#88. HOW TO SOLVE PROBLEMS WITH PARAMETER?

We analyze an interesting problem with a parameter (analytical approach). We study the number of solutions, we take into account the limitations.
TASK TO ALL VIDEOS: wall-135395111_8104
SPEED UP THE PROCESS OF CREATING A NEW VIDEO: www.donationalerts.ru/r/wildma...
VK: wildmathing
UPD. (4:30) with a = 3, the root t = 2, of course, no - it’s better to say so right away.
Getting started guys! There were preparatory tasks on this topic, the graphic method was also disassembled, in general, do not blame me: in this series the tasks will often be non-childish.
MORE STEPS WITH A PARAMETER:
1. The most difficult task on KZbin: • #138. САМАЯ ТРУДНАЯ ЗА...
2. Beautiful olympiad problem: • #142. ЗАДАЧА С ПАРАМЕТ...
3. The task with the real exam: • #102. ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕ...

[@georgymartynovich4522]

4:09 - Все же не очень понятно, как «позаботится о том, чтобы обе части были не отрицательны» Просто написать a-3>=0 ? Рассуждения про уравнение следствие и т.д. совсем не понял

[@bestchoice6304]

Представь что вместо a у тебя какое-то число и есть вот такое выражение x^2=a то решение было бы x= +- корень из a, теперь попробуй написать задом наперед, например, уже зная x : x=+- корень из а, тогда x^2=a (a>=0, иначе корень из a просто не существовал). По такому же принципу сделали и в видео

[@WildMathing]

Все очень просто, вот интересный тебе равносильный переход: √f(x)=g(x) ⇔ f(x)=g²(x) и притом g(x)≥0. Он очень просто выводится: если у нас есть уравнение вида √f(x)=g(x), то в случае g(x)

[@jelymelyaugustnester358]

@@WildMathing все же не очень понял, почему, допустим, sqrt(25) =/= -5 (корень из двадцти пяти не равен минусу пяти)? З.Ы: и как на 4:32 можно получить t=2, если при а=3 решений нет (знаменатель = 0)?

[@WildMathing]

@@jelymelyaugustnester358, квадратный арифметический корень в поле действительных чисел принимает только неотрицательные значения. Поэтому √25=5, и никак иначе. Про t=2 ты совершенно прав, в описании уточнил это в свое время

[@jelymelyaugustnester358]

@@WildMathing Спасибо

[@user-cm7ih5ef7z]

Решил в 10 строчек, перед тем как смотреть на решу егэ, сидел минут 5 в недоумение "Зачем делать так сложно , если можно проще". В итоге ответ сошелся и я остался доволен

[@TheoryofaBigBang]

Замечательные разборы! Люблю ваши уроки,очень помогают!

[@WildMathing]

Спасибо за доброе слово!

[@jelymelyaugustnester358]

0:40 То оно вам улыбается 1:05 то удивляется Лицемерное какое-то уравнение с параметром....(.-.)

[@alexproduction7613]

Урааааааа! Первое серьезное задание с параметром осилил! Огромное спасибо вам,побольше бы интересные видеоразборов!!!!

[@WildMathing]

Молодчина, поздравляю! Спасибо и тебе! Если что, на канале уже более 50 разборов задач с параметром: будет чем поживиться!

[@99thegrob]

шикарная подача

[@vadimsarthannel4565]

Отлично! Спасибо за урок))

[@WildMathing]

Спасибо за просмотр!

[@user-jx2ht7ny3n]

Полчаса это дело решал, остался доволен, хотя вторая половина ответа у меня магическим образом исчезла, ибо мне показалось (после 2:00), что надо прописать по теореме Виета -2(а-3) >= 0 (сумма корней больше равна нулю), ибо может быть так, что оба корня (уравнения про t) отрицательны, а тогда они нам оба не подойдут. Теперь понял, что можно было сделать проверку с каким-то одним числом из второго промежутка ответа и убедиться, что всё норм (проверки помогают, когда не совсем всё понимаешь). Я в этих тонкостях немного путаюсь, но думаю со временем разберусь :) Я решал немного по-другому, вторая половина видео меня пугает. Вообще пугает, когда надо работать с большими уравнениями, как бы не сделать лишнего и не уйти в дебри. А вам удачи и спасибо за видео.

[@xvxv1296]

Идеально!

[@alekseyokhrimenko9997]

Можно было просто заметить, что вершина в точке t0 = 1 (a не равно 3) => подходят все значения а, когда корни существуют. Останется лишь проверить, при каком а t =2 и исключить это а )))

[@AlexeyEvpalov]

Замена на t напрашивается. Спасибо за подробный разбор решения.

[@user-ky8sp5ck7c]

ПРИВЕТ!!!!!!!!!!!!!! а проверку последнюю для проверяющих сделал? без нее балллллы урезают?????????????????

[@masconn]

когда вы при проверке корней возводили в квадрат, то потеряли условие второго корня (t не равен 2), если проверять корни отдельно, то получится для второго корня (там где минус) a = -3/13, эту точку тоже надо исключить

[@WildMathing]

Спасибо за комментарий, Александр! В решении здесь ничего не забыто, начиная с 3:49 долго и упорно выясняется не равно ли t двум. При a=3 равно, но это значение до ответа и не добралось. В общем, проверь свои вычисления и посмотри другое решение с правильным ответом вот здесь: ege.sdamgia.ru/problem?id=501050

[@masconn]

Благодарю с ответ. Да, действительно, я ошибся с расчетами. На решуегэ уж больно сложное и непонятное решение, у вас все гораздо понятнее

[@WildMathing]

Спасибо за добрые слова. Обращайся, если будут вопросы!

[@marozetka6867]

Спасибо за эти шутки!

[@WildMathing]

Обращайтесь!

[@somebody198]

А если решать через,эм,"график",то есть...Указать условия,при которых у нас есть корень на [1;+inf).Направление ветвей,значение в точке 1?Тогда перепроверка не нужна?

[@WildMathing]

Нужна все равно: условие t≠2 нельзя миновать. Кроме того, единственный корень относительно переменной t (для которой можно было бы говорить о параболе) еще не значит единственный корень относительной исходной переменной "икс".

[@Nick-ot1dl]

Можно ли было заменить на t то, что содержится в знаменателе (и числителе, мы выносим а за скобки)? Пришлось бы сделать оговорку, но решение было бы намного проще)

[@WildMathing]

Заменить можно было бы, но решение проще не станет. Вот неочевидная замена, которая кое-в-чем упрощает решение: ege.sdamgia.ru/problem?id=501050

[@PussyHunter228]

Привет! Большое спасибо за ролик! Подскажите пожалуйста почему мы не проверяем корни t на то, что t>=1? Мы же ведь только к 2йке приравняли

[@WildMathing]

Приветствую! Спасибо, что посмотрел! Про единичку даю комментарий в момент 3:33. В сущности у нас два корня: 1+s, 1-s. Значит, обязательно будет корень, не меньший единицы.

[@PussyHunter228]

@@WildMathing спасибо большое! Пока писал, что ничего не понял, понял, что даже если будет t1

[@WildMathing]

«Сэр, это мой гражданский долг!»

[@rybury7895]

Больше параметров ❤️

[@WildMathing]

Их же уже больше 40 на канале! Впрочем, будет и еще обязательно

[@user-iu1yo9lp1r]

Здравствуйте! 1. А почему ограничение на замену >=1? Ведь эта замена существует при всех х 2. Нельзя было не считать корни, а просто подставить t=2 и найти а и выколоть эти а на числовой прямой?

[@WildMathing]

Добрый день! Мы же не пишем x≥1, в ролике было именно t≥1 - это большая разница. Для t=√(1+x²) икс принимает любые значения, а вот t не бывает меньше единички, поскольку под корнем к единице прибавляется неотрицательное выражение x². То есть такие ограничения - это аналог области значения функции t(x)=√(1+x²). В общем, для верного решения задачи нельзя ограничиться только условием t≠2

[@regularuser3046]

А может ли быть такое,что при обоих положительных частях уравнения где в одной части радикал,а в другой t уравнение не иметь корней ? Вроде возвести в квадрат то можно,но дальше же будет вычисляться также дискриминант и он вроде может быть отрицательным

[@WildMathing]

По условию нас интересуют значения параметра a, при которых будет хотя бы одно решение. Решения будут, если t≥1 и t≠2. Почему же при D≥0 и a≠3 всегда найдутся подходящие t? Потому что t=1±[что-то]. Два значения (возможно, совпадающих), которые симметричны относительно единички: понятное дело, что хотя бы одно из них будет не меньше единицы. Ну а условие t≠2 в ролике проверяется во всех деталях. Не разберешься - дай знать!

[@regularuser3046]

​@@WildMathing всё,я понял,этих условий достаточно для одного корня,спасибо.

[@user-wy3mr6nj6w]

В любом случае, мой кот толще!

[@WildMathing]

Может быть, может быть!

[@user-ij1lb3np1x]

На мой взгляд здесь можно решить всё ещё проще Если знаменатель взять за t, то уравнение принимает вид: 1/t + a = 3. (t не равно 0) Найдем наименьшее значение знаменателя (t) с помощью производной. f'(x) = ((1+x^2) + 2корень из (1+x^2))'. f'(x) = 0 при x = 0 (исходя из вычисления производной), а f(0) = - 1. Следовательно t > - 1(и не равно 0) . Следовательно 1/t принадлежит (-бесконечность ; - 1] и (0 ; бесконечность). Учитывая то что исходя из замены (1/t + a = 3) a = 3 - 1/t, то a принадлежит (-бесконечность ; 3), [4; бесконечность).

[@WildMathing]

Супер, очень хорошее решение! Можно еще наименьшее значение знаменателя без производной указать: там ведь относительно √(1+x²) график - парабола, ветви вверх, вершина находится устно как и нужный x=0. И чуть-чуть стоит сказать про решения относительно "икс" (оригинальные), ведь единственность относительно t еще не дает единственности относительно "икс".

[@user-ij1lb3np1x]

Wild Mathing, насчёт решения относительно x не понял, можете объяснить?

[@WildMathing]

Да, конечно. Ты выяснил, когда уравнение относительно t имеет единственное решение, но единственное решение просили относительно исходной переменной "икс". Это значит, что еще требуется исследовать, сколько решений имеет уравнение t=1+x²+2√(1+x²) при найденных тобой значениях t. Это процедура в итоге будет сопоставимой с той, что происходит в видео. Но мне все равно твой первый шаг очень и очень нравится!

[@dopamine5071]

> "Следовательно 1/t принадлежит (-бесконечность ; - 1] и (0 ; бесконечность)." Объясните, пожалуйста, почему исключили интервал (-1; 0)? Вроде это не следует из того, что t > -1 и t не равно 0..

[@user-ij1lb3np1x]

Dopamine, следует. Построй график f(t) = 1/t на данном промежутке (спойлер: графиком будет гипербола, которая по оси ординат определена на...)

[@smokyice4881]

Как он четко пишет,

[@jonik_s526]

👍👍👍🤘

[@Nikilag-ho9yp]

4:28 при таком а мы получаем нулевой знаменатель)

[@TheSupershadow124]

Давайте еще с параметром да посложнее , пожалуйста)

[@WildMathing]

Ближайшие восемь роликов будут исключительно о параметрах. Сложность стоит ждать на уровне ЕГЭ, то есть ничего запредельного. Среди других будут выделяться #7, #8 (нестандартные) и #9 (в разы сложней ЕГЭ).

[@user-wr4tk9zq8e]

Али Султанов последователь методов Султанова? :))

[@user-hy1wg6ym7v]

Доброго времени суток! А разве не нужно рассмотреть значения параметра а, при которых t>=1?

[@WildMathing]

День добрый! Мы именно так и сделали: ограничение t≥1 учтено в момент 3:33 - для всех рассмотренных значений хотя бы один из корней будет удовлетворять неравенству

[@user-hy1wg6ym7v]

@@WildMathingПонятно. Спасибо, что отвечаете на вопросы даже через столь длительное время)

[@WildMathing]

@@user-hy1wg6ym7v, всегда пожалуйста!

[@germangavrilenko3392]

Можно было решить проще, заметив, что у получившейся параболы фиксированная вершина (х=1) (естественно, при а не равное трем) ,затем записать дискриминант, и подставить t=2, понять, что такой случай не реализуется и записать ответ:)

[@WildMathing]

Да, главное, не забыть отдельно проверить a=3.

[@germangavrilenko3392]

@@WildMathing надеюсь мне в среду не попадутся кредиты на 21 месяц...

[@ludal3080]

Спасибо)) А подобное задание может встретиться на ЕГЭ?

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста! Вообще, да: по сложности задача сопоставима с тем, что бывает на ЕГЭ. Была в свое время на пробном экзамене: ege.sdamgia.ru/problem?id=501050

[@drnyktenstein]

одно не пойму, почему в первом задании t>1, а не t>=0, тк квадратный корень всегда больше нуля или равен нулю

[@WildMathing]

Посмотри на подкоренное выражение (x²+1) - какое наименьшее значение оно может принимать? Единичку. Значит, t≥1.

[@vardo2275]

А почему не нужно проверять условие t>=1? У нас же есть вариант 1 - "что-то", он ведь может быть меньше единицы. (И да, в очередной раз большое, словно ваш кот, спасибо за ролики =3)

[@WildMathing]

Дело в том, что по условию мы можем довольствоваться наличием хотя бы одного корня. Как находятся корни относительно переменной t? Вот так: t=1±sqrt((a-3)(a-4))/(a-3), но заметь, что для такой формулы всегда хотя бы один корень будет не меньше единицы. Не разберешься - дай знать! За ролики - всегда пожалуйста!

[@user-kr1xs1qw4y]

@@WildMathing Т. е. при постановке в эту пару корней любого значения "а", мы получим хотя-бы 1 корень, который больше 1(что и требуется по одз)? А если, например, от нас бы потребовали наличие ровно 2 корней? И, да, заранее спасибо за ответ и за ролики)

[@wonderfulworld1046]

0:56 почему вместо единицы, вы пишите at^2 как так вышло?

[@WildMathing]

Вместо a+b можно написать b+a, это и было сделано. Не разберешься - дай знать!

[@georgymartynovich4522]

Что происходит на 1:48 ? Как и почему помогает d/4 ?

[@WildMathing]

Когда коэффициент b в квадратном трехчлене ax²+bx+c (a≠0) четный, то b² будет кратно четырем и 4ac будет кратно четырем, то есть можно вынести эту самую четверочку, извлечь ее из под корня и сократить со знаменателем (там 2a всякий раз). Отсюда и формула D/4 (или часто такой дискриминант называют D1), которая позволяет сразу выполнить все эти операции.

[@user-gj5vy6rg4b]

Здравствуйте, а разве не повлияет то что мы дели дискриминант на 4?

[@WildMathing]

Добрый день! На 3:24 мы находим корни уравнения: обрати внимание на то, что в знаменателе нет двойки, хотя используя обычный дискриминант, ее следовало бы написать. Так и учтено влияние D/4.

[@user-gj5vy6rg4b]

Wild Mathing благодарствую за объяснение

[@WildMathing]

@@user-gj5vy6rg4b, всегда пожалуйста!

[@oleghvoynov]

Отличный разбор,правда вот у меня с параметрами туговато,единственный номер.вызывающий у меня сложность,что делать?(

[@WildMathing]

Нужно отточить как следует азы. Здесь список хорошей литературы по параметрам: vk.com/wall-135395111_251?reply=252. Методички Яковлева написаны строго и понятно - рекомендую. Книжка Высоцкого по параметрам отлично подойдет для цельного изучания темы (от легких номеров до по-настоящему трудных). На канале уже два десятка видео по параметрам - в помощь.

[@dolbaebich]

В 3:31 формула t выглядит - t = -b+-√D/2a. Ты 2 в знаменателе забыл

[@WildMathing]

Спасибо за формулу дискриминанта! Но присмотрись внимательно, я использую D/4, поэтому никаких двоек в знаменателе писать не нужно.

[@yarhladkyi7894]

Каким образом t получилось 2? 4:31

[@WildMathing]

На самом деле там нужно было сказать не t=2, а что при a=3 нет решений (обнуляется знаменатель дискриминанта / уравнение не является квадратным), но это, естественно, ничего не меняет. Заметил ошибку после записи ролика, так что указал ее в описании.

[@tilllindemann7754]

А можно было так решить? Получили уравнение с t. Проверили a = 3, не подходит. Далее a !=3. Поделим обе части на (a-3). В итоге t^2-2t + 1/(a-3)=0. Подставим t = 2: a прин. пустому множеству. Пусть f = t^2-2t + 1/(a-3). Заметим, что вершина параболы смещается по прямой x = 1. Чтобы уравнение имело хотя бы один корень t>=1 достаточно следующих условий: 1) D=0. Тогда a=4. Или 2) один корень >1, другой

[@WildMathing]

Да, это очень хороший подход! Только еще условие t≠2 нужно проверить

[@tilllindemann7754]

@@WildMathing немного не понял, а я в решении разве не то же самое сделал во 2 абзаце?

[@WildMathing]

@@tilllindemann7754, да, точно, сейчас увидел этот момент. Тогда все супер, отличное решение!

[@tilllindemann7754]

@@WildMathing спасибо, Вайлд, ты лучший!

[@mixie5542]

Очень интересно, но нифига не понятно)

[@WildMathing]

Комментарии для того и нужны, чтобы задать вопросы! А еще на канале есть подготовительные задачи с параметром, удобно начать именно с них.

[@user-ym3uj4uj3x]

А ты жёсткий

[@WildMathing]

Не мы такие, жизнь такая!

[@user-hk6gf2jm3l]

Почему 4 включительно? С 2:02

[@user-hk6gf2jm3l]

Все, разобрался, не надо)

[@WildMathing]

@@user-hk6gf2jm3l, на всякий случай: при a=4 мы имеем D=0, что запросто может дать решение уравнения.

[@user-hk6gf2jm3l]

@@WildMathing спасибо 😀

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@madme4552]

Всё понял, кроме одного момента, 4:16 - каким образом получилось (а-3)(а-4-а+3) из (а-3)(а-4)=(а-3)^2?) (А так, очень классные видео, лайк и подписка однозначно))(извиняюсь за аватарку, брат мелкий сидит))

[@WildMathing]

Тут просто вынесли (a-3) за скобки как общий множитель. Будут еще вопросы - пиши!

[@user-vl6bt6st4x]

@@WildMathing а если бы мы тут (а-3)(а-4)=(а-3)^2 поделили обе части на (a-3)? Тогда (a-4) = (a-3) => а-4-a+3=0 => -1=0? То есть решения нет? Ну да, у нас есть еще оговорка, что делитель (a-3) не должен быть равен 0. Тогда a не равно 3 и это то значение которое выпадает из рассмотрения в случае деления на (a-3) и тем самым мы знаем что корней кроме a = 3 нет, но является ли а = 3 корнем мы тоже не знаем в этой ситуации. Так? Или я гоню?

[@WildMathing]

@@user-vl6bt6st4x, все очень просто: делить на ноль нельзя, поэтому в уравнении (a-3)(a-4)=(a-3)² мы сначала рассматриваем отдельно a=3 и говорим, что это корень уравнения. Затем рассматриваем a≠3 и получаем, что в этом случае решений нет. В итоге уравнение имеет единственный корень a=3.

[@surrrogatehuman7653]

Почему при а=3 t=2?

[@WildMathing]

Конечно же, некорректно говорить, что уравнение при a=3 будет иметь корень t=2 - указал это в свое время в описании к ролику. В видео же говорю: «Такое t мы писать не имеем право».

[@user-mg9nj3rt6l]

Дв

[@jeb_7749]

Памагити: не понял, откуда появилась 1 в формуле нахождения t

[@WildMathing]

В момент 3:33 слагаемые числителя делятся на знаменатель по отдельности, в частности (a-3)/(a-3)=1. Не разберешься - дай знать!

[@jeb_7749]

Фигасе! Быстрое реагирование!

[@mister7383]

простой параметр

[@boss1k51]

почему у нас коэффициент b= (a-3) если он равен (a+6)

[@WildMathing]

На 2:13 коэффициент b=-2(a-3), то есть (-2a+6), но при поиске D/4 (или D₁ еще его называют) в квадрат возводится величина (-b/2)=(a-3).

[@boss1k51]

@@WildMathing не думал что так .быстро получу ответ😁 спасибо большое. Обожаю твой канал. Лучший учитель 😁

[@WildMathing]

Ur welcome!

[@user-io5xv9vb5b]

А почему мы не решали неравенство t>=1?

[@WildMathing]

Оно выполнено для любых икс: это не столько неравенство, которое нужно решать, сколько наше собственное утверждение о множестве значений, которые может принимать нововведенная переменная.

[@Nikilag-ho9yp]

@@WildMathing но если при решении последней дроби получим t

[@WildMathing]

​@@Nikilag-ho9yp, в момент 3:33 объясняю, почему хотя бы один из корней относительно t будет не меньше единицы

[@Nikilag-ho9yp]

@@WildMathing, спасибо, понял.

[@Nikilag-ho9yp]

А не будет ли у нас второй корень отрицательным?

[@WildMathing]

Может быть, но нас же интересует хотя бы одно решение (по условию задачи)

[@Nikilag-ho9yp]

@@WildMathing, то есть второй корень нам не интересен в данной задаче?

[@user-le6im1sj1x]

А как же случай, когда парабола имеет оба отрицательных корня?

[@WildMathing]

С учетом замены t≥1, так что случай, когда оба корня отрицательны, нас не интересует. Если не разберешься - дай знать!

[@user-le6im1sj1x]

Wild Mathing а разве не может быть такой случай, когда а из нашего промежутка сделает уравнение таким, что оно даст два отрицательных корня?Тогда нужно исключать эти а из промежутка или нет?

[@WildMathing]

Нет, на 3:46 даю четко это понять: "У нас обязательно будет один корень больший или равный единицы" (это связано с тем, что абсцисса вершины параболы для квадратичной функции равна единичке)

[@user-le6im1sj1x]

Wild Mathing спасибо, теперь понятно)

[@WildMathing]

Всегда пожалуйста!

[@mariapopova1716]

смотрю в 0,75.....

[@zisansuperman]

не понял нахождение D/4 а потом как его подставили как обычный D

[@WildMathing]

Если бы поиск корней происходил бы с помощью дискриминанта, то в знаменателе для корней оказалось бы выражение 2(a-3). В случае D/4 в знаменателе всего лишь (a-3).

[@shiningofthemoon]

Тревога! Ошибка в новом превью.

[@WildMathing]

Спасибо! А что не так, не хватает правой части?

[@shiningofthemoon]

@@WildMathing нет, орфографическая ошибка.

[@WildMathing]

@@shiningofthemoon, принято, исправлено, превью скоро обновится!

[@fragilebones967]

А Вы говорили, что четверть дискриминанта не любите, изменяете с теоремой Виета? И да, я понял почему вы худой, Вас кот обижает и съедает всю Вашу еду? Бедный