Формула Эйлера: объяснение | Самая красивая формула математики - Алексей Савватеев | Лекции

Почему формула Эйлера - «самая красивая» формула математики? Что такое тождество Эйлера, какими различными вариантами его можно представить и почему оно считается одной из самых красивых формул в математике? Как его вывести, как изобразить геометрически и как всё это можно понять наиболее наглядным образом, так сказать, «на пальцах и фломастерах»? 😉
Об этом в неподражаемой манере рассказывает Алексей Савватеев, математик и матэкономист, доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, популяризатор математики среди детей и взрослых, научный руководитель Кавказского Математического Центра АГУ, профессор Московского физико-технического института, ведущий научный сотрудник ЦЭМИ РАН.
Канал Алексея Савватеева «Маткульт-привет!»:
/ Маткультпривет
Плейлист «Алексей Савватеев»:
• Алексей Савватеев (Лек...
Плейлист «Лекции по математике»:
• Лекции по математике
#НаукаPRO #Савватеев #АлексейСавватеев
Ролик создан при поддержке Ассоциации волонтёрских центров в рамках Международной премии #МЫВМЕСТЕ.

[@NaukaPRO]

Плейлист «Алексей Савватеев»: kzbin.info/aero/PL_8xXS9VcXHzuiCXZLcAUiSmcsvm3FSgv Плейлист «Лекции по математике»: kzbin.info/aero/PL_8xXS9VcXHxyIF4hcIux1FS6FCihfbYg

[@dariaprokopenko_89]

Какой позитивный человек 😀

[@olegt7504]

Уже соскучился по этим щелчкам фломастера и колпачка.

[@leol2790]

Отличный ролик! Большое спасибо!

[@amigo3003]

Ничего не понятно, но оочень интересно😂

[@MrChroot]

Плохо, что не понятно. Повторите начала матана в таком случае - станет понятно.

[@afganezz]

Поражаюсь таким зябликам. Радуются что извилин совсем нет. Извилины это как мышцы, чтоб они были их качать надо

[@aviator1472]

​@@afganezzЯ нечего не понял из словесного поноса автора. Что мне нужно, так это всего то понять почему в анализе сигналов происходит при разложении в ряд Фурье чаще всего используется именно формула с экспонентой, а не разложение в гармонический ряд.

[@afganezz]

И че ты от меня хочешь

[@nartoomeon9378]

Примечание: на моменте технической леммы 1 можно w_n превратить в (w_n / n) и там в знаменателе оставить одно n . Тогда предел можно переделать в e^(w_n / n), очевидно, что показатель стремиться к нулю и не будет проблем подставить 0 вместо бесконечно-малого, а хотя, можно и вообще заменить по эквивалентности e^(w_n / n)=1+(w_n / n).

[@ElenaBerezenko]

Последнее занятие в колледже по математике и такая крутая идея показать связь всех тем - формула Эйлера!!! Большое спасибо 🎉

[@gaben-agent]

Чет странно) Если мы знаем разложение экспоненты в ряд Тейлора, то можно ровно также разложить sin(x) и cos(x) в ряды Тейлора. Тогда мы можем просто прямо подставить в разложение экспоненты iphi и выделить из ряда слагаемые для косинуса и синуса.

[@OldFilin]

Поддерживаю. По-моему, вывод через ряд Маклорена наиболее понятен. Там, в принципе, можно вообще комплексных чисел не знать. Достаточно лишь того факта, что i·i = -1.

[@Семён-т9с7т]

точно. Более того, я читал, что исторически Эйлер так и сделал в 1740 году, как вы сказали

[@glukmaker]

@@Семён-т9с7т Да, Эйлер именно так и сделал. И таким методом было бы даже проще и быстрее объяснить. Но проблема в том, что для многих, которые только решили разобраться с этим, такой метод мог бы быть воспринят тупо как магия. Т.е. раскладываем в ряд Тейлора экспоненту, синус, косинус и опа - формула готова, и никакой наглядности и никакого понимания сути.

[@aDahur]

протрезвел.... если без шуток, то очень крутой лектор и очень обидно,что так мало лайков под видео.

[@АндрійАндрійович-д7м]

Великолепный материал!🔥Удивительно внятно объяснено.

[@БарабасКарабасов]

Это шутка такая? Это может быть понятно тем, кто и без Савватеева хорошо знает эту тему, для остальных - какие-то странные кривляния какого-то мутного типа.

[@timura.sostin3449]

@@БарабасКарабасов , почему же? Савватеев отлично излагает. Кто заканчивал школу в математическом классе и в вузе матанализ проходил хоть немного, тот сможет подтвердить четкость мысли лектора.

[@БарабасКарабасов]

@@timura.sostin3449 , вы сильно заблуждаетесь. Невооруженным глазом видно, что "четкость мысли" у Савватеева отсутствует напрочь. Это видно и по его каракулям, и по манере доказывания. Это не преподаватель, это пародия на преподавателя.

[@Albert_Einstain]

Представил ситуацию. После кораблекрушения, волны выбрасывают меня на живописный остров. И там меня встречает худощавый человек с бородкой - по виду местный абориген. Мы здороваемся, и он начинает объяснять мне формулу Эйлера. Я падаю в обморок... P.S. На комплексной плоскости нужно указывать оси действительных и мнимых чисел, чтобы всем было понятна тригонометрическая форма комплексного числа. Я всю жизнь пользовался самой "красивой формулой математики" при умножении и делении комплексных чисел, и только сейчас увидел ( не не понял) откуда там ноги растут.))

[@goodok3]

18:42. Как я понял, Вы используете свойство о сложении аргументов ( и произведении модулей), которая (в учебнике) доказывается через т.н. "тригонометрическую запись числа", через геометрические построения и неявного определения косинуса и синуса. Но можно синус и косинус определить так же как и экспоненту: сразу через ряды, и (возможно) останется только работа с рядами (а вернее с их частями, четными и нечетными степенями). И, кстати, определение экспоненты через ряд верно не только для для х принадлежащем ℂ, но и для матриц (квадратных конечно), Например для кососимметричной матрицы J = (0, 1..., - 1, 0), которая соответствует мнимой единице,и из произведения матриц заданных в базисе E (единичной) и J, наверное тоже можно вывести свойство о сложении аргументов. (wiki-- Imaginary_unit ---Matrices)

[@istrem_puh]

Омайгат. Это выше или ниже моего понимания? 😂

[@goodok3]

@@istrem_puh Сбоку. В данном случае представлять мнимую единицу через матрицы и определением косинуса через ряды на мой вкус проще ( так же как представлять произведение сложных объектов через простые матрицы и получать тригонометричкие формулы, как и гиперболические) . Но начинать нужно с конечных автоматов, треугольника Паскаля и как с ним (и заодно с биномом) разобрался Ньютон. Например в ролике "Как считали число пи? [Veritasium]"

[@AlexParmon]

Только что посмотрел фильм "Гений математики" - видимо ролик под него)

[@frankbit3598]

Рекомендую Вам посмотреть,, Деконструкцию " с Савватеевым. 👍🚩🎅👽😺

[@AlexParmon]

@@frankbit3598 Смотрим, знаем)

[@PSpeedcuber]

Вижу не собранный мегаминкс на полке. Собрать незамедлительно, профессор)

[@nartoomeon9378]

Её можно получить иначе, и даже в полнорй форме exp(ix)=cos(x)+isin(x) через предположение, что "мультипликативные" свойства синуса ( sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x) ), и показательной функции (a^(xy)=(a^x)(a^y) ) могут быть связаны, значит выражение C^x = Asin(x)+Bcos(x) может быть верно для некоторых А, В и С. Однако, что бы C=e^i надо возится немного больше.

[@TurboGamasek228]

а разве это не проще доказывается, е^z разложили в ряд и расскрыли скобки, там ряд получается равный sinz и cosz и все

[@goodok3]

А вы не знаете как проще всего (и только алгебраически) можно доказать, что ряд равный sin z (через этот ряд функцию синус можно определять, а не выводить ряд из других в том числе геометрических определений или соображений) равен именно нулю при значении Pi?

[@viktor-kolyadenko]

Для этого нужно доказать, что функции exp{z}, sin(z) и cos(z) - аналитические.

[@TurboGamasek228]

@@viktor-kolyadenko так очевидно, что так, условие коши римана работает, это вообще целая функция

[@ОООПетроСофт]

Не забывайте про периодичность, как дополнение к лекции

[@fhtagnfhtagn]

Можно ещё через разложение в ряд Тэйлора доказать. Разложим синус, косинус и экспоненту. И окажется, что последняя - сумма второй и первой, домноженной на i.

[@СергейТаран-т9и]

Да, в книгах по ЦОС обычно так и доказывают/показывают эту формулу.

[@АЛЕКСЕЙТарасов-ю7н]

Почему мы решили что разложение экспоненты в ряд справедлив и для поля комплексных чисел? Какой в этом смысл?

[@ЕгорБалашов-й6г]

Скажу, как школьник с задней парты: "Плохо видно! Доску отсвечивает!".

[@Sanaev-Pavel]

Есть такая функция, как масштабирование видео! - и всё прекрасно видно

[@goodok3]

У меня на мониторе компа все формулы видны. Наверное еще и потом, что в настройках ютуба в данном видео установлено качество "1080 HD" (автонастройка, которая зависит от устройства, например монитор или телефон, и от скорости интернета)

[@AS_tutor]

Слегка видоизменил доказательство, используя свойство (cosx/n+isinx/n)^n=cosx+isinx. Дело в том, что это очень похоже при n стремящемся к бесконечности на (1+ix/n)^n, что и есть экспонента (использовал cosx/n = 1 + о(x/n) и sinx/n = x/n + o(x/n) при n стремящемся к бесконечности). Вот ссылка на полное видео: kzbin.info/www/bejne/qIXJk52KjMeWarc. 5 минут и более простой язык в сравнении с комментарием) Надеюсь для кого-то этот факт станет проще.

[@nartoomeon9378]

Интерестно, можно ли показать, что формула предела для числа e не зависит от переменной предела? То есть может быть даже функция, но главное, что б возрастающая в бесконечность с ростом переменной предела. То есть замутить как (1 + 1/f(n) )^f(n) .

[@krisbut1]

Весьма 🧐, а мне интересно, можно ли показать, что формула пердела

[@goodok3]

Можно, если функция монотонна. wiki второй замечательный предел (причем если функция даже убывает и уходит в минус бесконечность, то пределе тоже получится e (приближаясь к этому числу сверху))

[@nartoomeon9378]

@@goodok3, спасибо)

[@Stresss70]

Пора уже кватан учить. Кватернионы.

[@мотыльки_в_голове]

ничего не понятно, но очень интересно

[@ОлегКолтуновский-й4ц]

если уж считает АС справедливым разложение в ряд экспоненты, то синус и косинус разлагаются...тогда формула Эйлера и её следствие - тождество Эйлера моментально получаются...

[@АртёмПанов-р2т]

Супер! Все логично и понятно

[@bytekov]

Посмотрел 10 минут. Потом Изя всё.

[@ЛиляКрымова-ф3ч]

Ура, ура, опять моя любимая математика.

[@Ильян-ш9я]

я пробывал понять

[@astronom84]

"Если бы Остап знал,какую мудреную партию он играет ... " 😂

[@АбрикосАбровский]

Человек который все понял откликнись!

[@Vadim-33]

кто это понимает, не будет смотреть ролик)

[@aDahur]

я может тупой, но что такое i? откуда оно взялось, почему при доказательстве пропало и нарисовалось только в конце?

[@astronom84]

Это мнимая единица, корень из i равен -1

[@alikgamalitdinov9842]

​@@astronom84i в квадрате равно - 1

[@astronom84]

@@alikgamalitdinov9842 да, вы правы 😌

[@sergeiburtsev5712]

Я думал что главная формула всей математики это что сумма всех натуральных чисел равна -1/12.

[@ВЛАДЛЕНСуровцев]

А я ,грешным делом , что это теорема Абеля-Галуа.)))

[@andreyzolotarev6927]

Формула красивая, но может ввести в заблуждение: в ней нет числа π, а есть угол в радианах. Поэтому говорить здесь о связи пяти констант математики - большая натяжка.

[@andreyzolotarev6927]

Хотя да, есть здесь пятая константа - число 180.😊

[@mitz777]

Это точно в жизни пригодится..? 😮

[@ВЛАДЛЕНСуровцев]

А можно сказать ,что эпсилон- нуль стремится к нулю?

[@Sergey_Moskvichev]

Отлично, только как это применить для проверки правильности банковских кредитов, чтобы выиграть суд у банка, доказав завышенный процент? Теория без практики ничего не стоит.

[@TurboGamasek228]

легко и просто

[@Sergey_Moskvichev]

@@TurboGamasek228 Приведите лёгкий и простой пример. )

[@ПММ-л3й]

С. Колдовал целый вечер и вызвал Эйлера.

[@Володимир-э6и7к]

Не видно ничего

[@Cymrak_71]

Шо это было...?

[@sirokkosp3207]

мне даже страшно смотреть - всегда Савватеев еще больше запутывал вопрос, после него в голове каша. А ведь есть чуваки, которые ясно объясняют удивительно сложную математику

[@WayfaringHD]

Это не просто связывает все константы, а говорит что в целом они равны нулю! То есть вся математика, построенная на e, i, π и числах составленных из единиц "1", по сути взята из ничего, высосана из пальца. 😅

[@jdueioksltoirtius9685]

Иногда мне кажется, что Савватеев пытается вызвать Ктулху... И однажды это у него получится...

[@БарабасКарабасов]

Ну вообще-то эта штука у математиков называется ТОЖДЕСТВО Эйлера, а не формула. Даже как-то неудобно.

[@iter1656]

Вот интересно кому он это все обьясняет? Такое впечатление что он просто хвастается 😂😂😂😂😂😂

[@Маткульт-приветАлексейСавватее]

не хвалитесь невежеством, учите математику!

[@iter1656]

@@Маткульт-приветАлексейСавватее не знание математики это не грех

[@user-bm4zq9cn6j]

Лектор похож на персонажа из людей в черном, которому все время отстреливали голову. А потом он восстанавливал память герою на самодельной установке.

[@user-bm4zq9cn6j]

Точно, это формулы для восстановления памяти.

[@liiamilevska5301]

Кого же это мне тут ютюб подсовывает?! Это ж тот мелкий недоимперец! Где там те довоенные интервью, на которых он так рьяно за собирательство земель русских агитировал? А послушать его про математику, так влюбиться можно, и в него и в математику. Так прискорбно, что такими могут быть люди науки.

[@ВиталийРыжаков-ю4з]

Вот интересно, математика - это фарисейство или христианство?

[@JennyGutman]

Мда..Проблемка..Извините,но когда пишите важную формулу ,пишите её в середине доски, чтобы люди видели все части формулы..Какой смысл читать публичные лекции так ..почти невнятно.Писать формулы мелко или коряво..

[@Smith1604]

опять сфаи икьри подкафёрный

[@НиколайМ-щ5х]

Фрик и рашисто-нацист в одном !