ベータ関数とガンマ関数で解く積分

[@user-su8ir3mn1e]

sinで置換してウォリス積分でもできそう

[@user-gfhgfhthtfhtgd]

x=uv,y=u(1-v)で置換する方が綺麗よなあ

[@うっちゃん-e8e]

x₌costとおくと　ⅾx₌₋sintⅾt　また(1₋x^2)^n₌(sint)^2nとなる。 xが‐1~1のときtはπ~0まで動くので よって与式：∫(π～0)(sint)^2n(₋sint)ⅾt₌₋∫(π～0)(sint)^(2n₊1)ⅾt　　① (sint)^(2n₊1)₌sint×(sint)^2n₌fとおく。f/ⅾt(₋cost×sin^2n)₌(sint)^(2n₊1)₋2n(sint)^(2n₋1)×(cost)^2 ∫(π~0)(sint)^(2n₊1)ⅾt₌₋[cost×(sint)^2n](π~0)₊∫(π~0){2n(sint)^(2n₋1)×(cost)^2}ⅾt　　　 ‐∫(0～π)(sint)(2n₊1)ⅾt₌[cost×(sint)^2n](0~π)₋∫(0~π){2n(sint)^(2n₋1)×(cost)^2}ⅾt よって∫(0～π)(sint)(2n₊1)ⅾt₌₋[cost×(sint)^2n](0~π)₊2n∫(0~π){(sint)^(2n₋1)×(cost)^2}ⅾt　② ②式の前半部分₋[cost×(sint)^2n](0~π)₌0となる。 従って∫(0~π)(sint)^(2n₊1)ⅾt₌2n∫(0~π)((sint)^(2n₋1)(1₋sint^2)ⅾt (2n₊1)∫(0~π)(sint)^(2n₊1)ⅾt₌2n∫(0～π)sint^(2n₋1)　 ここで∫(0~π)sint^(2n₊1)ⅾt₌A(2n₊1)とおく。すると(2n₊1)A(2n₊1)₌2nA(2n₋1)よりA(2n₊1)₌2n/(2n₊1)A(2n₋1) これを繰り返していくとA(2n₊1)₌{2n(2n₋2)(2n₋4)・・・2/(2n₊1)(2n₋1)(2n₋3)・・・3}×A(1) ₌{2n(2n₋2)(2n₋4)・・・2/(2n₊1)(2n₋1)(2n₋3)・・・3}×2（A(1)₌2) A(2n₊1)の分子：2^(n₊1)×n!　また分母分子に2n(2n₋2)(2n₋3)・・・1を掛けると A(2n₊1)₌∫{(1₋x^2)}^n}ⅾt₌2^(2n₊1)(n!)^2/(2n₊1)!

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

解説有難うございます！

[@seimei3.]

∫(-1〜1)(1-x²)ⁿdx=(-1)ⁿ∫(-1〜1)(x+1)ⁿ(x-1)ⁿdxと式変形して ∫(α〜β)(x-α)ᵐ(x-β)ⁿdx=(-1)ⁿm!n!(β-α)ᵐ⁺ⁿ⁺¹/(m+n+1)! を用いて解きました この等式の証明も簡単なので

[@マルチーズ先生のやさしい東大数]

なるほど！