ПОДСМОТРЕЛ В ИНТЕРНЕТЕ! Завалил 2-мя способами.

[@second3160]

Пришёл через месяц из будущего. По вашей ссылке. Во-первых, глупости про воровство и обвинения оставьте при себе. По теме: ещё раз отмечу, что такие задачи не теряют общности, если от прямоугольника (параллелограмма) перейти к квадрату. И что на рисунке? Широко известный рисунок теоремы Пифагора. На диагонали два квадрата а²=1+1=2 b²=4+4=8 А площадь жёлтого квадрата S=(a+b)²=((2)½+(8)½)²; S=(2+2*(16)½+8); S=18

[@indarokov2006]

Сразу решил вашим вторым способом. Опрелеляем коэф подобия 1/2. И за минуту находим сумму. Советская школа)!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Отлично!

[@ТатьянаЗверева-л9ц]

Тоже так решила.

[@ВалерійБерезовський-й3с]

Да да. Минутка.

[@БелАлекс]

Я первым способом через подобия. Но так как я решал в уме, а при втором пособе нужно было дополнительное построение и знание фомул которых я не знал, то этим способом я бы все равно не решил.

[@indarokov2006]

@@БелАлекс важно' что решили. А уж каким способом...нас учили разносторонне решать. Не привязываться к формулам. Зачастую решить логически гораздо проще. А уж подвести под логику теорию потом

[@maxgladkikh2326]

Есть ещё один способ - логико-геометрический тоже. Ваша зелёная диагональ. Достроим параллельные ей линии из левого кружочка. И из правого кружочка такую же. Получим 2 маленьких треугольника, 2 больших, и 2 параллелепипеда. А площадь этих двух параллелепипедов (прости Господи, ну что за название такое....), как нетрудно увидеть - тоже равно 4. Ну и...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@AlexeyEvpalov]

Особенно понравился второй метод. Спасибо за два способа решения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@andreykolobikhin]

Спасибо! При трансформации (деформации) прямоугольника в квадрат равной площади ab=c², а и b изменится обратно пропорционально (c/a=b/c), а значит площади 1 и 4 не изменятся. Сторона большого квадрата равна суммам сторон полученых подквадратов. √(2*1) и √(2*4). (√2+√8)²=16. Общая формула S=(√(2S1)+√(2S2))².

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@ОлегПолканов-д1н]

Зеркально отразил треугольник КND на сторону АД через его гиппотенузу. Получил три подобных треугольника и прямоугольник. Если МД взять за х, а AN1 за y то площадь малого треугольника это ху/2 = 1, или ху=2 Второй треугольник подобный с коэффициентом подобия 1:2 тогда у него катеды будут 2х и 2y Тогда каждая сторона большого прямоугольника будет 3х и 3y соответственно. Тогда площадь будет 3х•3у = 9xy, а ху=2, тогда площадь будет 18

[@КоляЕгоров-лимб]

Обозначаем стороны тр. 1 - a и b, притом ab/2 = 1. ab = 2. В силу подобия тр-ков (коэфф. подобия k = √(S₁/S₂) = √4 = 2), стороны тр. 2 - 2a и 2b. Тогда стороны прям. ABCD - 2a + a = 3a 2b + b = 3b. А площадь прям. ABCD = 3a*3b = 9ab = 9*2 = 18. *Ответ: S = 18.*

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@igorrromanov]

Проведем вертикаль от средней точки вниз и вверх (терминология на случай🤓) Левый верхний прямоугольник имеет две части. Правый нижний восемь.Ergo, правый верхний имеет 2×2 - или 8/2 части. То же самое левый нижний. Итого 2+4+4+8...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@ЭдуардПлоткин-р3л]

Валера! Уровень большинства иностранных блогеров в сравнении с вашим это как младший школьник в сравнении с преподавателем университета.

[@GeometriaValeriyKazakov]

наверное!

[@ВодопьянКабачков]

Интереснее доказать, что заданные задачей условия выполняются при любом соотношении сторон прямоугольника, в том числе для квадрата, для которого задача решается наиболее просто.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, и для параллелограмма.

[@ndpsgu]

Чуть иначе посчитал. Коэффициент подобия задан условиями, не будем отвлекаться. А далее - пускай ВМ будет равно одной условной единице (нам же площадь, а не периметр считать), тогда МА = 2, МК = 2, КN = 4. Вот и всё решение. Если что - "не стреляйте в пианиста, он играет как умеет" :)

[@GeometriaValeriyKazakov]

супер!

[@Snuryus]

Провел две вертикальные линии, которые делят прямоугольник на три равные части, и еще одну горизонтальную, которая вместе с МN тоже дели на три части. В результате получилось 9 равных прямоугольников с площадью 2, а общая соответственно 18.

[@ДмитрийСуворкин-г6ъ]

Согласен, задача по сути для начальной школы, а не 8 класса. Решается мощением.

[@aypepa]

Очень познавательно в смысле S1…S4 и хорошие вопросы для самостоятельного исследования. Хотя задачу можно решить ещё проще через теорему Менелая.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Через Менелая! Гениально. Но вряд ли проще.

[@alexandermorozov2248]

В общем виде для площадей треугольников a, b получается следующая формула: s=2(a+2sqrt(ab)+b)

[@alexandermorozov2248]

Или: s=2(sqrt(a)+sqrt(b))^2, где sqrt() - квадратный корень.

[@НиколайКовалев-е9ш]

18 в уме. Способ - гибридный между первым и вторым. Про подобие понятно сразу и его коэффициент очевиден. А дальше проводим мысленно вертикаль и находим площади первых двух прямоугольников - 2 и 8. Вторые два очевидным образом в два раза больше по площади маленького: у них одна сторона равна стороне маленького, а вторая в два раза больше (из подобия треугольников). Значит они оба по 4. 4+4+2+8=18. Ну или можно от большого прямоугольничка сплясать той же логикой, только там одна сторона равна, а другая в два раза меньше.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@viktorsd8301]

на это раз математически - по теореме отношения площадей подобных треугольников = квадрату коэфициента подобия к. Делаем обратную операцию к = корню квабратному из 4\1 = 2. Значит, МN = 2 МК, и площадь над красной линией = 6 малых треугольников. Аналогично, для низа, МА = 2 МВ, там помещатся уже 12 малых треугольников, значит,общая площадь прямоугольника = 6 + 12 = 18.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@meteor-dv]

В первом решении просто достаточно рассмотреть подобие треугольников MBK и NDK, обозначив MB за x, а MK за y. Тогда AB=3x, BC=3y. Площадь четырёхугольника ABCD равна 9xy, но из площади треугольника MBK находим xy=2.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, общий вид отлично (инвариантик, однако).

[@AAM_72]

Рассуждал так: Треугольники с обозначенными площадями подобны, их соответствующие линейные размеры относятся как корни квадратные из площадей. Таим образом отношение коротких катетов этих треугольников 1:2. Отсюда можно найти площади неизвестных прямоугольников: слева как 1х4, Справа 4. Суммируем с известными треугольниками: Итого 4+4+4+1+1+4=18

[@ilikemath14243-masterfail]

Спасибо за второй способ! Куда-нибудь запишу, и доказательство найду, ну или сам догадаюсь))

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@ОлегСабенников]

Из коэф. Пропорциональности 2 очевидно, что надо "накидать на пустые места" еще 9 маленьких и 1 большой тр-ик. И ответ 18

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@observeroutside1087]

Задача решена с момента расстановки соотношения сторон . Причём это касается и горизонтальных сторон. Поэтому по горизонтали наверху поместится три маленьких прямоугольника( с площадью 2). И по вертикали также- всего получается 5 таких прямоугольников с общей площадью 10 и плюс площадь большого,8- получится 18‼️ . Во втором способе первое положение знакомо , второе новое- спасибо. Что подтверждается первым рассуждением- в зонах 3и 4 помещается по два маленьких прямоугольника- одинаково. 🙏Продолжение следует ………🙏

[@ilyasakhundzada6604]

S=2S(1) (1+sqrt(S(2)/S(1))) ^2, где S(1) - площадь меньшего треугольника, sqrt - квадратный корень

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@elenav.7897]

Великолепно! Спасибо!

[@GeometriaValeriyKazakov]

И вам!

[@mikezilberbrand1663]

Если данные площади относятся 4:1, то линейные размеры относятся 2:1. То есть линейные размеры всего ABCD в 3 раза больше сответствуюжего прямоугольника достроенного на BKM-О, чья площадь =2. Тогда площадь ABCD в 9 раз больше, то есть 18.

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@mikhailkadomtsev4886]

Ой, ну очень все просто. Площадь верхнего треугольника 1/18 от площади прямоугольника.

[@RashadFaridov]

MBK подобен ДМК, площади у них разнятся в два раза, значит стороны у них в соотношении 2:1. Обозначим MK за x, BM за y, тогда xy = 2, AM=ND=2y => AB=3y, BC=MK+KN = 3x.3x*3y = 9xy = 18

[@Joseph052]

задача устная

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Вы где-то пропадали.

[@prime3011]

решается в уме почти первым способом... Стороны относятся как 1 к 2. Но любые стороны... Значит у маленького катеты x и у, у большого 2х и 2у. А весь прямоугольник - стороны 3х и 3у. Отсюда S=3x*3y=9xy. Но у нас по условию xy/2=1, значит xy=2. Ну и S=9xy=9*2=18

[@GeometriaValeriyKazakov]

А теперь: kzbin.info/www/bejne/bXPLe6WgatZ_q5Isi=rNt8EURzsdP98PIu

[@AndranikAdamyan-f3b]

Весь прямоугольник подобен малому с коэффициентом подобия 3. Площадь равна 2*3**2=18.

[@dmitry-ie3vd4ll2z]

Тригонометрия в помощь! Пусть MB = x. Тогда MK = 2/x и tg(MKB) = x^2/2. Пусть KN = y. Тогда ND = x^2*y/2. x^2*y^2/4 = 4; y^2 = 16/x^2; y = 4/x; MN = MK + KN = 6/x; ND = KN*tg(MKB) = (4/x)*(x^2/2) = 2x; CD = CN + ND = 3x; S(ABCD) = (6/x)*3x = 18. (!!)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@sv6183]

После 2:27 : АВ=3х Обозначим МК = у, тогда KN=2MK = 2y, MN=y+2y=3y = АД Площадь прямоугольника So=AB*AD=3х*3y=9xy, площадь ∆ МВК Smbk=xy/2=1, откуда xy=2 So=9xy=9*2 So=18

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@lanazakharova7699]

Нашли коэф.подобия 1/2, через К провели перпендикуляр к MN и решили всё в треугольниках. Их два больших и 10 маленьких. Итого S=18

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@kislyak_andrei0]

решал вторым способом, но когда вы сказали угадать, ре решая, то решил попробовать и сказал наугад 20

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень близко!

[@user-Glikeriya]

Еще один способ. Доказали, что АМ = 2 х МВ и КN = 2 x MK/ Тогда делим пополам АМ и КN и через середины этих отрезков и через точку К проводим прямые, параллельные сторонам четырехугольника. Получаем сетку из девяти равных прямоугольников, площадь каждого = 2. 2 х 9 = 18.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@КонстантинБ-о5с]

Это не задача! Это так загадка для устного счета!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Нужно поступать зарубеж!

[@tsaiis]

Вроде устная задача? Тр-ки МВК и KDN подобны--BM:ND=1:2. Сл-но, Sbmk:Sabd=1:9. Sabcd=18

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@ИльяКирсанов-ю7ъ]

Решил в общем случае:S = 2a*(1+√b/a) ^2 . Подставим числа и получим 2*(1+√4) ^2 =2*3^2=18

[@GeometriaValeriyKazakov]

вот, это дело!

[@ЭдуардПлоткин-р3л]

Ученикам объясняю первым способом через a и b.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@viktorviktor5820]

Прикинул - 18...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Как так?

[@viktorviktor5820]

@@GeometriaValeriyKazakov да вот как-то так получилось... По второму варианту, примерно.

[@василискмлекопитаев]

выше линии МN прямоугольник разбивается на 6 треугольников, равных синему. а ниже этой линии на один желтый и четыре синих. доказать это разбиение легко, я его не привожу. получается 18.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Здрово!

[@АнатолийКрымский-х5ъ]

Решаецца в уме = 20

[@GeometriaValeriyKazakov]

чуть меньше! Но пойдет

[@СергейКурощенков]

В общем виде S = 2*(S1+S2) + 4*sqrt(S1*S2)

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@valeraag5634]

Решение в общем виде. Sпр = 2(\/а + \/в)²

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отл. СП.

[@ЛекаКузнец]

Ответ 18❤

[@КатяРыбакова-ш2д]

18

[@maxgladkikh2326]

Так тут вообще можно вторым-третьим классом обойтись, представляете. Большой треугольник мы можем дорисовать один, как у вас во втором способе. А маленький - ещё ровно девять штук, это же видно. 4 вниз и 5 вбок. Итого площадь будет 18.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@НинаЗахаренко-г9ф]

Не моё

[@GeometriaValeriyKazakov]

Бывает. Ищите, есть и ваше.

[@adept7474]

На этот раз уложился в минуту. КН ⟂ АD. НD = 2/3AD, ND = 2/3CD. S(KHDN) = 4/9S(ABCD). S(KND) = 2/9S(ABCD) = 4. S(ABCD) = 18.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Рекорд!

[@adept7474]

Только личный (у Вас тут много "пятисекундников") Предлагаю изящную задачу (вчера придумал) в тему. В квадрате середина нижней стороны соединена с верхними вершинами, а середина правой стороны - с левой нижней вершиной. Внутри - маленький треугольник, не имеющий общих точек со сторонами и вершинами квадрата, его S = 1. Найти S квадрата. 2 способа(с доп. построением и без).@@GeometriaValeriyKazakov

[@vkr122]

@@adept7474 Маленький треугольник получяется вершиной в середине нижней стороны квадрата ? Или я что то не так понял ?

[@adept7474]

Нет. Если провести диагональ из левой нижней вершины, то образуется тр-к, не имеющий общих точек со сторонами и вершинами квадрата. Моё упущение в условии.@@vkr122