伝説の東北大入試 整数の超有名問題【減点注意】

[@mathlabo]

【追記】(2)はaが奇数と仮定して矛盾を示す背理法としてシンプルに考えて大丈夫です。 (その場合aが偶数の時に成り立つかの確認は不要です！) ご指摘いただいた方ありがとうございます。

[@roto2797]

なんか見たことある問題だなと思ったら現役の時これ本番で解きましたww この年数学がめちゃむずくて多分これが唯一完答出来た大問だと思います 数学壊滅したけど今は当大学の工学部4年です、ダメだと思っても以外といけたりするんで受験生の皆さんは頑張ってください！！

[@Maaaj146]

誘導なしで解いたキムは化け物

[@st_on_e3692]

(2) b>1のとき、bは整数よりb≧2 よって2^bは4の倍数である。 従って3^a=2^b+1≡0+1(mod4) ここで3^a≡(-1)^a(mod4)より(-1)^a≡1(mod4) よってaは偶数である。 とした人は僕だけじゃないはず...

[@wakky1038]

これが一番シンプルで好きです

[@haruharu949]

サムネからチャレンジしてみました。 （解） 　a>0のとき3^aは自然数であり、a

[@チョコボーイ山口-s5x]

数の成り立ちを正確に追う為に何を知っていて何を使うかを問われる問題だなぁ まさに国語

[@y.-_-.y]

(2)は対偶使っても良さそうですね、aが奇数の時、mod4で2になりますから、b=1のときだけになります

[@sknngn]

すごい

[@user-yuukanamori]

2^nや3^nが出てきたらmod3,4だけじゃなくて、二項定理からのアプローチも考えると意外と簡単に解ける気がします。 解いてないけどこれもいけそうかも？

[@zeushades2832]

オジサンでも分かり易い動画だと思います。１つのメディアです。文章発声の抑揚があり過ぎて、語尾が肯定なのか否定なのか？分かりづらい箇所が全体に見られます。音量調節が困難です〜学び直し動画が大好きなので、これからも配信楽しみにしています。頑張ってください！

[@てふてふ-j5f]

演習でこれ出て、なんでこんな考え方するの！？って思ってました。 でもこの動画で一気に解消されて、超気持ちいいです。根本的な考え方の復習にもなったので、次このような問題が出されても、自分から解法を掘っていくことができると思います。感謝！！

[@koji01291494]

3の累乗と2の累乗は無限に存在しているのに、引いたら1になる組み合わせが2つしかないのって不思議～

[@AD-tg6vu]

(1),(2)解けて成長を感じました！（3）は解答見て色々吸収できたのでめちゃくちゃ楽しかったです！！

[@lazy_takasho4948]

13:34ぐらいからノーヒントですって言われたから自力で解いたらできた！！😂😂😂解説わかりやすい！

[@マリカ好き-e2z]

4を法とすると 3^a-1≡(-1)^a-1 ∴ aは偶数 こっちの方がややスマートですね もちろんどっちでも正解ですが！

[@マリカ好き-e2z]

すごい端折ったので細かい指摘は許してくださいm(*_ _)m

[@pizaya_no_kanojo]

僕もこれで行きました

[@wouyo5428]

(1,1),と(2,3)を発見した後に、無理矢理帰納法をつかってそれ以降は解がない事をいいました 具体的には|3^a-2^b|>2となることを帰納法でいいました

[@p-1math38]

サムネ見て誘導なしだと思いました💦 a,b>0は動画と同じ方法で示しました。 3^a-1=2^bでaが素因数pをもつ場合、左辺が3^p-1で割り切れ、 3^p-1=2×｛3^(p-1)+…+1｝=2×(p個の正の奇数の和) となり、これが2以外の素因数をもたないのでaは2以外の素因数をもたない。 さらにqをaの約数とすると、3^a-1は3^q-1(>1)で割り切れるので3^q-1が2以外の素因数をもてば3^a-1も2以外の素因数をもつ。 (a,b)=(1,1)(2,3)のときは条件を満たす。 a=4のとき、3^a-1=80は2以外の素因数(5)をもつので不適。 a>4かつaが2の累乗のとき、3^a-1は5を素因数にもつので不適。 よって、条件を満たすのは(a,b)=(1,1)(2,3)

[@とっくん-m2v]

これたっつーときむさん誘導なしで解いてたな笑

[@narahararara]

すみませんなんの動画かわかりますか、？

[@とっくん-m2v]

@@narahararara タイトルは忘れてしまったのですが、キムが天才すぎるから凡人3人で対決してみたって感じのものです！

[@shom.8128]

たっつーさんって文転したのに圧倒的に理系能力高いですよね

[@kyongmp]

@@shom.8128 あの企画ヤラセなんで😂 阪大生の中じゃ有名ww

[@ぬらべっちょ]

@@kyongmp おくすりの時間だよ〜＾＾

[@ussee-ussee-usseewa]

3^a-1が4の倍数となるときaが偶数になることに気づけば瞬殺の良問ですね

[@mathseeker2718]

いつも楽しく拝見しています。 社会人のおじさんですが、passlaboの動画をきっかけに、かつて苦手だった整数問題がわかるようになってきて、また数学を勉強したいと思うようになりました。 これからも宜しく頼みます👌🏼

[@ああ-b6i7s]

3^k − 1 と 3^k + 1 の最大公約数にあり得るのが 1 か 2 のみであることを使うと最後は簡単です。(かつ当然どちらも 2 の冪乗の約数より、どちらかが 1 または 2 と確定して〜)

[@oikuraEuler]

楽しかったです

[@maxrichter4231]

3番、良い問題すぎるね。

[@SA-vw7vc]

良問の旅とか青チャートとかなにかしらのくくりで再生リスト作って欲しいです！

[@user-wj6ii3ob2w]

解けました！ありがとうございます😊

[@homefamily5400]

先生の他の整数問題見てたので（３）だけでできました。。（２）をMODを使わずにやるんでないか思い、みてました。

[@ntnt447]

(3)の密度が濃い

[@わん-i6g]

最後十分性を確認することを忘れずに！

[@古田真-h7u]

範囲を絞る。指数の正の説明。実験は５分以内。mod3,4,5,6,7,8 modの射影を考えている　引き出しって少ないよ　アルゴリズム化できるね。a=1,b=1が成り立つ。a=2,b=3.が成り立つ。 a=3はbは整数でない。 aが４以上２b乗＝３a乗−１＝（ax乗+1)(ay乗-1)→(ay乗-1)は１だけ。後は詰まらない説明。

[@jisyoushin]

んん〜まかｧｧウｯｯ!!!!

[@TaikiIto-k3k]

今日も楽しかったです😊

[@pizaya_no_kanojo]

東北大数学は旧帝なのに簡単だからすらすら解けて楽しい

[@清水鷹斗]

パスラボのおかげで整数問題解けるようになったけど、本番がちがちに緊張してる中で解け！って言われても無理なんだろうなぁ 本番解ける人すごい！

[@AHIRUOTOKO_DELTA]

指数や平方数のジャくんという発想初めて聞いて、「おおー！」ってなりました

[@user-marimesuko]

パスラボとかゲンゲンのやつとかその他ネットに流れてきた整数問題全部やってたらこういうの誘導なしで出来るようになってたｗ未着用の参考書が泣いてる

[@Stuuuuym]

b>1で場合分けするとこ気づけんかった 誘導みたら解けた

[@oimodayo]

これ、mod5でbが3以上のとき存在しないってことでも良くね？

[@安濃碁]

78歳、昭和38年の数3受験です。某旧帝大理系合格。この問題(a=1,b=1)、（a=2,b=3)は見た瞬間頭の中に浮かびますが、これ以外の解ががないことを証明できないのが微積までしかしていない世代のつらさ。確率も、整数論も範囲外だった。

[@h4ru330]

高一ですが、先生がこれを夏休みの課題に出してきました

[@Lookingforwardto227]

誘導なしで行けた〜

[@2718e]

(2)について、b>1ならばaが偶数っていうのは、b>1の範囲でaが自然数であるときはaが偶数であることを示せってこと？？

[@サツマイモ依存症]

サムネ見て解けなくてめっさ萎えてたけど誘導あるんかい

[@べるげん-r8y]

カタラン予想かと思った……

[@すごいミルク]

1を3-2として考えて因数分解して解くのはありですか?

[@マイケルジャクソンの隠し子]

一瞬はじめしゃちょーに見える

[@伊藤です-m6x]

(2)の解説少しおかしくないですか？ これってbが2以上の整数の時aが偶数になるということを示せって問題なんですよね。aが4の時ってbの値は整数にならないし、そもそも4で割れるからと言ってbが整数になる保証はない気がするんですけど。もしかしたら自分がなにか勘違いしてるかも知れないので誰か教えてください

[@伊藤です-m6x]

このmodの示し方だとaが偶数の時にbが2以上の整数となる可能性があるとしか示せていない気がするんですけどそれでも大丈夫なんでしょうか。

[@ミトコンドリア-h5c]

@@伊藤です-m6x 十分性を満たしているので大丈夫だと思いますよ b≧2→aが偶数を示すだけであって aが偶数→b≧2ではないので

[@claylight]

コメント部分については以下の通りかと。 元々が整数（a,b）の話で、 整数（a,b）の中で、b>1（b>=2）のとき、aは偶数を示しているだけですね。 b=1のときは別で考えてね、2以上の場合はaは偶数になるよ、a=4のときbは整数じゃないけれどそれは前提が両方整数ということと外れるから答えじゃないよね、っていうことなんじゃないかなと思います。 後半部分についてもbが整数なのは前提条件なので4で割れる割れないがそもそも無視していいんじゃないかと思います。 レス部分について、上述からそれぞれ整数は確定。 問題文(2)の前提：b>1のとき、 動画からaが奇数のとき、2^b=3^a-1≡2(mod4) b=1という凡例がある為、「b>1のときaは奇数にならない」 偶数のとき、2^b=3^a-1≡0(mod4) 2^bについて、（bが整数を満たした上で、）4の倍数になるにはbが2以上、つまり「b>1のときaは偶数」 意味的には前半（b>1のときaは奇数にならない）だけでaは偶数といえるけれど最後までするよ、って感じじゃないかと思いますが如何でしょうか？ 私自身久しぶりに数学問題を解いた為、おかしな部分・わかりにくい部分等あると思いますが、その場合レス頂ければと思います。

[@choco5924]

初見で出来ました！✌️キモティー 医学部受験頑張ります

[@やまと-q3y]

問題文からぎゃくにたどって実験して4の倍数→偶数

[@もも-e2w]

一瞬で（1,1）（2,3）に絞れました　感覚ですね

[@tmge6l6l6l]

地元の方は、たいていここの大学の事は、トンペイって読んでますけどね。理工系の学部だけ、街の中心部からかなり離れた所にある大学です。ただ、今は新しい地下鉄があってアクセスは向上したかも知れませんが。 歴史と伝統のある大学であります。

[@dorchamp2577]

地下鉄はできましたが、地上に出るまで10分かかりますw

[@おやまやま125]

おはようございます！43日目！ だんだん数学が楽しくなってきた〜

[@詳細-m5w]

（1）解けない人はどうしたらいいのーーーーー。。。

[@mlsjwiabsz]

いや、これはおもろい

[@コサックダンス吉村-p6u]

これカタラン予想って使ったらダメなんでしょうかね。

[@サルモネラ-f1s]

悔しいね

[@uxaqyi8773]

1つの文字に注目 指数　mod3 mod4 指数>0 因数分解

[@歩く-p5p]

(3)解けなかったの悔しい... 因数分解を考えられてなかったな

[@is-wn1zp]

去年の京大実戦に似てる

[@かきくけこアイウエオ-v5u]

数検準1でこれに絶対値つけたやつが出て記述が全然分からんくて答えしか書きませんでした笑

[@伊藤実-n4f]

答えだけなら30秒で分かるね。 あとはそうなるように誘導に従えば簡単な問題だね。

[@ちょめちょめ-j2w]

整数おもろいなあ

[@kazuya5582]

(2)、二項定理で解く方が楽じゃないですか

[@illumina6057]

サムネから解いて、模解見に来たら誘導あったんだが…

[@カルピス3牛乳7]

解けた時気持ちよかったです、良問をありがとうございます

[@ki2446]

(2)はb>1ならaは偶数でも奇数でも成り立つんじゃないの？

[@つちぐも-e4c]

2018はマジでやばい

[@studyforuts1290]

誘導無しで解いたで

[@たまぱす]

自分は(3^k+1)、(3^k-1)が同時に4の倍数にならない事を示して、3^k-1が4以上の時絶対にどちらかは素因数に2以外を持ってしまうのでk＜2からk=1のみである事を示して最終的にa,b=(1、1)(2、3)を証明しました。細かい所は大分省きましたが、大体他は分かると思います。

[@アユレナノ]

中3なんですけど、 aが偶数→3^2lになるから2乗-2乗の形になって、A+Bは正だからA-Bのほうから攻めれないかな〜とか思ってたらほんとにその方針で進めてて感動(逆にそれしかわからない)

[@古田真-h7u]

aを操作　何で聴きたくないのだろう！ mod 3 4 のたるの！　３０分で解けるかなあ ３の階乗関数２の階乗関数 27以上なら 脳の感知能力って興味深いなあ 前提が30分で解ける １）2)はa bが整数で解けるか！ mod 4は辿れる 2kが忽か　消えるなあ！ ２と３の寓意か？ ちょっと全体図が見難いなあ！ 問題を作る人の普段が見えるなあ？ ちょっと操作を整理する側に立ちたいね。

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

誘導があるとだいぶ解きやすくなる！ センター型の誘導はめっちゃ嫌いだけど笑

[@excelxia6401]

mod1088をとるとb>=6では解が存在しないことがわかる。なのでb=6ではmod64でaが16の倍数、mod17で解無しが言えるというだけです 64を考えたのはは1ずれの63が9の倍数だからとったので自然な発想かなと思います

[@捻くれ者に人生頑張れを届け]

あ、理系のやつ見てた…

[@好きライダー]

0:16 呼ばれない山形

[@まるまる-p5c2v]

泣いた　from山形

[@kou0227]

積サーでやってた

[@qitaij5770]

声が工藤新一に似ている

[@デルフバンビラ]

すごすぎる、

[@DrPodon1]

サムネだけ見て考えてたら（２）まで終わってた 誘導やったんかｗ　誘導いらんな

[@うしーゅー]

14:14のとこから3のけー乗が整数なので連続する偶数で2しか約数に持たないペアは2と4だけだから的な記述でフィニィシュあり？

[@あせあんめすこすーる]

それ、東進の過去問講座の開設授業で言ってたけど、時間ないなら仕方ないっていう感じの解答らしい。

[@SaSa-yh7cx]

なんか急にオススメに出てきたから視聴してみたけど、modっていうのをそもそも初めて聞いたから、理屈が分からなかった。 元々、数学は得意じゃなかったけど、modていうのは割と知ってるのが普通なのかな？ 高校卒業したのが結構昔ではあるけど、習ってないのは間違いないから、そんなのあるのかとビックリした。 難関高校とか難関大学の対策してるような塾とかだと教えてるのかな。

[@はやぶさ-v2j]

個人的に整数問題ではkを使って置き換えることが重要だと思う

[@tsubasaochi]

指数を消すか👍👏👏👏

[@さき-d5e]

東北大を25年前に卒業したけど、解けなかった

[@クロちゃん-i4i]

あそ

[@クロちゃん-i4i]

誰も聞いてなくて草

[@ハンチョウ-p9j]

@@クロちゃん-i4i あの、僕が聞いてたんで猿は帰ってください(^_^;)

[@クロちゃん-i4i]

@@ハンチョウ-p9j 人の自慢が大好きなんだね‼️ いいと思うよ‼️👍

[@ハンチョウ-p9j]

@@クロちゃん-i4i なんか、開き直ってるけどどした～🤣🤣🤣🤣 ノリノリで煽ったのに口挟まれてくやちーねー😆😆😆😆

[@nh2750]

mod8だとかなりらく

[@大好きピーナッツ]

連続する三つの数の1番目と3番目がともに、2の倍数だからで、一発じゃね。知らんけど

[@たっきぃ-d1d]

(2)ってこれで正解？？？ 題意が示せていないような...

[@ヌートリア-b1k]

文系かと思ったら理系か、練習にはちょうどいい問題かもしれないですね

[@gumi8778]

⑵a奇数⇒b＞1不適 a偶数⇒b＞1成り立つ はわかるんですけどこれが十分であるという理屈が理解出来てません。誰か教えていただけないでしょうか

[@gumi8778]

@@gj8076 めちゃくちゃ分かりやすい丁寧な説明ありがとうございました👍 [大事なことは十分条件であることではない]ことを見落としていました。 ありがとうございました🙇

[@gina-sv6dk]

これやってたから京大本レの整数出来た

[@アクアトり]

これ積サーで誘導なしでやってた問題だー。

[@よむぎ-o6w]

本番でこの問題出たけど(1)しかできなかったっけ

[@ポンキチ-n2o]

積サーで見たやつ！

[@tomo2808]

誘導無しで解けました。入試本番を意識して記述するとなるとどう解答するだろうか。 追記 (1)はグラフ書いて考えました。

[@モウリーニョ信者]

なんか中田敦彦みたいな話し方してるね

[@荷田春満-g3c]

とりあえず、山大忘れられてるの草

[@TIKUWA_TIKUWA_]

積〇サークルの誘導なし二次試験の2回目この問題やったな

[@勉強頑張るマン-k1j]

整数問題いつも記号多くて求めるところ忘れちゃう😓😓

[@pona201]

p＋q=3が成立することでもできそう

[@_newby_geek7219]

エクストリーム大学入試！ 東北大学、指数×整数問題へーん！ ついに来た！ 登録者数400万人くらい行きそうな挨拶

[@176nerimar4]

サムネ見て「自然数範囲なのは自明なのに証明させるとか意地悪な問題だなー」って思ったけど誘導だったとは。

[@かめとう-h7n]

これ基礎なんか、