¿Podemos FIARNOS de nuestra INTUICIÓN MATEMÁTICA?

[@MatesMike]

Increíble vídeo como siempre :)

[@ArchimedesTube]

¡Gracias Mike!

[@esteladiaz9804]

De ahí viene la palabra de meter de canto?

[@MatesMike]

Me he enamorado del diseño del barco :3

[@ArchimedesTube]

El barco de las matemáticas zozobrando 🤣

[@angelespinosa906]

El barco es una genealidad!!

[@AdriOshu98]

Futuro tatuaje jeje

[@MathRocks]

Brutal trabajo de animación!!!

[@ArchimedesTube]

¡Gracias John! Las piezas de dominó de Peano fue algo bastante entretenido 🤣🤣🤣

[@MathRocks]

@@ArchimedesTube quisiera tener su paciencia para hacer esas animaciones, esperemos con el tiempo este video tenga buena recepción, éxitos!!

[@ArchimedesTube]

@@MathRocks Muchas Gracias!!

[@danielmunoz-cj7hj]

Cuánto derroche de tiempo, animación, monólogo y toda el arte. Mil gracias por dejar tus cielos abiertos para caer lluvias de conocimientos. Siento que una aventura comienza después de ver este vídeo.

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias Daniel! Esperamos pronto tener listos nuevos vídeos

[@danielmunoz-cj7hj]

@@ArchimedesTube Que te hallas tomado el tiempo para revisar mi mensaje y responder ya es mucho. Gracias! Haπ day

[@mutacionsocial8718]

Masterpiece! El contenido(audiovisual y conceptual) de este canal es de nivel excelso, digno de ser proyectado en plataformas o escenarios exorbitantes. Tener acceso gratuito a este contenido es una paradoja "normalizada".

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias! 😊 La verdad es que este vídeo nos ha llevado unos meses terminarlo

[@CesarDQuest]

Podría estar 24 horas seguidas viendo vídeos así, qué calidad y qué entretenido.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias César! 😊😊😊

[@alexwolffe7805]

Me flipa este canal, las animaciones, la narración, los conceptos avanzados explicados con sencillez y rigor... Lástima que tenga tan pocas visitas y subs. :(

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Alex! A nosotros también nos gustaría tener más visitas y subs pero no queremos dejar de hacer vídeos sobre ideas matemáticas avanzadas tratando de hacerlas de la forma más visual posible.

[@MarckUrcia07]

La manera en la cual se presenta este manifiesto es demasiado limpio, claro, didáctico y no deja de perder el formalismo matemático necesario para captar la idea en su completitud. Infinitas gracias por compartir este contenido con un público general.

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias Marck por este comentario! Nos animan mucho a seguir haciendo vídeos en esta línea.

[@fernandogeijo2769]

Genial!!!. Me retrotrae a mis años de estudiante de bachillerato (tengo 66 años y eran 6 años de bachillerato) y olvidamos los libros de texto. Empezamos por la teoría axiomática de conjuntos y fuimos año tras año construyendo las matemáticas. Fue maravilloso las puertas del razonamiento que nos abrieron. Estudié química hasta hacer el doctorado; pero nunca he olvidado las matemáticas, son mi Paraíso Perdido, que estoy recuperando una vez jubilado.

[@ArchimedesTube]

Nos alegra muchísimo que nuestros vídeos te recuerden esa construcción de las matemáticas. Nosotros intentamos hacer algo parecido con nuestros vídeos. De hecho como en este vídeo hemos utilizado el Teorema de los Intervalos Encajados estamos preparando una serie de tres vídeos. En ellos veremos la construcción de los números reales dada por Dedekind con un poco más de detalle y probaremos en el segundo vídeo el principio del supremo que suele darse como axioma de los números reales pero puede probarse utilizando cortaduras mostrando que los reales se pueden construir a partir de los racionales. En el tercer vídeo utilizaremos el principio del supremo para demostrar el Teorema de los Intervalos Encajados. ¡Un saludo!

[@fernandogeijo2769]

@@ArchimedesTube Después de las estructuras algebraicas, introdujimos N con los axiomas de Peano, Z como clases de equivalencia en NxN y Q igual en ZxZ. Para los reales utilizamos las sucesiones monótonas y acotadas de Cauchy y demostramos que era un cuerpo totalmente ordenado, arquimediano y completo y el teorema de unicidad. Me ha chocado encontrar por ahí una definición axiomática de R, en la que los axiomas son las propiedades que nosotros demostramos a partir de su construcción (1.- Es un cuerpo, 2.- Es totalmente ordenado; 3.- Es arquimediano; 4.- Es completo); por el teorema de existencia y unicidad es cierto que un conjunto que cumpla esos 4 axiomas es R; pero nunca había visto esta aproximación a la definición de R. ¿Que opinas? Me parece empezar la casa por el tejado

[@ArchimedesTube]

Yo recuerdo haberlo estudiado de forma axiomática pero en su momento el profesor de Análisis I en la Universidad de Granada también nos introdujo las cortaduras de Dedekind. Para preparar este vídeo (y otros tres más detallados sobre Cortaduras de Dedekind, El principio del Supremo y El teorema de los intervalos encajados) tuve verdaderos problemas para encontrar referencias que me gustaran entre otras razones por la falta de unicidad en el tratamiento. Me parece más coherente construir los números reales de cualquiera de las formas posibles y probar las propiedades que el método axiomático. De hecho, en las fuentes que utilizan el método axiomático el principio del supremo es un axioma, a pesar de que este se puede demostrar como teorema a partir de por ejemplo la construcción con cortaduras de Dedekind. En la mini serie de tres vídeos que estamos preparando que le he comentado demostraremos tanto el principio del supremo como el teorema de los intervalos encajados.

[@menosinfinito8664]

Qué genial ha sido este vídeo. Por un momento hasta me sentí conmovido, qué bello. Mil Gracias, Archimedes Tube.

[@ArchimedesTube]

😊 ¡Muchas gracias! Nos anima mucho saber que nuestros vídeos son bien recibidos

[@alephsubomega]

Se nota una gran producción e investigación detrás, muchas horas de trabajo. Gracias por esta joya

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Ernesto! Como dices, le hemos dedicado muchas horas no solo a las animaciones y el guion si no a verificar cada paso de la parte matemática. Un saludo

[@christianorlandosilvaforer3451]

hace poco descubri el canal y es perfecto es justo lo que me gusta mucha pedagogia y didactica para mostrar un tema sin perder esa exquisita rigurosidad característica de las buenas mates no las que enseñan en el colegio por estos dias... me encanta.. gran trabajo ...saludos desde colombia

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Cristian! Tu definición de nuestros vídeos es justamente la idea que queremos llevar a cabo. Saludos desde España

[@oscarmelchorgalan3092]

Gracias, una vez más, por este regalazo que nos habéis hecho. Ahora a saborearlo despacio... y a esperar con impaciencia al próximo.

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias Oscar! Tenemos algunos ya casi listos a falta de algunos detalles. Un saludo

[@nicolasrozenberg5209]

Sublime. Es el primer canal que veo que haga contenido de calidad, interesante, completo, y que abarque tan sistemáticamente temas profundos de las matemáticas como los de este video

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Nicolás por el comentario! Nuestra idea es tratar de hacer sencillas ideas complejas a través del lenguaje visual.

[@juanmolinas]

Impresionante la forma en que cada vez se superan los videos!, esto ya una obra maestra del arte matemático!...

[@ArchimedesTube]

Muchísimas gracias Juan! Nos ha animado mucho tu comentario a seguir haciendo vídeos ¡Saludos!

[@andoniet1]

Que video mas fabuloso, me recordó mi primer año de mate en los años 80-81, nos propusieron un aprobado general si demostrábamos, como pasar de Q a R con las cortaduras de Dedekind, solo lo consiguió un alumno. Gracias es mágico lo que hacéis aquí.

[@ArchimedesTube]

Hola Antoine, En este vídeo necesitábamos utilizar el Teorema de los Intervalos Encajados y añadí la introducción histórica con la construcción de los números reales utilizando las cortaduras. Pero para hacerlo más riguroso tenemos preparado un vídeo exclusivo dedicado a la construcción de los números reales. Todavía falta un poco para terminar de editarlo pero en el además de la introducción histórica vemos la utilidad de las cortaduras de Dedekind para probar que los números reales así definidos son un cuerpo gracias a la estructura de cuerpo de los racionales. También probamos el principio del supremo a partir de dichas cortaduras, que normalmente se considera un axioma en la definición axiomática de los números reales y con este principio probamos el teorema de los intervalos encajados. Para finalizar este vídeo probamos que raíz de 2 existe realmente y es un número real. Esto puede parecer una trivialidad pero requiere realmente de una demostración. Los griegos ya sabían que no existía ninguna fracción cuyo cuadrado fuera 2 (esto es, raíz de dos NO es racional), pero ¿porqué estamos tan seguros de que existe un número real cuyo cuadrado sea 2? Pues el teorema de los intervalos encajados nos da la respuesta. Creo que en un par de semanas lo tendremos listo para publicar. ¡Un saludo!

[@zayna6668]

​@@ArchimedesTube maestro subió video me gustaría verlo 😅

[@julianking5264]

Bellísimo video. De los que hay que ver mil veces y recomendar a mil personas

[@ArchimedesTube]

Mil gracias Julian!

[@mathn3ss]

¡Qué genialidad de vídeo! Una auténtica obra de arte. Me encantó mucho, espero se encuentren bien. :D

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias @MATHNESS !

[@Ivanduco]

Felicidades 👏. Enorme vídeo, como siempre. No me canso de alabar tu trabajo. Por favor, continúa con este proyecto!.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Ivan! Tenemos unos cuantos vídeos casi acabados pendientes de algunos detalles para publicar, pero no me recupero de la afonía que me ha dado con las clases...

[@maxsager139]

14:38, Se está admitiendo que la linea de la curva debe tener anchura. De lo contrario se estaría diciendo que graficamente una U es igual a la figura de un Cuadrado. Todo esto tiene sentido si se dice que la LINEA TIENE UNA ANCHURA DETERMINADA y que los puntos que integran esas LINEAS SON PÍXELES CUADRADOS.

[@ArchimedesTube]

No se asume eso en ningún momento lo que comentas de la anchura. La construcción de Hilbert define una función continua del intervalo en el cuadrado (esto es, una curva) de modo que es sobreyectiva (todo punto del cuadrado es imagen de un punto del intervalo).

[@marcofella796]

Probablemente el mejor vídeo de matemáticas de habla hispana, lo único que puedo hacer es agradecer y compartir esta joya, este canal debe crecer.

[@ArchimedesTube]

¡¡Muchísimas gracias Marco!! 😊😊😊

[@angelespinosa906]

Felicidades que gran nivel, confieso que no alcanzo a comprenderlo del todo (soy ingeniero 😅), pero no deja de maravillarme y sorprenderme como a un niño pequeño lo poderoso de las matemáticas. Enhorabuena 👏🏽👏🏽

[@ArchimedesTube]

¡¡Muchas gracias Angel!! Intentamos en cada vídeo explicar no solo episodios interesantes de la historia de las Matemáticas sino también la Matemática detrás de estos descubrimientos intentando explicarla con ilustraciones y animaciones que ayuden a su comprensión. Nos anima mucho ver en los comentarios que nuestros vídeos son bien acogidos! Saludos

[@Yunuet]

¡Excelente video! Muy buena producción. Un saludo!

[@wilmerdiaz1186]

Excelente video. Muchas gracias por hacer un trabajo de animación de tanta calidad y que aporta tanto a la comprensión del tema. Su trabajo vale oro y lo mejor de todo es que lo puedo ver todas las veces que quiera y a la hora que quiera. Somos privilegiados de tener tanto en estos tiempos. Gracias de nuevo.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias! La verdad es que nos lleva bastante tiempo crear las animaciones y el guion de cada vídeo. Intentaremos seguir haciendo vídeo mientras no se nos agoten las fuerzas

[@elaxiomadelinfinito]

Impresionante. Me encantaría saber animar así las Matemáticas

[@ArchimedesTube]

Hola! Las animaciones del barco de las matemáticas, el dominó de Peano y El Congreso Internacional de Matemáticas de 1900 en París están hechas con After Effects (y las ilustraciones con Adobe Illustrator). La parte Matemática ( números reales, continuidad, curva de Hilbert) está hecha directamente en PowerPoint. Un saludo

[@quantic027]

Muchas gracias por generar contenido de calidad. Estos vídeos son geniales.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Quan!😊

[@richarddecag4573]

Gracias a usted profesor desarrolle el interes por ciertas partes de las matematicas logicas. Es un gusto escucharle.

[@mauriciotorocea]

¡Qué maravilla de explicación! Haces tan fácil comprender estas cosas tan abstractas. Felicidades por el excelete trabajo, y muchas gracias por este trabajo de educación matemática. Digo educación porque esto es mucho más que divulgación.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias por tu comentario! Nuestra motivación principal en los vídeos es tratar de explicar en un formato atractivo como el vídeo conceptos complejos. En este vídeo encontré una construcción para la curva de Hilbert que me pareció tan clara y visual que merecía la pena adaptarla a vídeo. ¡Saludos!

[@nicolascastro4276]

Que gran video, hermosa aplicación de los intervalos encajados. Había escuchado de la curva de Hilbert, pero no sabía realmente como llevar del intervalo [0,1] a llenar el cuadrado, además no sabía que esa aplicación no era biyectiva. Maravilloso.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Nicolas! A mí me sucedía los mismo. Siempre me parecía difícil de creer que la sucesión de curvas llegara realmente a definir una curva sobreyectiva en el cuadrado. Lo cierto es que se puede probar que las curvas convergen uniformemente y dado que la continuidad se preserva en el límite, si la convergencia es uniforme, la función límite también debía ser continua, es decir, una curva. Pero a pesar de ello mi intuición cortocircuitaba en ese punto. La idea de definir explícitamente la curva a partir de las biyecciones y el teorema de los intervalos encajados me resulta mucho más clara. Además se prueban de forma sencilla, la continuidad y la sobreyectividad. Con un poco más de trabajo (pero en el vídeo ya no lo pusimos) se puede ver que por cada punto central de los subcuadrados la curva de Hilbert pasa exactamente TRES veces 😲😲😲 ¡Saludos!

[@DiegoMathemagician]

Uno de vuestros mejores vídeos en mi opinión. Muy rico tanto en contenidos como en su calidad: explicaciones claras, sistemáticas, rigurosas y animaciones muy ingeniosas y bien logradas. Muchas gracias por crear este vídeo, ¡enhorabuena!

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias Diego! También creo que es el vídeo al que más tiempo le hemos dedicado.

[@cesarsuarez5241]

que hermoso video, claro, descriptivo y con mucha historia, felicitaciones, es un placer ver sus videos!!

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias cesar!

[@jordininyerola326]

Impresionante vídeo. De una calidad en fondo y forma espectacular. Gracias por acercarnos las matemáticas a nivel de cualquiera.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Jordi!

[@ricardochavez5179]

Qué increíble les quedó este video. Me encantó!!! Valió totalmente la espera. Fue hace un año que descubrí su canal y me quedé enganchado con cada uno de sus vídeos. Despertaron en mí el amor por la matemática y el interés por querer aprender más sobre ella. Su trabajo de divulgación hizo interesarme tanto que decidí estudiar la carrera de matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM aquí en la Ciudad de México, y la verdad me está encantando.🤭 Estudiaré y me esforzaré mucho para convertirme en un gran matemático como usted profe Urtzi. Saludos.

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias Ricardo! Comentarios como el tuyo nos animan a seguir haciendo vídeos. Saludos

[@sveerng1911]

Simplemente genial. El video, el tema, la forma de contarlo. Y el tremendo trabajo que debe tener detrás. Yo me licencié en matemáticas allá por el año 2001, pero ejercí pocos años, porque me dio fuerte por la informática y hasta hoy. Ahora viendo vídeos como este recuerdo por qué me encantaban las matemáticas. Enhorabuena por el canal.

[@calderonortizkevin9470]

Su trabajo es maravilloso. Muchísimas gracias por el vídeo. Como siempre, ha sido una belleza. Saludos :D

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias Kevin!

[@DiscoveryMine]

Ésto hay que ponerle un marco, y colgarlo en la pared. Genial!!

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Raul! 😊

[@luisakehau1398]

Que genialidad de vídeo... Muy bueno Urtzi :)

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Luis! ¿Qué tal te va todo?

[@salimbravo5562]

Es un excelente video... Bien explicado y estimulante👍👍👍👍

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Salim!

[@Msss3772]

Que excelente video, se me hizo impresionante como lo explico, se entendió perfectamente

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Diego!

[@davidgutierrezrubio9418]

Excelente vídeo. Curradísimo en todos los aspectos. Me ha encantado.

[@ArchimedesTube]

Gracias! 😊

[@AUT230]

Excelente trabajo. Felicitaciones y gracias.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias! 😊

[@prof.williamdimensionnumer2774]

Si me hubiesen explicado las matemáticas de la forma como lo expresas, hoy me hubiese ahorrado unos cuantos años de inversión de investigación ... Sencillamente ¡¡¡GENIAL!!! MAESTRO... Vi su primer video e inmediatamente me di cuenta la creatividad de tu talento y no dude en ser parte de tu grupo ... Estaré atento a tus conocimientos... Gracias!!! Saludos desde Cucuta Colombia

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias por tu comentario! Saludos desde Málaga España

[@rafael_math4604]

Excelente como siempre!.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias!

[@sgssergio]

Como siempre excelente explicación, nota mucha dedicación para explicar conceptos básicos y complejos con la misma naturalidad y sencilles. Aprovecho para preguntar porque la curva no es Inyectiva debido al teorema de la invariancia de Bowee, no llego a entenderlo. Además en el video marca como sobreyectiva al momento de decir que no es inyectiva, parece indicar que si no es nyectiva es sobreyectiva. Es así? Y Porque? Gracias

[@ArchimedesTube]

Hola Sergio, El teorema de invarianza de la dimensión (que enunció Dedekind pero probó Brouwer) dice que una biyección entre dos variedades M y N de dimensiones m y n tales que m es distinto de n no puede ser continua. De este modo, dado que la curva de Hilbert está definida del intervalo (dimesnión 1) en el cuadrado (dimensión 2) y es continua y sobreyectiva, no puede ser por tanto inyectiva (si lo fuese sería una biyección continua y contradiría el Teorema anterior). Quizás en el vídeo hay un pequeño desfase entre la imagen y la voz en el final al editar el vídeo. Lo que sabemos es que no puede haber una biyección continua entre el intervalo y el cuadrado por tanto si es continua, no puede ser simultáneamente inyectiva y sobreyectiva. Por ejemplo, si definiéramos una curva inyectiva, por el teorema sabemos que NO puede ser sobreyectiva. En el vídeo se define la curva de Hilbert que es continua y sobreyectiva y por tanto sabemos que NO puede ser inyectiva. Saludos

[@AltinoSantos]

Um vídeo excelente acompanhado de explicações e imagens excelentes! Si que da gusto ber!

[@ArchimedesTube]

Obrigado!!

[@rogerjorge2002]

EXCELENTE TRABAJO COMO TODOS LOS DE ARCHIMEDES TUBE GRACIAS Y POR FAVOR NO DEJEIS DE PRODUCIRLOS.SALUDOS DESDE BUENOS AIRES

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Jorge! Estamos tratando de publicar nuevos vídeos con cierta frecuencia. A ver si las fuerzas no nos flaquean 🤣

[@natanaelmendezmatos]

Brillante explicación. El libro se puede conseguir en Amazon?

[@pedroteran5885]

La verdad es que el vídeo es exquisito. Enhorabuena.

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Pedro! A este vídeo le dedicamos mucho trabajo. No solo a las animaciones y la edición sino también a la parte matemática para explicar cómo está definida la curva de Hilbert de la forma más gráfica posible. ¡Saludos!

[@franciscojavierruizdiaz7257]

Magnífico trabajo de animación!! Este vídeo es excelente, más ganas me entran de matricularme de Matemáticas!! Lo que he tenido todo el rato en la cabeza es el tema de la parametrización de una curva, o si está relacionado.. No sé si voy bien encaminado ¿?

[@ArchimedesTube]

¡¡Muchas gracias Francisco Javier!! La descripción dada es de hecho la parametrización de la curva de Hilbert pues para cada valor del parámetro t ϵ I se dice que punto (x(t), y(t)) del cuadrado le corresponde. Es cierto que no se da en forma de una ecuación que dependa de t pero la definición se da utilizando el teorema de los intervalos encajados de forma explícita. Un saludo

[@franciscojavierruizdiaz7257]

@@ArchimedesTube Y por supuesto el diseño del barco una genialidad!!! ;)

[@larubiano0]

Justo estoy viendo este tema en una clase, me sirvió mucho para desarrollar una buena intuición de lo que estoy haciendo

[@ArchimedesTube]

Excelente! En breve queremos hacer una mini serie con sus respectivas demostraciones sobre "cortaduras de Dedekind - El principio del supremo - El teorema de los intervalos encajados " que se utiliza en este vídeo. Un saludo

[@jlrodriblancas]

Genial!!! Una orgia topológica insuperable!!!!

[@ArchimedesTube]

jajaja ¡Gracias!

[@jonyloco4134]

20:47 los puntos que violan la inyectividad no serían todos los puntos del cuadrado? No son todos los puntos centros de algún cuadrado suficientemente pequeño?

[@ArchimedesTube]

Si pensamos el cuadrado situado en unos ejes con los vértices en los puntos (0, 0) ; (1, 0) ; (0, 1); (1,1). El centro del cuadrado grande es el punto (1/2 , 1/2). Al dividir el cuadrado grande en 4 cuadrados de lado 1/2 los centros de estos 4 cuadrados son los puntos (1/4, 1/4 ) ; (1/,4 , 3/4 ) ; (3/4 , 1/4 ) ; (3/4 , 3/4). Si seguimos dividiendo los cuadrados vemos que los centros de los cuadrados son fracciones con denominador una potencia de 2: 2, 4, 8, 16, ... y no todos los puntos del cuadrado son de esta forma.

[@jonyloco4134]

​@@ArchimedesTube Interesante. Pero si se cumpliría que para cualquier punto del cuadrado existe otro punto arbitrariamente cercano que viole la inyectividad?

[@ArchimedesTube]

@@jonyloco4134 Eso si justamente por lo que comentabas. También se puede comprobar que por cada punto que es centro de un cuadrado la curva pasa exactamente 3 veces

[@ezequielcalore2830]

Espectacular video! 🙌🏻

[@ArchimedesTube]

Gracias Ezequiel! 😊

[@carlosraventosprieto2065]

Que maravilla de video! GRACIAS

[@eduardopulido3269]

existen canales que hacen sencillo de entender conceptos difíciles, y en el límite de todos ellos se encuentra este canal

[@ArchimedesTube]

Creo que es el comentario más elogioso que nos han hecho nunca. ¡Muchas gracias Eduardo! 😊😊😊

[@ivanleon530]

Me encantan sus videos. Pero este es de nivel top. Saludos

[@ArchimedesTube]

¡Gracias Ivan! En este vídeo además de la introducción histórica queríamos presentar los conceptos necesarios y probar hasta el último detalle que la curva de Hilbert era realmente continua, sobreyectiva y NO inyectiva 🤣🤣🤣

[@davidnunez8668]

Excelente video, una pregunta ¿ cómo sé calcularian las n que hacen que la curva pase por el centro del cuadrado original? Un saludo.

[@ArchimedesTube]

Hola David, Por cada punto central de cada subcuadrado la curva pasa exactamente tres veces. Veámoslo para el cuadrado original pues el resto de subcuadrados se razona igual. En la primera subdivisión del cuadrado ( 1 , 2 , 3 , 4) 1-2 , 2-3, 3-4, son cuadrados adyacentes con intervalos adyacentes. 2 3 1 4 1 2 3 4 __ __ __ __ En la siguiente subdivisión alrededor del punto central solo hay dos cuadrados adyacentes 3-8-9-14 que vienen de intervalos adyacentes, esto es, el 8-9 6 7 10 11 5 8 9 12 4 3 14 13 1 2 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ __ Lo mismo sucede con la siguiente subdivisión del cuadrado en 64 subcuadrados (y las restantes) donde alrededor del punto central están los subcuadrados 11, 32, 33, 54 de los que dos provienen de subintervalos adyacentes ( 32-33). De este modo si tomamos los cuadrados encajados en el cuadrado 1 obtenemos un punto t_0 del intervalo 1 (de la primera subdivisión). Si tomáramos cuadrados encajados en el cuadrado 4 obtendríamos un punto t_1 del intervalo 4 (de la primera subdivisión) pero los intervalos encajados en el cuadrado 2 y 3 siempre van a ser cuadrados adyacentes y definen un mismo punto t_2. Por tanto hay 3 puntos t_0, t_1, y t_2 que se aplican en el centro del cuadrado. Y lo mismo sucede con cada uno de los puntos centrales de los diferentes subcuadrados. Es un poco sorprendente que pase exactamente 3 veces pues a primera vista uno pensaría que pasa 4 veces, pero al ser dos cuadrados correspondientes con dos intervalos adyacentes dan lugar a un mismo punto. Esta explicación no la pudimos incluir en el vídeo pues quizás era demasiado compleja y el vídeo ya era de por si bastante largo. Saludos

[@davidnunez8668]

@@ArchimedesTube muchísimas gracias, no sólo por contestarme sino por los videos , me ayudan a comprender cosas de la carrera que las estudies sin comprender. De todas formas me refería a que n para la curva, es decir , la curva q tiene 3 segmentos, la curva 2 ¿ 15? Pero te preguntaba en cuál de las curvas se pasa exactamente por el centro del cuadrado original, perdona por no haberme explicado bien en mi pregunta. Buen trabajo.

[@leonardomendez4827]

Que bello el video, me hace querer aprender más sobre las matemáticas :3.

[@ArchimedesTube]

¡Gracias Leonardo! Seguiremos haciendo vídeos como este mientras nos queden fuerzas 🤣

[@carlosgordilloolivera6994]

Excelente video! Me encantó! Que la curva no sea derivable, hace que sea imposible calcular la longitud de la misma y descarta que tenga longitud infinita, cierto?

[@ArchimedesTube]

Hola Carlos! Es un tema interesante. La longitud de una curva diferenciable se puede calcular como la integral entre los puntos a y b de la raíz de 1+f'^2 y la curva de Hilbert no lo es (en ningún punto). Pero las sucesivas curvas que convergen a la curva de Hilbert son diferenciables salvo en un número finito de puntos y su longitud es 2^n - 1/2^n es decir tiende a infinito. Estas curvas convergen uniformemente a la curva de Hilbert, pero la longitud de curva no se preserva por convergencia uniforme ( este vídeo mostraba la "paradoja" Pi = 2 precisamente por el hecho de que la longitud no se preserva kzbin.info/www/bejne/b6Kno3ial7KGoaM ). Sin embargo a pesar de que no sea diferenciable y la convergencia uniforme no nos sirva no se si tiene sentido asociar a la curva de Hilbert una longitud. Opino como tu dices que no tiene sentido calcular dicha longitud pero he tratado de buscar alguna referencia donde hable de ello y aun no lo he conseguido.

[@davidgutierrezrubio9418]

@@ArchimedesTube La longitud en el sentido de medida de Hausdorff 1-dimensional sí tiene sentido. Y en este caso, dado que la medida 2-dimensional de Hausdorff (área) de la curva es positiva, entonces su medida 1-dimensional (longitud) ha de ser infinito (es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3n_de_Hausdorff-Besicovitch)

[@JoseGomez-xi2co]

Muy buen trabajo, muchas gracias amigo.

[@mvalverd]

Simplemente espectacular video

[@alt._.accountYT]

Simplemente wow

[@ArchimedesTube]

😊😊😊

[@hectordanielazcona5689]

Planteo respecto del teorema de intervalos cerrados y encajados: De momento, tengo mis dudas sobre: si la intersección de intervalos cerrados y encajados de longitud tendiente a cero en (R), es un elemento único {x(n)} (cierto solo si: longitud(I(n))=0®a(n)=b(n)®[a(n), b(n)]={x(n)}) - coincido en que dicha intersección no es un conjunto vacío {limitaciones de una progresión geométrica: si bien, el lim(n...¥)(b(n)-a(n))=lim(n...¥)(1/2^n)=0 "n>0 Є N, en realidad, esto es una tendencia - (0), es el valor numérico al que puede acercarse indefinidamente este específico límite -, en consecuencia la longitud(I(n))>0®a(n)≠b(n)®[a(n), b(n)]≠{x(n)}} -. Aunque creo, sería más preciso expresar que: si bien, parecería que tiende a decrecer la cantidad - espero que no propiamente numérica - de elementos al ir encajando un intervalo cerrado dentro de otro; nunca deberíamos dejar de considerarlos como: conjuntos de infinitos elementos (por ser un conjunto denso). Entonces, dada la intersección de intervalos cerrados y encajados cuyas longitudes tienden a cero - en (R) -, debería existir - al menos -, un número real que pertenezca a todos esos intervalos - o más precisamente: su intersección nunca dejara de ser un conjunto de infinitos elementos {, flor de {x(n)}, ¿no?} -. § [1/0]: es una indefinición aritmética. § [0/0]: es una indeterminación aritmética. § [1/¥]: no es ecuación aritmética. Dado que infinito, no es una específica cantidad - propiamente numérica -de una específica unidad - propiamente numérica -. Caso contrario: ¿a qué específico conjunto numérico pertenece infinito? Y nuevamente, en el caso de tomar a infinito como una variable (propiamente numérica) y a (1/¥) como una ecuación algebraica: ¿a qué específico conjunto numérico pertenece la variable infinita? En todo caso, infinito es un concepto que remite a lo inalcanzable. Mismo, que a mi entender, en matemáticas debería ser excluido de la aritmética elemental - y quizás restringido al ámbito del cálculo infinitesimal -. Aceptando, solo como una convención matemática, el que: (1/¥=0) - una especie de redondeo en el contexto de la aritmética elemental -. § Y sí, en matemática, se aceptan intervalos de un solo elemento: por ej.: [0, 0]. Siendo su longitud igual a: 0 -intervalo degenerado: intervalo que contiene un único elemento -. § Longitud de un intervalo: valor absoluto de la diferencia entre su extremo superior e inferior: |[0, 0]|=abs(0-0)=0. § … Nota: debido a la completitud de (R) - continuidad -, ese punto - número real -, al que tiende la sucesión de intervalos cerrados y encajados, debe encontrarse en (R). Y aun así, jamás ser alcanzado - dado que se constituye una tendencia inacabable -. Básicamente: ∩(n=1...¥) I(n)=¥, dado que !$a≠b Є R / a=(abs(a+b)/2)=b - ¿o será que los reales entre dos números distintos se agotan? -.

[@Gleonel77]

Lo de la continuidad tiene que ver con el límite por definición, recuerdo que había leído algo así cuando leí sobre el límite pero no lo entendía bien hasta ahora. Increíble vídeo❤

[@yadirablanco7117]

Infinitas gracias por este contenido.

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias! 😊

[@miku5350]

Al fin 😍🥰 nuevo vídeo

[@ArchimedesTube]

Este vídeo nos ha llevado un tiempo terminarlo. La animación de Peano y las piezas de dominó nos ha tenido entretenidos un tiempo 🤣🤣🤣

[@miku5350]

@@ArchimedesTube pero vale la pena esperar por la calidad del video como siempre, éxitos 🙌.

[@ArchimedesTube]

¡Gracias Esteffany!

[@normabeatrizmansilla4103]

Muchísimas gracias.

[@ArchimedesTube]

Gracias a ti por ver nuestros vídeos 😃😃😃

[@samuelhoenes1392]

Es un video excelente!

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Samuel!

[@hectordanielazcona5689]

¿Será posible poner en correspondencia biunívoca, una superficie con una línea recta, de forma que a cada punto de la superficie le correspondiera un único punto de la recta y recíprocamente? Pues, según Cantor; sí es posible definir una correspondencia biunívoca entre recta y plano. Básicamente, su demostración consiste en representar cada punto de un cuadrado por un par ordenado de coordenadas en notación decimal. Siendo que, dichas representaciones decimales, son entremezcladas conforme a unprocedimiento reversible - ej.: intercalando un decimal de cada par de coordenadas, a fin de construir un único desarrollo decimal, que se asocia a un único punto del segmento rectilíneo -. ¡Lo veo, pero no lo creo!, dijo Cantor {de momento, yo tampoco}. Claro que, para Cantor, tomar dos construcciones numéricas de infinitos decimales - no nulos - y con ellas construir numéricamente su singular concatenación; son operaciones aritméticas que cualquiera puede finalizarlas en un tiempo finito. Haciendo lo anterior a un lado, en esencia, este método, consiste en imponer subrepticia e injustificadamente - no siendo ello consecuencia de las propiedades del conjunto al que pertenece - densidad diferencial y dimensionalidad diferencial - una resolución diferencial - a las coordenadas de la superficie, respecto de las de la línea recta. Teniendo como consecuencia vedada - en esta relación improcedentemente replanteada -, el hacer inalcanzables desde la superficie, un infinito número de coordenadas de la línea recta - siendo ambos conjuntos: igualmente densos -. En consecuencia, no puede establecerse una correspondencia biunívoca entre ambos conjuntos, dado que: o no es una función sobreyectiva o no es una función total - [f: (área^DD→línea^DD+)] ® no-sobreyectiva y [f: (línea^DD+→área^DD)] ® no-total -. Nota.1: (¿absurdo original?) si proponemos, la existencia de idéntica cantidad de puntos geométricos - ¿cantidad propiamente numérica? - en el borde de una figura geométrica, así como, en su totalidad: ¿por qué razón, se nos obliga a emplear, respecto de una misma tendencia indetenible - constituida, tanto respecto de sus bordes, como del resto de la figura geométrica (es decir, poseyendo idénticas propiedades de conjunto) -, diferente resolución infinita? Nota.2: (¿trasnochada-comprobación geométrica del absurdo original?) existe un análogo geométrico de este irreconocido diferencial de resolución entre los subconjuntos comparados. Donde. Por ejemplo: teniendo un mismo centro geométrico y disponiendo un/a circulo/circunferencia dentro de otro/a. Se conectan, mediante segmentos, dicho centro geométrico y cada punto geométrico del circulo/circunferencia mayor - radio mayor -. Es decir. Geométricamente hablando, necesariamente se estarían conectado cada punto geométrico del circulo/circunferencia de menor radio con el de mayor. Ergo: la cantidad de puntos geométricos del circulo/circunferencia de menor radio es la misma que la de mayor radio. Claro que. Lo que no te precisan estos trasnochados, es que: una cosa, es un punto geométrico (adimensional) y la confusión que su siempre imprecisa representación geométrica introduce y otra, es dotar de idéntica dimensionaldad/idéntica resolución (finita/infinita - aunque, a sabiendas, de nivel de insensibilidad a los absurdos que suelen presentar estos trasnochados, no me extrañaría que, ni así reconozcan el absurdo de su propuesta -) a cada punto de las figuras. Siendo que: tan solo, dotando de idéntica dimensionalidad a cada punto dimensional de ambas figuras geométricas, nos percataríamos de que, por cada punto dimensional de la figura geométrica de menor radio pasa más de un segmento - es decir: no se constituiría una función no-inyectiva - o restarían puntos dimensionales de la figura geométrica de mayor radio por alcanzar - es decir: no se constituiría una función total -. § PCC: Procedimiento de concatenación de Cantor.

[@federicogasparv]

En referencia a: ¿Podemos definir una curva que llene un cuadrado? La intuición, y Euclides, nos dicen que no: “Una línea es una longitud sin anchura”. ¿Cuán diferente es preguntarse porqué un conjunto de puntos donde cada uno de ellos carece de longitud forman una curva que si lo tiene? O sea un conglomerado infinito de elementos carentes de una propiedad forman un nuevo objeto con dicha propiedad. A mi la intuición me decía que si.... Lo que me sorprende es que no se pueda hacer un isomorfismo continuo. ¿este proceso de correspondencia segmento cuadrado se puede generalizar a segmento volumen o hipervolumen? Yo apostaría que si...

[@ArchimedesTube]

Hola Federico, La verdad es que tu argumento es bastante lógico. Si una cantidad infinita de puntos sin longitud pueden formar una línea (continua) porqué no habría de poder formarse un cuadrado a partir de líneas. Lo cierto es que podemos ver un cuadrado como el conjunto de las infinitas secciones verticales que son segmentos. Pero estos segmentos no nos dan una curva pues no están unidos de forma continua. Si empezamos por un segmento no podemos continuar con el siguiente pues de hecho no hay un segmento que sea el siguiente al tratarse de un conjunto infinito no numerable de segmentos. La curva de Hilbert si recorres todo el cuadrado llenándolo a costa de sacrificar la inyectividad. La posibilidad de dar una biyección continua quedó descartado tras la demostración del teorema de invarianza de la dimensión de L.E.J Brouwer. En efecto, el mismo argumento utilizado para el cuadrado puede utilizarse para llenar un cubo con una recta. Basta descomponer el cubo en 8, 8x8, 8x8x8, ... subcubos y enumerarlos en cada paso de forma que se verifiquen las propiedades de adyacencia y encaje que se describen en el vídeo. De esta forma el teorema de los intervalos encajados nos definiría la función del intervalo en el cubo que describe la curva de forma explícita. Las demostraciones de la continuidad y sobreyectividad son análogas y la NO inyectividad se da en todos los centros de los subcubos. Para hipercubos es análogo. Un saludo

[@federicogasparv]

@@ArchimedesTube Me quedé pensando, pero hay algo distinto en el ejemplo que di de los puntos y una línea ¿no? Porque en ese caso pareciera ser que se puede hacer de forma continua, inyectiva y sobreyectiva. Me sigue sorprendiendo que en el ejemplo del intervalo y el cuadrado no sirva la vivorita que va de extremos a extremo, baja una posición, y vaya al otro extremo y así siguiendo. En fin, excelente trabajo. Espero que tu canal crezca pronto así vemos mas contenido. Saludos!!

[@cristofer2794]

Uno puede inventar varias cosas entretenidas con las matematicas, por ejemplo en el estudio de los poliedros y sus teselaciones, el juego de la vida de conway. Mezclando las dos cosas, creando algoritmos y formulas, con poliedros subdivididos en "cuadriculas" se pueden generar ciudades, granjas,casas y edificios en su superficie,cosas así.

[@juanpablocuevaberea3478]

Qué buen video, mis respetos...

[@ArchimedesTube]

Gracias! 😊

[@anibalivanriveragonzalez9486]

Excelente vídeo, muy buen tema.

[@ArchimedesTube]

Gracias! 😊 Con este vídeo estamos casi terminando la serie sobre la dimensión.

[@michaelrosalesvilca9337]

Qué inspirador

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias! 😊

[@elvistorresperez3414]

Que buen video... una delicia para mis ojos...

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias Elvis!

[@luisgiraldo9289]

Genial!!!

[@ArchimedesTube]

¡Gracias!

[@Msss3772]

Deberías subir esta calidad de videos también a facebook

[@edwinzapata1626]

Excelente vídeo 🎉

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias!

[@wilmerdiaz1186]

No es justo que este vídeo solo tenga 5mil Views. Debería ser obligatorio verlo para todo el mundo.

[@ArchimedesTube]

jajaja nosotros opinamos igual

[@diegomoreno3237]

Menudo curro que os habéis metido para este video. Se nota Estupendo, como siempre

[@ArchimedesTube]

Muchísimas gracias Diego! Llevamos unos meses con las animaciones, la edición,... 😅

[@diegomoreno3237]

Urtzi, Miriam, tenéis que hacer uno sobre el Teorema de incompletitud de Godel! Un temazo

[@ArchimedesTube]

@@diegomoreno3237 ¡Estamos en ello! 😃 Pero nos llevará algún tiempo terminarlo. De hecho, le hicimos a GÓdel una camiseta y su teorema de incompletitud: www.camisetasdematematicas.com/products/camiseta-de-matematicas-godel 🤣🤣🤣

[@luigy0648]

Buen video como siempre profesor

[@ArchimedesTube]

¡Gracias!

[@martorralva8344]

Me encantan tus videos

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias!

[@pmatos0071]

Mas um vídeo maravilloso

[@ArchimedesTube]

¡Gracias!

[@a0z9]

Muy bien de contar puntitos en un cuadrado, pero mejor si se cuentan en 4 conjuntos. Ahí se meten todos los naturales sin que sobre ni falte ni uno, siendo cada uno de ellos de una cantidad de números diferente. Fácil si se sabe como. Y lo mismo para los reales. Quien dice 4 dice más o menos. Pero con 4 ya sería suficiente para demostrar que hay infinitas cardinalidades de los infinitos. Que tiemble Dedekind , con adyacencia única por definición y por lo tanto con una única curva.

[@marcosm4691]

Buen video

[@ArchimedesTube]

¡Gracias Marcos!

[@adelaidaflorez22]

Y para rellenar el área del cuadrado que quieran recuerden que la marca del lápiz en la hoja es la representación de un concepto mental el punto y que el cuadrado también lo es y que un cuadrado se pueden razonar como cuadraturas infinitas con un centro que sería un punto es parecido a lo que pasa con un círculo referente a las circunstancias pero aquí se trata de que el recorrido es en LÍNEA RECTA recuerden son conceptos mentales como el 0 que le trae muchos problemas a las teorías de números Yo creo que el plano cartesiano se hizo para facilitar el razonamiento y no para complicarnos Atte Jhonny Angarita

[@TheHasmd]

Me encantan tus videos, tu forma de explicar pero ahh como me cuesta seguirte el paso en los conceptos jajaj

[@ArchimedesTube]

jajaja ¡Muchas gracias! Este vídeo es especialmente complejo. La curva de Hilbert es un tema que siempre me pareció difícil de entender ya que me costaba aceptar que realmente llenara el plano. Cuando por fin lo entendí de un modo muy visual de manera que puede decirse explícitamente (con ayuda del teorema de los intervalos encajados para el que hicimos también un vídeo) qué punto del intervalo se aplcia en qué punto del cuadrado, decidí contarlo todo en un vídeo. Por eso este vídeo es más complejo que otros, porque el tema en sí lo es. ¡Muchas gracias por tu comentario!

[@tatomaradiegue4380]

Para las dimensiones en la vida real, para su medición yo creo que la vista es bidimensional, y que el que nos dice que el mundo es tridiensional es el tacto. Luego el olfato sería unidimensional y el gusto cero dimensional, pero eso ya es otro asunto.

[@JoseMedina-ug6on]

Fue muy encantadora el vídeo, demasiado, perdón por darle me gusta y no me gusta varias veces, la pantalla no funciona muy bien xD

[@ArchimedesTube]

Muchísimas gracias!!

[@cemoralesme]

Sobreyectiva significa que la curva tiene mas puntos que el area de cuadrado? 🤯

[@ArchimedesTube]

Sobreyectiva significa que todos los puntos del codominio son imagen de algún punto del dominio. En el caso de una función f: I --> S del intervalo en el cuadrado significa que todo punto s ϵ S del cuadrado verifica que f(t) = s para algún t ϵ I , es decir, es imagen de algún punto del intervalo.

[@yadirablanco7117]

Uff es excelente este video

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias @Yadira Blanco ! Este vídeo nos ha llevado bastante tiempo terminarlo

[@axelrodriguez4178]

Esperando ando

[@christianaguilar8805]

Genial video. ❤️👻

[@ArchimedesTube]

Gracias! 😊

[@JuanCarlos-ll3hr]

Muy bueno, pero aun así me cuesta entenderlo :)

[@ArchimedesTube]

A mi me pasaba lo mismo hasta que encontré la interpretación de E. H. Moore en el libro "Curves for the Mathematically curious". L definición es totalmente explícita y permite demostrar fácilmente la continuidad y la sobreyectividad. Además también se puede ver como explicamos en el vídeo cuáles son los puntos (de hecho, hay infinitos numerables - los centros de los subcuadrados-) por los que la curva pasa más de una vez. Se puede probar que por cada uno de los centros de los subcuadrados pasa exactamente tres veces pero esto nos hubiera llevado un poco más de tiempo explicarlo en el vídeo.

[@pedrogonzalez-ul8bg]

El infinito es uno solo. Paso 1. El conjunto potencia de n, o numeros naturales y sus partes, es numerable y acá muestro el método. El conjunto vacio lo numero como el 1, agrego el 1 1 es el 2, agrego el 2 2 es el 3 1-2 es el 4, agrego el 3 3 el 5 1-3 el 6 2-3 el 7 1-2-3 el 8, y así sucesivamente. Conclusión: el conjunto n es cardinal n y el conjunto potencia es 2 elevado a la n, que es mayor.Cuando n tiende a infinito los dos tienden a infinito pero son del mismo cardinal.Contadictorio no? El infinito es uno solo. Paso 2. Método de la diagonal de Cantor. La lista de números reales de n elementos por fila, tendrá 10 elevado a la n filas, por lo tanto esa diagonal no pasa por todas las filas sino que deja afuera (10**n - n) filas y la cantidad de filas que quedan afuera tiende a infinito cuando n tiende a infinito, por lo tanto el método de la diagonal es en este caso incorrecto, pues esa nueva fila obtenida por el método diagonal está realmente en la lista, en alguna fila que quedó fuera El infinito es uno solo. Paso 3. Encontré un método para generar los infinitos números reales del intervalo (0,1),y numerarlos. el 0 es 0,0000....000, el 1 es 0,100000..0 el 2 es 0,200000...000, el 3 es 0,3000....0000, ............................. el 9 es 0,9000....0000, el 10 es 0,0100000...000, Escribo 10 de derecha a izquierda de manera que el 0 del 10 , ultima cifra significativa sea la primera despues de la coma decimal, y todos los siguientes, del mismo modo: el 11 es 0,1100000...000, el 12 es 0,2100000...000, .......... el 56295141 es 0,141592650000.....00, si tiene razón son las primeras cifras de pi y asi sucesivamente, terminarán por aparecer todos. Infinito hay uno solo y es suficientemente grande para contener a todos. my email si alguien quiere contactarme es [e-mail]

[@franciscoanyosa4108]

Tu canal es una delicia matemática

[@ArchimedesTube]

¡Muchísimas gracias Francisco! 😊

[@rafaelmaciasdiaz5972]

Eso es un absurdo. Pregunto: en al recta como se representa el punto adyacente a cuatro cuadros, porque el punto es indudable de que existe.

[@marcoszukunft7104]

¡Matemáticas a otro nivel!

[@ArchimedesTube]

¡Gracias Marcos!

[@SuperXaloc]

Una línea nucnca puede hacer un cuadrado. Una dimensión nunca puede crear dos dimensiones. Una línea no tiene ni ancho ni alto. Es imposible representar una línea o un cuadrado sobre un papel. La línea no tiene ni ancho ni alto y el cuadrdao no tiene alto (dimensiones que crea el lápiz sobre el papel o los pixeles que tiene alto en la pantalla)

[@ArchimedesTube]

La curva de Hilbert es una función continua del intervalo en el cuadrado sobreyectiva. Es cierto que no es inyectiva, pero este descubrimiento impulsó el nacimiento de nuevas líneas de investigación matemática.

[@adelaidaflorez22]

Si en la realidad es imposible Pero es solo una representación de un concepto mental es como los grafemas si tú lenguaje no fuera el mismo que el mío no entenderías lo que te digo y yo con grafemas te escribo aquí punto y . Y te pregunto si tienes la misma idea de que es un punto que yo un punto es un lugar en el espacio tiempo y el espacio es infinitos lugares en todos los sentidos Atte Jhonny

[@immanuelstrauss7863]

Es una bella la edición, y el video en generar me gustó mucho. ( ˘ ³˘)π

[@ArchimedesTube]

¡Muchas gracias!