Autonome DGL 2. Ordnung | Methode und Beispiel | LernKompass - Mathe einfach erklärt

[@manfredquasten8828]

Autonome Differentialgleichungen 2.Ordnung können auch durch Übergang zur Umkehrfunktion gelöst werden. Man erhält dann für y'=1/x'(y(x)) und für y''=- x''/((x')^3) und damit dann doch soetwas wie eine Formel x''=- (x')^3*f(y,1/(x')). Jetzt ist dann die DGL in x, die nur abhängig von x' nicht von x ist. Daher kann man dann die Substitution z=x' vornehmen und dann das Ergebnis noch Integrieren (allerdings natürlich nach y) . Anschließend löst man das Gelumpe noch nach y auf und man hat das Ergebnis. Konstante Lösungen muß man bei dem Verfahren gesondert betrachten, weil man dann keine Umkehrfunktion bilden kann. Im Beispiel z=C/(y^2), x=-C/y+k , aufgelöst nach y = -C/(x-k) Die konstante Lösung y=0 ist für C=0 bereits enthalten.