BEWEIS Orthogonalität der Eigenräume von den Eigenwerten 1 und -1 bei orthogonalen Matrizen

[@Joe-uz7qm]

Die gedankliche Klarheit bei deinen Erklärungen ist wirklich unglaublich: Ganz großen Respekt 😊! Absolut perfekt erklärt - hatte ein richtiges Aha-Erlebnis :)!

[@jorex6816]

Klasse Video! Die Begriffe hast du sehr verständlich erklärt, sodass man gut folgen konnte. Echt coole Aufgabe (eigen)tlich :D

[@MathePeter]

Hey Jorex, ich hab mal eine Frage, vielleicht kannst du mir weiter helfen. Ich hab überlegt, ob die formale Beschreibung des zu beweisenden Satzes im Thumbnail auch dann richtig ist, wenn 1 oder -1 keine Eigenwerte sind, z.B. bei einer Dreh- oder Spiegelmatrix im ℝ³. Wäre 1 bspw. kein Eigenwert, ist dann Eig(1) weiterhin ein Vektorraum? Wenn ja, wäre die formale Beschreibung im Thumbnail weiterhin richtig, denn jeder Vektorraum enthält den Nullvektor. Wäre Eig(1) in dem Fall allerdings die leere Menge, dann handelt es sich nicht mehr um einen Vektorraum. Ist die leere Menge orthogonal zu einem Vektorraum aufgrund der Nicht-Existenz von Elementen oder kann hier gar nicht erst von Eigenschaften wie "Orthogonalität" gesprochen werden?

[@jorex6816]

@@MathePeter Sehr gute Frage! Finde schön, dass du gerade mich fragst, obwohl ich ja mein Studium noch nicht mal begonnen habe. :D Ich versuch's aber mal. :) Also die Eigenschaft der Orthogonalität bzgl. der Eigenräume scheint insbesondere auch für alle symmetrischen n×n-Matrizen zu gelten. Also wäre die Aussage auch richtig, wenn man "orthogonal" durch "symmetrisch" ersetzen würde. Aber das war, glaube ich, nicht deine konkrete Frage. Zu den Eigenräumen: Bei Wikipedia steht, dass zu den Elementen eines Eigenraumes immer die zur Abbildung zugehörigen Eigenvektoren und insbesondere auch der Nullvektor gehört. Das würde, glaube ich, bedeuten, dass der Eigenraum zu einem "Nicht-Eigenwert" der Nullvektorraum {0} sein müsste. Und zu dem sollte dann m.M.n. jeder weitere Eigenraum orthogonal sein, da ⟨x, 0⟩ für alle x immer gleich Null ist. (Oder?) Und bzgl. der leeren Menge {} würde ich denken, dass man dort tatsächlich nicht über Orthogonalität sprechen kann, weil halt keine Elemente enthalten sind. Aber das wäre auch eine eher philosophische Frage, denke ich. :D Das sind so meine Gedanken dazu. Ich hoffe, ich habe deine Frage(n) richtig verstanden und konnte etwas helfen. :D

[@MathePeter]

Ja sehr schön, danke dir! Bei der Orthogonalität bin ich mir auch unsicher. Ich denke noch mal in Ruhe drüber nach. Vielleicht ists auch einfach eine Definitionssache, dass man es sich so hinbiegen kann, wie man will 😂

[@MathePeter]

Allgemein sollte gelten: Ist V ein K-Vektorraum und F ein Endomorphismus über V mit λ∈K, dann ist Eig(λ)={v∈V: Fv=λv}. Also enthält Eig(λ) immer den Nullvektor. Unsere erste Vermutung war also richtig!! :)

[@jorex6816]

@@MathePeter Aha! Sehr schön :)

[@tobiasa1422]

Hey, könntest du vielleicht irgendwann ein Video zu Integration im Mehrdimensionalen machen, bei dem es um Integration mit Hilfe von Zerlegungen (Ober-, Untersumme), bzw. Bestimmen des oberen/unteren Jordan Inhalts geht?

[@MathePeter]

Ja das können wir machen, wenn die anderen Themen von der Liste abgearbeitet sind.

[@fire-motionstudios1208]

super erklärt, aber könnte man da nicht auch so argumentieren, dass orthogonale Matrizen normal sind und damit auf die Matrix B der Spektralsatz anwendbar wäre? Nach diesem Satz existiert für jede normale Matrix eine Orthonormalbasis des Vektorraums aus Eigenvektoren der Matrix B.

[@MathePeter]

Klingt auch sehr gut, danke dafür :) Wenns um Beweise an sich geht, mag ich es lieber so grundlegend wie möglich angehen. Handelt es sich allerdings um einen Baustein in einem größeren Zusammenhang, dann find ich, kann man es auch so elegant in einem Satz abkürzen. Um den Fokus aufs Wesentliche nicht zu verlieren.

[@futtermicker2215]

Ich liebe dich

[@mustermannfranz661]

Vieleicht sollte man die Einleitung mit ein paar anschaulichen Grafiken beginnen. Das Thema an sich, würde mich schon interessieren, wenn ich aber nur mathematische Begriffe um die Ohren gehauen bekomme, verstehe ich leider garnichtts.

[@TheCelebreties]

Ich glaube nicht, dass es sich allgemein an Schüler richtet oder Menschen, die nicht das erste Semester Mathematikstudium hinter sich haben, obwohl diese auch wissen, was orthogonal (senkrecht) und Skalarprodukt bedeutet...zumindest, wenn der Lehrer analytische Geometrie unterrichtete. Eigenwerte, -vektoren und -räume hat er ganz kurz erklärt. Ansonsten kann man dies auch in sein Video nachvollziehen (geht allerdings knapp 30 Minuten) mit dem Titel "Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen". Und das Lemma "B orthogonal genau dann wenn die inverse der Matrix B gleich der transponierten Matrix B ist" befindet sich meist im Script. Ansonsten kannst du auch gerne Fragen und ich versuche dir eine Erklärung zu liefern :)

[@MathePeter]

Jeder Fachbegriff wird in eigenen Videos auf diesem Kanal hier erklärt. Die sollten am besten vorher geschaut werden. Und für Fragen kann gern die Kommentarfunktion hier benutzt werden :)