【第2回 ガロア理論への道】 群

こんにちは！マルチーズ先生です。一緒にガロア理論のストーリーを理解していきましょう！
第1回 ガロア理論への道　置換
• 【第1回 ガロア理論への道】 置換
【マルチーズ先生のやさしい東大数学】
高校レベルから大学レベルまでの、面白そうな数学の問題を、週3回、火曜・金曜・土曜の19時配信予定。
数学パズル講師　マルチーズ先生
地元の県立高校を卒業後、東京大学理科いぬ類に入学。犬として初めて、東京大学大学院工学系研究科を卒業。現在は、大学入試問題過去問、積分問題、図形問題その他について、高校レベルから大学レベルまで幅広く扱い、youtubeで動画配信中。趣味は散歩とフリスビードッグ。

[@wswsan]

ここら辺の定義を理解しておかないと後々詰む気がしてきた

[@user-vx7ki9ul2o]

置換の集合が群になっているかについて、本来具体例だけ示すのは証明になっていないのですが、逆に「置換とはA={1,2,…,n}(nは自然数)を定めたときの、AからAへの全単射である」とすると、今度はほとんど自明になって理解できる程度に説明できないのが難しいところですよね。 他の方法として、置換は互換の積で書け、任意の互換の積は置換になることを考えると、演算の閉性は言えますね。また、互換は自分自身が逆元になることを考えると、置換の逆元は互換の積を逆から並べればよいですね。となると難しいのは結合法則でしょうか？

[@user-we9lp7lh4t]

そうですね。n次対称群はすべての置換の組み合わせが含まれているので、自明なんですよね。高校生の視聴者も意識して、そのようなコメントは述べず、具体例で示すようにしました。

[@vacuumcarexpo]

「二項演算」というワードは、二項の演算なら何でもいいワケじゃなくて、閉じてないと言えないんですか？

[@user-we9lp7lh4t]

二項演算は、集合Aに含まれる２つの元の演算結果が、集合Aに含まれることを言います。つまり、閉じている必要があります。

[@vacuumcarexpo]

@@user-we9lp7lh4t ご返信ありがとうございます。 PCのプログラミングなんかで言うところの「二項演算子」の「二項演算」、つまり、＋＋（インクリメント）などの単項演算に対する「二項演算」とは違う概念なんですね。こっちは別に集合的な話は関係なく、「2つ」である事しか言ってませんからね。

[@sinuture]

もしかしたらサムネイルに間違いがあるかも知れません． サムネイルだと，∀a, ∃e などとありますが， 正しくは ∃e, ∀a だと思います． 同様に，04:09 の説明では 「任意の a ∈ G に対し、 ae = ea = a となる元 e ∈ G が存在する。」 とありますが， 「任意の a ∈ G に対し ae = ea = a 、となる元 e ∈ G が存在する。」 あるいは， 「「任意の a ∈ G に対し、 ae = ea = a」となる元 e ∈ G が存在する。」， 「元 e ∈ G が存在して、任意の a ∈ G に対し、 ae = ea = a となる。」 などとすると意味が明らかになると思います． 自分の考えに間違えがあれば，指摘していただけるとありがたいです．また， 04:09 の説明に関しては，その部分だけを読んでしまうと意味が曖昧であるというだけで文脈や説明の仕方からして，間違いようがないにも関わらず，重箱の隅をつつくような，杓子定規の指摘をしてしまいました．ただ，元々動画の質がとても高く，この先多くの方の目に触れむからこそ，この一点だけ見過ごすに忍びないと考えました．

[@user-we9lp7lh4t]

ご指摘有難うございます。サムネイルが目に留まるのは一瞬だと思いますが、ご指摘いただいたことに感激しました。（サムネイルは変更済）勉強になりました。