【超有名問題】４種の解法で解けたら【偏差値75超え】

[@user-fb9rl2lz8s]

ありがとうございます今はわからないですがいつか出来るように頑張ります

[@yuyuyyyuyyy]

a^2 = b^2 +c^2ていう条件から直角三角形を連想して、sin、cosが使えそうだと考えることができました。 三角関数の問題ではなくても、直角三角形がでてきたときや、円が出てきたときはsin、cosで置き換えるとうまく行くことが多いから受験生知っとくべき！

[@早河一郎]

線形計画法は工業数学ではよく使われますが、制約領域が円でなくて凸多面体になるのが普通なので、このような応用は新鮮でした。

[@ジョン永遠]

いやいや線形計画法というのは最適化したい関数も制約式もすべて1次式のものをいうから．円は2次式なので問題の範疇としては非線形計画になります．

[@MrYutorist]

絶対値外す時と二乗するときと文字でかけ算する時はかなり注意してる

[@jif7707]

超良問！そしてすばるさんの解説がすごくわかりやすい 4個どころかもっとたくさん解法ありそう

[@Hiro-ke5th]

さすがパスラボ高校数学を思い出すううう！ありがとうございました。

[@abc5286]

【パターン5】必要条件から導く まずはaを消去して、b,cに関する不等式にする。 この不等式が常に成り立つなら、b=cの時も成り立つ必要がある。つまり、k≧√2 の時に成り立つ必要がある。 ここで、(√2√b^2+c^2)^2-(b+c)^2=(b-c)^2≧0であるから、k=√2の時には十分に不等式を満たす。したがって、求めるkの範囲はk≧√2

[@人生は保守や]

kの最小値は√2というのは十分性もありますがk>√2で成り立つかはわからなくないですか…？

[@abc5286]

⁠​⁠​⁠​⁠コメント欄なので説明不足でしたが、k>√2の時は、a>0より ka>√2a なので、 ka>√2a≧b+c で自明に成り立ちます。もちろん大学入試本番ならココまで記述する必要があります。説明不足ですみません。

[@rpha._.]

数学系の動画全部再生リストにまとめて欲しい、、、

[@わかばタートル]

受験生のころ、こういう問題では答えに目星をつけ、逆算して解答を作っていました ・点(b,c)の集合をx座標上で書くと、どうせ答えは√2であろうと目星がつく 　(図で証明は論述が面倒なので答案用紙には書かない) ・b+c >= √2a を式整理すればいいことがありそうだ 　→最終的に(b-c)^2 >= 0 になった ・式整理を逆に辿れば (b-c)^2 >= 0 から b+c >= √2a を導出できる！ 　b = cで等号成立するので確かに答えは√2

[@astronaut3785]

僕のとき方 b,cは正 b+c>=2√bc(等号成立条件b=c) つまりb+c=2√b^2だから b+c=2√b^2=

[@opopo_dog]

最初は全く自力じゃとけなかったですが、毎日見ているうちに気づいたらサムネを見て色々な問題を自力で解けるようになっていました！これからもお世話になります！

[@user-o-by-Shanks]

半径1/2のある円に内接する直角三角形について、円の直径とならない二辺の長さの和の最大値がkの最小値だから、三角形が直角二等辺になる場合を考えて√2だと直感的に解きましたが、これは解法3に限りなく近いんですよね

[@dm20-rits]

思いついた順で書くと 三角関数の媒介変数表示、基本対称式、円と直線の位置関係 の解法が思い浮かんだけど、あと一つをこれから見ます！

[@user-tz4hs7zs5m]

すごいトリッキーな方法としては b^2+c^2=a^2の両辺を2倍して(b+c)^2+(b-c)^2=2a^2と変形すると (b+c)^2=2a^2-(b-c)^2なので最小はb=cのときとわかりk=√2とわかるという方法があります。 これは、裏で45度回転を考えた方法です。 他の方法としては条件式に対して相加相乗平均を使って a^2>=2bcとなるので両辺に元の条件式を各辺に足して2a^2>=2bc+b^2+c^2=(b+c)^2となるので b=cで等号成立していることを考えるとk=√2とわかるというやり方もあります

[@takapyoon706]

パターン1で解いたけど三角関数のやつは好きw

[@zemmai]

三角関数使うの美しすぎる

[@i-like-nuko]

1 b=acosθ,c=asinθ 2 円と直線の距離 3 1文字消去からの相加相乗 4 コーシーシュワルツ と予想 (追記) t=b/cとして1変数化

[@mt.cassino8299]

初見はパターン4で考えましたけど、三角関数の方が記述が明瞭になりますね 参考になります

[@dsk3867]

今回一つだけだけど初めて相加相乗平均の解き方でできました 三角関数の解法は思いつきませんでした...2年後までに解法たくさん覚えられたらいいな

[@user-je9yh3ei2g]

円の解き方感動しました！

[@レベル100コモルー]

b＋c≦ka 与式は a^2=b^2＋c^2 =（b＋c）^2-2bc...① とできる。ここで相加・相乗平均の大小関係から b^2＋c^2≧2bc(等号成立はb=c) ∴a^2≧2bc...② ②を①に代入して a^2≧（b＋c）^2-a^2 ⇄2a^2≧（b＋c）^2...③ ここで b＋c≦ka を満たすとき a,b,cがいづれも正よりkも正であり （b＋c）^2≦k^2a^2...④ ③は相加・相乗平均の大小関係から導かれたため、③④の右辺を比べると 2a^2≦k^2a^2 が常に成り立つことが分かる。 ∴k≧√2...(答) ①文字を減らす②出てくる文字が全て正 の観点から二次関数の変形をしていく形で解いてみました！

[@vmc4902]

これbとcの基本対称式と見て実数条件で絞ってもいけるね

[@Sharon-cf1bk]

パターン1とパターン2の組み合わせで解きました 1+2bc/b^2+c^2≦k^2までは同じで、ここでt＝b/c(>0)とおいて、左をf(t)とおいて数lll微分

[@Sia-Ferox]

条件からaは直角三角形の斜辺だってわかるから、両辺をaでわる （b/a）+（c/a）≦k ここでb/a＝sinθ、c/a＝cosθとおけるからあとは合成して最大値求めて解きました。パターン③かな？

[@shadie520]

パッとみ線形計画法みたいに解けるかなと思ったけど変形が必要なのかぁ 二次関数にするのも気付けなかった

[@y.-_-.y]

a²=b²+c²が半径aの円を連想して、b+c=lとして線形計画法で解くと lが最大値をとるのは(b,c)=(a/√2, a/√2)のときで、このとき、l=√2a これより、b+c≦√2aなので、係数比較して k=√2

[@t1212034]

最所に思い付いたのはパターン4の亜種ですね。違うのは横軸をb、縦軸をcにしaを定数と見なして半径aの円を描く、問題の不等式も同じくbc平面上に1次関数（）として描く（傾きは-1）。あとはご想像の通りです。 2つ目はパターン3です。ただ円周角の絡みから思い付きました。 これが40のオッサンの精一杯な力。もともと代数学的に式変形でゴリゴリ解くのは苦手ですが、逆に今の学生は複素数でも幾何学的に解くのが苦手のようですね。 z^6＝64を解け、という問題でも因数分解でゴリゴリやるのが主流のようですね（自分なら問答無用で単位円6等分）。 最初に式変形の解法がでたときそんな背景かと思いました。

[@poteton]

問題見た瞬間ブラッキーが思い付いたけど すぐエーフィでいいやんってなった。 1個目2個目も大事そうなので 覚えときます！

[@畳百人]

b^2+c^2=a^2 (a,b,c>0) は直角三角形の各辺を辺とする正方形の面積の和が同じということ b+c が最も長くなれる三角形は直角二等辺三角形だから b=1,c=1の時 1+1=a^2 ∧a>0 ∴ a=√2 1+1≧k√2 より？ 歪だけど最終的にやりたいことは三角関数と同じ？

[@サッカーサッカー-h6q]

共通テストまでに数1Aの集合のとこと分散のとこ曖昧なので動画出してもらえると嬉しいです。

[@みかん-p2e8l]

共通テストのレベルの問題なら青チャートで十分だと思います。

[@yugo9061]

@@みかん-p2e8l この当たりの範囲は確か問題が結構少ないし難易度も優しすぎるからかもですね〜(チャートじゃない勢)

[@あげ-i7m]

パターン1ですかね。スクショタイムがすごいありがたかったので毎回やってほしいです。

[@user-ol4qf5re9s]

既出ですが、 斜辺aの直角三角形を4つ組み合わせて 一辺b+cの正方形を作ります。 (この正方形内には、一辺aの正方形が内接しています。) b+c≦ka ⇔ (b+c)/a≦k より、 kの最小値 = (b+c)/aの最大値 ⇒ aが最小のとき、(b+c)/aは最大 図形より、aが最小のときb=c このとき、小さい正方形の対角線√2aが 大きい正方形の一辺b+cと一致する。 ∴√2a=b+c≦ka ∴√2≦k

[@GRCReW_GRe4NBOYZ]

4パターンの解法、全部今までやってきた例題で触れたのに、解説されるまで気が付かなかった😭 要復習です笑笑

[@石井隆-m2p]

どちらも同次形なので、a>0 より　(b/a)^2+(c/a)^2=1 , b/a+c/a=k b/a=x , c/a=y とおけば、x^2+y^2=1(x>0,y>0) , x+y=k ①判別式 ②点と直線の距離 ③接線は半径に垂直 ④sinθ , cosθ ⑤ベクトル　(1,1)と(x,y)の内積≦(1,1)の大きさ×(x,y)の大きさ ⑥コーシー・シュワルツ　(⑤と同値)

[@石井隆-m2p]

⑦y=√(1-x^2) を代入し、増減表(数Ⅲ)（一番面倒）

[@youbenkyo2989]

偶然なのか実力が上がったのか、簡単に解けてうれしい！ b/a=B, c/a=C (B, C>0) としてみたら、B^2+C^2=1, B+C≦ k となって、あとは第一象限に図を描いて、図形的に処理しました。（動画内のパターン4） おそらく記述がボロボロなので、いい記述方法があればご教授お願いします。 一番好きな解法は、三角関数での置換です。

[@YouTubeAIYAIYAI]

備忘録60G" 【 (絶対不等式) 常に f(x) ≦ k ⇔ ( f(x)の最大値 ) ≦ k 】 同次形に注意すると、条件より b/a＝ cosθ, c/a＝ sinθ ( 0 < θ < π/2 ) とおくことができて、 (✻) ⇔ 常に、cosθ＋sinθ ≦ k ⇔ ( cosθ＋sinθ の最大値 ) ≦ k ･･･① ここで、 cosθ＋sinθ ＝ √2 sin( θ＋π/4 ) の最大値は、θ＝ π/4 のとき √2 だから、 ①より、√2 ≦ k . これを満たす k の最小値は、√2 ■

[@ma-jw4yk]

パターン3の三角形を4個くっつけると一辺b+cの正方形の内部に一辺aの正方形が含まれたような図形が出来る。 内部の正方形の対角線は外側の正方形の一辺より小さくなることはない。 すなわちb +c≦√2a。等号成立はb＝c（直角三角形）のとき。

[@ma-jw4yk]

直角二等辺三角形でした。

[@P助-t4w]

三平方の定理の形だから、直角を挟む2辺bcの和が斜辺aのk倍と捉えて、その上で常に成り立つ最小のkだから、斜辺の長さが最小になる時のkを探せば良いと考える。 ここで、逆に考えて斜辺の長さがaの直角三角形の他辺の長さを変えることを考えたとき、b＋cは図形の対称性から、b＝0、b＝c、c＝0の時に極値を持ってその間は単調変化と考えられるから、この３箇所を見比べて、b＋cが最大となる直角二等辺三角形の時にkが最小となると考えられるので、最小のkは√2 って説明じゃだめかな？ 単調変化の証明がいるかな？

[@パテマテ]

やや論証不足ですが、 中3の三平方の定理から解けそうな気がしました。 式から斜辺がaの直角三角形になりますよね。 この条件下で最大となるkを求めれば、常に成立すると考えました。 kが最大になるのはb＝cのときで直角二等辺三角形でそのときのkは√2

[@MrFellow1982]

①解法の道中、割らずに右辺-左辺の形で (k^2-2)(b^2+c^2)+(b-c)^2 として導くほうほうが最初に思い付いた …平方完成で大丈夫なのか？

[@たのたの-u2j]

えっ？ 良問やん。 先生の例えで年代がバレる パターン4は、ちょっと難しくなると、存在条件とか、同値変形とかめんどくさそう。 パターン④変態解 パターン④で変形したものを、対称式に置き換える。 解の存在条件とか必要になるが、勉強になる回り道。

[@ゆち-p9s]

パターン3がすごかった…

[@b-boy21]

三角関数、基本対称式、aを消去して予選決勝法、コーシーシュワルツと予想

[@tonaiSE]

x=c/b>0とおいて、f(x)=(1+x)/√(1+x^2)の最大値をゴリゴリ脳筋微分で求めると最大値f(1)=√2を得る。 よって、kの最小値は√2 これが1番簡単かな。

[@최현수-l1w]

오늘도 잘 보고 갑니다!

[@yumasu4585]

2年前の動画ですが…。 私は直角三角形を考えました。∠Aの対辺をa、∠Bの対辺をb、∠Cの対辺をcとします。BCを直径とする半円を考え、その円周上に点Aを取れば、∠A=90°の直角三角形を作ることができ、a²=b²+c²をみたします。b+cが最大になるのは、対称性から△ABCが直角二等辺三角形になるときで、このときb+c=a/√2+a/√2=√2aなので、k≧√2であれば、つねにb+c≦kaが成り立つ、と考えました。

[@ドスキリン]

ベクトル(1,1)とベクトル(a,a)の内積で考えた。いわゆるコーシーシュワルツ

[@グランデザインの弟子になりたい]

昨年の早稲田の商学部の問題に似た傾向がありました。相加・相乗平均では解けないけど線形計画法では解けるって問題がありました。

[@tofu_pkmn]

僕はグレイシアがブイズの中で一番好きです

[@ジョージアブラック-i1s]

三平方で考えて三角形の斜辺とその他の辺の合計との差が一番小さい三角形ならkの値は最小になるので1:1:√2の三角形を用いてa、b、cに代入して1+1≦k√2で最小のkは√2になるのかなぁと思ったら答え一緒だったんですけどこの方法で解けたのたまたまですか？

[@ひま-n2c]

三角関数の応用で感動したわ｡

[@カイン-f6y]

時間がないから、今パッとみて思いついた解法を書いときます。　 ①十分条件から絞る ②三角関数の関係式がつかえるように置換する ③内積利用　 ④変数を減らして、２変数関数に帰着 もうちょいある気がするけど自分はパッと見，これぐらいしか思いつかない

[@カイン-f6y]

これって，aを消して、凸関数で視覚的にもできるのかなぁ…

[@カイン-f6y]

相加相乗平均でもいけました。　 四種類やった中では、三角関数の置換が一番綺麗で好き

[@orx-0053]

証明は出来てないけど見た瞬間に答えは分かったわ(自慢) 条件からa,b,cはaを斜辺とする直角三角形の三辺 →頭の中でb=a,c=0からb=0,c=aまでウニョ~ンって動かしてみる →明らかにb+cが最大になるのは直角二等辺三角形 →よし！K≧√2だな！ う〜んこの()

[@たたたた-h3i]

東大の本家の問題をこないだやったばっかなのでパターン②で解きましたが、パターン③がめっちゃ面白かったです！ 聞いた瞬間声でました（

[@ああ-o8o6j]

パターン4凄い

[@mathseeker2718]

コーシーシュワルツをすぐ使いたくなってしまいます。

[@ikea9395]

遠回りだけどb+c、bcをおいて対称式と捉えて解きました

[@ネてル]

三平方絡みだなぁと思って直角二等辺三角形で√2になる

[@松川マナブ]

1だった たくさんやり方見つけるのすごいなぁ

[@gohasebe2923]

9:20 テロップの「Dが≦0」のとこが気になりました

[@kazusaka4063]

微分▪コーシーシュワルツ▪二次方程式の判別式で解きました。相加相乗についてはわかっていながらの利用できず。各要素の二乗を考える　b^2+c^2≧2bcてのは目から鱗！

[@yoke9162]

分数が表記できないので表現に悩みますがこんな解法はいかがでしょうか？ 対称性より b ≦ c とし b,c の 中央値を m, 中央値と b の差を n とすると b = m-n, c = m+n (m > 0, n ≧ 0) …(1) a^2 = b^2+c^2 の式の b,c に m,n を代入すると a^2 = m^2-2mn+n^2+m^2+2mn+n^2 = 2(m^2+n^2) (1)より解は正のみとなるので a = √2×√(m^2+n^2) …(2) b+c ≦ ka の式の両辺を a で割り b,c に m,n を代入すると (b+a)÷a = (m-n+m+n)÷a = 2m÷a ≦ k この式の a に (2) を代入すると 2m÷√2×√(m^2+n^2) = √2×(m÷√(m^2+n^2)) ≦ k この時 n は中央値との差であるため、この式を満たす左辺の最小値は b = c の時(n = 0) となるため √2×(m÷√(m^2)) = √2×(m÷m) = √2 ≦ k よって命題を満たす最小値 k は √2

[@ああ-q9q4c]

4:32までは自力で行けたけど、次数減らすところから答え見てしまった、、、九大いけるように頑張ろう🔥

[@るーもす-b3e]

宇佐見さんへ わたしは高校二年生です。高2の冬休みは何に重点を置いて勉強を進めていけばいいのか、計画を立てかねています。何かアドバイスもらえたら嬉しいです。

[@テンタクル]

4:17字数は下げられません。

[@山上幾良]

パターン１～３は出てきましたが、最後のパターンは出てきませんでした。代わりに、4つ目はコーシー - シュワルツの不等式を使って (b + c)^2 ≦ 2(b^2 + c^2) = 2a^2 から求める方法を使いました。 ちなみに、パターン4の線型計画法は数理計画法の誤りかと思います(円の方程式は線型ではないので)。

[@offihak8751]

予選決勝法過ぎった

[@れいしひとみ]

パターン1と三角関数は行けました。 　一応75の高校通ってますけど、やっぱり勉強さぼってたからかな……

[@そうせん-p7h]

コーシーシュワルツの不等式にルート被せたなぁ…やってる事は殆ど解法一と同じだけど

[@モノズ玄師-p7k]

定数分離して1文字消去して1文字固定して微分という手段しか出てこない

[@モンスト太鼓勢じゃっく]

三角関数だと瞬殺なのが面白いところですねw

[@しゃがれにしやがれ]

b,cのどっちかを固定して二段階の解の配置問題に帰着しても出来るんかな

[@あそう-t7v]

もしC ^2で割るやつ気づかなくてもCを文字固定してbの二次関数にしたりしてなんとか出来そう

[@しゃがれにしやがれ]

全く同じことしました

[@ひろ-i2s]

パターン3に感動

[@コウキ-d2h]

分子の次数を下げる手順を教えてください。お願い致します。

[@おつまみ-l9y]

(b^2＋c^2/b^2＋c^2)＋(2bc/b^2＋c^2)に分けて考える

[@Dr.Ks_Labo]

b,cに√と係数つけてちょっと意地悪した類題が東大でありましたね。 ベクトル(b,c)の内積、大きさを考えれば瞬殺です。

[@かべちょろ-n4j]

図形から考える方が簡単に思えるからどうしてもパターン４みたいな解き方に偏ってしまう…。

[@火火-h2f]

解法3が分からない、シータの範囲を元に考えるとルート２は最大値にならないですか？

[@青ペン-d5q]

最大値になるのはsinθ+cosθのほうで、kはそれより多くなるのだからkの最小値は√2ですよ

[@ヴォー-z5i]

3でやりました！

[@catalina7200]

パッと見た感じ、4を思いついて円なら媒介変数にできるなと思い3で解きました

[@コーギー-d6e]

ええやん

[@strmandola5484]

パターン4って2と3を満たす任意のx,yが1を満たすようなkの最大値を求めるということですよね。なんでこの方法で求まるかをちゃんと説明するのは難しいですよね。

[@ぬこぬこ-o3r]

所謂逆像法ですよね いつの間にか左辺の取りうる値を求めているという論理のすり替えが起きてる

[@遠名瀬茂氏]

ぱっと思いついたのはパターン4でした。b/a + c/a ≦ kにして左辺の最大考えればいいなと。

[@user-wl1fz5ev1v]

コーシシュワルツで解きました！！

[@user-nk5wy6iu3b]

8:56の軸が正になるのが、どうしてかわからないです。教えてほしいです。

[@電磁郎-d8k]

5つ目の解法は、コーシー・シュワルツの不等式ですね。(1✖b＋1✖c)^2≦(1^2+1^2)(b^2+c^2)=2✖a^2　となるので、a,b,cが正なら、両辺の平方根から b+c≦√2a が簡単に示せます。コーシー・シュワルツの不等式なら、3行程度で導けます。6つ目の解法は？。

[@abc5286]

コメントしてありますが、私は必要条件から導きました。(b=c つまりk=√2でも成り立つ必要があり、k=√2で十分成り立つことを確認)

[@gaccountnishio457]

一種類しか出てこなかっこンゴww

[@dekv-xv7pf]

パターン3が最初に思いついて1の解法見てたら2を思い付いた。

[@038ポリゴン]

最後の解法は上級問題精講に載ってたな

[@vocalist-shun]

25歳のボーカリストだけどパターン3、4しか思いつかなかった パッと見はパターン3を採用した

[@蒼天-y8q]

パターン1でした😄

[@user-zr4yk8nu4k]

多分解答に書くのはダメだけどb,cについて対称性あるからb≧cって置いたら暗算出来るレベルに落ちて嬉しい

[@taking660]

1やったあとに少し考えたら3思いつけて楽しかった

[@gobounokakiage]

全部思いついたけどやっぱり定数分離が機械的に解けるから好き

[@abc5286]

わかりみが深い

[@タンク猫-k1i]

aを斜辺とする直角三角形だからb＝cosθ、c＝cos(1/2π-θ)＝sinθとおいて解いた...それしか思い付かなかったわ

[@アーニャ-k7e]

パターン２については東京大学の1998あたりの第一問でも同じ考え方で解けるものがありましたね、文系は2変数を1変数に、理系は定数分離でゴリゴリの分数関数で解けるものがだった気がします‼️

[@mochaog]

パターン３でやりました！最大最小の問題で、単純な三角関数に置き換えられるとすごく範囲を狭められるのがうれしいですね▲

[@snowdrop369]

これってさコーシーシュワルツで瞬殺じゃね？（1＋1）（b²＋ｃ²）>（b＋ｃ）² ∴K²>=2 K最小値はルート2

[@閲覧用-g3w]

解けた後に気づいた。 同じ動画、数ヶ月前に見てたから解けたんだと。

[@振りむけば名無し]

絶対シュワルツあると思ったけど無かった