Analisi I - Serie convergenti , 10 esercizi svolti

[@leoange19]

Nel 5 dovrebbe essere: e^-2 * 1/(n+2) , ma il limite comunque verrebbe 0 e il carattere della serie non cambierebbe.

[@hassansiddique9092]

Ho il parziale domani e non so fare le serie ahahah... la vedo grigia

[@estivate2031]

Com'é andata?

[@hassansiddique9092]

@@estivate2031 le ho fatte tutte tranne quella di calcolare la serie con il variare di alpha... Quindi non bene bene

[@estivate2031]

@@hassansiddique9092 Quando otterrai i risultati?

[@samuelezamboni7704]

sei un grande mi stai insegnando molto più del mio professore di analisi

[@auroradabala9340]

Ciao! Ho un dubbio sull'ultimo esercizio... avendo in mente la gerarchia degli infiniti, avrei potuto mettere tutta an asintotica a 1/n^2 e quindi arrivare alla conclusione che converge?

[@ago2400]

in alcuni casi è meglio usare il confronto asintotico, ad esempio con la tangente

[@mls290]

ma nel esercizio 8 quando facciamo l osservazione che sen(1/n) e 1/n e cos(1/n) e 1 e come se stessimo utilizzando gli sviluppi di maclaurin anche se x non tende a zero ? anche nel esercizio 9 se si applica lo sviluppo al secondo ordine di cos(x) il risultato e uguale

[@lorenzobordi7699]

Nell esercizio 5 non doveva venire 1/e^2 visto che c’era quel -2

[@AG-tl4pv]

13:03 non tende a e^-2?

[@giovannitartarelli9463]

Al 2 potevi fare il criterio della radice

[@antoniomantovani3147]

manca il livello signori degli anelli, ma bravo

[@gabrielepatrizi7725]

Alla serie numero 5 non capisco perche il termine X del limite notevole è (-2) ma tu scrivi comunque (e)² , io l ho fatto con due metodi diversi e mi esce sempre 1/(e)²

[@ilMatematicoMascherato]

Perché ho sbagliato!! Dovevo scrivere e^-2 e invece ho detto e^2. Comunque questo non cambia la validità dell esercizio perche il termine 1/(n+2) manda tutto a zero, a prescindere che ci sia e^2 o e^-2.

[@gabrielepatrizi7725]

@@ilMatematicoMascherato sisi che non cambiava l avevo capito però però io sono maniaco non lascio nulla al caso, comunque per il resto mi sono trovato bene sei bravo

[@antonelladinicola4606]

Ciao, una domanda. Nell'esercizio 9 avremmo potuto anche utilizzare il limite notevole del coseno?

[@FrancescoMigliaccio-x1y]

sì, usciva asintotica a 1/n^2 quindi convergente . Ovviamente potevamo farlo solo perchè per n all’infinito 1/n tende a zero

[@fabrizioaedo406]

La seconda serie potevo svolgerla per il criterio del confronto asintotico? Facendo 4^n+n^2~4^n?

[@ilMatematicoMascherato]

Si, anche questa è un opzione

[@MrMariozzz78]

ma per capire le serie devo ripartire dalla fattorizzazione dei polinomi ,frazioni ect?

[@oraziogrinzosi5480]

Probabilmente sbaglio io, ma nel es 9 si potrebbe usare il metodo del confronto asintotico ponendo 1-cos(1/n) asintoticamente equivalente a 1/2n^2?

[@ilMatematicoMascherato]

Non sbagli, si poteva fare anche così!

[@gabrielepatrizi7725]

Meno male perche anche io l avevo fatto così e mi stavano venendo dei dubbi ahahha

[@leonardoboni544]

Potevamo interpretare l'esercizio 4 come una sorta di serie di Mengoli ?

[@ilMatematicoMascherato]

Assolutamente sì! Se osservi che a_n si può scrivere come a_n=1/Rad(n)-1/Rad(n+1) allora questa diventa addirittura una serie telescopica la cui somma parziale n-esima sarà S_n=1-1/Rad(n+1). (La serie converge quindi a 1)

[@giuseppeperna6960]

Ehi ciao nell'ultima serie se scrivo che log(n) ≤ n allora mi viene che log(n)/n² ≤ n/n² = 1/n che diverge In tal caso non avrei nessuna informazione utile per dire se converge o no giusto?

[@ilMatematicoMascherato]

Si, esattamente per questo che abbiamo usato la disuguaglianza con radice di n al posto di n

[@nazareandrei4567]

io non ci sto capendo proprio niente, come fanno quelli nei commenti a dire che capisono tutto

[@kriEantoREMIX]

Ciao,complimenti per il video.Volevo chiederti,all'esercizio 4 e' possibile applicare anche il criterio del confronto asintotico?grazie.

[@ilMatematicoMascherato]

Ciao, si direi di sì: i coefficienti a_n asintoticamente vanno come 1/n√n (si vede in modo chiaro dopo aver razzionalizzato) e la serie di 1/n√n è convergente dato che 1/n√n=1/n^(3/2) e 3/2>1 (serie armonica generalizzata).

[@kriEantoREMIX]

@@ilMatematicoMascherato GRAZIE MILLE.

[@francescopirra3106]

Ho un dubbio, nell'esercizio 8 al minuto 20.33, tu moltiplichi radice di n per 1/n^2, e dici che fa n^3/2 (1/2 + 2) ma non dovrebbe essere -1/2? Cioè 1/2 - 2 ? Perchè usano il criterio asintotico e tenendo solo l'argomento della tangente viene così e non so se sia giusto.

[@ilMatematicoMascherato]

Ciao, √n/n^2 =n^(1/2-2)=n^(-3/2)=1/n^(3/2).

[@alessandrarobba4283]

ciao, domanda: nell'esercizio 6 avremmo potuto dire fin da subito che al numeratore domina 4^n e che al denominatore domina n! per cui (per gerarchia degli infiniti) la serie tende a 0? grazie

[@fishandchill2751]

Ma lei è pazza

[@fishandchill2751]

Quello lo puoi fare per le successioni. Per le serie ad esempio anche 1/n tende a zero eppure la serie diverge

[@FrancescoMigliaccio-x1y]

esercizio 8) è corretto, dato che per n all’infinito tan(1/n^2) tende a zero, considerare l’equivalenza asintotica tan(f(n)) tilde f(n). Di qui poi si procederebbe con n^1/2 * n^-2 , il risultato quindi sarebbe n^-3/2 -> 1/n^3/2 -> serie armonica generalizzata con alfa>1 -> Converge ?

[@bellinibel0356]

si è corretto in quanto staresti utilizzando il criterio del confronto asintotico

[@giuseppecraft]

un'altra cosa, che concetto hai usato per l'ultimo esercizio? (riscrivere il logaritmo naturale come radice di n)

[@nicco_7585]

penso un semplice confronto asintotico

[@nicola150]

Ciao! cosa intendi quando per esempio dici che a_n è tot e vogliamo MAGGIORARLO? Da cosa lo deduci che dobbiamo maggiorarlo e non dobbiamo invece fare il rapporto o la radice?

[@ilMatematicoMascherato]

Ciao, con maggiorare a_n intendo semplicemente trovare un termine più grande. Con "tot" sinceramente non lo so, se puoi indicarmi il minuto forse riesco a capirlo. Non c'è un modo per dedurre cosa dobbiamo fare, semplicemente usiamo la strategia che ci sembra essere più conveniente, ma questa dipende solo dal contesto, ovvero dalla serie che abbiamo davanti.

[@nicola150]

@@ilMatematicoMascherato capito, grazie mille

[@andreadepellegrin7710]

Bel video, grazie

[@matteomoracchioli7252]

ma in base a cosa uno sceglie quale criterio usare per trovare la convergenza di una serie? Grazie

[@ilMatematicoMascherato]

Ciao, purtroppo non esiste una regola generale, dipende sempre dal contesto: Uno vale l altro purché funzioni. Quindi capire quale criterio provare ad usare dipende da quale pensi che potrebbe funzionare. In generale i criteri che io trovo più "facili" ed "esaustivi" sono il criterio del confronto e il criterio del confronto asintotico, perché ti costringono a/ti fanno capire cosa sta succedendo.

[@nikkkkkkko]

non ho capito nell' esercizio 4 dopo aver razionalizzato cosa hai fatto, me lo puoi spiegare ?grazie

[@ilMatematicoMascherato]

Esattamente quale passaggio non ti è chiaro?

[@nikkkkkkko]

@@ilMatematicoMascherato non ho capito perche hai posto : (n+1)radice (n)>= (n)radice(n) (n)radice(n+1)>=(n)radice(n)

[@ilMatematicoMascherato]

@@nikkkkkkko L'obbiettivo è maggiorare a_n per poi usare il criterio del confronto e concludere la convergenza della serie degli a_n. Tenendo a mente ciò; a_n è una frazione e per trovare una frazione più grande di a_n dobbiamo mettere al denominatore un denominatore più piccolo di quello di a_n. Qual'è quindi un numero più piccolo di (n+1)Radice(n)+nRadice(n+1)? 1) (n+1)Radice(n)=nRadice(n)+Radice(n) che è sicuramente più grande di solo nRadice(n)! 2)nRadice(n+1) è più grande di nRadice(n) questo perchè in generale se m è maggiore di n allora Radice(m) è maggiore di Radice(n) [Osservazione a) nel nostro caso m=n+1. Osservazione b) Questa propietà della funzione Radice(x) altro non è che la proprietà di essere una funzione crescente.] da 1)+2) segue che (n+1)Radice(n)+nRadice(n+1) è maggiore di nRadice(n)+nRadice(n)=2nRadice(n) . Fammi sapere se sono stato abbastanza chiaro!

[@nikkkkkkko]

@@ilMatematicoMascherato si grazie spiegazione esauriente 👍🏽👍🏽

[@nikkkkkkko]

@@ilMatematicoMascherato si grazie spiegazione esauriente 👍🏽👍🏽

[@gabbodeva]

salve! Cosa intendi per maggiorare?

[@ilMatematicoMascherato]

ciao! intendo: "trovare una quantità più grande"

[@andr4eq168]

Sei un professionista! Io uno al ospedale sono riuscito a mandarlo solo dopo aver ricevuto provocazioni mentre studiavo matematica.(e poi ho dato di matto) Tu invece 2 righe peggio del death note.(o forse lo hai prestato prima di cominciare a registrare). Chissà.... scherzo tutto inventato.

[@nilhabib8992]

te se ama

[@alex_andrei_official]

Corri troppo velocemente e non fai capire bene ciò che hai in mente. Mi piace l'idea ma purtroppo mi hai fatto sentire a disagio. Non hai spiegato per esempio perché nell'esercizio 3 pure essendo maggiore di 0 la serie non converge. Complimenti per il lavoro!

[@ilMatematicoMascherato]

Ciao, nell' esercizio 3 la serie non converge perché il termine generale a_n non tende a 0!! ( Condizione necessaria per la convergenza della serie è che il termine a_n sia infinitesimo, il perché di questo fatto viene dalla teoria, che però io non faccio, la do per scontata). Questo video è uno dei primi caricati, se non ti è piaciuto l'approccio ti consiglio allora di dare un occhiata agli ultimi video pubblicati. Inoltre a breve (ancora due settimane) usciranno i nuovi video sulle serie numeriche

[@alex_andrei_official]

@@ilMatematicoMascherato li vedrò volentieri allora

[@gabrielepatrizi7725]

Guarda chi si vede ahahahh