Никто не решил ➜ Удобная подстановка ➜ Решите уравнение ➜ x^3-3x+1=0

Замена переменной для быстрого решения кубического уравнения.
Telegram: t.me/volkov_telegram
Мой Дзен: zen.yandex.ru/valeryvolkov
Telegram 2: t.me/zhena_muzha_uchit
Группа ВК: volkovvalery
Предыдущее видео: • Сократить дробь ➜ 1010...
Valery Volkov / valeryvolkov
Семейный Дзен: zen.yandex.ru/rinaval
@arinablog наш семейный канал
/ @arinablog
Instagram: / volkovege
Twitter: / volkovege
Почта: [e-mail]
Поддержать: donationalerts.ru/r/valeryvolkov

[@getention]

Вот это поворот, не ожидал такой секрет в тригонометрии.

[@maaleru]

Если честно, вообще не помню замену х на тригонометрию. Конечно, сколько лет прошло, но всё-таки.

[@user-jr6ue7rk9p]

Похоже, это единственный путь взять три корня на прицел. Синус попадает в цель! ❤

[@BTL4JUR]

Изучаем историю математики: Франсуа Виет (1540-1603) независимо вывел решение кубического уравнения с тремя действительными корнями. Его решение было основано на тригонометрической формуле *_(2cosФ)^3 - 3(2cosФ)=2cos(3Ф)_* . В частности, подстановка *_x=2a cosФ_* приводит уравнение *_x^3 - 3 a^2 x=a^2 b_* к виду *_2a cos(3Ф)=b_* .

[@gemeni0]

Что тут тригонометрией пахнет ясно. Непонятна запись формулы, что вы приводите.

[@000Krevedka000]

Это тот самый Виет?

[@user-qx3go1gz8n]

😮😮

[@user-qx3go1gz8n]

😮

[@AlexeyEvpalov]

Сложная, необычная замена. Спасибо за подробное решение.

[@s1ng23m4n]

Сделал замену x = U + k/U, подставил, подобрал нужное k, получил бикубическое уравнение. Нашел U^3 и для удобства свернул его по формуле Эйлера (так как он комплексным получился). Нашел U, подставил, преобразовал в косинус. Получилось x = -2 * cos(Pi/9 + 2*Pi*n/3).

[@evgeniagabay1674]

т.к. я физик, то я решила не заморачиваться, а просто построить 2 графика: y = x^3 и y = 3x - 1. Я сразу увидела, что есть 3 пересечения, т.е.3 корня, причем лежащие в интервале от 2 до -2. Я даже не пользовалась большой точностью и все нарисовала от руки. Я получила приблизительные корни -1.9, 0.35 и 1.5. Разници оказалась меньше 10%, что вполне удовлетворяет погрешностям эксперимента. Я понимаю, что вызову бурю негатива среди чистых математиков, но хотя бы путь определения количества корней гораздо проще.

[@KazemirWS]

Причем это не сильно хуже, чем потом: x1 = 2cos 40° x2 = 2cos 160° = -2cos 20° x3 = 2cos 280° = 2cos 80° вычислять без калькулятора.

[@sova_na_dubi]

Пользуюсь тем же методом. Тоже не понимаю смысла заморачиваться с тригонометрией при решении подобных уравнений. Поскольку имею довольно большой опыт программирования, то имею привычку скрупулезно проверять результаты. Получен тот же результат, а более точные значения - -1.88, 0.349, 1.532.😊

[@andreyfom-zv3gp]

Да не то чтобы прям бурю негатива, но все же метод некорректный. Нет оснований полагать, что в графике нет ошибки. Более того, определение количества корней через производную матерые математики могут сделать в уме, в отличие от графика, для которого нужна ручка и бумага в клеточку. Знаю, в уме также мало оснований, что не допущено ошибки, но сухие расчеты всегда проще в плане выявления ошибки, чем графический метод решения.

[@sova_na_dubi]

@@andreyfom-zv3gp Для того, чтобы узнать есть ошибка или нет достаточно подставить полученное значение в уравнение, проверив таким образом равенство. Не вижу никакой проблемы, зато вижу сразу количество корней в уравнении.

[@p6_eugeniy]

Я тоже сразу решил использовать графический метод

[@Alexander--]

Применяем готовый алгоритм Кардано для решения уравнения x³ + 3Px - 2Q = 0 в общем виде D = Q² + P³ Если D ≥ 0, то x = ³√(Q + √D) + ³√(Q - √D) Если D < 0, то T = √(-P), x = 2T cos(⅓ arccos(Q/T³) + 2πk/3), k = 0, 1, 2. В данном случае P = -1; Q = -1/2 D = 1/4 - 1 = -3/4 < 0 T = √1 = 1 Уравнение имеет три действительных корня: x = 2cos(⅓ arccos (-1/2) + 120°k) = 2cos(⅓*120° + 120°k) = 2cos (40° + 120°k), k = 0, 1, 2 x1 = 2cos 40° x2 = 2cos 160° = -2cos 20° x3 = 2cos 280° = 2cos 80° С ответом сходится.

[@Salavat1k]

готовый алгоритм применить можно, но приятнее понимать, что откуда взялось. В ролике же это наглядно было показано. В случает применения алгоритма - нет.

[@Alexander--]

@@Salavat1k Как раз в случае готового алгоритма это понятно. Просто во избежание загромождения комментария я не стал приводить его вывод.

[@wh1te_n1gga32]

Что значит k=0, 1, 2?

[@Alexander--]

@@wh1te_n1gga32 Это формула для трёх разных корней уравнения. Первый корень получается при подстановке в формулу k = 0, второй - при k = 1, третий - при k = 2.

[@wh1te_n1gga32]

@@Alexander-- спасибо

[@user-ou5vb3fv9o]

👏👏👏👏👏👏👏👏 Шикарный пример!!!!!!! Спасибо, профессор!!!

[@nikbeznik4892]

Сложно. Это и расстраивает( Но переход к тригонометрии понятен. И это обнадеживает).Спасибо, Валерий Викторович.

[@galynaoksyuk6260]

Как приятно, интригующе, а иногда и непросто, наблюдать и понимать, как Валерию " во всем хочется дойти до самой сути..." и как ему это удается. Спасибо!

[@fakeit6339]

Я нахожу это странным. как женщина может найти удовольствие в этих уравнениях

[@Dash21241]

@@fakeit6339 чë странного

[@1luffiz]

невероятноооо. мне ОЧЕНЬ понравился момент с х=2sin(t)

[@billmorrigan386]

Отличный пример! Большой лайк!

[@MaksStezhko]

О! Впервые было круто ))))

[@user-jj7wk2py6p]

Спасибо. Показалось уж очень необычным, но интересным

[@betet1352]

Впервые круто!))

[@user-ld5cf5bh4t]

Классно .Супер Очень красиво

[@user-me5mz8il2s]

Мне нравится, когда Вы говорите перед решением задач "Для начала мы..."

[@user-gk5wm5cz4h]

Вот эта магия ещё та. Даже и не подумаешь, что тут может появиться тригонометрия.

[@vladimirkorobtchenko1069]

Спасибо за решение! Только одно замечание. Выглядит так, что Вы угадали коэффициент 2 в подстановке. На самом деле его можно вычислить. Если есть подозрение на синус тройного угла, то коэффициенты при x^3 и x должны быть разного знака и относиться как 4:3. Пробуем x = k*y. После подстановки: k^3 / 4 == 3k /3. Откуда k^2 = 4.

[@user-bc8eu4tw9y]

Там коэффициент 2 взялся потому, что Х находится в промежутке от -2 до 2. А любой синус лежит от -1 до 1. Поэтому его и домножили на 2

[@user-tr5gr9wi4k]

Порадовали... Спасибо.)

[@user-fg9nk4sc8r]

Невже один ти такий розумний, що ніхто не розв'язав? Менше піарся!

[@evgenygrebnev5596]

Это, просто, нечто!!!

[@irinachenkova2493]

Супер-задача! Замечательный разбор!

[@vladimirbien634]

Отличный пример, прекрасное решение . Давно написан был задачник Гюнтер Кузьмин похожих задач было достаточно для шлифовки мастерства...

[@MaksStezhko]

О, впервые круто! )))

[@olgavedilina2213]

Спасибо, Валерий.

[@Salavat1k]

Спасибо! Красивое решение.

[@user-nz7gc9lx9k]

Спасибо, очень остоумное решение.

[@user-vn9db5fc5o]

Это скорее очень удачно подобрали корни, чем общее решение. Очень повезло, что формула синуса тройного угла вышла, о общем случае замена бы ничего не дала

[@ViktorMath]

На самом деле для уравнения с тремя корнями это работает всегда. Существует замена, которая приводит к синусу тройного угла. Об этом, например, написано в книге Табачникова и Фукса "Математический дивертисмент. 30 лекций по классической математике".

[@user-of3sm4mn5f]

@@ViktorMath Начал анализировать, что то кажется, что не для любого уравнения общего вида: x^3+bx+c=0 , можно сделать замену. Первое, это необходимо чтобы b

[@ViktorMath]

@@user-of3sm4mn5f совершенно верно. В первом предложении отмечено, что речь идет об уравнении с тремя корнями.

[@zrtqrtzrt8787]

@@user-of3sm4mn5f Вы не указали, по модулю какого числа у Вас mod считается. 😁 Когда считаешь абсолютную величину числа, то это abs(), а когда mod, то это алгебраический термин, тут либо фактор-группа по модулю либо остаток от деления, т.е. x mod y = остаток от деления x на y, например, 3 mod 2 =1

[@Nikolai_Petrukhin]

Это стандартное решение. Тригонометрическую замену в случае 3 действительных корней, т.е. тогда, когда решение по алгоритму Кардано приводит к комплексным числам, предложил ещё Виет. Единственно, он использовал не синус, а косинус, но это не суть, решение сводится к косинусу тройного угла.

[@natashok4346]

Спасибо, мне понравилась задача

[@lucky_ogur4eg]

Круто, впервые круто!!!)

[@ank340]

Красота!

[@Rashadrus]

Неожиданный поворот при решении...👍

[@childoffuture]

Круто впервые)

[@user-ro1fv2bs2d]

Спасибо, необычный подход

[@DianaDiana-by1me]

классно! спасибо большое!

[@Germankacyhay]

Очень крутой пример.

[@ludmilast1799]

Красиво!!!!

[@user-sv9fb2zv9m]

Вааау, очень круто

[@HelloWorld-fy8cd]

класс ! круто! я всё понял!

[@m0zg153]

Мощно

[@user-wv4wo5sp8e]

Отличное решение

[@fondofgreatexponent3414]

Можно уйти в комплексные числа и получить практически тот же ответ, сделав подстановку x = u + k/u, где k = 1. Далее получается незатейливое квадратное уравнение с комплексными корнями, а дальше через преобразования ищутся 3 действительных корня.

[@luarluarwick8304]

Ты б еще квадрионы применил... что за дурилка.

[@Gosha-U]

Примерчик на -УРА!

[@TOMGEMANAR]

Внезапное перенесение в тригонометрию, красота!

[@blackzealot80]

Исследование области расположения корней пепед тригонтметрической заменой - очень прикольная фишка! Никогда раньше такой не встречал! (или не помню)

[@user-rr2uv8yg8y]

Просто восхищён. И математикой и решением автора.

[@user-py6mf9yx2b]

капец. думала простое решение, а тут. даже не жалко, что час не сидела над этим. функции, экстремумы. я б в ту степь вообще б не пошла

[@ZulanGrey]

Если задаться задачей не использовать синусы, а решить в условно числовом формате, то предлагаю для начала попытаться решить это уравнение как квадратное, относительно свободного члена 1 (x^3 - станет свободным членом, 3/2 * x - вторым коэффициентом и при 1^1 останется 1). Занятные вещи выходят. Если всё правильно сделал, то получилось два любопытных уравнения как корни квадратного: x/4(3+- sqrt(9-16x))=1 или в упрощённом виде x(3+- sqrt(9-16x))=4 При этом на x налагаются условия: x =< 9/16 И вот дальше я задумался как можно решить каждое из них по отдельности...

[@andreyfom-zv3gp]

До тригонометрической замены не додумался, решил по формуле Кардано, получил корень x1=((½(-1+i√3))^⅓)+((½(-1-i√3))^⅓). Дальше схема Горнера и еще два корня (для удобства прочтения запишу их как зависимые от х1): ½(-x1±i√(3(x1)²+12)). Мы не ищем легких путей)

[@user-cj7ed6gu8c]

Да, действительно никто бы не решил, но очень интересно!

[@sh4rk717]

Нас в школе учили что если отрицательных коэффициентов не стоит перед скобками и иксы в скобках стоят на первом месте, то справа всегда +, а дальше знак производной меняется на противоположный в каждой точке, где степень нечетная

[@user-ey1sf3oy9g]

Учите квадратичную функцию, на ней построено 70% задач ЕГЭ

[@shilonya]

nice and original solution. greetings from Israel

[@ravillatypov2816]

Спасибо

[@user-xm2pr2cb9i]

Та ты шо!!! Вот это круть! Однако Валера загнул! (Извиняюсь за фамильярность, но мои 70 лет (моё, блин, богатство) несколько притупили чувство такта). Очень понравились как сама задача, так и её изложение. Спасибо!

[@user-yl6bg3fs4m]

Математика, как и картошка, ум в порядок приводит

[@user-pj8un5yx9z]

Красиво

[@kvirs]

Маленькая помарка, точки -1 и 1 - это локальные экстремумы функции f(x)

[@sergeyzyuzin2003]

"Чтобы дойти до точки надо повернуть влево по стрелке"-это понятно.Но как решить уравнение:(х-1)(х^2+х-2)=1 чтобы получить корни в цифрах,а не синусах-это и предстоит выяснить:)...Заморочился и прикинул ответ 2->2sin(pi/18)получилось упростить->i*(-exp(-pi*i/18) + exp(pi*i/18))

[@user-ug5zj2tc1u]

Думал про замену на синус, но там не увидел тройной угол.. Очень жоска!

[@chaspeace4222]

А я для анализа количества корней и промежутков где они расположены построил две функции : f(x) =-1/x и f(x) =x^2 - 3. Точки их пересечения расположены в промежутках один от - 2 до - 1, второй корень от 0 до 1, третий от 1 до 2. А дальше тот-же метод угадайка...

[@yuryschkatula9026]

а почему бы не использовать вторую производную для определения тип экстремума? тогда меньше подстановок и расчётов (отрицательное - максимум, положительное - минимум, ноль - точка перегиба)

[@but9l471]

Вау вот это способ решения. Я в 10 классе, и я ни за что в жинзи не догадался бы до этого решения

[@itech0158]

двоечник, ремня бы всыпать

[@user-rj6jb2ue5t]

Это жесть !!

[@allforled1880]

извините а можно ссылку на видео где объясняется как и почему можно делать такую геометрическую подстановку ?

[@user-uo6ds4ty7i]

плюсую

[@user-tz1nd4hn6l]

"почему можно" а почему может быть нельзя? другое дело, что "повезло": 1) что все корни на промежутке (-2;2) 2) "свернуть" все в синус тройного угла

[@ouTube20]

«Как» и «почему» - нет ответа на этот вопрос. Нужно догадаться.

[@ajdarseidzade688]

Насколько понял тут так: 1. Тригонометрическая подстановка - один из методов подстановки (замены переменной) и используется в тех случаях, когда область определения (ОО) исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. 2. Находим, с помощь производной, ОО для нашего уравнения. Видим, что она находится тут (-2;2) и причем функция нашего ур-ия пересекает '0' три раза в этой ОО. На "симметричность" и прочие возможны признаки (периодичность например), получается, не обращаем внимания (?). И исходя из этих пунктов решаем, что можно применить соотв. тригонометрическую подстановку. Т.е. надеемся использовать, в дальнейшем, свойства тригонометрических выражений для решения нашего уравнения. А решить же, например, с помощью разложения на множители у нас не выходит т.к. не получается (не всегда же "легкие" бывают уравнения - которые раскладываются на множители). И поэтому мы применили такой метод подстановки тут.

[@user-ig8de5jf6h]

Нупочему? Потому что корни лежат в пределах от -2 до 2 А синус и косинус могу принимать значения от -1 до 1 По сути синусц и косинусы это такие же простые числа, просто иногда иррациональные

[@user-ig8de5jf6h]

Невероятно, огромное спасибо за такое решение

[@luarluarwick8304]

Зачем оно тебе?

[@user-ig8de5jf6h]

@@luarluarwick8304 секрет

[@luarluarwick8304]

@@user-ig8de5jf6h Т. е. сам не знаешь?

[@user-ig8de5jf6h]

@@luarluarwick8304 да знаю я все Просто решение кубических уравнений дело сложное, а подстановка тригонометрии может в этом помочь Хотя этот способ и сложный

[@luarluarwick8304]

@@user-ig8de5jf6h Это не ответ на вопрос.

[@user-hz5ne2rl5e]

У уравнения нет рациональных корней. Это следует из теоремы о рациональных корнях. f(2)>0, f(1)0. У уравнения иррациональные корни. В данном случае удобно воспользоваться формулой косинуса или синуса тройного угла. 2cos(t)=x 8(cost)^3-6cos(t)+1=0 cos(3t)=-1/2 Найдя два иррациональных корня, третий можно вычислить по теореме Виета x1+x2+x3=0.

[@ajdarseidzade688]

Очень крутая замена и (!) используется в современных математических библиотеках для ПК. П.С. - видео мне попалось случайно в "Рекомендациях от Ютубе" и еще раз, лишний раз убедился насколько полезен канал Валерия Волкова. -> Уважаемый Ютуб! Может восстановите "монетизацию" на данном очень полезном канале для всех? Т.е. на канале для многих людей из разных стран. Чтобы у автора канал был хоть небольшой стимул.

[@LeskovPV]

Нисебе чего! Синусами решить кубическое уравнение

[@MrPalianytsia]

Подскажите уровень учащегося способного провернуть такой финт? Какой класс или курс?

[@ffrfrgrgrg7532]

в итоге чему х то равен? ответ аля 2sin p/18 меня не удовлетворяет, его нельзя "пощупать" как например число 5 и как сделать проверку правильности полученных ответов, если такая тигамотина вышла?

[@windmill1983]

напоминает одно из уранений на вступительном экзамене в универ лет так 15 назад

[@lasxtirien2761]

Непонятным выглядит выбор соседних с экстремумами точек -2 и 2, почему например не -1.7 и 1.7 или не -5 и 5, ведь могло получиться, что в -2 и 2 функция всё еще бы не пересекла ось Х

[@user-km7xg1sg6m]

Ничего не понятно, но очень интересно!!

[@user-tt6fh2be6o]

Очень круто. Откуда задание?

[@user-ih2ev9dn9o]

Добрый вечер, почему при замене взяли интервал от минус пи/2 до пи/2 ??

[@paulsnow2809]

Прям как в известном карикатурном сюжете. Стоит, значит, профессор рядом с огромной доской, испещренными формулами и говорит: «Вот путем таких несложных преобразований мы и получили искомые корни...».

[@user-ub7tf2sv9x]

Валерий вы просто гений!😊

[@user-zb4tr4fh1b]

Слов нет

[@user-km7xg1sg6m]

Так, а числа то какие в ответе ? Пи это 3.14, его надо на три умножить и поделить ещё это пополам ? А затем синус из этой бадяги выкупить?

[@marshalaster1201]

Объясните,пожалуйста,почему t ограничено +/-П/2 И почему меняем именно на синус

[@fuatgimush7414]

Полностью согласен.почему промежуток не от -П до +П

[@Nikolai_Petrukhin]

Потому что на этом промежутке синус пробегает все возможные значения от -1 до 1, а именно в этих пределах и лежат все значения x/2. Что же до того «почему меняем именно на синус», то с тем же успехом можно заменить на косинус, рассматривая промежуток от 0 до Pi, т.к. на этом отрезке косинус пробежит все значения от -1 до 1. Замену, сводящую решение таких уравнений к косинусу тройного угла, предложил ещё Франсуа Виет в 16 веке.

[@SuperNewNik]

Ниче не понял))мои лучшие годы прошли) теперь помню только названия)

[@maxm33]

А выразить в радикалах?

[@user-fd1qx1rr7l]

А, что подчитываем, картошку или яблоки?

[@user-xw2zp4cz8n]

Валерий, ты ж умный. Как мне тебе поставить второй лайк, не меняя аккаунт?

[@resurgence1991]

Я вообще не знал, что у обычного кубического уравнения с целыми кэфами корнями могут быть тригонометрические числа

[@executed_code]

Это просто удобная форма записи иррациональных чисел.

[@resurgence1991]

@@executed_code да, я понимаю. Я думал просто, что они вообще там не пересекаются

[@resurgence1991]

@@AEF23C20 ну тут числа то все радиальные, даже если через корень или синус записаны. А в примере целые коэффициенты и корни ирриациальные. Я не говорю, что что-то не так, просто не знал, что так может быть, не встречал раньше. Понятно, что у квадратного уравнения с целыми коэффициентами может быть корни с радикалами, но с синусами не видел никогда

[@resurgence1991]

Хотя наверное эти корни с синумами можно через радикалы записать, тяжело, но думаю как-то возможно. Тогда ничего необычного нет

[@user-xw2zp4cz8n]

@@resurgence1991 В том то и прикол, что отсюда и появилось понятие комплексных чисел. В данном случае при решении возникает т.н. _неприводимый случай,_ когда все корни вещественны, но требуются комплексные числа для выражения корней в радикалах.

[@Alexander_rekaX]

Сработал бы данный трюк, если бы в уравнении присутствовал x^2? Я читал про депрессивные кубические уравнения, но интересно, как можно перейти к общему решению

[@b33blebrox]

от x^2 легко избавиться заменой

[@hunterbidon9423]

У меня на первой минуте таких объяснений коллапс мозга случился.

[@alimuhammedov41]

новый способ для меня

[@yevgus_piter]

Мы такого и в институте не учили!

[@user-df8xw9br3h]

Можно же дописать между кубом и иксом 0х^2 и поделить уголком

[@user-cn5kv5ey4c]

Пока без инфаркта...

[@nazimavaleeva3752]

Понятно, спасибо, но трудно догадаться, как заменить

[@user-kl3wq6or9t]

Главный вопрос, а на черто это всё нужно. И где это применить?

[@liftovik]

Неожиданный переход к тригонометрии.

[@brinzanalexandru2150]

Можно решить используя метод Кардано используя подстановку x=u+v

[@MrIncredible-mu5ec]

Сразу понял, что производную считать надо, а вот дальше затупил:)

[@dennys-mom]

А как он понял, что нам нужна функция синуса и её значение 2 и -2 (хотя это более понятно). Я думаю, что функция могла быть кусочной, а от того линейной в промежутках, но может я и не прав. Для этого и спрашиваю.

[@user-nw7pm2zv6v]

Всегда теряюсь при необходимости тригонометрической подстановки...

[@user-xt7ie6no8w]

Нельзя ли ее решить без графиков и синусов

[@PimiTree]

Все рассказывают как круто, как круто. Надо знать решение, чтоб такую подстановку сделать. Почему никого не смутило "Чтоб при движении по окружности дойти до первой первой точки 1/2 надо повернуться на 60 градусов" откуда Оо взяли 60 градусов (((

[@user-td3vt6di9r]

По окружности понятно, п/3 это 60 градусов, другого не дано, либо 30, либо два раза по 30.