Démonstration du théorème des accroissements finis

[@starxs361]

Merci beaucoup, votre démonstration est bien mieux expliquée que celle dans mon cours :)

[@ManelMateoiglesias]

Bonjour, je n'ai pas compris pourquoi on peut dire de g(x) est continue ? Super vidéo sino :)

[@drisskhalil341]

Video incroyable j'ai qu'une question comment on a su a quoi egal G(X) ?

[@vector7669]

On définit g(x) de façon à vérifier le théorème de rolle. Pour ce faire il faut que g(a) = g(b). En soustryant à f la droite linéaire qui relie (a,f(a)) à (b,f(b)) donné par y = (f(b) - f(a))/(b - a) *(x-a)+ f(a) on obtient une fonction g telle que g(a) = g(b) comme prouvé rigoureusement ensuite.

[@micheltanguy4901]

Reste la question fondamentale, comment prouver le théorème de Rolle 😂 Parce que se ramener à un théorème qu'on admet, je n'appelle pas ça prouver 😂

[@micheltanguy4901]

Si je me rappelle bien mes cours de primaire, on dit que soit la fonction est constante sur [a,b] (auquel cas la dérivée est nulle partout d'où l'existence du fameux c), soit elle il existe un point où elle est non nulle, donc il existe un maximum ou un minimum dabscisse c, et puisque f est continue, la dérivée a gauche de c est positive et négative à droite (ou l'inverse), donc par continuité de la dérivée (il faut donc non pas f dérivable, mais f C1 ? !?) on a d'après le théorème des valeurs intermédiaires que f'(c) =0. Pouvez vous confirmer la démarche svp, ainsi que me préciser si f doit bien être C1 (soit de dérivée continue) svp ?

[@vector7669]

J'aurais effectivement pu prouver le théorème de Rolle (voir fin du commentaire pour la preuve), mais il est basé entre autres sur le théorème des valeurs extrêmes, qui lui-même se base sur le théorème de Bolzano-Weierstrass, et j'omets là-dedans évidemment beaucoup d'autres théorèmes qu'il faudrait utiliser avec rigueur. Donc si tu estimes que l'on ne peut jamais prouver un théorème sans en utiliser d'autres, je devrai refaire un cours d'analyse complet dans chaque vidéo. Ici, je montre seulement le passage Rolle -> TAF, qui est intéressant dans l'idée de la preuve, mais qui n'est conceptuellement pas très enrichissant je suis d'accord. Le théorème de Rolle suppose seulement que la fonction est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[ (c'est pour ça que j'ai donné ces hypothèses pour le TAF, qui servent en fait au théorème de Rolle). Donc non, pas besoin que la dérivée soit continue. D'ailleurs, dans mes souvenirs le théorème de Rolle est prouvé en deux lignes en utilisant le théorème des valeurs extrêmes et le théorème de Fermat "extremum local => f' = 0". En effet, f continue => atteint des valeurs extrêmes dans [a,b] et puisque f dérivable => f'=0 en ces valeurs via le théorème de Fermat Donc encore une fois tout réside dans ces deux théorèmes. J'ai d'ailleurs démontré le théorème de la valeur extrême dans une autre vidéo