【超良問】高１で解ける東工大入試2021

nCrと階乗を使って不等式評価に持っていく良問
誘導も含めて定期テストレベルから難関大レベルまで
非常に教育的かつ考え方が大事な問題でした！
類題が東大の問題にもあるので、何度も復習を！
整数問題の全パターン解説はこちら
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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[@勉強頑張るマン-k1j]

東工大も基礎からしっかり分かれば解ける良問多い！

[@gmjttjlkf9828]

懐かしいしトラウマ...今年東工大受けたけど落ちた者です。結果は数学が105点でその他の教科は6割取れてました。東工大オープン模試で数学180点近く取れたし、過去問でも150点は最低でも取れていたので行けると思ってましたが、受験はそう甘くなかったです。実際今年の東工大は本来僕の稼ぐべき分野であった数３がほとんど出ませんでした。だから高１高２の人に言いたいのですが、高校数学で一番難しいのは数Aです。数Aは早めに習うので演習できる時間が他の分野より多いのでちゃんとやっておいたほうがいいです。応援しています。

[@ああ-j1w7c]

ゆ

[@林檎-y1g]

確かに数Aは大変ですね。整数問題なんて作る側からしたら幾らでも難易度上げられますし。

[@yu-gc3bo]

この人ほんとに教え方上手だなあ…… 数学苦手でも面白いって思える、、 こんな先生がいたら成績爆上がりだ〜〜

[@カルピス3牛乳7]

サムネだけ見て解いてみてめっちゃ悩んでたけど誘導あるんかーい

[@ばー秀]

クソむずいやんけとおもったら誘導あったの草

[@ししゃも-b1n]

それ、誘導あるならサムネで有無書いといて欲しい

[@桜木秋水]

これを初見で気付ける人は天才だね 言い換えれば初見でなければ攻略可能 経験が必要だ

[@mika-w9y]

東工大は理系の天才を求める それに対して東大は全教科できる秀才を求める

[@中野二乃-i8z]

東大は天才だろ

[@mika-w9y]

いや、天才を求めてるのは京大や東工大

[@user-vt3yn6ic5l]

@@中野二乃-i8z 受験エアプか？

[@kodaik.5375]

東大は頑張れば行ける 東工大は無理

[@味噌ラーメン-q4m]

東工大って本当にセンスある人しかいないイメージ

[@erun_1508]

入試本番でこの問題に1時間半使って(3)が解けず震えた

[@mob1270]

結果はどうでしたか？

[@こにちわ-f7j]

帰納法しか思いつかなかった こういう問題他の人と違う解法で解けたらちょっと嬉しい

[@fxgodzeuss]

これは結構いい問題だな。

[@ディルドマスター-u9k]

本物で草

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録75G" ⑴ ･･･中略･･･ 2nＣn は n＋1 の倍数である ･･･① ■ « 難 » ⑵ An＝ 2nＣn／( n＋1 ) , n ≧ 4 のとき、 An > n＋2 ･･･☆ とおく。 〖 通常は数学的帰納法 〗 An+1／An ＝ (･･･約分して･･･) ＝ ( 4n＋2 )／( n＋2 ) よって、 An+1 ＝ ( 4n＋2 )／( n＋2 ) ・An ･･･② [ Ⅰ ] n＝4 のとき、(☆の左辺)＝ A4＝ 14 ＞ (☆の右辺)＝ 4＋2＝ 6 ■ [ Ⅱ ] n＝k のとき、 Ak > k＋2 の成立を仮定する。 ②を利用して、 n＝k＋1 のとき、 Ak+1 －( k＋3 ) ＝ ( 4k＋2 )／( k＋2 ) ・Ak －( k＋3 ) ( ∵ ② ) > ( 4k＋2 )／( k＋2 ) ・ ( k＋2 ) －( k＋3 ) ( ∵ 仮定 ) ＝ 3k－1 ＞ 0, よって、 このときも ☆は 成立する。 [ Ⅰ ], [ Ⅱ ]より、 n ≧ 4 のとき An > n＋2 は成り立つ。■ ⑶ ( ⅰ ) n＝1, 2, 3 のとき、 A1＝ 1(‪✕‬), A2＝ 2(○), A3＝ 5(○) ( ⅱ ) n ≧ 4 のとき、 A4＝ 14 ＝ 7・2(‪✕‬), ②を利用して、 An+1 ＝ ( 4n＋2 )／( n＋2 ) ・An ＝ ( 4n＋2 )・An／( n＋2 ) ･･･③ ( 4n＋2 ) > ( n＋2 ) かつ ⑵より An > ( n＋2 ) ･･･④ ①③④を 合わせて、An+1 ＝ ( 1より大きい自然数 ) × ( 1より大きい自然数 ) よって、n ≧ 4 のとき、 An＝ ( 合成数 ), ( ⅰ )( ⅱ )より、求める n は n＝ 2, 3 ■

[@YouTubeAIYAIYAI]

②の漸化式👏が Magic Bullet

[@ミジンコ-k1q]

うん、なんもわからん (1)(2)が定期テストレベルとかまじかよ… コメント欄見てもみんなわかってるっぽいし…受験に不安しかねぇ

[@benkyoyodesu2411]

(2)はかなり難しいのでご安心を (1)は式がややこしいだけで教科書に載ってる基本的なことしか使ってないよ

[@幽霊-b3n]

おもしろい。自分で解けるようになりたい

[@とある男N]

赤の四角で囲った約分が分かりませんでしたが考えてわかった時はとても嬉しかったです

[@おぐりぃ-z8d]

6:03での約分の過程を知りたいです

[@wswsan]

高1です サムネだけ見て誘導無しでやりました 答えあってました

[@froggggggggggggggggggg]

つえええ

[@klm8953]

(1)数bを習ってしまった高2生以降は脳死で帰納法やっちゃう人いそう

[@あああああ-v7e]

呼んだ❓

[@zahlen9044]

僕も呼ばれた気がします...。

[@zahlen9044]

@@さく-o4b 僕はそうしました...。

[@わさび太郎-e6e]

@@さく-o4b てかそっちの方が早いですよね。この解き方でも解けるようになるべきではありますが、試験なら帰納法でいいと思います

[@kazu-mm5lk]

@@さく-o4b そのやり方教えてくださいますか？

[@momochisato]

（2）を帰納法で無茶苦茶したので（3）の考え方にいかなかった。 正直具体数で計算すると４以上の時は素数にならないということを証明すればいいということまではわかった。 （2）で（1）を無視した状態で考えたから（3）では（1）を使うという固定観念に囚われてしまいました。

[@のえるん-y1y]

(1)のn+1の倍数であるという説明がそれだけでは納得できないな

[@satio--623]

バチおもろい

[@さあ私を登録したまえ]

すみません、⑴の右辺のn＋1がわからなかったですが、基礎的なことを忘れていました💦 脳の衰えを感じました汗

[@c.k1219]

実験してみるとn≧4の時は素数にならなさそうだから数学的帰納法かな

[@atama.ga.torinosu]

良問ルート7日目 とりあえず1週間！

[@みっちゃ-v3h]

(2)、n≧4ってどこで使ってるんですか？ n-3乗でまとめたとこですか？

[@gaikoba7821]

n-3乗でまとめた時に（）の中身が1より大きい事は明白ですが、それを0乗や-乗してしまうと1や１より小さい分数になってしまいます。　そのためn>=4という条件をつけてn-3が1以上であるということに使っていると思います。

[@みっちゃ-v3h]

@@gaikoba7821 ありがとうございます。

[@MKちゃん]

誘導なしで解けたンゴ

[@うさぎ-w6r]

青チャのp344

[@太陽天空-l6o]

これカタラン数だっけ？

[@お腹すいた-y9m]

これを高校生の時に知りたかった

[@HideyukiWatanabe]

(2)の誘導に乗れなかった.... (3) (1)よりa_nは整数で、これが素数pとなるとき(1)より np = _{2n}C_{n-1} = (2n)!/{(n+1)!(n-1)!} p = 2*(2n-1)!/{(n+1)!(n-1)!} = 2*(2n-1)....(n+2)/(n-1)! ここで右辺の分子には(2n-1)より大きい素因数はないので p≦2n-1 (*) c_n := a_n/(2n-1)とすると c_n = (2n)!/{(2n-1)n!(n+1)!}で n≧2のとき c_{n+1}/c_n = (2n+2)!(2n-1)n!(n+1)!/{(2n)!(2n+1)(n+1)!(n+2)!} = (2n+2)(2n+1)(2n-1)/{(2n+1)(n+1)(n+2)} = 2(2n-1)/(n+2) = (n+3n-2)/(n+2) ≧ (n+6-2)/(n+1) > 1 よって{c_n}は単調増加となる。また、 c_4 = 8!/{7*4!*5!} = 8*6/(4*3*2)=2 よってn≧4のときc_n≧c_4=10、すなわち a_n ≧ 2(2n-1) > 2n-1 よって(*)を満さないので素数a_nはとならない。 またn=1,2,3でa_nを計算すると a_1 = _2C_1/2 = 1, a_2 = _4C_2/3 = 2, a_3 = _6C_3/4 = 5 であるからn=2,3のときのみ素数。■ ※計算間違い訂正

[@konn7286]

10:16から全くわかりません

[@quivivraverra7830]

同じ疑問を持った方用にコメントを残します 10:19 ～ 10:27 「必ず分子の中にpが存在する」について an = p (pは素数)と置いたから n ≧ 4 のとき、 an = p = {(2n-1)× ... ×(n+3)×(n+2)}/{(n-1)×(n-2)× ... ×3}　…① ※この式は 10:17 で赤ペンで囲んだ部分を含む式のところ (2)を解いて、n ≧ 4 ならば p > n+2 であることがわかっている つまり、(n+2)以下の整数は素数pでないことを意味するから ①の右辺の分母（(n-1)×(n-2)× ... ×3 ）には、 p が含まれていないことがわかる ※nは正の整数だから、3から(n-1)までの連続する整数の中で最大値は(n-1)、 p > n+2 > n-1 となるから分母に p はない 10:34 ～ 「2p > 2n+4、分子に2pは含まれない」について n ≧ 4 のとき、p > n+2 であるから、両辺2倍して 2p > 2(n+2) = 2n+4 nは正の整数なので、2p > 2n+4 > 2n-1 > n+2 ※①の右辺の分子((n+2)から(2n-1)までの連続する整数)の中で最大値は(2n-1)、(2n-1)より大きい 2p は分子に含まれないことがわかる 10:38 ～ 「つまりpが(分子にある整数の)どれか」について 2p は、p 自身を除いて p を因数に持つ正の整数の最小値(∵2は素数の最小値)であり、 an = p > n+2 > 0 から、(n+3)から(2n-1)までの連続する整数(分子)の中に素数 p 以外の p の倍数は含まれないことになる (分子の中に p 自身が存在することが確定する)

[@レブロンジェームズ公式]

これ(1)と(2)が結構簡単やったんよな〜 その勢いで(3)いったら手動かなすぎた笑

[@トロンボーン鈴木]

6:05の約分のところがわからないのですが誰か教えてください…

[@HALmykn]

あーーーー… 見てみたら｢あー！｣ってめちゃ分かって、ゾワゾワして見て欲しいくらい鳥肌たったわ見て欲しいくらい‪‪w

[@konn7286]

8:00 分子はどうしてn−2個になるのでしょうか？

[@のむら-m5g]

二ヶ月後なので意味あるかは分かりませんが分子は2n!－(n+2)!と考えられるから2n－(n+2)個なのかなと思いました

[@伊藤実-n4f]

あなた解説が早すぎる。しゃべり方から勉強した方がいい。学校はもちろんのこと予備校でも教壇に立てない。

[@スヌーピー-b4z]

この問題覚えてるw 最後時間なくて証明を途中までして答えだけ書いた

[@overcapacitywhale]

ベルトランチェビシェフが背景にあるのかなとふと思った

[@ああ-b4o1j]

カタラン数でしょ

[@ツナマヨ-h4q]

なぜn-3乗がでてくるのでしょうか？

[@sen1900]

東工大の裏ボス感いいよね

[@リモコンの電池左]

パスラボ見ててよく思うの教えるの上手いけどよく式変形ぶっとばすよね、わかんない

[@岩塩-t7h]

nとn+1が互いに素であることは勝手に使っていいんですか？

[@nihonjin8527]

一応自明です

[@yokosanto1517]

シグマ計算してしまった… 結局証明できたしいいにゃけど

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

東工大っぽい！！笑

[@レイ-g3s2o]

カタラン数!

[@motimoti1590]

東工大の数学は5点刻みの採点

[@らま-x9w]

ちょっと説明早いと思いました

[@youtubedelsol]

ちょっとn＞4で矛盾する時の説明分かりにくかったです

[@そこらの高校生-o6f]

なぜならanはn＋2を因数にもつのにn＋2よりでかいってことはn＋2ともうひとつほかの2以上の因数を持つよね。それはanが素数なのに矛盾するよね。この矛盾を導けたのはanがn＋2より大きい前提で話を進められたからでそれはn>4での話ですよってこと

[@がむ-z2q]

カタラン数やん

[@kinshun]

💫✨😚🥳👍👍👍✨💫✨

[@メイプル-f9z]

???カタラン数を語らんとす

[@444mptappm4]

10:12〜の分子にpがあることの説明が分かりません。誰か教えて下さい

[@benzene1210]

数列an>n＋2だから an=pとおいた時p>n＋2だからn＋2=pk (k自然数)では表せないのでp＋2はpの倍数でない。 つまり数列anの分数がpの倍数である必要があります。 仮にpが分子に存在しないならばn＋2も分数もpの倍数でないのでan=pに矛盾します。よって分子にpが存在しなければなりません。

[@ナナルル-f7o]

@@太郎太郎-d2y どうしてanがpの倍数なんですか？

[@ぴゅ-j8i]

@@ナナルル-f7o Pが素数なのでan＝Pのとき分子にPの倍数が含まれなくてはいけません。an自体はPの倍数ではなくPなので正しくはanの分子がPの倍数って言いたかったんだと思います

[@ナナルル-f7o]

@@ぴゅ-j8i ありがとうございました！

[@benzene1210]

@@太郎太郎-d2y 補足的なのありがとうございます