Comment paver un échiquier avec des dominos ?

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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Tipeee
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Bonjour à tous, en cette fin d'été je reviens pour une petite vidéo où j'effleurerai un thème souvent négligé dans la vulgarisation, celui de la physique statistique ! Mais pour ce premier épisode de ce que je pense être une série de deux ou trois, nous commencerons par un petit jeu combinatoire, celui de dénombrer les configurations de dominos sur un échiquier. Cela nous fera aussi faire quelques détours par des thèmes classiques de l'algèbre, avec les déterminants, les suites récurrentes, et quelques objets un peu plus exotiques, du permanent aux nombres de Grassmann ! Et de façon peut-être surprenante, on verra aussi des effets très mystérieux liés à la statistique des grands nombres...
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Plan:
00:00 Début
3:45 Énigmes introductives
14:05 Formalisation par les graphes et duaux
25:23 Graphes bipartis
26:20 Comptage et fonction de partition
36:40 Permanent de la matrice du graphe
42:20 Propriétés du permanent
49:45 Matrice de Kasteleyn
56:10 Déterminant d'une matrice tridiagonale et suite récurrentes d'ordre 2
1:12:10 Orientations de Kasteleyn
1:16:50 Preuve du théorème
1:26:20 Calcul du nombre de pavages de l'échiquier
1:55:10 Vérification avec un programme
2:02:15 Bases de la physique statistique
2:07:00 Energie moyenne d'une configuration de dominos
2:12:30 Formules de thermodynamique : énergie; entropie, énergie libre
2:20:30 Liberté moléculaire
2:30:55 Diamant Aztèque
2:38:50 Fonction hauteur
2:49:20 Théorème de Cohn-Kenyon-Propp
3:01:10 Probabilités de sous-configurations
3:11:50 Conclusion
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Références :
- Notes de cours AIMES de J. Jacobsen : www.phys.ens.fr/~jacobsen/AIME...
- Notes de cours de R. Kenyon : arxiv.org/abs/0910.3129 et arxiv.org/abs/math/0310326
- The coding fox : www.thecodingfox.com/interact...
- A. Borodin et M. Borodin : math.mit.edu/~borodin/aztec.html
- Vidéo de Mathologer sur le cercle arctique : • The ARCTIC CIRCLE THEO...
- Vidéo de Micmath : • La puissance organisat...
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Errata :
à 1:41:56 il faut évidemment écrire le vecteur X x Y et pas U x V.
à 2:12:07 il y a un "2" en trop dans l'exposant pour le calcul de l'énergie moyenne (merci à
yoann mery).

[@Lednnar1]

Je ne connais pas cette chaine et je n'ai jamais cliqué sur une de tes vidéos mais je sais pas pourquoi à chaque fois que je laisse la lecture automatique je tombe sur tes vidéos et ça fait plusieurs mois maintenant que je me réveil avec des explications mathématique farfelue, sincèrement je pense que l'algorythme m'a fait visionner tout le contenu de ta chaine au moins 5 fois déjà

[@ZobiLaMouche-vn2uq]

C'est du à l'algorithme algébrique discret polynomial, la courbure de x carré de téta Opel oméga vous a fait dériver sur la tangente de l'infini Il faut reformuler et renormaliser vos recherches sur youtubes pour sortir du logarithme qui vous a conduit jusqu'ici, de manière matricielle combinatoire pour ne pas revenir à l'origine du cycle

[@pocaudraphael6066]

Encore une très belle vidéo sur un sujet que je n'avais jamais vu traité ailleurs

[@antoinebrgt]

Merci !

[@kaweyimhippoclite5880]

Excellente vidéo. J'ai raté le direct mais je vais la suivre en retransmission. Merci pour le partage des connaissances. Beaucoup de courage surtout pour la suite.

[@antoinebrgt]

Merci beaucoup, et bon visionnage !

[@unpigquirush5206]

Mon gars tu me sauve la vie avec ton exo des dominos merci tu sauve des vies

[@antoinebrgt]

Je ne pensais pas que ça pouvait sauver des vies mais j'en suis ravi!

[@yoannmery]

Encore une excellent vidéo, merci Antoine, ça de fait plaisir de te retrouver après les vacances 😃

[@antoinebrgt]

Merci! Oui j'étais content aussi de pouvoir enfin refaire une vidéo!

[@yoannmery]

@@antoinebrgt Un truc qui serait sympa ce serait d'exporter les 3 ou 4 minutes de la fin quand tu résumes toute la vidéo pour en faire un teaser de la vidéo. Ca pourrait motiver ceux qui sont intimidés par la longueur de la vidéo. Ca ferait aussi une bonne révision quelques mois plus tard quand on a commencé à oublier :)

[@flo0810]

Excellente vidéo ! La physique statistique était en effet un suget très peu vulgarisé . Content d'avoir une vidéo à ce si passionnant suget!

[@antoinebrgt]

Oui, j’en ferai une un peu plus "physique" prochaînement !

[@flo0810]

@@antoinebrgt Super !

[@TT-jn9mv]

MERCI, vraiment MERCI BEAUCOUP pour cette EXCELLENTE vidéo !!!

[@antoinebrgt]

Merci à toi :)

[@pascalneraudeau2084]

Très intéressant, Merci encore. Là, il était question d'une portion rectangulaire du plan, On pourrait aller plus loin en considérant le plan complet et en utilisant un certains nombre de dominos pour créer un bloc-forme non troué ou alors étudier, dans un plan rempli à entropie minimale, les perturbations générées par 1 à plusieurs dominos. Et plus loin en remplissant une surface fermée comme une sphère. Et encore un peu en remplissant une boule. Argh, je m'emballe, mais c'est de ta faute aussi 😉

[@antoinebrgt]

Oui, tous ces problèmes sont intéressantset sont bel et bien étudiés ! Dans les références en description, certains sont mentionnés...

[@medrouabhi5699]

merci pour la présentation et excellent vidéo

[@fwd8936]

Excellente vidéo comme d'habitude! Merci pour ces vidéos très détaillées sur des sujets très peu abordés auprès du grand public, et toujours avec une présentation très élégante et visuelle de ces concepts. Très hâte de te voir généraliser ça pour revenir à une théorie statistique des champs plus formellement Petite question quitte à me spoiler les prochaines vidéos sur le sujet : la "très vaste théorie" dont tu ne dis pas le nom à la fin de la vidéo, c'est la théorie de la percolation?

[@fwd8936]

PS : c'est demander beaucoup mais est-ce que tu nous ferais pas un petit topo du même genre qui aille toucher à l'holographie et AdS-CFT? Ca parait impossible à expliquer simplement mais quand je te vois présenter ce genre de trucs de manière aussi claire je me dis que tout est possible

[@antoinebrgt]

Merci beaucoup pour ces commentaires ! Pour la très vaste théories, il y a certainement plusieurs interprétations possibles :) Ce à quoi je pensais est, d'une part, les théories conformes vue comme des limites de modèles statistiques comme celui-ci, et d'autre part, le formalisme de l'intégrabilité, avec les matrices de transfert et toute l'algèbre qui se cache derrière. Pour tout ça, le cours de J. Jacobsen que j'ai mis en lien est une très bonne introduction.

[@Coaching--vj6kx]

Ça fait du bien au cerveau.

[@ever_lord]

Je suis allé au bout \o/, mais bon j'ai lâché à un moment quand même :) D'où cette question qui me vient, soit pour une FAQ, soit pour une vidéo complète : Quels sont les domaines que tu as étudiés en fonction des années d'études, en commençant par la prépa (ou l'entrée à X) ? Je suis curieux de savoir comment se fait le cursus par matière et par domaine dans chaque matière, mais aussi peut-être hors cursus. Je suis ébahi par l'étendue de tes connaissances, est-ce que tout ingénieur généraliste est supposé en connaitre autant ou es-tu une exception ? Par contre, est-ce ton logiciel mathématique peut se régler en mode nuit ? Parce que quand tu passes de la tablette au logiciel, ça pique un peu les yeux. Merci pour tout ce que tu nous proposes ! (et respects/bravos d'avoir renoncé à la fortune si tu étais allé inventer des algorithmes dans le monde de la finance)

[@antoinebrgt]

Merci pour ce long commentaire ! Pour les questions génériques, j'ai déjà fait une FAQ où j'ai partiellement répondu à ces questions. Quoi qu'il en soit, ce que je présente n'est absolument pas connu de tout ingénieur généraliste, cela vient surtout des 10 ans passés à étudier les maths et la physique par la suite, et à l'inverse, je serais tout à fait ignorant sur la majorité des sujets que d'autres ingénieurs doivent maîtriser. Pour le mode nuit sur Mathematica, c'est une très bonne question, je n'ai jamais vu ça mais je pense que je peux le paramétrer ainsi pour les vidéos en inversant les couleurs, j'essaierai d'y penser la prochaine fois !

[@arnaudrivoira6242]

Super présentation, comme d'habitude. J'ai eu des petits problèmes de lancement de la vidéo au début. Peut-être dû à sa taille assez inhabituelle ? Pour le calcul des éléments propres d'une matrice tridiagonale T, il y avait aussi une approche assez naturelle consistant à écrire le système T * X = lambda * X avec X = x_1,..., x_N. On étend le vecteur avec des 0 en X = 0, x_1,..,x_N, 0 pour se ramener à une suite récurrente d'ordre 2. Pour avoir des solutions non triviales qui s'annulent aux bords, il faut des racines complexes à l’équation caractéristique, ce qui permet avec un peu de travail d'aboutir à la caractérisation de tous les éléments propres.

[@antoinebrgt]

Oui en effet c'est une autre façon de faire, pour les éléments propres! Quels genre de problème de lancement au début? La taille de la vidéo devrait être similaire à celle des précédentes...

[@arnaudrivoira6242]

@@antoinebrgt C'est resté bloqué un jour ou deux. De mémoire, l'écran était noir avec pour seul agrément visuel le petit logo de téléchargement.

[@yoannmery]

Bonjour, il y a un détail qui m'échappe dans le calcul de l'énergie moyenne et après (2:12:...) C'est : pourquoi le premier terme au numérateur (et au dénominateur) c'est 2 eps exp(-2 beta eps) et pas 2 eps exp(-beta eps) puisque il y a deux états mais avec chacune la proba exp(-beta eps) ? Merci !

[@antoinebrgt]

Effectivement, j'ai mis un 2 en trop dans l'exposant ! Merci, je l'ajoute aux errata :)

[@observing7312]

Ce qui m'a surpris c'est que la matrice de Kasteleyn va de l'espace des cases noires vers celui des blanches. Spontanément, j'avais imaginé faire une matrice qui allait de l'ensemble des cases vers l'ensemble des cases, donc deux fois plus grand). Est ce que c'est bien equivalent au produit tensoriel (@1h40)?

[@antoinebrgt]

Effectivement, c'est bien une matrice qui a une taille nm/2 * nm/2. Et pour que l'écriture de la matrice sous forme de produit tensoriel soit plus facile, je prends en quelque sorte deux copies de cette matrice, c'est pour cela qu'à la fin il faut prendre la racine carrée du déterminant. Je mentionne rapidement ces détails dans la vidéos mais je ne voulais pas trop m'étendre dessus pour ne pas surcharger la démonstration !

[@antoinebrgt]

(je mentionne rapidement ça à 1:36:40)

[@observing7312]

@@antoinebrgt du coup, info inutile, c'est comme un Hamiltonien quand je l'écris dans l'espace de Liouville Hl=H×I-I×H' (pour traiter la relaxation et la decoherence)

[@observing7312]

Super vidéo au fait, l'une des rares ou j'ai réussi à suivre du début a la fin :D

[@antoinebrgt]

@@observing7312 Super, merci ! C'était peut-être plus facile que d'habitude, ou alors c'est que j'explique mieux :D

[@pascalneraudeau2084]

ça me fait penser, tu n'aurais pas une petite idée personnelle sur pourquoi 3 dimensions ? moi je pense qu'elles se suffisent à elles même.

[@antoinebrgt]

Je ne suis pas sûr de comprendre, de quelles 3 dimensions parles-tu?

[@pascalneraudeau2084]

ben, celles qu'on a sous le nez, là où se meut tout ce qu'on touche, et qui "semblent" être au nombre de 3.

[@antoinebrgt]

@@pascalneraudeau2084 Mais il y a un lien avec la vidéo ?

[@pascalneraudeau2084]

​@@antoinebrgt Argh! pas directement, c'est vrai, mais dans notre quête de vérité il n'y a pas vraiment de 'sujet' puisque tout y est lié. C'est juste que j'ai l'impression que c'est une question essentielle... Ici même tu raisonnes dans une portion de plan. Alors, donc, qu'en penses-tu ? trois dimensions, c'est une illusion ou une nécessité ? mais surtout, pourquoi 3 ?

[@armand4226]

Pas d'accord : vers 11:13 si tu tournes le graphique de 180° tu te retrouves avec 2 dominos verticaux à gauche.

[@antoinebrgt]

Je ne suis pas certain de comprendre le désaccord ? En quoi cela affecte-il le comptage ?

[@armand4226]

@@antoinebrgt Et bien, vers 11:12 tu dis : "... ils ont la propriété de commencer par deux dominos horizontaux". C'est ce verbe "commencer" qui m'interpelle. Comme je dis, si tu tourne ton dessin, ça ne commence plus par les 2 dominos horizontaux. Veux-tu simplement dire, que les deux dessins entourés de jaune "comportent" (et pas commencent) deux dominos horizontaux ? Alors là, celui du milieu parmi les bleus, comporte aussi deux horizontaux. Attention je suis hyper nul en maths, et ça me désole. Merci pour ton retour.

[@antoinebrgt]

@@armand4226 on choisit (arbitrairement) une orientation pour la ligne, disons qu'elle commence à gauche et finit à droite. Et alors on peut faire ce raisonnement. Ton raisonnement serait valide si on cherchait à dénombrer le nombre de pavages à symétrie près, par exemple, mais ici ce n'est pas le cas (deux pavages différents reliés par rotation de 180 degrés) seront comptés comme deux pavages distincts.

[@armand4226]

@@antoinebrgt Ta dernière phrase m'éclaire (enfin) 😄. Je suis un peu "lourd" en maths, et je cherche souvent plus compliqué que ça ne l'est. Merci pour ta disponibilité. Bonne journée et profite de ton don des maths (que j'aimerais tant avoir 😭.