БЕРЛИНСКАЯ СТЕНА! Геометрия 7 класс. Найти угол A.

[@AlexeyEvpalov]

Сложная задача. Спасибо за подробное решение.

[@AndranikAdamyan-f3b]

Проведем АЕ перпендикурно ВК. Треугольник ЕКС равнобедренный с острым углом 30. АЕС равнобедренный с углом тоже 30. ВЕС равнобедренный с острым углом 15°. И тогда ВЕА равнобедренный с углом 45°. 45+30=75.

[@vladimirkhomutov1053]

Из вершины А проведем прямую АР перпендикулярную ВК, получим треугольник АРК, следовательно угол РАК = 30 гр. Т.К. АК = 2х РК=х т.к. лежит против угла 30 гр. Следовательно треугольник РКС р.б. КС=РК, т. к. угол АКР в треугольнике АРК = 60 гр - внешний к треугольнику РКС, следовательно угол КСР = КРС = 30 гр. Угол РСВ =15 (45-30) в треугольнике РСВ. Для треугольника РСВ внешним углом является угол КРС = 30, следовательно угол РВС = 15 гр (30 - 15), треугольник РВС р.б. РС=РВ. Рассмотрим треугольник АРС. Тр-к АРС р.б. т.к угол САР = углу АСР= 30 гр, следовательно РС=АР. но, т.к. РС=РВ следовательно РВ=АС. Треугольник АРВ р.б. внешний угол = 90 , следовательно углы при основании = 45 гр. Следовательно угол А = 45 + 30 = 75

[@GeometriaValeriyKazakov]

О-о! "Главное, что сам!"

[@саид-з6к]

Только что так же решил. По-моему, так и красивее и проще.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!@@саид-з6к

[@lemmagin8040]

Это решение практически совпадает с решением @user-pm4el4qx5k.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!@@lemmagin8040

[@viktorviktor5820]

Хорошая задачка. Угол KBC равен 60-45=15 1 способ. Отложим по КВ от тК отрезок равный КС=х, точка М. Соединим М с С и А. Треугольник КМС - равнобедренный по построению, с углом при основании 60/2=30 градусов. Треугольник ВМС тоже равнобедренный, т.к. равны углы при основании СВМ равен 15, МСВ равен 45-30=15. Т.е. МС=МВ. Треугольник АМК - прямоугольный т.к. МК в два раза больше АК и угол МКА равен 60 градусов. Отсюда угол МАК равен 30 градусов и треугольник АМС тоже равнобедренный с углом при основании в 30 градусов, значит треугольник АМВ тоже равнобедренный (боковые стороны равны) с углом при вершине 90 градусов. Значит угол при основании ВАМ равен 45 градусов, ну и искомый угол равен 45+30=75. 2 способ.. Из середины АС (тТ) проведем перпендикуляр к АС до пересечения с ВК- тО. Соединим её с т А и т С. Рассмотрим треугольник ОТК. Он прямоугольный с углом 60 градусов и катетом 3х/2 - х=0.5х. значит ОК равен х. Треугольник ОКС равнобедренный с углом при основании 30 градусов. Значит угол ОСВ равен 45-30=15 градусов, значит треугольник ВОС равнобедренный, и в нём перпендикуляр проведенный к середине основания ВС пройдёт через вершину О. Т.е. тО - центр описанной окружности. Угол ВСА внутренний, опирается на дугу АВ и равен 45 градусов, угол ВОА центральный, опирающийся на ту же дугу, значит равен 90 градусов. Значит угол ВАО равен 45, и искомый - 75 градусов. Теперь посмотрим. Тоже решал сначала через тригонометрию, не так сложно как кажется. Решение автора тоже понравилось, расширяет арсенал.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер. Спасибо!

[@ОлегКозловский-о8е]

Я решал первым способом :) ИМХО самый простой - одна точка, два отрезка и минимум математики.

[@ВикторКолбачев]

Из точки С к ВК проведём прямую под углом 30гр.к КС. Точка М пересечение это прямой с ВК. МС поделит треугольник ВКС на два равнобедренных: ВМС и КМС. Где ВМ=МС и КМ=КС. Из точки М опустим перпендикуляр к АС и Н точка пересечения с АС. Рассмотрим полученный треугольник НМК. Он прямоугольный и угол НМК равен 30гр. Следовательно катет НК равен 1/2МК =1/2КС. АК/КС=2/1 по условию значит АН=НС. Треугольник АМС равнобедренный и АМ=МС=ВМ и угол МАН =углу МСН=30гр.Треугольник ВМА тоже равнобедренный где угол АМВ=90гр. Угол ВАМ= углуМВА=45гр. Значит Угол ВАС 75гр

[@ДмитрийБ-щ8з]

Классное решение!👍👏

[@ВикторКолбачев]

Спасибо

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@viktorviktor5820]

Отличное решение!

[@RomanMisakyan-mg8jl]

slojnaya no krasivaya zadacha

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо!

[@ВячеславФоминых-р3г]

Как книгу прочитал.Спасибо.

[@Welcome-gr6ek]

Задача супер! Красивые решения не увидел и пошел напролом : НК=(\/3+1)/2, AH=(\/3-3)2, BH=(\/3+3)/2, AB=\/6 и уже можно наити tgА, но можно найти площадь АВН=6/8 и значит высота к АС=\/6/4 и угол ВАН=75 (в преведущих задачах доказывалось что высота в треугольнике 15,75,90 1/4 гипотенузы) !

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично! Конечно, супер!

[@arbo1219]

Из точки А 3-угольника АВС восставим перпендикуляр к стороне АВ (от т.А вправо) длиной, равной стороне АВ, до пересечения с продолжением стороны ВК (вниз от т.К) в точке Ф. Полученный 3-угольник АВФ - прямоугольный и равнобедренный:

[@GeometriaValeriyKazakov]

Редко кто сейчас пишет правильно "восставим". Спасибо!

[@lanazakharova7699]

Предлагаю из В на АК опустить не высоту, а медиану. Впрочем, высоту можно тоже оставить. И рассмотреть все эти треугольники, и как меняются их углы. Можно достроить симметрично влево относительно высоты. Очень красивая задача

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@tsaiis]

Как всегда, отличная задача. Попробую тех. минимум. ВМ--высота. Пусть СК=1, АК=2, МК=х, тогда МС=ВМ=х+1. Отсюда: ВМ/ВК=\/3/2 или (х+1)/2х=\/3/2(синус 60). х=1/(\/3--1). ВМ=х+1=\/3/(\/3--1), АМ=2-х=(2\/3--3)/(\/3--1). TgA=BM/AM=\/3/(2\/3--3). Избав-ся от ирр-сти в знам-ле: tgA=2+\/3. Угол=75(классич.угол)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично! Ну, вы даете!

[@viktorviktor5820]

Так же решил, это был самый первый вариант решения. Потом захотелось геометрии. Мне нравится такое решение тем, что обязательно приведёт к ответу, если ничего другого на ум не приходит.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Правильно!@@viktorviktor5820

[@ninazhurinskaya6836]

@@GeometriaValeriyKazakov 7 класс!

[@tsaiis]

@@viktorviktor5820 Приятно, что наши варианты подтверждают друг друга. Но я не понял Вашей фразы "Потом захотелось геометрии". А разве данный способ -- это не геометрия? 🤔

[@ОлегКозловский-о8е]

75 Складываем по ВК, затем по АК. Тоска С2 будет лежать на ВК на расстоянии х от К. Соединяем С и С2 и получаем пару равнобедренных, из которых выходит что ВС2=СС2=АС2... Если без оригами - отмеряем х от К в сторону В и рисуем линии к А и С...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, вы мастер складывать, я помню.

[@ОлегКозловский-о8е]

@@GeometriaValeriyKazakov Чтобы не зарыться в синусы нужно было убрать х и 2х с одной прямой. И сразу нарисовался треугольник 30-60-90. Ещё раз для совмещения с ВК и стало видно что можно было просто отложить х на КВ и получить цепочку из трех равнобедренных :) Но короткая дорога часто видна когда уже оставил клочья одежды на колючих кустах.

[@ФерузаИсаева-у9э]

Ничего не достраивала, а применила теорему синусов для треугольников АВК и АВС, выразив там и там АВ. Получилось тригонометрическое уравнение, решив которое, получился аналогичный ответ

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@thinkingabout5641]

В этот раз у меня решение проще получилось: из вершины А провести высоту на сторону ВК и там куча равнобедренных треугольников появляется. Если применить теорему косинусов, то все прям отлично выходит.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Проще для 9-го. А для 7-го?

[@thinkingabout5641]

@@GeometriaValeriyKazakov 😅

[@igorrromanov]

А можно ли так? КС = 1/3 АС. Угол АСВ = 45° Угол АКВ = 60° Проведем линию из точки В к АС таким образом, что точка пересечения (скажем, Q) поделит отрезок АС так, что АQ:QC = 1:2 То есть, AQ = QK = KC При этом угол АQB = 75° (60 + [45/3]) Повторяем сделанное: Проведем линию из точки В к АС; точку пересечения отметим как Н. (Угол НВС = 45°; Угол HBQ = QBK = KBC = 15°) По условиям отрезок АQ = QK = KC. Следовательно, BA образует с АС такой же угол, что и ВQ. То есть, угол в 75°. Проверяем: Вычитаем из 180° углы АВН и НВQ (каждый из которых равен 15°) Получаем 150° 150 / 2 = 75

[@GeometriaValeriyKazakov]

Все можно!

[@OlegVlCh]

Кто про что, а вшивый про баню... Впишем этот тр-к в правильный 12-угольник. Получим, что BK - это часть диагонали этого 12-угольника. Ну а искомый угол находится непосредственно из рисунка - 75°.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Дойдем мы до ваших правильных! Доберемся!!!

[@ОлегКозловский-о8е]

Даёшь целые пиццы а не треугольные кусочки!

[@КонстантинТитаренко-е9м]

А с чего вы взяли, что фигура ВНСД у вас квадрат? Для этого нет оснований.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Всем спасибо за помощь. @@SB-7423

[@mrcay256]

Если угол С разделить на два: 15° сверху и 30° снизу, а отрезок AK попалам, получится много прямоугольных и равнобедренных треугольников.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. попробуйте дожать задачу.

[@mrcay256]

@@GeometriaValeriyKazakov Я дожал. Может другим будет интересно дожать по подсказке.

[@АляксейЛакамаў]

@@GeometriaValeriyKazakov Я почти так же решал: из т. СМ провёл отрезок к ВК, угол АСМ 30 гр., образовалось 2 р/б (равнобедренных) треугольника (с углами по 30 и 15) в "правой" части и 1 в нижней. КМ=х по правилу р/б треугольника, а т.к. угол между КМ и АК 60 гр., а стороны 2:1, то тр-к ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ. Значит, тр-к АМС р/б с 2 углами по 30 гр., а АВМ - прямоуг. С одной стороны, АМ=МС, а с другой - ВМ=МС, т.е. АМ=ВМ, а тр-к АВМ - ещё и р/б, т.е. углы по 45 гр., а А=45+30=75 гр. Как уже я не раз писал, Валерий Владимирович, у меня жёсткий принцип с доп. построениями - НЕ выходить за пределы фигуры. С уважением. Спасибо за задачу и внимание!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!@@АляксейЛакамаў

[@adept7474]

Моё решение как у всех: доказал (так или иначе), что т. М равноудалена от вершин, т. е. она - центр описанной окр-ти, вписанный угол = 45°, центральный = 90° и по радиусам --равнобедренный. Угол А = 45° + 30° = 75°.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично. Только куда деть этот противный 7 класс?

[@adept7474]

Они вырастут и возмужают на этом.@@GeometriaValeriyKazakov

[@GeometriaValeriyKazakov]

kzbin.info/www/bejne/pJ-bknePqtVmaKssi=0burPQdQCaeBWM7E

[@ИванСергеев-т4ч]

треугольники BMP и BMD - боевые треугольники.

[@dmitryturovnikov3595]

Почему точка М и Д ? не одна и та же точка , ведь по условию АК -2х , КС -х АН равно НК и КС

[@СергейШульц-т7ф]

Обозначил HK=y, значит HC = x+y; AH= 2x-y; из треугольника BHK угол HBK = 30’, значит гипотенуза BK = 2y; нашел BH = корень(4y^2-y^2)= y*корень(3); треугольник BHC - равнобедренный и прямоугольный - 2 угла по 45’, значит HC = BH; значит x+y= y*корень(3); отсюда х= (корень(3)-1)*у; АН= 2х-у= 2*(корень(3)-1)*y-y= y*(2*корень(3)-3); и из треугольника АHB нахожу тангенс alfa = y*корень(3)/ (y*(2*корень(3)-3))= после преобразований получил : tg alfa = 2+корень(3)= прибл. 3,73205; и по таблице тангенсов нашел, что alfa= 75’, ваш метод лучше, мой сложнее - но тоже получил 75‘

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@ТамараКесаева-ц5и]

Я тоже решила как и вы, считаю это намного проще, чем предлагает автор

[@GeometriaValeriyKazakov]

Молодец Тамара! Автор не соревнуется со зрителями в простоте, а дает общие решения, доступные в данном случае ученику 7 класса (они знают только признаки да сумму углов из 5 класса)! А на обложке написано "7 класс". Представьте, что вы - семиклассница. И что тогда? Шучу! Спасибо, что смотрите нас. @@ТамараКесаева-ц5и

[@AlexandraMarchenkova]

Я предполагаю, что задачу можно решить, проведя дополнительные построения. И, как мартышка из басни Крылова, провожу различные манипуляции, а результата никакого. Черчу с полдюжины себе картинок. Верчусь вокруг и так и сяк. То к носу их прижму, то пяткой отодвину, То ластиком сотру, то вовсе их закину. А результат нейдёт никак...😢 Поэтому перехожу к традиционному для меня способу решения подобных задач -- к тригонометрии. В итоге искомый угол ^А=75°. 1) Т.к. в ∆-ке КВС ^ВСК=45° и ^ВКС=120°, то ^КВС=15° 2) Из вершины В ∆-ка АВС опустим перпендикуляр на АС. Точка пересечения -- Р. АР=h. 3) Т.к. в ∆-ке РВК ^ВКР=60° и ^ВРК=90°, то ^РВК=30° 3) На основании пунктов 1) и 3) ^РВС= ^РВК+^КВС=30°+15°=45° ➡️ ∆-к РВС -- равнобедренный и ВР=РС=h 4) Чтобы вычислить величину ^А, найдем тангенс угла ^АВР tg(^АВР)=AP/BP=АР/h 5) Для этого выразим отрезки РК, КС и, наконец, АР через h. Поскольку мы знаем соотношение отрезков АК/КС=2/1, значение углa ^РВК=30°, а также что ВР=РС=h, то можно записать: РК=h×tg(^РВК)=h×tg(30°)=h×√3/3 KC=PC-PK=h-h×√3/3=h×(3-√3)/3 AP=AK-PK=2×KC-PK=2×h(3-√3)/3-h×√3/3 = h×(6-3√3)/3=h×(2-√3) 6) Теперь у нас есть все данные для того, чтобы вычислить тангенс угла ^АВР: tg(^АВР)=AP/BP=АР/h=h×(2-√3)/h=2-√3 ➡️ ^АВР=15° 7) Для тех, кто не верит, что tg(15°)=2-√3, напомню тригонометрическую формулу: tg(x+y)=(tg(x)+tg(y))/(1-tg(x)tg(y)) В соответствие с этой формулой, запишем: tg(15°+15°)=2tg(15°)/(1-(tg(15°))^2) Но мы также знаем, что tg(30°)=√3/3 Поэтому остаётся решить уравнение 2tg(15°)/(1-(tg(15°))^2)=√3/3 Решив это уравнение, мы и получим, что tg(15°)=2-√3 8) Теперь дело в шляпе 🤣 -- остаётся только сообразить, что ^А=90°-^АВР=90°-15°=75° ☑️☑️

[@GeometriaValeriyKazakov]

Здорово!

[@ВладимирКоротких-ч9н]

Может я что упустил,но в равных треугольниках равны и высоты ВН равно ВР.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, все там равно. Суть в точм, что S тр-ка=1|4 S кв.

[@вена-ч1у]

Добрый вечер,пишу с просьбой,не могли бы вы рассмотреть на своем канале решение одной геометрической задачи?Она показалась мне интересной,и я хотела бы увидеть каким способом вы ее решите

[@вена-ч1у]

@@Олег-ч1б5е эх

[@GeometriaValeriyKazakov]

А где условие?

[@ЛекаКузнец]

А если провести перпендикуляр к отрезку

[@GeometriaValeriyKazakov]

А вот это попробуйте.

[@homutovo38]

В комментах нашел понятное решение. А решение автора не понял. Будто бы строится на предположении что HBDC квадрат и дальше просто подгонка

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, я привел авторское решение жюри олимпиады. И оно не простое. Попробую еще раз решить эту задачу, может быть более доступно. Все прочитанные мной решения тяжелые и в принципе такие же. да, к тому же я решал 7 классом.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Там у меня нет никакого предположения. Опуститили высоту BH и достроили тр-к BHK до квадрата. ВСе.

[@livebuzz3685]

где взять рубашку как в превью?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я в Заре покупал.

[@OlegLomakin756]

Есть у меня решение непохожее ни на что Я нем я буду использовать одну из излюбленных мною формул для площади произвольного треугольника через сторону и прилежащие углы, которую мало кто знает S=a^2/2(ctg(betta)+ctg(gamma)) Т е площадь треугольника равна квадрате стороны деленному на удвоенную сумму котангенсов прилежащих углов Соответсвенно если найти отношение площади треугольника АКВ к площади треугольника АСВ, то с одной стороны, это будет 2/3 как отношение АК к АС т к у них общая высота, а с другой стороны это будет 4(ctg(45)+ctg(A))/(9(ctg(60)+ctg(A))) Ну и если считать, то получится А=arcctg(2-sqrt3)=75 Похоже на те задачи, где если формулу знать - всё быстро и легко ))) Люблю эту формулу площади, так как открыл её для себя сам довольно простыми, но тем не менее изящными, умозаключениями, а именно : вот есть три признака равенства треугольников, благодаря которым мы наверняка знаем, что нужно задать в треугольнике, чтобы знать весь треугольник, в том числе и его площадь. А это значит что ? Что ОБЯЗАНА СУЩЕСТВОВАТЬ формула площади треугольника из каждого признака равенства. Из первого формула площади должна были через две стороны и угол между ними, и её все знают S=1/2*a*b*sin(gamma). Из третьего признака тоже многие знают, там формула площади через три стороны, это Формула Герона, S=sqrt(p*(p-a)(p-b)(p-c)), а вот из второго признака равенства формулу не знает почти никто

[@OlegLomakin756]

@@SB-7423 я, вроде, проверял, и там всё таки минус. У вас арккотангенс величины больше 1, значит он меньше 45. Вот арккотангенс 1 это 45, а арккотангенс 0 это 90, значит 75 лежит между арккотангенсом 0 и 1 соотвественно

[@GeometriaValeriyKazakov]

Всем спасибо за оценку тригонометрического решения. @@OlegLomakin756

[@alexnikola7520]

если б мне в седьмом классе такое задали - я б там с ума сошел. хотя учился на пятерки

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так это ж олимпиадная. Тут гении решают! Перельманы всякие!

[@alexnikola7520]

уф-ф... ну ладно тогда)

[@Gadorhero1321]

Это можно решить уже у 9 классе по теореме синусов и косинусов

[@GeometriaValeriyKazakov]

Можно

[@ВалерійБерезовський-й3с]

По логике 75 20 сек.

[@GeometriaValeriyKazakov]

По какой логике? Аристотелевой?

[@irika6753]

Очень мудрёно. Опишите окружность и решите в два раза короче!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Во-первых, это 8 кл(окр нет), во-вторых, не очень получится (почитайте комменты). Но идея хорошая.

[@ВладимирВилюга-и3ц]

Математики плохо работают. Есть миллион и есть миллиард. Есть триллион,значит должен быть и триллиард.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Или биллион?

[@ВладимирВилюга-и3ц]

@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо!