Analisi I - Serie, convergenza assoluta - 3 esercizi svolti

[@massimilianoscarsella8137]

Ciao! Ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando, ti ho scoperto questa mattina e penso che guarderò tutti gli altri tuoi video per quanto riguarda anali 1 (sto preparando questo esame). Ti volevo chiedere se questa mia supposizione possa essere vera... Nella terza serie, potevamo volendo applicare direttamente il criterio di Leibniz in modo tale da risparmiarci un bel po' di passaggi? Perché sappiamo che an è infinitesima, è maggiore di zero, sappiamo che uno fratto n fattoriale è decrescente, quindi la serie convergerà (questo è quello che ho pensato). Te ne sarei grato se potessi darmi un feedback, grazie ancora e buon lavoro

[@ilMatematicoMascherato]

Ciao, grazie, sono contento😊. Allora, si, con il criterio di Leibniz la convergenza "semplice" della serie era immediata, tuttavia attenzione che il criterio di leibniz non dà alcuna informazione sulla convergenza assoluta! Quindi poiché l'esercizio chiedeva di studiare entrambe le convergenze, conviene prima studiare la convergenza assoluta (convergenza assoluta ⇒ convergenza semplice). Se la convergenza assoluta avesse fallito allora come dici tu potevi trovare la convergenza semplice in un attimo con leibniz.

[@osmani5645]

Ciao scusami, ma nella seconda serie che va da 1 a +∞ non dovrebbe divergere per il primo termine, perché sarebbe 1/ln(1) = 1/0 che tende a +∞, quindi anche se decresce divergerebbe lo stesso o no?

[@kartikarizzitiello9259]

Ciao, suppongo che si possa equivalentemente partire da n=2 anziché n=1, perché tecnicamente un numero finito di termini non modifica il carattere di una successione, quindi se considerassimo la serie che va da n=2 a più infinito avremmo che ln(n) tende a più infinito e 1/ln(n) tende a 0, quindi è infinitesima e decrescente e pertanto rispetta le ipotesi del criterio di Leibniz

[@fabrizioaedo406]

Scusa ma nel secondo esempio il criterio di leibniz oltre al fatto che la serie deve essere decrescente e definitivamente positiva, non dice anche che deve essere infinitesima? 1/ln n non lo è quindi non dovrebbe convergere per il criterio di leibniz

[@ilMatematicoMascherato]

Ciao, per usare il criterio di Leibniz la serie deve essere della forma \sum (-1)^n a_n con a_n decrescente e infinitesima. Nel nostro caso a_n=1/ln n è infinitesima dato che per n che tende a piu infinito 1/ln n tende a 0 ( questo perché se n tende a più infinito allora ln n tende a più infinito e quindi 1/ln n tende a 1/infinito=0)

[@fabrizioaedo406]

@@ilMatematicoMascherato scusa forse sono io che non ho capito bene. Ma 1/ln n non sarebbe come 1/n che tende a piu infinito? Ln n cresce molto lentamente a tal punto che 1/ln n diverge. O ho capito male? Grazie in anticipo per il chiarimento

[@ilMatematicoMascherato]

attenzione a non confondere due cose diverse: 1) La serie ∑ 1/ln(n) diverge perchè 1/ln(n) DEcresce estremamente lentamente : 1/ln(n) > 1/n e ∑1/n=+∞ (quindi ∑1/ln(n)>∑1/n=+∞). 2)La successione 1/ln(n) tende a 0 per n che tende a +∞. L'ipotesi del teorema di leibniz riguarda la successione dei termini n-esimi delle serie ovvero in questo caso la successione a_n=1/ln(n) che è una successione infinitesima perchè tende a 0 per n che tende a +infinito.

[@fabrizioaedo406]

@@ilMatematicoMascherato ok perfetto. Ma quindi per esempio 1/n anche è infinitesima se parliamo di successione? Vorrei capire la differenza tra la successione e la serie

[@ilMatematicoMascherato]

Si, esattamente. Per capirci, se si parla della successione 1/n si intende la successione di numeri {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...}. Se invece si parla di serie si intende ""la somma dei termini"" ∑1/n=1+1/2+1/3+1/4+1/5+... ( Metto le "" perchè definire la somma di un numero infinito di addendi non è una cosa poi cosi ovvia e bisogna comunque passare per il concetto di limite e di successione)