравнениях то же самое: желательно посмотреть внимательно на корни в явном виде и убрать повторные. Например, получились серии: x=πn, n∈ℤ, x=2πk, k∈ℤ. Первое множество корней в явном виде можно записать так: {...-3π, -2π, -π, 0, π, 2π, 3π, ...}, а второе так: {...-6π, -4π, -2π, 0, 2π, 4π, 6π, ...}. Теперь уже ясно, что серия x=πn, n∈ℤ более мощная и включает в себя x=2πk, k∈ℤ, так что в итоге оставим x=πn, n∈ℤ. Эту процедуру чаще всего бывает удобно сделать на тригонометрической окружности. В примере выше это очень легко: x=πn, n∈ℤ дает на окружности две точки (там же, где 0 и π) , x=2πk, k∈ℤ отмечается на окружности одной точкой (там же, где 0), теперь понятно, почему достаточно в ответе написать x=πn, n∈ℤ. Именно этим способом во нескольких разборах ДВИ на этом канале мы выясняли, как устроены серии. А с опытом такую задачу можно было решать чисто алгебраически, как это было сделано в этом ролике: kzbin.info/www/bejne/pXzdineXl91nlas Иногда такая процедура делается для красоты. Но в ситуациях, когда нужно пересечь множества, например, sinx=√2/2 и cos2x≠0, она является обязательной, без нее верный ответ не получить.

[@Alex-nc7dn]

Подскажите, не совсем понимаю (возможно не хватает элементарных знаний))) почему в 5 задаче точка D должна быть ближе к стороне АС чем к ВС - откуда это вытекает? Тем самым отпадает вопрос рассмотрения остальных 2 вариантов - на высоте из точки С и ближе к стороне ВС и соответственно геометрическое доказательство что такое построение возможно.

[@WildMathing]

Напиши, пожалуйста, в какой момент мы при решении использовали этот факт, то есть опирались на рисунок и положение точки D?

[@Alex-nc7dn]

@@WildMathing Нигде кроме как визуально на рисунке. Но на дуге окружности может быть 2 точки D с расстоянием √2 до прямой АВ (2 варианта по разные стороны от высоты из точки С) и ещё вариант (он только 1) когда точка D лежит одновременно на высоте из точки С и на окружности (их пересечение). Согласно вашему варианту решения (он как я понял общий и рассматривает только 1 вариант точки) точка D может лежать по-разные стороны от высоты из точки С (если не лежит конечно на ней - там 1 вариант решения) что может давать 2 варианта решения, но одновременно обе точки (я думаю) не могут иметь расстояния до прямой ВС √5 - т.е. геометрически не изучен вариант когда это возможно. Может я не совсем понимаю (поэтому и спрашиваю))) но ваш вариант решения задачи позволяет не рассматривать положения точки на окружности внутри треугольника АВС и достаточно если угол вычислен то задача решена?

[@Alex-nc7dn]

@@WildMathing Возможно ваш способ решения уже предполагает правильную расстановку точки D (вообщем немного запутался))).

[@WildMathing]

Тут все очень просто: рисунок не является частью решения задачи, важны лишь рассуждения. Во всех трех случаях, описанных тобою, рассуждения верны - значит, задача решена. С тем же успехом можно было бы рассмотреть еще три случая: ∠BCA - острый, ∠BCA - прямой, ∠BCA - тупой, но в этом нет необходимости: задача решена в общем виде.

[@dmitriybobkow9035]

Степан, очень нужен ваш совет! Задачи идут с большим трудом, в олимпиадах никогда участия не принимал, но заветная цель - это написать дви на высокий балл (90 например). ЕГЭ сдал на 84. На курсы ваши в Москву возможности нет ездить, но прямо горю желанием затащить дви. Как мне сделать это? Заранее спасибо

[@WildMathing]

1. Сейчас два-три дня посвяти пробникам: прорешай варианты прошлых лет с 2011 по 2017 год. Разбери ошибки: на сайте ЦПК МГУ есть решения и ответы, на моем скромном канале есть разборы задач последних трех лет. Вот здесь сверстал бонусный вариант с решениями: yadi.sk/i/VCdhgwKH3KYBsM + на форуме Ларина есть темы с обсуждением пробников в формате ДВИ. Цель этой стадии: как можно лучше понять, что получается, что нет, лучше прочувствовать структуру, научиться грамотно распределять время на экзамене в таком формате. 2. О том, чтобы делать ошибки в №1-4 и текстовой задаче, не может идти и речи. Эти пять номеров нужно решать без единого не то что промаха - недочета. Это единственная прямая дорога к 80+ на ДВИ по математике. Так что при наличии проблем в этих темах (а они есть у всех), начни отрабатывать тригонометрию, логарифмические уравнения и неравенства, текстовые задачи. Для этих целей отлично подойдет Ткачук и другие пособия для абитуриентов: тот же Шабунин или, например, Сканави. Обрати внимание на графический способ решения текстовых задач: последние три года его удавалось применить, и многим это позволило сэкономить время и силы. 3. Дальше уже субъективно, но в любом случае геометрия: либо крепче бери планиметрию, либо стереометрию. Если планиметрия, то целиком Гордин, а там уж, коли останется время, - например, Понарин. Если стереометрия, то сначала нужно безошибочно решать задачки уровня ЕГЭ: в этом очень поможет mathus.ru, вот здесь объединил все нужные методички: vk.com/doc-157093242_454690397 - стоит повторить теорию и прорешать задачки, которые там же есть с решениями. По стереометрии далее можно взять Ткачука. В условиях ограниченного времени можно опустить теоремы о трехгранных углах - больше работай над чисто школьным материалом. 4. Отдельно за восьмой задачей отдельно гнаться не стоит: здесь просто нужен высокий уровень математической культуры, хороший олимпиадный опыт. Но при желании можно подтянуть нестандартные приемы, неравенства о средних, геометрические интерпретации алгебраических задач, олимпиадные задачи с параметром. В общем, любой разбор серьезных алгебраических конструкций пойдет на руку.

[@dmitriybobkow9035]

Спасибо большое за ответ! Схему понял, сейчас мне самое главное не лениться и не отвлекаться) Буду действовать как Вы посоветовали:) Благо, работы еще много предстоит проделать...

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста! Успехов!

[@dmitriybobkow9035]

А что именно из Гордина вы советовали для планиметрии? Геометрия 7-9 или "это должен знать каждый матшкольник"?

[@domochevsky4703]

Превью топовое

[@WildMathing]

Ну, оно вроде бы незатейливое, но все равно спасибо, Николай! Ты в резерв пишешь?

[@domochevsky4703]

Wild Mathing ой да ладно))) самые лучшие превьюшки у Степана и Бориса Да, пишу в резервный день

[@WildMathing]

Желаю успехов!

[@domochevsky4703]

Wild Mathing ес! Спасибо

[@stargirl3268]

можно ссылку на прошлогодние решения 6ой задачи, пожалуйста)

[@ДмитрийБезверхий-ы5ы]

Здравствуйте! Как в третьей задаче из трех корней получили два?

[@WildMathing]

День добрый! На самом деле в момент 3:22 записывается совокупность из трех серий, но это не три корня: в каждой строчке записано бесконечное количество корней (для того и нужна запись n,m,k∈ℤ). Но, оказывается, первая строчка (x=πn/3, n∈ℤ) включает в себя все-все корни, которые записаны третьей строкой (x=π+2πk, k∈ℤ). Например, при k=0 получим x=π, но это же значение получится при n=3. При k=1 получим x=3π, но и его удается получить с помощью n=9 и т.д. Не разберешься - дай знать!

[@dianasavostinaa]

Подскажите, почему в 6 задаче AO:OB=2:1? Почему AD||BC? Впервые вижу такой подход к решению подобных задач.

[@WildMathing]

Скорости катеров постоянны - что это значит графически? Отношение S/t постоянно, то есть тангенсы углов наклона прямых AD и BC совпадают, значит, прямые параллельны. Отношение 2:1 дано по условию - четвертая строчка снизу («...треть пути...»). Посмотри текстовые задачи из ДВИ-2016 и ДВИ-2015, они также имели очень удобную графическую интерпретацию. 2016: kzbin.info/www/bejne/d6CkZ2aFotpnqM0 2015: kzbin.info/www/bejne/e529pomBf76HeLc

[@dianasavostinaa]

@@WildMathing , спасибо!

[@WildMathing]

@@dianasavostinaa, всегда пожалуйста!

[@shaniser]

Очень нужен разбор ДВИ 14го года! Не понимаю, что происходит в авторском решении

[@WildMathing]

Для тех, кому ДВИ-2014 актуален: kzbin.info/www/bejne/jHbafKGbjNytrbc

[@saxophonistka7kmmr508]

Wild, откуда берутся формулы sin(x)+sin(y)=2 sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2) и т.д.? Их тупо нужно заучивать или есть способ, как их можно вывести на ДВИ?

[@WildMathing]

Эти формулы на экзамене можно применять без доказательства, а выводятся они очень легко, опираясь на формулы суммы и разности аргументов. Например, sin(a+b)=sina∙cosb+sinb∙cosa sin(a+b)=sina∙cosb-sinb∙cosa Сложим почленно эти равенства - получим sin(a+b)+sin(a-b)=2sina∙cosb. После замены x=a+b, y=a-b, тождество приобретает указанный тобою вид.

[@saxophonistka7kmmr508]

@@WildMathing понял. Спасибо

[@WildMathing]

Не за что!

[@brewdc]

Разве в 8 задаче можно сделать такую замену? в том смысле что после того как мы заменили x2+y2=a то мы должны были x и y в уравнении выражать через а. Разве нет?

[@WildMathing]

Нет-нет, мы не обязаны, вводя замену, выражать все переменные через новую величину. В сущности, α=x²-y² - это для удобства записи, можно всю задачу оформить, записывая явно x²-y² в аргументах тригонометрических функций: решение останется прежним

[@brewdc]

@@WildMathing а ну в принципе да, это же просто укороченная запись, спасибо за ответ к ролику трёхлетней давности! У тебя крутые ролики, продолжай в том же духе!

[@WildMathing]

@@brewdc, рад, что видео нравятся! Продолжение обязательно будет!

[@kamranabdulkhaev1767]

Не понял как log6x^2 стал (x-1) в 5:04?

[@WildMathing]

С учетом того, что x>0, был использован метод рационализации (метод замены множителей): (log₆x)²=(log₆x-0)²=(log₆x-log₆1)(log₆x-log₆1) ~ (6-1)(x-1)(x-1) ~ (x-1)². Вот здесь можно посмотреть вывод этого эквивалентного перехода в общем виде: kzbin.info/www/bejne/iIXUdGZoht9smqM

[@maksmaks11]

Подскажите, пожалуйста, обязательно ли писать разные целочисленные переменные в 3 задаче? И как вообще определить, где это необходимо делать, а где можно обойтись и одной переменной?)

[@WildMathing]

В третьей задаче, как и вообще в совокупностях, можно использовать одну и ту же целочисленную переменную. А в системах, в том числе при работе с ОДЗ, напротив, очень важно подчеркнуть независимость переменных с помощью разных букв. По умолчанию всегда корректно будет использовать разные целые переменные (и в системах, и в совокупностях), кроме ситуаций вроде sinx>0 ⇔ 2πn

[@maksmaks11]

Wild Mathing большое спасибо !)

[@WildMathing]

Не за что!

[@ЕкатеринаМопс]

Почему в последнем номере чтобы привести к общему знаменателю вы умножаете на 2√3 Там в самом конце почти когда значения косинусов и тангенсов подставили уже У меня там общий множитель √6

[@WildMathing]

Там не общий знаменатель во главе угла, а домножение обеих частей уравнения. Множитель 2√3 удобен тем, что в первой строке получится (-2y), а во второй (+2y), после чего удобно решить систему методом сложения. Но, естественно, можно решать и иначе.

[@qvv3r7y77]

7 и 8 задачи топ. Как всегда круто объясняете, Степан. А где можно разбалловку увидеть, 5 с горкой задач на сколько потянут? З.Ы. Если не секрет, сколько у вас времени уходит на решение варианта?

[@WildMathing]

Спасибо, Илья! Шкала перевода баллов за 2016 год есть вот здесь: kzbin.info/www/bejne/nHXch6uAm7lkoas По поводу времени: этот вариант за 4 часа наверняка успел бы решить целиком, аккуратным почерком оформить и проверить.

[@СемёнТамашевский-и6ш]

Привет,как ты определил знаки?Самый правый знак достаточно очевидный,а вот например знак между 1 и 2 логарифмом не могу понять как определить.

[@WildMathing]

Приветствую! Если речь о логарифмическом неравенстве, то здесь с помощью метода рационализации, левая часть была "причесана" до наиболее удобной формы - произведения с очевидной кратностью корней. То есть о знаках и думать не приходится: справа - плюс, далее чередование, в точке x=1 - повтор знака, поскольку был квадрат - (x-1)². Но и непосредственная подстановка здесь дело секундное: между log₆7 и 3log₆7 очень удобно взять 2log₆7.

[@matveysaprykin]

Доброго времени суток! Хотелось бы узнать : на какие уроки в пособии ткачука стоит обратить внимание для подготовки дви МГУ (нацелен на максимальный балл)?

[@WildMathing]

День добрый! В этом ролике озвучиваю наиболее актуальные темы из Ткачука: kzbin.info/www/bejne/nHXch6uAm7lkoas А вот здесь цельные рекомендации по подготовке текстом: 1. Два-три дня посвяти пробникам: прорешай варианты прошлых лет с 2011 по 2017 год. Разбери ошибки: на сайте ЦПК МГУ есть решения и ответы, на моем скромном канале есть разборы задач последних трех лет. Вот здесь сверстал бонусный вариант с решениями: yadi.sk/i/VCdhgwKH3KYBsM + на форуме Ларина есть темы с обсуждением пробников в формате ДВИ. Цель этой стадии: как можно лучше понять, что получается, что нет, лучше прочувствовать структуру, научиться грамотно распределять время на экзамене в таком формате. 2. О том, чтобы делать ошибки в №1-4 и текстовой задаче, не может идти и речи. Эти пять номеров нужно решать без единого не то что промаха - недочета. Это единственная прямая дорога к 80+ на ДВИ по математике. Так что при наличии проблем в этих темах (а они есть у всех), начни отрабатывать тригонометрию, логарифмические уравнения и неравенства, текстовые задачи. Для этих целей отлично подойдет Ткачук и другие пособия для абитуриентов: тот же Шабунин или, например, Сканави. Обрати внимание на графический способ решения текстовых задач: последние три года его удавалось применить, и многим это позволило сэкономить время и силы. 3. Дальше уже субъективно, но в любом случае геометрия: либо крепче бери планиметрию, либо стереометрию. Если планиметрия, то целиком Гордин, а там уж, коли останется время, - например, Понарин. Если стереометрия, то сначала нужно безошибочно решать задачки уровня ЕГЭ: в этом очень поможет mathus.ru, вот здесь объединил все нужные методички: vk.com/doc-157093242_454690397 - стоит повторить теорию и прорешать задачки, которые там же есть с решениями. По стереометрии далее можно взять Ткачука. В условиях ограниченного времени можно опустить теоремы о трехгранных углах - больше работай над чисто школьным материалом. 4. Отдельно за восьмой задачей отдельно гнаться не стоит: здесь просто нужен высокий уровень математической культуры, хороший олимпиадный опыт. Но при желании можно подтянуть нестандартные приемы, неравенства о средних, геометрические интерпретации алгебраических задач, олимпиадные задачи с параметром. В общем, любой разбор серьезных алгебраических конструкций пойдет на руку.

[@matveysaprykin]

Wild Mathing спасибо большое !!!

[@WildMathing]

На здоровье!

[@АлександрМохов-р5л]

Спасибо

[@WildMathing]

Yr welcome!

[@dmitriybobkow9035]

03:21 почему 3 серия поглощается 1 или 2? ps: на видео - гений) Начало у видоса бомбезное просто)

[@dmitriybobkow9035]

Хотя все понятно, но это же не очень очевидно? Ну по крайней мере я когда прорешивал не обратил на это внимания и записал в ответ все 3 решения

[@WildMathing]

Очевидность - дело, как правило, субъективное - это да. Но здесь дело еще и некоторой культуры: все-таки некрасиво писать одни и те же корни в ответе, и поскольку в тригонометрических уравнениях такие пересечения бывают часто - начинаешь оценивать серии уже сразу и не задумываясь.

[@АбдуллахЯндиев]

Wild Mathing а серия п + 2пк здесь тоже повторяется Не стоит ли запировать вместо пк/3 - +-п/3 + 2пк ?

[@denisashi2]

А можно спросить? Я про то, как именно вы воспользовались методом рационализации в 5:11

[@WildMathing]

С учетом того, что x положителен был использован метод рационализации (метод замены множителей): (log₆x)²=(log₆x-0)²=(log₆x-log₆1)(log₆x-log₆1) ~ (6-1)(x-1)(x-1) ~ (x-1)². Вот здесь можно посмотреть вывод этого эквивалентного перехода в общем виде: kzbin.info/www/bejne/iIXUdGZoht9smqM

[@denisashi2]

@@WildMathing спасибо

[@WildMathing]

Не за что!

[@ИванМатьего]

В 8 задании мы возводим в квадрат оба уравнения, нужно ли писать ОДЗ для левых частей, что они больше нуля, либо потом делать проверку, вы этого не делаете, почему?

[@WildMathing]

Ни возведение в квадрат, ни сложение двух уравнений системы (оно тоже имело место быть) в общем виде не является равносильным, так что проверка нужна. И, как не странно, она делается в момент 15:44 - результат следствия α=x²-y²=π/6 подставляем в обе строчки исходной(!) системы, благодаря этому действию можно быть уверенным, что найденные пары (x;y) на самом деле являются решениями, и других решений нет.

[@ИванМатьего]

@@WildMathing Спасибо большое за ответ, скажите пожалуйста почему сложение двух уравнений(с сохранением одного из исходных уравнений изначальной системы) не является равносильным переходом? И можно ли придумать такую иллюстрацию, где такая неравносильность очевидна?

[@WildMathing]

@@ИванМатьего, всегда пожалуйста! В видео было просто сложение двух строк и получение одного уравнения - следствия, об этой ситуации и писал выше как о неравносильном преобразовании. Однако проверка дает достаточность.

[@ВикторияЕлистратова-х8е]

Могу ли спросить, почему в стереометрической задаче плоскость DNC перпендикулярна АВС? Разумеется, если через первую проходит прямая, перпендикулярная АВС, то они по признаку перпендикулярны, но это в ходе рассуждений следует за словами о перпендикулярности плоскостей, что несколько напрягает. Извините, если вопрос все же глупый и я просто не могу догадаться.

[@WildMathing]

Нужную вам перпендикулярность формально можно объяснить так: DH⏊ABC, DH⊂(DNC) ⇒ (DNC)⏊(ABC). Честно говоря, я уже подзабыл, где этот факт применялся в ходе решения: так что если что-то смущает, укажите, пожалуйста, тайминг (конкретный момент видеоролика) - обязательно прокомментирую. Правда, смогу это сделать либо в ближайшие 15 минут, либо после 26 июля: уезжаю.

[@ВикторияЕлистратова-х8е]

Около 11:58.

[@WildMathing]

На 11:58 предлагаю рассмотреть плоскость DNC, которая перпендикулярна к AB (прислушайтесь: не к плоскости ABC, а к прямой AB). Это построение объясняется уже совсем легко: AB⏊DN, AB⏊CD ⇒ AB⏊(DNC).

[@ВикторияЕлистратова-х8е]

Спасибо, не заметила. Удачного Вам пути!

[@WildMathing]

Спасибо и Вам!

[@mathbyautistdimag.9330]

Давайте вышмат, какие нибудь непростые теоремы, смысл которых трудно понять, визуализировать.

[@WildMathing]

Думаю, что-нибудь в сентябре сделаю для новобранцев-первокурсников.

[@ВладимирАндреев-р9э]

7:58 Говоришь угол D это (180-a+b) а пишишь в теореме косинусов (a+b). Это ошибка?

[@ВладимирАндреев-р9э]

И ещё. 10:10 Почему мы делим отрезок AB в отношении 1:3. Это ведь не прямая пути. Вот с DD’ понятно, что путь=8. Вроде надо было через точку O провести отрезок параллельную к оси S(как это сделали с DD’) который был бы отрезан точкой лежащей на оси t, и точкой лежащей на одной прямой с B(опять же как это слелали с DD’) Иными словами сказано, что путь делим в отношении 1:3, а не график

[@WildMathing]

​@@ВладимирАндреев-р9э, угол D равен (180°-(α+β)), по формулам приведения cos(180°-(α+β))=-cos(α+β), это и было использовано, ошибки нет. В текстовой задаче, если не совсем разобрался, почему это верно, то опусти перпендикуляр OO' из точки O на ось абсцисс. Треугольники AOO' и ABB' подобны по двум углам, а коэффициент подобия равен 2/3, и это определяется непосредственно через расстояния OO' и BB', как ты и хотел.

[@mathphys685]

В последней задаче результат x²-y²=π/6 я получил сначала вычитая и складывая уравнения системы, получив новую систему, а потом перемножив уравнения полученной системы. Вот видите какой я молодец

[@WildMathing]

Это правда, что молодец!

[@theeventhorizon1788]

Ставлю ролик на скорость 0.75, чтобы хотя бы уловить суть происходящего, а так спасибо всё ясно объяснили)

[@WildMathing]

Сколько часов ты решал(а) задачи сам(а), прежде чем смотреть разбор, если не секрет?

[@theeventhorizon1788]

Wild Mathing, если честно совсем не решал, недавно узнал про ДВИ, через год собираюсь сдавать. Начал ознакамливаться с материалом, подтягивать знания, забытые за годы учёбы, в общем под руку попалось ваше видео и некоторые моменты я понял, а некоторые вообще нет, например в стереометрии я запутался, значит есть над чем работать и что повторить))

[@theeventhorizon1788]

Так же я впервые услышал про теорему Птолемея, не могу вспомнить чтобы в школе про такую говорили ¯\_(ツ)_/¯

[@WildMathing]

Понял тебя, дело благое! Я, собственно, к чему спросил: здесь все динамично, и мне кажется малоэффективно смотреть разбор сразу, поэтому не меньше 10 раз в этом ролике прошу сначала решать задачи самостоятельно, а уж потом (скорее в качестве награды за труды) смотреть видео. Так пользы будет больше и ускорять не придется.

[@WildMathing]

Да, теорема Птолемея вещь достаточно экзотическая.

[@mijey1816]

можно провести к B и D радиусы, получается квадрат. Значение корня из 2 не использовала, ответ сошелся, правильно сделала?

[@WildMathing]

А какие точки у тебя образуют квадрат и как ты это доказала?

[@ОтабекРахманов-е3ч]

это кайф

[@WildMathing]

Не каждый может его словить, но донести его постарался!

[@Alpha-ng6oc]

А не будет ошибкой, если в тригонометрических уравнениях не объединить серии?

[@WildMathing]

Ответ, который был дан в 3:21 верный, не будет серьезной ошибкой оставить его в такой форме. Это все равно что подытожить уравнение ответом: x=2, x=±2.

[@anitrana3765]

Прекрасно

[@WildMathing]

Все для вас!

[@lidiadyomina369]

Здравствуйте! Не могу понять, почему в 6 задаче АД параллельно СВ... объясните, пожалуйста

[@WildMathing]

Приветствую! Скорость Василия постоянна, поэтому отношение пройденного пути ко времени, за который этот путь пройден, - тоже постоянно. То есть тангенсы углов наклона прямых AD и BC совпадают, стало быть, эти прямые параллельны.

[@ПрофильнаяМатематика]

Почему в первом задании в квадрат нельзя умножить оба числа

[@WildMathing]

В первом задании возвести в квадрат оба числа можно, поскольку оба они были положительны. Обратного нигде не утверждалось.

[@ПрофильнаяМатематика]

Wild Mathing хммм🤔

[@ПрофильнаяМатематика]

Wild Mathing отлично

[@АнастасияМаксаймер]

почему в 7 задаче CN является высотой в треугольнике АВС?

[@WildMathing]

В своем решении предлагаю рассмотреть плоскость CND, которая перпендикулярна AB, в таком случае CN⏊AB по определению. Но можно это же изложить иначе: проведем DN - высоту треугольника ADB, тогда по теореме о трех перпендикулярах CN⏊AB, ведь DN является проекцией наклонной CN на плоскость (ADB).

[@КонстантинСемичастнов]

Как воспользоватся теоремой Де Моргана в 7 задаче? У меня ничего не вышло(

[@WildMathing]

Какой именно?

[@КонстантинСемичастнов]

де Гуа, прошу прощения, которая "Стереометрический аналог Теоремы Пифагора"

[@savinposter9816]

А объясните пожалуйста , почему АД и ВС параллельны на 10:33?

[@WildMathing]

Скорость у Василия была постоянна, соответствующие отрезки отражают его движение по течению реки, поэтому за единицу времени он будет проходить фиксированный путь: графически это подразумевает равные тангенсы углов наклона прямых, отсюда и параллельность.

[@ВикторияЕлистратова-х8е]

Если не ошибаюсь, можно записать систему уравнений движения до встречи и после для катера с меньшей скоростью, поделить первое на второе и получить отношение промежутков времени (напомню, до встречи и после, скажем, t1 и t2; t1/t2 = 2). Обозначим расстояние от D до встречи за x, а от С до встречи за у. Далее стоит выразить разницу скоростей (путь, пройденный до встречи, поделенный на время) двух катеров до встречи, получаем 2x/t1. Поскольку скорости постоянны, это будет равняться разности скоростей после встречи (то есть снова берётся отношение пути и промежутка времени после встречи), она равна 2y/t2. Приравниваете разность и в итоге выходите на отношение двух отрезков: от D до встречи и от C до встречи. Оно равно x/y = t1/t2 = 2.

[@WildMathing]

Да, аналитически задача тоже решается без проблем, вот здесь «официальное» решение: cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf

[@ElizavetaOrlova-v8s]

Вот, что значит краткость - сестра таланта!

[@brainstorm4831]

А почему мы в последнем задании приняли альфа как разность квадратов?

[@WildMathing]

Эта замена сделана исключительно для удобства: уравнения выглядят приятней и легче отделять главное от второстепенного.

[@levars1]

Объясните, пожалуйста, откуда в первом уравнении последней системы 4 задания появился множитель (х-1)^2?

[@xy9961]

метод рационализации, насколько я понял (гугл в помощь)

[@WildMathing]

Арсений тебе Марк верно подсказывает: это был метод рационализации. Уже писал тут на этот счет, так что просто скопирую: для x>0 множитель log₆x можно заменить на (x-1), и новое неравенство останется равносильным исходному. Вот здесь есть подробности на этот счет: kzbin.info/www/bejne/iIXUdGZoht9smqM

[@levars1]

Wild Mathing спасибо!

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@noyafox347]

Пародия на Бориса Трушина в начале? 😂

[@WildMathing]

Вовсе нет: у Бориса Трушина (и не только у него) хорошие начальные вставки, и мне кажутся они актуальными для длинных роликов, так что попробовал тут их добавить.

[@icefrozen6014]

Почему в номере 3 нужно писать через m n k , а не всё например через k

[@WildMathing]

В совокупностях можно использовать как одинаковые целочисленные переменные, так и разные

[@kuchma19]

Можете подсказать, где найти экономические задачи такие, как на егэ, но 2-3 раза сложнее?

[@WildMathing]

На самом деле задач формата ЕГЭ, но существенно сложней, не существует: сам формат противоречит сложности. Но кое-что, конечно, предложить могу. 1) Можно заглянуть в варианты Ларина: там бывают конструкции близкие к ЕГЭшным, но с некоторым новшеством: в том числе попадаются хорошие задачи на оптимизацию. 2) В пособии Ткачука открываем варианты вступительных экзаменов в МГУ и за каждый год смотрим задачи экономического факультета: там бывают серьезные оптимизационные задачи, мощные задачи на проценты и не только. 3) Сложные задачи по вкладам и кредитам можно найти в учебниках по финансовой математике. Но, как правило, там 98% задач для ЕГЭ не пригодны. Если в книге есть отдельные главы по аннуитетным и дифференцированным платежам, вкладам без учета инфляции - смело бери на вооружение. 4) Полезные (но не то, чтобы сложные) задачи/упражнения есть в пособии Дмитрия Гущина: alexlarin.net/ege/2016/gdd.pdf - тут же можно получше разобраться с тем, как работают те или иные формулы в общем виде.

[@kuchma19]

Спасибо огромное!!!

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@dimaskarpus1425]

Подскажите, кто нибудь, как он доказал что угол HAD=DBN. Кто может дать ссылку на материал по его доказательству через дугу или может быть в коменты напишет. Помогите плиз, а то реально заступорился.

[@dimaskarpus1425]

Кстати, задача номер 5

[@WildMathing]

Он использовал замечательное свойство: угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой. То есть угол DBN равен половине меньшей дуги AB. Но ведь угол HAD, будучи вписанным, тоже равен половине меньшей дуги AB! Значит, углы HAD и DBN равны.

[@gogames8578]

Первое задание не проще было просто посчитать?

[@WildMathing]

Просто вычислить тоже можно, но это было бы чуть дольше и неактуально для большинства зрителей.

[@streetworkout3690]

А олимпиада "Ломоносов" будете разбирать этим летом?

[@WildMathing]

Летом привычных разборов задач, увы, не планируется. Но, думаю, несколько интересных роликов по математике имеют все шансы к созданию.

[@streetworkout3690]

Интересный ролики по математике это я люблю. Жду с нетерпением.

[@VARUHINKA]

А разве в 8 задании можно возводить в квадрат? Левые части не факт что положительные

[@WildMathing]

Можем ли мы возвести обе части уравнения x=2 в квадрат, не беспокоясь об отрицательности левой части? Да, просто мы получим уравнение следствие x²=±2, и прежде чем писать оба значения в ответ, стоит сделать проверку. В нынешней задаче после возведения в квадрат также получилась система-следствие, из которой нашлись значения x²-y²=π/6. Но это значение потом подставлялось в каждое исходное уравнение системы, и для найденных пар (x;y) левые части неотрицательны и равны в точности правым частям. Такие вот дела. Но вообще, здесь можно и без возведения в квадрат обойтись, вот официальные решения: cpk.msu.ru/files/2017/math_solutions.pdf

[@СашаИванов-м1в]

Ураааааа

[@WildMathing]

Рад, что кто-то ждал этот ролик!

[@антонмирошниченко-ы5г]

А почему в последней задаче альфа = p/6?

[@WildMathing]

На 15:43 написаны три оранжевые строчки, во второй из них вторая скобка равна единице, поэтому имеет место быть третья строчка: x²-y²=π/6, но именно это и было обозначено за α черным маркером в момент 14:47.

[@bazislapper6283]

Не очень понял, это на какой факультет дви? чего так просто то?

[@WildMathing]

Последние 8 лет ДВИ по математике единый для всех соответствующих факультетов МГУ. В варианте есть и задачки уровня ф-та психологии, есть и для экономистов. Но, как и в старые времена, есть серьезные задачи вроде №5, 7 и №8, которые отлично подходят абитуриентам мехмата и ВМК.

[@JackFastGame]

Это реальное ДВИ? Какой проходной? Какие-то задачи простые.

[@WildMathing]

Сопоставить реальные варианты с тем, что здесь, и убедиться в идентичности можно на сайте ЦПК МГУ: cpk.msu.ru Шкала перевода баллов за 2018-ый год есть в начале этого ролика: kzbin.info/www/bejne/o6eUamlurqelh6M

[@Tanja-k1x]

В планиметрии я вместо теоремы Птолемея стала подставлять найденную сторону NH в теорему косинусов треугольника NHB, таким образом нашла х, у меня получилось два варианта :√10, как у вас, и √7. Почему его не должно быть?

[@Tanja-k1x]

Отбой, я разобралась :)

[@sirojiddindultaev8292]

А сколько надо было решить чтобы пройти?

[@WildMathing]

Результат оценивается по 100-балльной шкале, а затем суммируется с результатами ЕГЭ. Так что кому-то и 90 мало, а кому-то и 70 с запасом хватит. Вот часть данных из шкалы перевода. Имеются в виду полностью верно решенные задачи. 3 задачи = 60 баллов 4 задачи = 70 баллов 5 задач = 80 баллов 6 задач = 90 баллов 7-8 задач = 100 баллов

[@sirojiddindultaev8292]

Спасибо!

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@Ffghjbd]

Мне до проходного нужно набрать 60 б по ДВИ. Стоит ли рыпаться? 80б по профилю, если че

[@WildMathing]

60 баллов набрать очень легко, но нужна стабильность, нужно уметь не ошибаться в простых задачах. В том году за четыре верно решенные задачи давали 65 баллов.

[@sunnatulloradjapov8961]

а извините у вас какой образования? мехмат Мгу?

[@WildMathing]

Мое образование - это двухтомник Зорича

[@mystictalkingpikachu7007]

0:00 - 0:47 кого то мне это напоминает)))

[@БайэлСапаралиев-ъ7л]

Дви-это вступительные в мгу?

[@WildMathing]

ДВИ - это дополнительные вступительные испытания, в России они остались лишь в нескольких вузах, и МГУ в их числе.

[@БайэлСапаралиев-ъ7л]

Wild Mathing спасибо

[@WildMathing]

Пожалуйста!

[@Mathphdc]

А физику вы так же хорошо знаете?

[@WildMathing]

Математика мне нравится гораздо больше любого другого технического предмета, так что знания по физике можно назвать скромными.

[@Mathphdc]

А не посчастливится вам знать, какие-либо пособия и материалы для подготовки к физике? Просто думаю многие здесь, как и я сам, из-за любви к математике хотят поступать в технические вузы, вследствие чего нужно будет сдавать физику, а значит необходимо готовиться. Если, что-либо известно, будьте так добры, напишите мне! Заранее спасибо!)

[@WildMathing]

К сожалению, не компетентен рекомендовать литературу по физике. Могу ручаться за материалы на mathus.ru, ибо очень хорошо знаю материалы Игоря Яковлева по математике. На меня также хорошее впечатление производят каналы: Владислав Карибьянц, Павел ВИКТОР и GetAClass, а еще хорошие уроки у Михаила Пенкина.

[@Mathphdc]

Wild Mathing Спасибо большое за ответ!!!))

[@math26ru]

Смог решить только первые три(

[@WildMathing]

Тоже неплохо! Да и то, что попробовал решить сам - уже хорошо!

[@TheNechXD]

Превью как у любимого Бориса Трушина))

[@ДимаДжасиков]

А теорема Птолемея считается за школьную? Или нам геометрию фигово преподавали😂 Вообще мне бы 80 за ДВИ набрать и прошел бы. Если 90, так вообще круто. Егэ 86 , но баллов 6 на ерунде потерял и 17 задачу не так прочитал🤦‍♂️

[@WildMathing]

Теорема Птолемея есть в школьных учебниках, рекомендованных минобром на 2017-2018 учебный год (Например, Мерзляк. Геометрия 8 класс). То есть на ЕГЭ и ДВИ смело можно использовать ее без доказательства. Но в целом этот факт не очень популярен в школе, поэтому нет беды в том, чтобы познакомиться с ним только сейчас. Ну а про баллы: 80+ набрать при должной подготовке вполне реально - успехов в этом!

[@ДимаДжасиков]

Wild Mathing спасибо

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@kamrankurbanov2079]

скорость обяснения =3 ий космическому))

[@EmilBinkov]

Про ФНМ забыли на превьюшке((

[@WildMathing]

Ни разу не забыл: в МГУ абитуриенты аж 15-ти факультетов пишут внутренний экзамен по математике, всех не уместить. Здесь есть актуальный перечень: cpk.msu.ru/files/2018/schedule_12.pdf

[@sundu4oktv82]

У меня прыжки как у Виета