But how physics can lead to Euler's formula?

Everyone knows the famous Euler identity e^(i*pi) + 1 = 0, which contains the main mathematical constants. It follows from the equally famous Euler formula, which magically connects exponential and trigonometric functions of a complex variable.
Euler's formula is usually proven by expanding the exponent to its power series. By contrast, we will arrive at this formula in simple terms by the help of the school physics only.
Hope, you will enjoy watching!
Animations have been prepared thanks to Manim library of Python, www.manim.comm...
Hashtags:
#математика #физика #комплексныечисла #maths #complexnumbers #physics #manim #eulerformula
Music
Creative Commons Attribution 4.0 to use track I Am a Man Who Will Fight for Your Honor (artist: Chris Zabriskie): creativecommon...
Source: chriszabriskie....
Artist: chriszabriskie....

[@movicave]

Ссылка на исходный код анимаций в описании. Развлекаетесь :)

[@mrThomasTeller]

Вау, вот из этого видео я наконец-то понял смысл уравнения Эйлера. Очень доступно и красиво!

[@DiasArshabekov-e4h]

Сложновато… но прекрасно!✨ Буквально чувствуется вложенное в это видео время и усилия, восхищен, получилось просто шикарно! Ничего не понял, но опустим детали…

[@lewqa7480]

Очень круто! Обожаю когда такие формулы можно пощупать в движении на графике. Так в 100 раз проще понять смысл формул. Автору ролика - спасибо!

[@movicave]

Очень рад, что понравилось! Сам кайфую от этой визуализации :)

[@apogo78]

Огонь. Наконец-то объяснение без рядов. Попой чувствовал, что есть геометрическое доказательство. Почти до всего ранее сам дошел, но не смог объяснить, почему t=фи. Спасибо!!

[@John____Smith]

Такого комбинированного объяснения нигде не видел 👍

[@mathematician7]

Пришёл от одного дикого математика. Славное видео! Прошу, продолжайте радовать нас manimациями)

[@Чокнутыевидосы]

Чувак у тебя крутая озвучка и грамотноподобран материал. Спасибо тебе

[@movicave]

Спасибо! Очень приятно, что понравилось

[@КанышСабденов]

Необычно и оригинально! Несколько другой взгляд на мир чисел.

[@Nexerium]

продолжай снимать! уверен, с таким подходом канал начнёт развиваться

[@movicave]

Спасибо, воодушевляете. Будем работать по мере возможностей, в первую очередь над собой :)

[@howtorng]

хороший контент, мне очень понравилось!

[@rasim7806]

Супер. Даже я всё понял

[@3hatok3hakobblu27]

Спасибо за контент. Прошу, продолжай

[@movicave]

Рад, что вам понравилось. Непременно продолжу, как будут посещать очередные приступы неконтролируемого творчества :)

[@alexxxxxx111]

Красота!

[@lerw1162]

офигел, увидев как мало здесь просмотров 😥

[@movicave]

Тише едешь - дальше будешь. От того места, куда едешь :)

[@sergeyantonov2520]

​@@nikolaylincoln6339Видео про пугачиху и волочкову тоже много, но их смотрит куда больше народу, потому что там мозг включать не надо.

[@VVv-ix2gx]

Класс!

[@AS_tutor]

А вообще, кто не понял: *) перемножение комплексных чисел аналогично скалярному произведению: это поможет в понимании, почему вектора перпендикулярны, ведь это случается тогда, когда скалярное произведение нулевое 1) скорость v = ie^it для z = e^it перпендикулярна вектору координаты, следовательно движение будет по окружности радиуса 1 (e^i0 = 1) 2) ускорение перпендикулярно скорости a = i*i*e^it для v = ie^it, следовательно величина скорости (ее модуль) не изменяются. А значит, движение по окружности равномерное. На самом деле рассуждения 1 и 2 пункта одинаковые, мы говорим про вектор и его производную перпендикулярную ему

[@АлексейСапрыкин-в2к]

Про связь комплексных чисел и векторов... Меня до сих пор удивляет, как элементарно выводится скалярное и векторное произведение векторов из комплексных чисел (точнее из кватернионов). a·b~-Re(q1*q2) a×b~Im(q1*q2) Если a=[x1, y1, 0]; b=[x2, y2, 0], то q1=ix1+jy1; q2=ix2+jy2. q1*q2=-(x1*x2+y1*y2)+k(x1*y2-y1*x2) Тогда [x1, y1, 0]·[x2, y2, 0]=x1*x2+y1*y2 [x1, y1, 0]×[x2, y2, 0]=[0, 0, x1*y2-y1*x2] Из второй формулы следуют все важные факты о векторном произведении - порядок умножения векторов важен, произведение перпендикулярно первым двум векторам, и действует правило "правой тройки" (или "левой тройки" в левом базисе)

[@ПасенкоФедор]

Каждый кто смог объяснить первый , Второй и уж более того ТРЕТИЙ Закон НЬЮТОНА, по вкладу в развитие НАУКИ, Образования равен самому Ньютону ... Жизнь человека коротка и скоротечна... нет Ньютона и Лейбница нет, и нас не будет, и я бы про них ничего не писал и не знал если бы в 60 лет не прочитал, не посмотрел ролик энтузиастов из ютуба про то как они трудились .. Память о них живет во мне и я пою им хвалу за их труды. в школе меня 3 года не хотели учить физике... так что каждый кто пытается объяснить третий закон Ньютона открывает его заново, для людей... и сам равен Ньютону... Педагог= ученый. это специалист делает доступными понятными Знания Миллионам, что открыли и понятны , пока, Единицам людей

[@alexandrfedorov7297]

Это было круто.😮😮😮

[@arturbikiteev9834]

Впервые я познакомился с комплексными числами 40 лет назад в одной из лучших военных училищ страны. Это помогало выруливать из самых больших проблем статической теории авиационных радиоэлектронных устройств. (Радиолокация) Всегда думал о том что это? Мы это (люди) изобрели это или так устроен мир. Мой друг (профессор) сказал как-то мне что он похоже начинает верить в Бога, так как все его исследования основывались на этом...

[@Budennowsk]

Да да, всё понятно, спасибо! Понял формулу Эйлера наконец.... А вот и нет!!!! На самом деле не пойму, я что ли такой тупой? Всем всё понятно, судя по комментам, а вот я вообще ни чего не понял, кроме вращающегося кругляшка...

[@intelligent2505]

Жирный, жирный лайк !!🎉

[@agrogamewolf-agw1145]

Охуенно, качество во много раз превосходит количеству просмотров и подписчиков

[@movicave]

Спасибо. Рад, что понравилось!

[@ИльяВоронов-в1ю]

Красиво, вопросов нет. Единственное, чуть бы поподробнее раскрыть момент - почему, если вектор скорости перпендикулярен радиус-вектору, то длина радиус-вектора не меняется со временем. Это не совсем очевидно.

[@movicave]

Изменение радиус-вектора в любой момент времени - это тоже вектор, сонаправленный с вектором скорости (dr = v * dt). Из-за перпендикулярности получается, что вдоль радиус-вектора изменений нет (r * dr = 0). Это хороший вопрос, спасибо!

[@ИльяВоронов-в1ю]

@@movicave Спасибо, теперь картина совершенна )))) Через ряды Тейлора круто, конечно - но совсем интуитивно непонятно )))) А здесь - так просто.... )))

[@movicave]

@@ИльяВоронов-в1ю есть два типа людей. Одним для понимания нужны формулы на бумаге, другим важно чувствовать процесс на уровне интуитивного восприятия. Обе стороны важны :)

[@ManiacPsih]

Вроде просто, а вроде и сложно... Но в любом случае спасибо за объяснение Только один вопрос: почему в формуле используется конкретно е, ведь мы с таким же успех можем вместо него подставить любое действительное число (или нет)?

[@mortimerignis2650]

Потому что любая по счету производная и первообразная e^x это она сама

[@ManiacPsih]

@@mortimerignis2650 то есть, если вместо е будет любое другое число, то при взятии производной скорость не будет равна координате, а значит круг не получится... Спасибо!

[@movicave]

Это хороший вопрос! Можете поставить вместо e любое действительное число и повторить действия из видео. В результате поменяется лишь величина скорости, но не её направление. Окружность снова получится, но полный оборот по ней вы сделаете не за 2pi, а за другое время.

[@ManiacPsih]

@@movicave спасибо Математика всегда такая красивая, но в то же время такая сложная...

[@alexkuznetsov4254]

Спиралька тогда получится

[@Чокнутыевидосы]

Спасибо тебе большое

[@movicave]

На здоровье! Было бы за что :)

[@PyXiion]

Ничего не понял, но очень интересно

[@vadjuse]

это топ!!!

[@alex-mad]

Видео на 4 минуты, но втыкал в общей сложности пол часа, чтобы осознать как из одного утверждения следует другое 😅

[@movicave]

Это очень ценное качество - уметь сосредоточиться, чтобы докопаться до истины! Очень рад, что вас так затянуло :)

[@phys924]

Таки есть несколько вопросов: Не понятен физический смысл движения по комплексной плоскости? Вы оперируете с мнимой и действительными частями комплексного числа, как с обычными декартовыми координатами, с самого начала, пользуясь тригонометрической формой записи комплексного числа, которая так или иначе завязана на формулу Эйлера. Почему вы обращаетесь с показательной формой записи комплексного числа как с показательной функцией? И есть ли тут вообще новая информаци? Не используете ли вы здесь неявно формулу Эйлера в качестве определения того, что такое e^(i*pi), и если нет, то тогда что такое e^(i*pi) в ваших рассуждениях?

[@movicave]

На мой взгляд, ответы на ваши вопросы можно найти в видео, пересмотрите его, пожалуйста. Исходные пункты: i^2=-1, траектория движения e^(it) - это некоторая функция времени, значение которой известно только при t=0. Комплексные координаты - это другая запись обычных координат. Формула Эйлера получилась в результате рассуждений.

[@timothejos]

Нет, не использует, никакого порочного круга нет. Да, он, собственно, не дал конкретного определения этого понятия. Но зато опирался на 3 важных утверждения: 1) e^(ti) = 1 для t = 0; 1) для остальных t число e^(ti) ПОКА ЧТО является хуй пойми чем, которое ХУЙ ПОЙМИ как вообще нащупать; 3) ПРОИЗВОДНАЯ, которая равна ie^(it).

[@timothejos]

Нет, я, конечно, понимаю, чего тебя так заботит, чтобы дали конкретное определение. Чтобы было вообще понятно, с ЧЕМ мы работаем. А то работаем с каким-то хуй пойми чем. Потому что ЧТО ВООБЩЕ ТАКОЕ возвести в мнимую степень, это какая-то жуткая ёбань. Но чел совершенно справился с задачей и без твоей душноты. Потому что он в конце полнейше раскрыл, ЧТО ТАКОЕ мнимая степень.

[@abcdfgji]

Душнить не хотел, но все же, в векторной форме не совсем верно сказано, ускорение при движкние по укрожности складывается из нормального и тангенсального, если б убрали вектор и сказали, что ускорение тангенсальное, все было бы просто шикарно!!!! Как раз косательное /тангенсальное ускорение равно производной пл скорости. А полное ускорение равно производной по скорости тогда, и только тогда, когда движение прямолинейное!

[@movicave]

К сожалению, я не понял, что вы хотели донести. Мы задаёмся зависимостью траектории от времени в комплексном пространстве. По сути это есть радиус-вектор частицы. Его далее и дифференцируем, получая сначала скорость, а затем ускорение. Других предложений нет, всё честно.

[@abcdfgji]

@@movicave Я хотел сказать, что у вас ускорение не равно производной по скорости, а лишь его тангенсальная /касательная составляющая. Рас уж вы объясняете вывод формулы с помощью физики, то физическая точность- очень важна

[@movicave]

В ролике ускорение есть производная от скорости по времени, ни о каких касательных составляющих речи нет, всё в общем виде и достаточно строго. Пересмотрите внимательнее.

[@abcdfgji]

@@movicave Ускорение в векторной форме не равно производной по скорости из за движения по криволинейной траектории!!!!!!

[@movicave]

@@abcdfgji не могли бы вы дать определение ускорения, которое вы считаете верным?

[@gdmsave]

Привет! Сами сделали на движке 3b1b?

[@movicave]

Да, с помощью manim.community

[@timurzhakeyev5149]

А при изменении какого параметра в этой формуле происходит спиралевидное движение т.е. радиус меняется по модулю?

[@movicave]

Чтобы менялся радиус (или модуль комплексного числа e^it), аргумент it должен иметь ненулевую действительную часть. То есть, время должно стать комплексным, а не действительным :)

[@timurzhakeyev5149]

Комплексное время? В физике нет такого понятия.

[@movicave]

@@timurzhakeyev5149 поэтому радиус по модулю и не меняется :) Из вашего исходного вопроса я понял, что вы хотели увидеть спираль в плоскости комплексных чисел, типа x + iy = t * e^it Если же вы хотели увидеть винтовую линию в трёх измерениях, как показывают в ряде анимаций, то нужно добавить равномерное движение вдоль третьей оси. Параметрически её можно задать так: x+iy = e^it, z=t, время t -- действительный параметр. При этом радиус вращения остаётся неизменным и равным единице.

[@timurzhakeyev5149]

@@movicave это вроде развернутой синусоиды при демонстрации физического маятника когда равномерно тянут бумагу под маятником на котором закреплён самописец?

[@movicave]

@@timurzhakeyev5149 да, именно так. При этом вы как бы смотрите на винтовую линию сбоку, скажем, со стороны +x, и видите чистый синус y(t) = Im[e^it] = sin(t).

[@victorlidvanski6728]

А куда число е пропало? Так можно вместо е любое другое число в тригонометрической плоскости двигать. В нулевой степени это 1 и дадьше вращаем эту единицу. А зачем именно е ?

[@movicave]

@@victorlidvanski6728 если возьмёте не e, то движение по окружности будет также происходить равномерно, но быстрее или медленнее, чем один оборот за промежуток времени 2pi. Например, 2^(it) = cos(ln(2)t) + i*sin(ln(2)t) -- полный оборот за время 2pi/ln(2). Лаконичнее всего результат будет с основанием e.

[@victorlidvanski6728]

@ Становится намного интереснее.Прошу прощения, может невпопад спрашиваю: как там логарифм оказался?

[@СергейТекинец]

Графика прекрасна. А вот логика -- не очень. Есть физическая величина "время". На основании чего к этой действительной величине вдруг взяли и прислюнявили мнимую единицу? С этого места все дальнейшие утверждения (рассуждения) крайне не убедительны. Между тем мнимая единица (новый сорт чисел) имеет реальный физический смысл. Он получается из дифференциального уравнения, описывающего колебания, например, математического маятника.

[@movicave]

@@СергейТекинец не согласен с вами. Время осталось действительным, как и было. Мы лишь рассматриваем траекторию двухмерного движения, заданного с помощью некоторой комплексной функции. Один действительный параметр - две координаты. Раз вы вспомнили математический маятник, у него тоже появляется e^it, описывающая траекторию движения во времени.

[@СергейТекинец]

У Вас видео называется "Как физика приводит к формуле Эйлера". Вот от названия, т.е. от физики, и нужно было танцевать. Вы же сначала вводите комплекснозначную функцию и потом строите свои рассуждения. Движение материальной точки по окружности прекрасно описываются действительным параметрами. Зачем понадобилось огород городить? А вот простейшее дифференциальное уравнение с ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ членами, описывающее колебание груза на пружине, в вещественных числах уже на решается. Требуется извлекать корень квадратный из отрицательного числа. Полученное новое число имеет реальный физический смысл. Ну или новый сорт чисел для описания реальных физических явлений.. Кстати, выражение e^it -- это абсурд полнейший, если под параметром t понимать время, а не безразмерное число. В математическом маятнике всё выглядит чуть по-другому.

[@artgamestopice]

Ты физик или математик )

[@movicave]

Если это утверждение, то оно верное :)

[@lerarosalene]

@@movicave а вот так и попадаются программисты)

[@movicave]

@@lerarosalene без программирования в наших делах никуда :)

[@MinecraftForever_l]

Всё тривиально, но ударение на другой слог в слове комплексное.

[@КириллБезручко-ь6э]

да насрать всем

[@MinecraftForever_l]

@@КириллБезручко-ь6э пшёл отсюдова.

[@КириллБезручко-ь6э]

@@MinecraftForever_l мешаю быть душнилой ебаной?

[@MinecraftForever_l]

@@КириллБезручко-ь6э я уже по-моему всё сказал.

[@timothejos]

@@MinecraftForever_lда насрать всем

[@Любитель_Математики]

Видео очень классное, но есть одно НО. Правильно не ко́мплексные числа, а компле́ксные числа. Очень ухо режет

[@movicave]

Очень рад, что вам понравилось. По поводу ударения, оба варианта всегда воспринимал спокойно, и даже более приятно ударение на первый слог, созвучно с английским complex. Также отмечу ряд источников, указанных в Википедии, в которых термин комплексных чисел приводится с двойным ударением. Как творог и одновременно ;)

[@timothejos]

Ох, французы - страшная сила ;)

[@mr.danilsdan1902]

Не доказано почему abs(e^ix)=1. Доказательством это не назовешь.

[@movicave]

Посмотрите видео полностью, там всё обоснованно

[@ПавелЖуков-т9ь]

Давайте сначала. Косинус/синус/тангенс понятным языком.

[@movicave]

Можно начать и с таблицы умножения. Главное знать, зачем :)

[@ПавелЖуков-т9ь]

@@movicaveчтобы понять формулу Эйлера😅

[@ИгорьЩеголев-я8ъ]

Обеды в столовой кОмплексные.

[@iogann1978]

Почему кОмплексное, а не комплЕксное? За такое преподы ругают обычно

[@movicave]

Где-то ниже есть развернутый ответ на комментарий, аналогичный вашему. Действительно, у нас принято ударение на второй слог. Но я не суровый математик, поэтому спокойно отношусь к обоим вариантам. Для меня существенно важнее, что вы поняли, о чём речь :)

[@АнатолийКуричев-с1т]

не понятно объясняет

[@АлексейНефедьев-е7е]

Это полный бред. В каждом слове!

[@movicave]

Главное не смотрите другие видео с этого канала, там вообще лютая дичь :)

[@Alexey.439]

И где тут бред? Можно поконкретнее?

[@КириллБезручко-ь6э]

@@Alexey.439 он еще не придумал

[@Alexey.439]

@@КириллБезручко-ь6э жаль, а то я то думал, он сейчас как укажет на ошибку, которую никто до него не замечал, и продвинет математику вперёд.

[@timothejos]

@@Alexey.439Такое ощущение, что само непонимание, ЧТО ТАКОЕ возвести в мнимую степень, как эту операцию ПОНИМАТЬ.

[@vladsol5575]

удалось ли вычислить то число квадрат которого = -1?

[@agrd6762]

i и -i

[@vladsol5575]

@@agrd6762 ы-ы-ы 😃