Area del triangolo col calcolo integrale - Cavalieri e indivisibili

[@ValerioPattaro]

Se sei qui per studiare matematica o fisica ti consiglio di salvare i link delle seguenti Playlist ove troverai gli argomenti ben organizzati. Se non trovi ciò che ti occorre tieni conto che ogni settimana nuovi video si aggiungeranno a quelli esistenti. Se sei interessato ad un argomento specifico scrivilo nei commenti a un video e cercherò di tenerne conto. 🌼🌼PLAYLIST di MATEMATICA Aritmetica e algebra kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzMMaMPZT4VUtzzcectZE6DN Goniometria, trigonometria, esponenziali, logaritmi, numeri complessi kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzP19YqC2PROSAj9dsWdB6JV Probabilità, Calcolo combinatorio, Statistica kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzPguttfwrigh5ZDyHoWi_cG Geometria euclidea, dimostrazioni e problemi svolti. kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzNJs9NBDgQBhUyq1nCptUmp Geometria analitica kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzOgzX7K9uVQDhSp4GKvPVXT Funzioni, limiti, derivate, integrali, serie, equazioni differenziali kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzMAWiA4Mou7StCugpte8dBg Vettori, matrici e determinanti kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzNAIF1qx0cfCXDQSiUSaa4W Insiemistica, logica, problem solving in matematica kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzOuecH4YxqeXdoo9p4gduYp Matematica, Errori tipici kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzN-q4ak0dQKQObhSsqfcokr Matematica, domande e risposte kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzN9Di529YQLVy4nuYi8Nz9X 🌼🌼PLAYLIST di FISICA F1 - Meccanica Classica kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzMKlaj25jXR_mi3hBAbawe2 F2 - Termologia e Termodinamica kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzOn8vAtim61Iykurwc_v3JV F3 - Onde, Acustica, Ottica kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzN_Xeh_iT1mAJJcckD-o8QI F4 - Elettromagnetismo kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzOnu2cDRlRVwjoQFFfr2zy8 F5 - Teoria della Relatività kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzPnbs_0K3OrTxkqNVeL9bxq Fisica moderna e divulgazione scientifica kzbin.info/aero/PLM3M-5ytwzzMBs-lDAmp_if3s1SfC6eQJ Tutti i video che produco sono e saranno sempre gratuiti. Per sostenere il progetto puoi fare una donazione qui: it.tipeee.com/valerio-pattaro Per ordinare il mio primo libro "matematica attivamente": www.amazon.it/dp/B09JBHG8MX (anche con Carta del Docente e 18App) Seguimi su Instagram: instagram.com/v_pattaro_fisica_mate_logica/ Seguimi su TikTok: www.tiktok.com/@valerio.pattaro?is_from_webapp=1&sender_device=pc

[@ValerioPattaro]

Siete interessati agli integrali doppi e tripli? In questi video oltre a risolvere l'esercizio spiego i concetti: INTEGRALI DOPPI Dominio rettangolare, esercizio 1: kzbin.info/www/bejne/r2OuZWutrKmBhK8 Dominio rettangolare, esercizio 2: kzbin.info/www/bejne/foXNnaeXqsRsfrM Dominio normale all'asse x (detto anche dominio y-semplice), esercizio 1: kzbin.info/www/bejne/jqSrnKSDaLV6gKc Dominio normale all'asse x (detto anche dominio y-semplice), esercizio 2: kzbin.info/www/bejne/sKepkJx9eN6Lf6M Dominio normale all'asse y (detto anche dominio x-semplice), esercizio 1: kzbin.info/www/bejne/Z3vbaJhthZypaqM Integrazione tramite cambio di variabili da cartesiani a polari, esercizio 1: kzbin.info/www/bejne/pKvadnufebSneNk Integrazione tramite cambio di variabili da cartesiani a ellittiche, esercizio 1: kzbin.info/www/bejne/rXWsm3eopbt_g6M INTEGRALI TRIPLI, applicazioni: kzbin.info/www/bejne/n6K2aneqhs9-oZI

[@ValerioPattaro]

Capire gli integrali e il legame con le derivate kzbin.info/www/bejne/hJa0f6SegaykpdU 1 - Integrali (quasi) immediati kzbin.info/www/bejne/nXWxi4SZqKh6nq8 2 - Integrali (quasi) immediati - funzioni composte kzbin.info/www/bejne/jam6kIpjlq2Mgrc 3 - Come fare in modo che il grado del denominatore sia sempre minore del grado del numeratore; inoltre spiego dome integrare quando il denominatore è di primo grado. kzbin.info/www/bejne/nHK0oaR4i9SipNU 4 - Integrare funzioni fratte con denominatore di secondo grado e delta positivo. kzbin.info/www/bejne/apq5c3t7e6hpkKc 5 - Integrare funzioni con denominatore di secondo grado e delta=0 kzbin.info/www/bejne/kIa2ZqukhNaCl5Y 6- Integrare funzioni con denominatore di secondo grado e delta negativo kzbin.info/www/bejne/qmLIaKSNYrGSaK8 7 - Integrare funzioni fratte (caso generale) con denominatore qualunque. kzbin.info/www/bejne/hWjaqWqXgKt7gpY 8 - Integrare per parti kzbin.info/www/bejne/g6WwXoWJesl5oqM 9 - Integrare per sostituzione kzbin.info/www/bejne/lXqrqZiYbbKGj6s 10 - Esempio - Tangente e cotangente kzbin.info/www/bejne/pGqTqZSZl9aBjZY 11 - Esempio - utilizzo formule parametriche kzbin.info/www/bejne/pGqTqZSZl9aBjZY 12 - Esempio - Radicali con indici diversi kzbin.info/www/bejne/eny8foeIltJofpY Integrali indefiniti, 8 esempi svolti: int(f(x))^n*f'(x))dx kzbin.info/www/bejne/h4rZmp2vfNCgitk L'integrale definito: perché si mette il "dx"? kzbin.info/www/bejne/h5OTdWZojrN5rLs Area del triangolo col calcolo integrale - Cavalieri e indivisibili kzbin.info/www/bejne/gpfZqplprbWEobs Calcolare aree con gli integrali - Esercizio 1 kzbin.info/www/bejne/kHuWdHaNeNSFgZY Calcolare aree con gli integrali - Esercizio 2 kzbin.info/www/bejne/fn6TY3qplr5litU AREA del CERCHIO kzbin.info/www/bejne/aKi6mZ-wo5Wfe7c Meravigliosa concretezza per un calcolo astratto kzbin.info/www/bejne/goDGdaNoptZlnsk Lunghezza di una curva con gli integrali - Equazione dell'asteroide kzbin.info/www/bejne/j2W7cq2seaqriLM Teorema della media integrale kzbin.info/www/bejne/nIuzoWushaunick Derivata della funzione integrale - TUTTI I CASI - Esempi svolti kzbin.info/www/bejne/mJbMnYKwbdB0mqc Maturità 2008 - Derivate e integrali kzbin.info/www/bejne/hX-xd358q7R1bbc Maturità 2016 - Integrale di Gauss kzbin.info/www/bejne/jXjLp5ukpdF6ra8 Maturità 2018 - Funzione integrale kzbin.info/www/bejne/oIS6hX6kp7KYZqM

[@schematism]

Gentile Professore, aver sentito che il portare fuori dall'operatore integrazione equivalga ad effettuare un raccoglimento a fattore comune è una delle esperienze estetiche più delicate che ci possano essere.

[@robertovolpi6186]

Lezione splendida e creativa. In poche battutte un bel ripasso di geometria piana e calcolo integrale di base. Magnifico!!!

[@webspy75]

Spiegazione semplice e efficace, complimenti.

[@gliuto]

La bellezza e l'eleganza del pensiero matematico non ha eguali. Grazie Prof!

[@turbin2278]

Che bello il calcolo integrale e tutto quello che concerne l’analisi matematica. Sempre emozionante

[@sus2349]

Che bella spiegazione, chiarissima. Grazie mille!

[@paolosciarra6084]

Bella spiegazione. Semplice e dettagliata.

[@angelo77bis]

Chiarissimo, sei un grande.

[@giovannifrancescociani4738]

Molto figo come spunto di riflessione. Io l'avrei fatto mettendo l'origine nel vertice di sinistra e integrando lungo l'asse orizzontale, spezzando la funzione in due rette, la prima con coefficiente angolare positivo e la seconda con coeff ang negativo!.

[@greatwhite4821]

È quello che ho pensato per prima cosa anch’io, scomporre in due triangoli rettangoli e integrare per somma considerando le equazioni esplicite delle due rette f(x)=mx+q, ma non abbiamo informazioni riguardo il coefficiente angolare essendo la tangente dei due angoli alla base che non sono noti, gli elementi noti sono esclusivamente la base B e l’altezza H che nell’equazione esplicita delle due rette sarebbe l’intercetta, ossia q. Gli angoli vengono tirati in ballo esclusivamente per dimostrare la similitudine fra i due triangoli, ma non sono termini noti, pertanto l’unica soluzione è quella illustrata.

[@giovannifrancescociani4738]

@@greatwhite4821 non sono d'accordo... se assumi che entrambe le rette passano per il punto (a,h) dove a è il punto in cui cade la proiezione dell'altezza (di lunghezza h), riesci a risolverlo ugualmente.

[@greatwhite4821]

@@giovannifrancescociani4738 credo che senza informazioni riguardo i coefficienti angolari l’unica soluzione sia quella del professore, l’equazione esplicita avrebbe due incognite pertanto irrisolvibile, non rimane che chiedere a lui stesso.

[@andrelegni6691]

Eccellente 👍

[@jompoking]

ottimo video prof, come sempre. Una cosa mi sfugge: visto che la figura che prendiamo in considerazione ha 2 lati paralleli e 2 lati obliqui (i 2 lati del triangolo), non dovrebbe essere un trapezio?

[@ValerioPattaro]

Ottima osservazione. Però essendo infinitamente sottile le due basi tendono a essere uguali e quindi possiamo trattarlo come rettangolo.

[@schematism]

@@ValerioPattaro, più o meno come quando consideriamo l'arco infinitesimo di una curva come l'ipotenusa di un triangolo infinitesimo, giusto?

[@sardanus]

@@schematism si

[@Moto-trip]

Ottimo ripasso 🙂👋🏻

[@annapiamazzeo8414]

Grande prof

[@filippocena9471]

Spettacolare

[@emanueleottavi504]

Tu sei un genio

[@ValerioPattaro]

No 😂😂😂

[@davidecosciani9232]

@@ValerioPattaro Il «DisLike» è mio, Lei lo è!

[@User-VHLMsnoq]

Come coniugare la geometria euclidea con il calcolo integrale. Complimenti!

[@morita2578]

Complimenti davvero

[@DaveJ6515]

Interessante come sempre, preciserei soltanto che questa trattazione dell'integrale, visto come "somma di infiniti addendi infinitamente piccoli" è ammissibile nei Licei (dove spesso l'ho usata per ammorbidire l'impatto con concetti altrimenti impervi) e in Facoltà applicative. In un corso di Laurea in Matematica consiglierei agli studenti di non lasciarsi sedurre dalla semplicità di questo approccio, per preferire invece il classico inquadramento nella teoria della Misura di Peano-Jordan (e più avanti Lebesgue) per avere una comprensione appropriata della misura dell'area del sottografico. In particolare, ricondurre il criterio di misurabilità di P-J (misura esterna della frontiera = 0) alla continuità nel chiuso e limitato (e dunque per Heine-Cantor uniforme continuità nel medesimo) della funzione integranda è a mio parere un elemento imprescindibile di questo sviluppo teorico. Come pure il fatto che, fino al momento in cui si sviluppa la teoria della misura, non disponiamo di una definizione generale di insieme misurabile in R2, quindi non abbiamo idea di come misurare superfici che abbiano contorno non rettilineo se non in casi particolari (e.g. le famose lunule di Ippocrate). Ovviamente per quelle a contorno rettilineo basta la triangolazione.

[@gpf5204]

Troverebbe sicura conferma anche ricorrendo alla teoria del cotromace di Sachs, in cui la suddivisione pseudofibolica di ogni particella considerata non lineare, ammette una non congrua quantizzazione tebidolica, e quindi per successive approssimazioni lambdattive riducenti, si arriva allo stesso risultato.

[@DaveJ6515]

@@gpf5204 commento privo di senso. Peccato.

[@riccardorizzi79]

👍👍👍

[@sus2349]

Solo una cosa volevo chiedere, essendo il triangolo una figura finita, i rettangoli che compongono l'area sono infiniti perché sono infinitamente piccoli giusto? Anche se fossero segmenti dovrebbero essere infiniti per "riempire" l'area?

[@ValerioPattaro]

Si

[@greatwhite4821]

Mi ha fatto venire voglia di rispolverare i testi di Analisi Matematica e mi sono imbattuto nel calcolo dell'area del cerchio per integrazione. Assunto l'origine degli assi nel centro del cerchio, ho integrato nell'intervallo [0 ; R] la funzione della circonferenza noti centro e raggio, f(x) = ✓R^2-X^2 per la porzione di quarto di cerchio. Arrivato ad un certo punto, mancando gli elementi dell'angolo espresso in radianti, integrando per sostituzione ho posto x = R • sen t, da cui dx = R • cos t dt, quindi per x=0 si ha t=0 e per x=R si ha t=π/2, ricercando le primitive agli estremi si perviene a 4S = π R^2/4 quindi S = π R^2 😄

[@greatwhite4821]

S/4 ... Non 4S, sorry 😄

[@ValerioPattaro]

Uno dei miei ultimi video è sull'area del cerchio

[@iw0hex]

Sempre applausi per Valerio !!! Grazie ! Pasquale

[@mistermoska1391]

Mitico

[@giuseppemedagli3870]

f(x) è un infinitesimo di un trapezio?

[@Batman-mj9sn]

In maniera perfettamente analoga (cioe' sempre con un integrale definito) e' possibile ricavare la formula per calcolare il volume di una piramide, o di un cono, o di qualsiasi solido di tipo "proiettivo"...essa risulta sempre uguale all' area della base per l' altezza, tutto diviso per 3...

[@greatwhite4821]

Si potrebbe pervenire al medesimo risultato facendo passare l'asse x per la base del triangolo e y per il vertice. Scomponendo in due triangoli rettangoli si integra per somma le due equazioni esplicite delle rette, f(x)=mx+q, in cui il coefficente angolare m vale esattamente il rapporto fra h e le due basi dei triangoli rettangoli essendo la tangente dei due angoli e l'ordinata all'origine vale h stesso, l'area sottesa al grafico delle due rette definita nell'intervallo B rappresenta l'area del triangolo, qualche passaggio in piú ma il risultato è lo stesso. Stessa cosa vale per l'area del trapezio, anzi piú semplice perchè si integra una sola funzione.

[@ValerioPattaro]

👍

[@greatwhite4821]

@@ValerioPattaro Riflettendoci meglio, l’unica soluzione è quella da Lei egregiamente illustrata, gli angoli non sono termini noti, pertanto sarebbe impossibile integrare per somma le due equazioni esplicite delle rette non conoscendone i rispettivi coefficienti angolari che sono esattamente la tangente dei due angoli alla base.

[@greatwhite4821]

@@ValerioPattaro Deformazione professionale da Geometra, quando vedo un triangolo non posso fare a meno di scomporlo in due triangoli rettangoli in modo da poter triangolare e trilaterare 😂.

[@davidecosciani9232]

@@greatwhite4821 Osservazione pertinente! Bravo!

[@giuseppelucianoferrero8916]

Prof, l'esercizio è utile per introdurre il concetto del calcolo integrale! Tuttavia non sfugge il fatto che ogni triangolo non può sottrarsi al quel rapporto 1/2 che è il cos 𝝿/3; (ovvero cos 60°) che è la media aritmetica dei tre angoli interni (𝞪+𝛃+𝞿)/3=180°/3=60° In buona sostanza ogni triangolo deve vedersela con la funzione coseno. li, 19/6/23

[@guforeale556]

Non ho capito, come mai x dx = x^2/2 ???

[@ValerioPattaro]

L'integrale di x^n è x^(n+1)/(n+1)

[@greatwhite4821]

Perché X^2/2 è la primitiva o antiderivata di X è l’integrale definito è la differenza fra le primitive agli estremi dell’intervallo, sembra un concetto non semplice da digerire, bisogna partire dal concetto di integrale indefinito e tutto diventa più chiaro.

[@davidecosciani9232]

UNA VERA «CHICCA» DA SALVARE NELLA PLAYLIST "Matematica"!!! GRAZIE!!!! Non si trova in nessun libro, spiegazione chiarissima!!!! Faccia un libro!!!! Testi chiari di matematica sono rari!

[@ValerioPattaro]

Titolo del libro?

[@albertoghirotti2835]

@@ValerioPattaro Condivido l'idea del libro e propongo come titolo una sola parola: Matematica

[@ValerioPattaro]

Per ora c'è quello che trovate in descrizione al video

[@claudiogiardina3388]

Beh , impressionante ! non ci avrei mai pensato !! Però mi aspettavo un approccio diverso. Nei lati del triangolo vedo innanzitutto 2 funzioni lineari: Una con coefficiente angolare positivo e intercetta nulla. L' altra con coefficiente angolare negativo e con intercetta positiva .... oltre alla base "coincidente con l'asse delle ascisse e che parte dall' origine degli assi; di questa dobbiamo conoscere la lunghezza .... .... a questo punto l'area del triangolo non sarebbe altro che la differenza di due integrali; può essere ? cosa mi sfugge ? Grazie e complimenti per il canale !!!

[@ValerioPattaro]

Col tuo approccio devi sommare gli integrali, ma scegliendo in modo opportuno gli estremi di integrazione.

[@greatwhite4821]

Mancano le informazioni relative ai coefficienti angolari mentre l’intercetta è nota, gli angoli vengono tirati in ballo dal professore per mettere in evidenza il concetto di similitudine dei triangoli e tirare fuori l’equazione di proporzionalità, ma di questo triangolo conosciamo solo B e H, pertanto l’unica soluzione è quella illustrata egregiamente dal professore.

[@ValerioPattaro]

@@greatwhite4821 Sì, vero. Servirebbero ad esempio le coordinate dei vertici

[@greatwhite4821]

@@ValerioPattaro esattamente, o gli angoli alla base. Anche io avevo pensato per prima cosa di integrare per somma scomponendo in due triangoli rettangoli, poi riflettendoci meglio mi sono accorto che era impossibile, deformazione professionale da Geometra, quando vedo triangoli impazzisco 😂

[@ClaFDS]

Mi sono perso al minuto 4:20...

[@davidecosciani9232]

È il raccoglimento a fattor comune: 2x5+2x6+2x7=2(5+6+7)

[@KLONDYKE1111]

Elementare Watson...