Matrix diagonalisieren + Matrixpotenzen Einfach Erklärt!

[@Mahmoud-xm3ch]

Gott sei Dank, dass es Leute wie du gibt, die das Leben einfacher machen

[@melawieser]

Du rettest mein Mathe-Studium in der Corona Zeit! DANKE

[@updatedotexe]

Nach dem Vide hab ich Bock auf das Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren. Hätte nie gedacht, dass ich das mal sage.

[@MathePeter]

Allein nur das auszusprechen klingt schon immer voll schlau haha

[@adammorgenstern8442]

Bist der Allerbeste! Bitte bleib daran, du machst es echt genial!

[@davidg.9359]

Ich schreib ja sonst nie Kommentare aber vielen vielen Dank für die Mathevideos auf Uniniveau!! Ich bin gerade so froh, dass du zu den Themen, die wir in der Uni behandeln, Videos von dir finde:) So ist es viel verständlicher den Mathestoff zu verstehen und anzuwenden weitere Videos zu den folgenden Themen würden mir und bestimmt auch vielen anderen Studenten sehr weiterhelfen. Differentialgleichungssysteme Bereichsintegrale Lineare Abbildungen Danke für deine Arbeit!

[@MathePeter]

Vielen Dank! Bereichsintegrale habe ich komplett abgedeckt in meinem Online Kurs "Mehrdimensionale Integralrechnung" und auch hier auf KZbin hab ich schon ein paar Livestreams mit vielen Aufgaben dazu gemacht, muss man sich mal durchklicken, wer nicht alles Wissen gebündelt haben will. Die anderen beiden Themen gehe ich auf jeden Fall weiter an! :)

[@kugo66]

Ich studiere nicht mehr an der RWTH, sondern an MathePeter. XD

[@-------------------299]

Same! XD

[@user-vb4fx1so5y]

Rwth = trash

[@knollegr]

Gerade jetzt haben wir das Thema in Mathe und nur aus den Vorlesungsfolien verstehe ich nicht alles. Danke, dass du es mit so viel Freude und dazu noch verständlich vermittelst.

[@Dan-ki8vx]

VIELEN DANK für diese Videos!! Sind unglaublich hilfreich und deine Begeisterung für das Thema ist ansteckend :) Freue mich schon auf dein Video zur Jordan Form! ;)

[@vincenthettwer6453]

du erklärst am besten die Hintergründe. sodass man wirklich alles versteht. Ich liebe dich dafür

[@Alex03157]

Unglaublich gut erklärt und durch deine Kommentare die du am Rande immer mal anbringst wie "zur Strafe für die Frechheit der Null" kann ich mir das ganze tatsächlich auch besser merken. Vielen Dank für die Videos, mach weiter so :)

[@gfxmrsaltman]

Mal wieder ein tolles Video! Ich finde es vor allem gut, dass du wirklich jeden Schritt erklärst und nicht davon ausgehst, dass man das sowieso weiß. Danke!

[@NoahElRhandour]

ich finde super, wie du am anfang anwendungsmöglichkeiten der mathematik aufzeigst. das habe ich an der uni leider nicht so oft, aber das macht das thema noch viel interessanter!

[@MathePeter]

Danke dir!! Finde ich auch super wichtig auch mal mehr die Anwendungen in den Vordergrund zu stellen.

[@qsp1898]

Ich finde sehr schön, dass du am Anfang direkt Anwendungsbeispiele genannt hast

[@freshsteff94]

Deine Videos sind Großartig Peter, super verständlich und didaktisch perfekt. Hilft mir grade sehr in der Vorbereitung für die Mündliche Abschlussprüfung meines Mathe Bachelors

[@emineyildiz646]

wie kannst du nur echt sein, erklärst es so unglaublich gut, beeindruckend!!!!

[@dcbeatz6371]

wow ich habe dieses jahr mein abi gemacht und fange jetzt mit meinem Studium an und muss echt sagen, dass ich das meiste verstanden habe!!

[@wildalfred]

Geiler Typ. Vielen vielen Dank. Nach langem Suchen weiß ich jetzt endlich, wie ich weiter machen muss. Hoffentlich werde ich das bald verinnerlichen

[@ali_calintaa]

Ich wollte dir einfach mal danke sagen, nicht für dieses Video , sondern für den ganzen Kanal ❤ Du bist einfach der Beste mach weiter so !!

[@MathePeter]

Das freut mich, vielen lieben Dank! 😊

[@Nykzom]

Danke für deine ausfürlichen und netten Videos! Deine Beispiele helfen sofort die Sachen zu verstehen!

[@Warwipf]

7:10 bei einer Form wie dieser bietet es sich auch immer an, es wieder in die 3. binomische Formel umzuschreiben und daraus (t+5)(t-5) zu machen. Dadurch bekommt man auch direkt das charakteristische Polynom.

[@r.w178]

Super Video. Hab das zwar vor Jahren schon gemacht, aber ist eine super Wiederholung auch für höhere Semester, :)

[@feli616]

MathePeter=MatheGott :D

[@gamerttx1]

Grüße gehen raus! Du hilfst mir grad ordentlich durch HöMa2. Danke Peter!

[@luckyluke8518]

Heidelberg?

[@tobiaswilke8023]

danke wir lieben dich mit herz

[@x-4778]

Diese Frechheit von der Nullzeile hat mich gekillt hahaha

[@MathePeter]

😂

[@The.Mentalist]

ja das war bischen cringe. aber auch sympathisch ;)

[@cedricsturmer7892]

Du bist mein Held. Danke für deine großartige Arbeit!

[@MatheMani]

Wirklich toll, wie Sie das erklären! Herzlichen Glückwunsch!

[@mcmundn5100]

Hab deine Videos jetzt schon oft genug gesehen. Hast mein Abo!

[@achillesbarbar6580]

Vielen Dank für das tolle Erklären. Es gibt Superhelden wie Iron Man und es gibt Alltags Superhelden wie dich. Danke für die Hilfe

[@andreas7278]

Tolles Video, einmal ansehen und schon ist klar warum wir das Ganze machen und wie. Wenn Univorlesungen auch so wären ... :-)

[@lucki3962]

Danke, Danke, Danke. Du bist der Beste

[@hilberthilbert8129]

Das war echt tolle Einführung!

[@niklasschemmer6763]

In der Vorlesung habe ich es nichtmal verstanden, mit diesem Video macht mir Mathe sogar Spass 😂

[@SimplexityEdu]

sehr starkes Video!

[@updatedotexe]

Aber was ist, wenn ich meine Matrix so gern habe, dass ich nicht möchte, dass sie einen Rang verliert? :(

[@MathePeter]

😂😂

[@AdrianStudySessions]

Dann musst du mit ihr ein bisschen leveln gehen, bis sie einen Rang aufsteigt

[@techtable5020]

Viel besser als Daniel Jung!! Gerade für Studenten, denen ein Zwei-Minuten Video nicht reicht ;)

[@MathePeter]

Vielleicht sollte ich für Schüler noch ein paar Zwei-Minuten Videos nachschießen, damit sie später in Uni Zeiten auf die guten Vids aufmerksam werden 😄

[@techtable5020]

@@MathePeter Also ich sehe Daniel Jung als DEN KZbinr für Schüler*innen und Dich als DEN KZbinr für Student*innen. Ich glaube es wäre richtig geil - und ich bin mir sicher, dass viele das mega abfeiern würden - wenn Du zusammen mit Daniel Jung Inhalte produzierst ;)

[@MathePeter]

Würd ich persönlich auch interessant finden, glaub nur Daniel Jung hält nichts davon mit einem kleinen KZbinr wie mir zu kooperieren, weil er kaum einen Nutzen davon haben würde. Denke mal anders siehts aus, wenn der Kanal hier mal eine größere Reichweite hat. Was würdest du davon halten, wenn ich neben den Videos für Studenten auch kurze und "einfache" Videos für Schüler anbiete? Kriegt jeder was er braucht, die Reichweite würde steigen und vielleicht kommt dadurch ja mal eine Kooperation mit Daniel zustande :)

[@techtable5020]

MathePeter Grundsätzlich würde nichts dagegen sprechen. Aber ich bin der Meinung, dass es gerade diese Videos sind (z.B das zur Diagonalisierung), die Themen aus dem Mathematikstudium nochmal verständlich, aber umfangreich erklären, die auf KZbin noch nicht so präsent sind, wie z.B die Schulmathematik.

[@MathePeter]

Werde auf jeden Fall weiter Mathe Themen fürs Studium veröffentlichen. Nur zur Zeit scheint das Wachstum des Kanals zu stagnieren. Egal wie gut die Videos sind, der Kanals wir nie groß werden. Dann bleibt es ein schönes Hobby, an dem man Vollzeit arbeitet, mehr aber auch nicht.

[@denissobczyk9363]

Was für ein unfassbar werthaltiges Video!

[@jurgen516]

deine erklärungen sind einfach die besten !!

[@cavemen3072]

Verstehe bei meinem Mathe Prof. an der RWTH nichts :D Wünschte du würdetst die Vorlesungen machen ! DANKE!

[@MathePeter]

Wünschte ich auch 😄

[@JoeNopos]

Extrem geil! Danke

[@cuxi7627]

Gram-Schmidt ist abgelehnt. Das Video war aber sehr hilfreich. Vielen Dank 😊

[@zetopr8058]

Neeh, ne weisst du ich hab gar kein Bock auf das bestehen von Examen, ne du, gut rüber gebrachte Infos sind doch längst überbewertet. Bro jou, natürlich hat das Video mir gefallen Daum zeigt nach oben! Krass, nach 2 Jahren 100k Aufrufe, verdient!

[@MathePeter]

Haha vielen Dank!! 😊

[@ih1438]

Sorry kurze frage ist es auch möglich dass der x1 vektor für x =1 und y=1/2 also umgekehrt je nachdem ob man y oder x als 1 wählt Und reicht es wenn man einer der beiden Zeilen auflöst Also entweder -8x+4y=0 Oder 4x-2y=0 Oder muss ich ich des so rechnen das unten links in der Ecke 0 rauskommt

[@MathePeter]

Egal wie rum die Rechnung läuft, der Vektor sollte der selbe sein (bis auf eine beliebige Skalierung).

[@autonomesinklusionsreferat1251]

tolles Programm...

[@niiiko_gn]

super Video! Danke dir!

[@janberkhajuque3823]

Vielen Dank für Video ,würde ich fragen ,wie man S rechnet,könnte man direkt Eigenvektoren einsetzen oder ?

[@MathePeter]

Richtig! Nur für die Eigenvektoren brauchst du ja in der Regel erst mal die Eigenwerte.

[@janberkhajuque3823]

@@MathePeter ehrlich vielen Dank 😊, mithilfe dieser Inhalte kann ich besser verstehen und bestehen

[@MathePeter]

Das freut mich! 😊

[@destroyer1023]

Top Video! ❤ Nur eine kurze Frage: was mache ich bei einer 3x3 Matrix, wenn ich 2 nullzeilen habe, aber jede variable in der ersten Zeile belegt ist? Weil dann müsste man doch 2 Parameter wählen, aber das geht doch wohl nicht?

[@MathePeter]

In dem Fall kannst du dir zwei Variablen aussuchen. Nur wenn einer der Vorfaktoren gleich Null wäre, müsstest du die entsprechende Variable wählen.

[@mohmmadali6474]

Wunderbare Videos

[@brazo98]

Da kommen die Eigenwerte raus und der dazugehörige Eigenvektor . Das heisst die Inverse wäre Division dann geteilt durch 0 und das geht ja nicht. Also keine Diagonalmatrix! Ok jetzt habe ich es verstanden wieso man nicht einfach die Eigenwerte abließt und dann bestimmt, das ist die Diagonalmatrix. Das Produkt bilden aus Inverser Matrix S des Eigenvektors mal Matrix A mal Eigenvektor S. Danach steht fest ok es die Diagonalmatrix. Lasse ich die Schritte weg, dann weiss ich es nicht ganz genau! Habe ich das so richtig verstanden? Danke Peter für deinen Support. LG

[@MathePeter]

Genau. Wenn es so viele Eigenvektoren wie Eigenwerte gibt, ist die Matrix diagonalisierbar. Die entstehende Diagonalmatrix hat nur Eigenwerte auf der Hauptdiagonale stehen. Das Produkt selbst muss dann zum Glück nicht erst ausgerechnet werden.

[@brazo98]

@@MathePeter Genial! Jetzt hab ich es voll geschnagelt! Danke bist ein Rocker 🖖🏻🖖🏻🖖🏻

[@brazo98]

Lieber Peter hab gestern meine Mathe2 Klausur retour bekommen und was soll ich sagen vielen lieben Dank für deinen Support hier! Hab ne gute Note bekommen! 🖖🏻🖖🏻🖖🏻👍🏻👍🏻👍🏻

[@florentinahofbauer3211]

Vielen Dank!

[@LauZockt]

tolles Video !!

[@ladderlappen4585]

wenn man eine matrix-vektor-multiplikation mit einem i-ten einheitsvektor macht kommt doch nicht die spalte der matrix raus. du meintest sicher den i-ten vektor einer einheitsmatrix, der zugegeben auch ein einheitsvektor ist aber manche könnten probleme bekommen, wenn sie in wikipedia nach einem beliebigen einheitsvektor gucken.. wie ich ^^

[@MathePeter]

Stimmt, das wäre präziser 😅 Vlt hätte ich ergänzen sollen "i-ter Standard-Einheitsvektor". Freut mich aber, dass es am Ende trotzdem gut zu verstehen war!

[@The.Mentalist]

ich habe wieder Hoffnung die LA Prüfung in einer Woche doch zu bestehen

[@rattenkonig2442]

Sehr gutes Video! Ich hätte dennoch eine Frage: Wenn ich die Eigenvektoren durch Gram-Schmidt orthogonalisiere, dann ist meine Transformationsmatrix "S" ja nicht mehr aus Eigenvektoren. Wieso funktioniert das dann jedoch trotzdem und ergibt auch eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale?

[@Safouan-yr6ir]

Bester Mann 🔥

[@can-lionkuyucu5899]

Nur wegen MathePeter kann ich Mathe bestehen Danke dir

[@matematikepertegjithengaxh9408]

Danke

[@carlovillena2230]

Sehr gutes Video

[@serkantulga6045]

Einfach sympathisch

[@laurasimmons2371]

Darf man beim Berechnen des Eigenvektors zunächst normieren - also mal 1/√5 - dann S bilden?

[@MathePeter]

Ja das geht. Wenn die Matrix S dann sogar orthogonal ist, dann ist ihre Inverse gleich ihre Transponierte.

[@yannick4425]

Super Video aber bei "dann kannst du einfach 5^1000 rechnen" habe ich leicht ungläubig geguckt das wären nämlich ca. 9,33*10^698. zum Vergleich, es gibt nur 10^85 Atome im Universum

[@MathePeter]

Haha stimmt. "einfach" ist relativ 😂

[@olicas1]

man du bist echt gut

[@MathePeter]

irgendwas muss ich ja machen XD. danke dir!

[@rashaothman7721]

einfach super

[@aware6019]

Deine Videos sind echt klasse! Schade, dass die Trigonalisierung nicht in der Reihe dabei ist. Davon gibt es kaum Videos auf KZbin und es ist komplizierter. Aber trotzdem ist dein Kanal echt vielfältig und super hilfreich :)

[@MathePeter]

Vielen Dank! Und coole Idee, ich schreibs mir mit auf meine Videoliste. Zur Zeit komme ich wegen meines Umzugs nicht so viel zum Filmen und auch die Live Kurse beginnen in den nächsten Wochen. Aber ich werde in Zukunft auch weiterhin Videos produzieren! :)

[@aware6019]

@@MathePeter Okay, das ist schön zu hören. Von Live-Kursen wusste ich noch gar nichts. Was wird denn da behandelt :)? Übrigens, passend zum Thema wäre sogar noch die simultane Diagonalisierung. Die ist auch für die Quantenmechanik interessant. Einen schönen Abend noch und biel Erfolg beim Umzug!

[@MathePeter]

Ich gehe an Unis und biete dort 3-tägige Prüfungsvorbereitungen an. Entweder zahlt jeder Student einen Kursbeitrag oder die Uni bietet einen Lehrauftrag an und übernimmt die Bezahlung :)

[@bjornthomas4632]

liebe an dich

[@Morpheus-zw4px]

Hallo Mathepeter, vielen Dank für das hilfreiche Video. Habe aber noch ne Frage zu 13:18: gibt es dann nicht unendlich viele Möglichkeiten für den zweiten EV wenn das einzige Kriterium für diesen ist, dass er senkrecht auf den ersten EV stehen soll?

[@MathePeter]

Das Strecken/Stauchen des Vektors behält die Richtung bei. Und nur um die Richtungen geht es.

[@tonisingh5521]

Passt vllt nicht in das Video rein , aber kannst du mal etwas über Tensoren sagen oder einen Einstieg in das Thema geben. Würde mich mal interessieren. Gruß

[@MathePeter]

Kam tatsächlich schon mehrfach die Frage. Hab ich auch schon mit auf meiner Liste. Bin nur grad erst mal beschäftigt alle aktuellen Themen abzudecken für die Grundlagen in Analysis und Linearer Algebra. Würde gern so viel auf einmal machen 😅

[@tonisingh5521]

@@MathePeter Stimmt, erst müssen die Grundlagen vermittelt werden, bevor man zum Speziellen übergeht. Ich freu mich drauf ,wenn es soweit ist :)

[@derlibertarefreiheitskampf1603]

7:50 Wäre das dann wenn mit 5 bzw dem eigenwert halt an den Tiagonalen abgezogen und anschließender zeilenelemination nur eine Zeile verloren gehen würde, statt der anzahl wie oft 5 der eigenwert ist oder?

[@MathePeter]

Ja genau! Wie auch bei dem Beispiel, das ich ganz am Ende aufgeschrieben hab.

[@samueldarenskiy6893]

Eine dumme Frage, wenn ich die Eigenvektoren suche und ich schon die Gleichung wie z.B. aus dem Video -2x+y=0 gefunden habe, muss ich dann immer x finden, oder dürfte ich bsp. y=2t stellen und somit den Vektor (1, 2)^T feststellen? Und wie heißt noch dieses Theorem über symmetrische Matrizen und "umkehrbare" Eigenvektoren?

[@MathePeter]

Darfst du auch machen. Geht sogar schneller. Was genau meinst du mit "umkehrbaren" Eigenvektoren?

[@samueldarenskiy6893]

@@MathePeter du hast im Video angedeutet, dass wenn wir orthogonale Vektoren haben, dürfen wie ganz einfach den gefundenen Vektor x einfach umkehren und das Zeichen ändern, um Eigenvektor y zu ermitteln.

[@MathePeter]

Ah ich verstehe. Weiß leider nicht, ob das einen Namen hat, aber das ist allgemein bekannt.

[@bayremagrebi7740]

ich habe eine Frage , müssen wir sagen ,dass der matrix A ist bezüglich der standardbasis ,damit die Spalten von S bleiben dasselbe als Eigenvektoren? Vielen Dank

[@MathePeter]

Wenn nichts weiter angegeben ist, dann sind Vektoren immer als Koordinaten bzgl. der Standardbasis zu werten.

[@rickf6375]

bester Mann

[@kaykay52837]

Dankeeee

[@dzenishadzic1632]

Wo werden die Diagonalmatrizen in der Praxis genutzt ?

[@mimo7485]

Bravo

[@alikaplan3403]

Kann das Gegenbeispiel nicht diagonalisiert werden, weil die Matrix nur einen Eigenvektor, nämlich (1,0) hat?

[@MathePeter]

Genau

[@aronnoahtrappmann7732]

wenn ich nicht falsch liege hat die Matrix am ende nur einen Eigenwert und einen Eigenvektor was im Umkehrschluss bedeutet das auf der Hauptdiagonalen für D nur ein Wert stehen würde was für eine Diagonalmatrix keinen sinn ergeben würde. Damit wäre die Matrix A doch dann auch nicht Diagonalisierbar oder seh ich das Falsch?

[@MathePeter]

Du meinst die Matrix am Ende unter "Gegenbeispiel"? Die hat 2 Eigenwerte. Zwei mal die Null. Aber dieser (doppelte) Eigenwert hat nur einen Eigenvektor, damit ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Grundlegend kannst du dir merken, dass eine (n x n)-Matrix immer genau n Eigenwerte hat. Sie werden mit ihrer Vielfachheit gezählt und wenn sie nicht reell sind, dann sind sie komplex. Direkte Folgerung aus dem Fundamentalsatz der Algebra, da die Eigenwerte die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind.

[@TVSuchty]

Sehr pünktlich zur LinAlg der Informatiker 🙂

[@maik2239]

Zum Gegenbeispiel: Es geht nicht weil nur ein EV (1 0) zum doppelten EW 0 gefunden wird. Ich habe die Berechnung der EW und EV auch mal in matlab probiert. Komischerweise wird hier ein zweiter EV (-1 0) (oder annähernd 0) ausgegeben. Auch mein TR (TI nspire cas) gibt mir den zweiten EV (-1 0) (hier ebenfalls annähernd 0) aus. Wie kann das sein?

[@MathePeter]

Taschenrechner und Matlab berechnen die Lösung eines Problems numerisch. Das sind keine Algebra Systeme wie Wolfram Alpha, Mathematica oder Maple. Darum müssen die theoretischen Hintergründe immer vor der Rechnung geklärt oder zumindest die Ergebnisse kritisch hinterfragt werden.

[@ThorsETHZ]

@@MathePeter Falls man hier (1 0) und (-1 0) erhält kann man mit der linearen abhängigkeit der beiden Vektoren argumentieren sodass klar ist, dass diese beiden Vektoren nur ein Eigenvektor sind? (oder sozusagen der gleiche Eigenvektor)

[@ragnarok3161]

ich denke, dass die Matrix am Ende diagonalisierbar und invertierbar ist. Und die Inverse der Matrix A ist das Transponierte. Ich glaube sie steht sogar schon in Diagonalform da, oder?

[@MathePeter]

Meinst du die Matrix unter "Gegenbeispiel"? Die ist nicht diagonalisierbar, weil die zum doppelten Eigenwert 0 nur den einzigen Eigenvektor (1,0). Algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 0 ist damit 2 und die geometrische Vielfachheit nur 1. Invertierbar ist sie auch nicht, weil 0 ein Eigenwert ist und die Matrix daher schon von vornherein einen Rangverlust hat.

[@raiden9056]

@@MathePeter Dürfte man dann eigentlich schon von Anfang an sagen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist weil sie ja nur EINEN Eigenwert hat, und zwar 0? Weil eine 2x2-Matrix muss ja 2 Eigenwerte und 2 Eigenvektoren haben damit sie überhaupt diagonalisierbar ist, oder?

[@elvisp5456]

18:45 wir haben ma`s und auch md`s, also ich würd sagen wir haben dann mdma, oder?

[@rtimpx8739]

Gibt es ein Verfahren bzw einen Algorithmus, der mir sowohl die Eigenwerte, als auch S und S^-1 rausgibt?

[@MathePeter]

Soweit ich weiß nur das standardmäßige Berechnen von Eigenwerten und Eigenvektoren.

[@TheBlackKnight16]

Bei der Matrix (0 , 1 , 0 , 0 ) kann ich die inverse nicht bilden , da die determinante 0 ist also dadurch kann man schonmal nicht die inverse von den eigenvektor bestimmen und somit auch die diagonalmatrix mit A = S*D*S^-1 nicht abbilden. Ist es richtig?

[@TheBlackKnight16]

bzw. der eigenwert ist 0 und dadurch kann man schonmal gar nicht das inverse bestimmen so

[@MathePeter]

Wenn 0 ein Eigenwert ist, hat die Matrix keine Inverse. Sie kann aber trotzdem diagonalisierbar sein. Wenn es genau so viele Eigenvektoren wie Zeilen/Spalten gibt, dann ist die Matrix diagonalisierbar.

[@louishauger3057]

Es gibt aber nur den eigen vektor 0;1 oder?

[@christiangabriel1482]

Hey Leute, was ich nicht verstehe ist wie man am Anfang D=S^-1*A*S zu A=S*D*S^-1 umformt. Division ist ja nicht möglich. Visuell vertauscht man halt einfach das A mit dem D und die beiden S-Matrizen. Merken kann ich mir das, aber rechnerisch, wie geht das?

[@christiangabriel1482]

Achsooo, ich verstehe doch, man nimmt die komplette Gleichung und multipliziert sie von links mit S und von rechts mit S^-1, dabei kommen dann auf der linken seite jeweils die Einheitsmatrix raus, also E*A*E=A, und deshalb wird genau das gleiche auf der rechten Seite gemacht, falls es noch jemanden verwirrt hat.

[@MathePeter]

Genauso! Sehr gut!!

[@alexanderwurfl2879]

Was mir jetzt gerade aufgefallen is wenn A = S⁻¹DS ist und ich die det(...) Anwende dann ist doch det(A)=∏ᵢᷠ₌₁ λₗ Stimmt das? Und das heist ja dann, dass das Charakteristische polynom an der stelle 0 gleich dem produkt seiner nst ist, denn det(A−λE) ist für λ=0 det(A) ? Aber wenn ich mir ein polynom dritten grades anschaue bsp: (x+a)(x−b)(x−c) das ist für x=0 a⋅b⋅c und das produkt der nst −a⋅b⋅c, mir fällt jetzt irgendwie nicht mein fehler auf?

[@MathePeter]

p(λ) = det(A-λ*E) = Prod (λi-λ). Für λ=0 folgt die Behauptung.

[@undefined73]

idk ob das noch jemand liest aber bei 2:15 wo S auf beiden seiten multipliziert wurde warum wird es auf der rechten seite zu SD und nicht DS?

[@MathePeter]

Weil die Matrix Multiplikation nicht kommutativ ist, wir dürfen die Reihenfolge der Faktoren nicht einfach vertauschen. Darum habe ich im Beweis die Matrix S auf beiden Seiten "von rechts" dran multipliziert. Auf der Linken Seite steht deshalb A*S und auf der rechten Seite steht S*D*S^(-1)*S. Und da S^(-1)*S=E ergibt, kannst du diesen Faktor auch einfach weglassen, es bleibt rechts S*D.

[@simonklaus5169]

ist es nicht so, dass man wenn beim gauß algorithmus nur die zeile skalieren darf von der man nicht addiert oder subtrahiert ? Bei allen meinen Bsp. kamen nämlich immer falsche EV raus eben genau aus dem Grund wie ich später gemerkt hab.

[@MathePeter]

Ob man das in der Prüfung "darf", liegt am Dozenten. Mathematisch gesehen ist das kein Problem, da kommt immer das selbe Ergebnis raus. Du musst nämlich bedenken, dass das Vielfache eines Eigenvektors wieder ein Eigenvektor ist. Darum wird ja auch dieser Parameter "t" an den Vektor multipliziert, um das auszudrücken. Schreib gern mal dein Beispiel und ich schau drüber :)

[@nickdirtenlog8998]

Idee zur Lösung der Eigenwertprobleme bei 2x2-Matrizen: Charakteristische Polynome haben immer die Form x^2 - spur (A) + det (A). Gegeben sind x (zu bestimmender Eigenwert) und A (Matrix) und spur A (Spur der Matrix A) und det A (Determinante A). Danke für die Idee der Diagonalisierung

[@MathePeter]

Schöne Idee für ein Video, danke :)

[@khoaaam]

Trigonalisierung fehlt mir noch. Vielleicht kommt es irgendwann

[@MathePeter]

Ja irgendwann auf jeden Fall :)

[@soulintent7052]

16:39 muss S eine Othogonale Matrix sein? Reicht es nicht die EV zu bestimmen und in S einzutragen?

[@MathePeter]

Die Vektoren einer orthogonalen Matrix sind (1) paarweise orthogonal und haben (2) alle die Länge 1. Die Matrix S aus dem Video ist nicht orthogonal, weil die Vektoren nicht die Länge 1 haben. Aber die Eigenvektoren stehen alle senkrecht aufeinandern, das ist wichtig. Wäre das nicht so, müsste man sie noch mit dem Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren orthogonalisieren.

[@soulintent7052]

Hallo Mathe Peter, eine Frage: Sei a = Lambda und ich hab folgende Form: (2 - a)^2 (1 - a) - (1 - a) = 0 (1 - a) [ (2 - a)^2 - 1] = 0. Wie kann ich aus dieser Darstellung die algebraische Vielfachheit für das a bzw. Labda ablesen?

[@MathePeter]

Erst mal musst du alle lambdas ausrechnen. Eine Lösung ist a=1. Die andern beiden kriegst du aus dem quadratischen Term, a=1 und a=3. Damit kommt a=1 insgesamt zwei mal vor, hat also eine algebraische Vielfachheit von 2. Und a=3 kommt einmal vor, hat also eine algebraische Vielfachheit von 1.

[@soulintent7052]

@@MathePeter Mit ausrechnen meinst du sicherlich ausklammern. Unser Professor in DGL meinte "klammert bitte nicht aus" sondern bringt das Ganze in eine gewisse Form, woraus ihr dann die Werte ablesen könnt, weil in der Klausur würdet ihr euch dadurch einiges an Zeit sparen. Das, was ich hier gepostet habe, war die Vorgehensweise des Profs.

[@MathePeter]

@@soulintent7052 Genau so mach ich es auch. Ausklammern ist dabei genau das was er getan hat und das ist auch die einfachste und schnellste Methode. Was man weitestgehend vermeiden sollte ist ausmultiplizieren. Dann die Nullstellen rauszufinden frisst einfach zu viel Zeit in der Klausur.

[@songohan393]

legende

[@og-rv2gg]

Macher❤

[@snp774]

Wenn die diagonalisierbare matrix allein durch die eigenwerte verechnet werden kann wozu berechnen wir dann die basis sowie die inverse davon

[@MathePeter]

Was genau meinst du? Für die Diagonalisierung brauchen wir sowohl die Eigenwerte, als auch die Eigenvektoren.

[@snp774]

@@MathePeter besteht die diagonalmatrix nicht nur azs eigenwerten, zudem bräuchten wir doch trozdem nicht die inverse berechnen müssen

[@MathePeter]

Stimmt, die Diagonalmatrix D besteht nur aus den Eigenwerten. Die Matrix S aus den Eigenvektoren. Wenn du jetzt also A diagonalisieren willst, also in das Produkt S*D*S^(-1) zerlegen willst, dann brauchst du neben den Eigenwerten auch noch die Eigenvektoren.

[@snp774]

@@MathePeter ahhh also die die diagonalisierbare matrix ist A = SDS-¹

[@MathePeter]

Ja genau. Eine Matrix zu diagonalisieren heißt sie in exakt dieses Produkt zu zerlegen und nicht einfach nur eine Diagonalmatrix aufzustellen.

[@Hogojub]

Wo war jetzt das Beispiel wenn es nur einen Eigenvektor gibt?

[@MathePeter]

In 19:53.

[@Bombastin]

Was ist mit dem 1/5? Muss das nicht auch hoch m gerechnet werden?

[@MathePeter]

Die 1/5 gehört mit zu dem S bzw. S^(-1). Da sich immer S und S^(-1) wegkürzen, fällt auch jedes mal wieder die 1/5 mit weg. Sie bleibt aber einmalig am Ende stehen, weil es ja noch genau einmal ein S bzw. S^(-1) gibt.

[@Bombastin]

@@MathePeter danke 😊

[@eduardooow5013]

Viele grüße an meine Bauingenieur Kommilitonen

[@babylife3477]

Moin, was mache ich bei einer 3x3 Matrix mit zwei identischen und einem anderen Eigenwert? Ist sie dann noch diagonalisierbar?

[@MathePeter]

Wenn der doppelte Eigenwert auch zwei Eigenvektoren hat, dann ja.

[@babylife3477]

@@MathePeter aber die Vektoren von dem gleichen Eigenwert dürfen doch keine Vielfache voneinader sein, damit die Matrix diagonalisierbar ist, oder?

[@MathePeter]

Ibrahim Erdogan genau und das werden sie auch nicht. Du brauchst genau soviele linear unabhängige eigenvektoren wie die vielfachheit des eigenwertes ist. Schau dir mal mein video vom letzten sonntag an. Da werden deine Fragen wahrscheinlich beantwortet.

[@babylife3477]

@@MathePeter ich habs jetzt gefunden (das Video) gerade angefangen zu gucken, enjoye es jetzt schon XD

[@JJ-pm1zv]

Heyo, mein Vater hat mir einen Trick gezeigt: Wenn man den Eigenvektor aus der Matrix abzüglich der lambda-vielfachen-Einheitsmatrix berechnet kann man dies z.B. mit dem Gauss verfahren machen, jedoch ist sein Trick dass man einfach eine Zeile streicht, da diese ja Linear abhängig sein müssen oder man hat sich verrechnet. Daraufhin transponiert man die Matrix und negiert einen Wert davon. Bei mir hat es bisher immer Funktioniert, jedoch konnte er mir nicht erklären warum das so ist, noch habe ich etwas dazu im Internet gefunden... Hast du, oder jemand eine Idee warum das so einfach Funktioniert? Ps.: Meine vermutung ist dass es irgendetwas mit Orthogonalität der Vektoren zu tun hat und man es evtl. grafisch erklären kann, jedoch ist es mir nicht gelungen... mfG.

[@MathePeter]

Klingt interessant. Kannst du genau erklären, was gemeint ist? Das Ziel ist ja Eigenwerte und Eigenvektoren auszurechnen. Aber du startest direkt mit einem bekannten Eigenvektor? Und es funktioniert bei beliebig großen Matrizen und auch mehrfachen Eigenwerten?

[@JJ-pm1zv]

@@MathePeter Also die Eigenwerte hat man dann schon mit dem charakteristischen Polynom berechnet. Bei 8:50 min z.B. berechnest du hier im Video ja mit den Einheitswerten die Matrix (-8,4)(4,-2) und wendest das Gauss verfahren an um dann die Einheitsvektoren zu berechnen. Dann kommst du auf das Ergebnis, dass der Einheitsvektor x1=(1)(2) ist. Dabei wäre das vorgehen meines Vaters folgendes gewesen: Die Matrix M=(-8,4)(4,-2) wird wie bisher berechnet. Dann wird einfach eine Zeile der Matrix weggelassen also z.b. M=(-8,4) bleibt übrig. Dann Transformiert also zu (4)(-8) und ein Wert negiert also (4)(8). Wenn man diesen Wert normiert kommt man so ganz schnell auf x1=(1)(2). Das funktioniert bei mir mit allen 2x2 Matritzen bisher.

[@MathePeter]

Achso na klar, das funktioniert speziell bei 2x2 Matrizen, in denen die Eigenwerte die Vielfachheit 1 haben. Denn bei einer Vielfachheit von 1, haben sie auch nur genau einen Eigenvektor, es entsteht mit dem Gauß Verfahren auch nur eine Nullzeile. Die hat dein Dad einfach gleich weggestrichen und die verbleibende Zeile als Gleichung aufgelöst. Wenn ich das jetzt richtig überblicke funktioniert es aber leider nicht generell. Einfaches (Gegen-)Beispiel wären die Einheitsmatrix oder die Nullmatrix, da geht es nicht aufgrund der Vielfachheit des Eigenwertes. Speziell für 3x3 Matrizen (und Vielfachheit 1 des Eigenwertes) gibts aber auch einen ziemlich genialen Trick: kzbin.info/www/bejne/j5enYaSwqpl9j7c Zeig das gern mal deinem Dad, bin gespannt, was er dazu sagt :)

[@loveyourthinking]

Wie berechne ich die Jordan Normalform?

[@MathePeter]

Wenn die geometrische Vielfachheit mal nicht gleich der algebraischen Vielfachheit entspricht, dann ist die Matrix zwar nicht diagonalisierbar, aber es ist möglich sie in die Jordan Normalform zu bringen. Dafür brauchst du nur die Hauptvektoren in den Fällen, in denen die geometrische Vielfachheit kleiner ist als die algebraische. Ich denke darüber mache ich demnächst mal ein Video.

[@FRom-re7og]

Mal ganz kurze Verständnisfrage bei ca. 8:30 : Wenn ich die Lamdas von der Diagonale abziehe, komme ich nie auf die "-2". Warum ist das so? PS: ungeachtet deine Videos helfen enorm!

[@MathePeter]

Wenn du die 5 von dem Wert unten rechts abziehst, kommst du auf -2, weil 3-5=-2.

[@FRom-re7og]

@@MathePeter Also ist lediglich der Zahlwert relevant nicht die Vorzeichen bei den Lamdas. Dann sollte de Frage geklärt sein. Danke!

[@MathePeter]

Kann ich noch nicht ruhigen Gewissens bestätigen, was genau meinst du damit? Wenn ich -5 abziehe auf der Hauptdiagonale, dann hat man nicht mehr -8 und -2 auf der Hauptdiagonale stehen, sondern 2 und 8.

[@FRom-re7og]

@@MathePeter Ich habe beide Lamdas (+5 in 1.Zeile/1.Spalte und -5 in 2.Zeile/2.Spalte) eingesetzt und daher rührt vermutlich die Vorzeichenproblematik.

[@MathePeter]

Ah ok verstehe. Für jedes lamda eine eigene Rechnung, aber hast ja schon selbst rausgefunden :)