# 19. (★★★) 数Ⅱ 図形と方程式 包絡線（微分の解法）

[@ともちゃん-h1q]

すごくスッキリわかりました！ どの参考書や他のKZbinrの動画解説よりもわかりやすいです！ ありがとうございます！

[@mathkarat6427]

嬉しいお言葉に、涙が止まりません。 いただいたお言葉を励みに頑張って参ります。

[@yuna5267]

数式の性質だと思っていた包絡線の解法の理解ができました！ ありがとうございます

[@mathkarat6427]

こちらこそ、嬉しいコメントをありがとうございます。

[@いろはす-j4n]

微分による解法にすごく感動しました！ 1つ質問なのですが6:23からの話の原理があまり理解できません。なぜ元の式をt微分して、そこで接点のx座標が出て元の式に入れることが可能なのでしょうか？無知で申し訳ありません。

[@mathkarat6427]

コメントありがとうございます。6:23からの話は、高校範囲外となります。証明は、大学で学びます。答案の書き方としては、6:58からの話を聞いてください。「微分による解法にすごく感動しました！」嬉しいコメントですので、もう少し包絡線に関する問題のアップを検討します。

[@いろはす-j4n]

@@mathkarat6427 返信ありがとうございます！大学数学は未開拓の地なので証明方法を理解できないのは残念ですが、この動画のおかげで解法のバリエーションが増え視野が広がりました！来年度から高３ということもあり参考にさせて頂きます！

[@mathkarat6427]

喜んでいただけたようで嬉しいです。「来年度から高３」でこの動画を楽しめているのですから、レベルの高い方と思います。このコメントに励まされました。動画のアップを頑張ります。

[@ししゃも-b1n]

math karat どこの範囲を知っていたら証明出来るのでしょうか？🙇‍♂️

[@ししゃも-b1n]

math karat xytの三変数の式とみて、偏微分してるって感じですか？

[@radio4725]

おおお、すげー！！

[@mathkarat6427]

ご視聴いただき、ありがとうございます。

[@YouTubeAIYAIYAI]

神動画👏【 包絡線の求め方→ 2次, ☆3次 】⑴ y＝2t･x－t²＋1 の包絡線は、x, y を固定し、 両辺を t で微分して、０＝ 2x －2t ⇔ t＝x だから、t を消去して、y＝2x･x－x²＋1 ⇔ y＝ x²＋1 ■ ⑵ y＝3t²･x＋2t³ の包絡線は、x, y を固定し 両辺を t で微分して、 ０＝6t･x＋6t² ∴ t＝－x (∵ t ≡ 0 ではない ) t を消去して、y＝3x³－2x³ ⇔ y＝ x³ ■ ( x＝－t での接線 ) ☆ 偏微分 連鎖律

[@mathkarat6427]

「神動画」とは、恐縮です。 いつも合八一合様のお言葉を励みに頑張っております。

[@YouTubeAIYAIYAI]

@@mathkarat6427 さん いつもお世話になっております。 楽しく勉強させて頂いてます🙏。

[@mathkarat6427]

こちらこそ、アドバイスに感謝しております。

[@hyacinthaotea1244]

めっちゃくちゃ分かりやすいです。 これみて頑張ります

[@mathkarat6427]

ありがとうございます。 このお言葉を励みに、頑張ります。 この動画をお楽しみいただけるとは、貴方様の能力もかなり高いと思います。

[@グリーンカリフラワー-k4h]

なんで判別式がD＝0となるんですか？

[@mathkarat6427]

t に関する方程式 t²-2xt+y-1=0 で , t がすべての実数をとるので , 判別式 D≧0 を考えると , y ≦ x²+1 がでてきます。つまり, （x , y ）がこの条件を満たさないと t は実数をとることはできません。その等号ででてくるのが , 判別式D＝0とした y = x²+1 となります。また，y=2tx-t²+1と y = x²+1で，2tx-t²+1= x²+1とおいてみると，(x-t)²=0となります。つまり，y=2tx-t²+1と y = x²+1は，x=t で重解をもつ（接する）ということが分かります。分かりにくい説明でしたら，申し訳ありません。

[@とらとらた-s2k]

為になりました。ありがとうございます。1つ質問があるのですが、(2)の領域に関して、tの範囲が0≦t≦1ならば、x＝tが接点のx座標を示すため、xの範囲も0≦x≦1となり、求める領域は0≦x≦1かつy＝1とy＝2xの間の領域と考えたのですが、なぜそうはならないのでしょうか。教えて頂けると嬉しい限りです。🙇

[@mathkarat6427]

接点の x 座標(x=t)が 0≦ｔ≦1を動きます。接線が、0≦x≦1 の範囲としてしまうと、線分となってしまいます。あくまで、接点の範囲に制限があるだけで、直線は、すべてのｘをとります。７分30秒あたりの直線が動く箇所をご覧ください。分かりにくいお返事で申し訳ありません。

[@とらとらた-s2k]

math karat あーなるほどです！つまり、x＝tとは接点のx座標が0≦x≦1なのであって、グラフ上では接点を通る直線をまとめたのが求める領域となる為、グラフ上での接点を通る直線の式y＝何とかー は、その直線上の任意の点全てを通るから、グラフ上でのxに関しては範囲の制限がない(このxは全ての実数をとる)という事でしょうか。何度もすみません。

[@mathkarat6427]

はい、その認識でよいと思います。

[@とらとらた-s2k]

math karat ありがとうございます！

[@worldspacestar]

わかりやすい

[@mathkarat6427]

恐縮です。 ご視聴に感謝致します。

[@KOMPElTO]

難関大志望の新高３です。分かりやすい解説で感動しました。

[@mathkarat6427]

嬉しいコメントありがとうございます。 受験頑張って下さい。応援しております。

[@molly-cc4nm]

これは賢いな

[@mathkarat6427]

ご視聴ありがとうございます。 もしよろしければ、# 41. 直線の通過領域（東京大1997年）もお楽しみ下さい。 同じ手法で、さらりと解いています。

[@futomayu.channel]

6:32辺りで、両辺をtで微分するとなぜyが0になるんですか？

[@mathkarat6427]

大学で学ぶ知識を利用しています。 大学受験の答案としては、6：55～をご視聴下さい。 今回の微分解法が、恐らく最短と思いますが、他にも「ファクシミリの原理」の解法を使えるようにしたおいていただければと思います。

[@user-yz8iu5rt2r]

定数を微分してるから0になるのでは

[@平尾圭子]

いやあ、ありがたい！

[@mathkarat6427]

こちらこそ、ご視聴ありがとうございます。

[@微熱-q4l]

6:18あたりの判別式で解いてる時、接点のx座標の式x＝tはどうやって出しますか？

[@mathkarat6427]

3次関数以上になると、判別式は使用できなくなります。 そういう出題が多々あるので、その後の微分の解法を述べさせていただいております。ご視聴ありがとうございます。

[@めぐりめぐる旅人]

解法1と2は青チャートに書いてあったので知ってましたが、解法3は始めて見ました。とても分かりやすく、思わずチャンネル登録しちゃいました。時間がある時に他の動画も参考にさせて頂きます。

[@mathkarat6427]

チャンネル登録ありがとうございます。とても励みになります。 3次関数以上になると、包絡線の場合は威力を発揮します。答えが先に見えてしまいます。 #41の東大の問題（3次関数の包絡線）などは、一撃です。 ご視聴ありがとうございます。

[@お前よりはイケメンだけど]

動画投稿ありがとうございますm(_ _)m

[@mathkarat6427]

こちらこそ、ご視聴ありがとうございます。

[@_836comet7]

すごい！これは記述量をかなり減らせますね！

[@mathkarat6427]

おっしゃる通りで、記述量が減らせます。 難関大では、領域を図示できる前提で、そこから面積を求めさせる出題もあります。ですので、いかに早く正確に図示できるかが問われると思います。 #41の東大の問題（3次関数の包絡線）などは、一撃です。 ご視聴ありがとうございます。

[@bot-ci4hc]

十分性…