東大卒のもっちゃんと数学Vol.7 加法定理を証明しよう（東大過去問）

[@yobinori]

きいた、画面から切れてるのに全力の自己紹介やってて草

[@kantaro1966]

「でかけりゃ偉い」という命題が否定された。

[@user-mx8mw7kd3h]

いっつも偽物いて草

[@itumimori9453]

粗々ですが、僕の考えた証明。 分かりやすさの為、βを鋭角とします。 点P(x,y)を原点Ｏの周りにβだけ回転して得られる点をr(P)と書き、その座標を求める事を考えます。一般の（x,y)では難しいのですが、次の場合は、幾何学的に容易に求められます。 　　①r(1,0) 　②r(x,0) 　③r(0,1)　 ④r(0,y) さらに、Ｐ(x,y)からx軸、ｙ軸へ垂線を下して長方形をつくり、その長方形をそのまま、βだけ回転した図を考えれば、「座標の平行四辺形の法則」（四角形OABCが平行四辺形の時、点Cの座標は、点ＡとＢの座標の成分ごとの和）に注意すれば、「r(x,y)の座標＝r(x,0) とr(0,y)の成分ごとの和」と分かり、r(x,y)をx,y,βで表現できます。後は、(x,y)＝（cosα,sinα）とすれば加法定理が得られます。 ざっと、こんな感じの証明ですが、加法定理の証明は、教科書では余弦定理を用いたり、テクニカルな証明が多く、「どうして、その問題を考えるのか？」とか、「どうして、そう考えるのか？」、動機づけ不明な証明が多い様に感じます。それで、上の様な発想は、問題意識が先ずもって自然だし、たぶん、東大が、こういう問題を入試に選んだのも、「教科書はともかく、こういう自然な見直しがされているか」を問いたかったから？と、僕は考えていますが。 （長い文章になってしまい誤字・脱字があったら、申し訳ありませんが、「適当な忖度」をお願いします）

[@PRISMBIOLAB]

正則連分数展開女キターーーーーーー

[@kamui7741]

行列知っている人なら、 角度αだけの回転行列と角度βだけの回転行列を掛けてみる。 その後に角度(α+β)だけの回転行列を別に書いて、両者を比べてみると面白いですよ。

[@山川-w5s]

もっちゃんと一緒に学べるので、本当楽しいです！！ありがとうございます😊

[@tootsieroll9192]

ここでもっちゃんが「加法定理なんてベクトルの内積使えば一瞬で証明できますよ」と解説を始めたら面白いｗ

[@usar-xx1uk4pp9h]

天才文系少女のやつでしたっけ？ あれみたいですねそれw (こそあど多くてわからんくなるやつ)

[@haipa7284]

この動画見て思ったけど斜辺分の底辺とかじゃなく、最初から単位円での三角関数の定義を教えた方が良さそう

[@tpk9038]

加法定理はベクトルで示すのが好き

[@kamui7741]

多分一番スマートかも。

[@pcphn7975]

一次変換

[@DOM-bf8yq]

冒頭の身長が指数関数のグラフみたいになってて草

[@foxj2572]

例え方ワロタwwwwww

[@あんこレアチーズケーキ]

上によく見たらサインカーブあるしな

[@xy2242]

@@あんこレアチーズケーキ 極値2個の3次関数かも笑

[@naoyasano4370]

野口悠紀雄さんは、「超」勉強法（講談社）の１６２ページでsin(α＋β)の独自の導出法を紹介している。

[@Nanaashi-d6e]

丁度加法定理の証明でドモアブルの定理使えないって言うのを聞いて、なるほどなって思ってたんですよ。タイミングよく順当な証明解説ありがとうございます

[@lef-1025]

cos(α-β)しか知りませんがベクトル使う証明一瞬で好きです

[@tasksabwy_pad]

ヨビノリのTシャツのセンスが良ければ高評価押してた……

[@mips70831]

私も最初に加法定理の証明を習ったのは２番目だったような。最初の証明を知った時は目からウロコでした。 さて、もっちゃんと数学、段々とレベルアップしていきますね。いったいどこまでいくんだろう。

[@小野賢一郎]

二番目の図形を使った証明がパズルみたいで見ていて楽しい！

[@einstein0021]

公式の証明シリーズ毎回楽しんでます

[@kantaro1966]

ありがとうございます。

[@prince_ITOIGAWA]

杉山さんに教わったという証明の図ですが、灘中の問題で似たような絵を見たことがあります。確か求められてるのはtanの部分だったと思いますが。、、、なんと、tanの加法定理は小学校の知識で導けるらしい。（も「おなかすいた」　貫「小学生かよ」　草） もっちゃん頭いいけど三角形の向き二回も間違えるなんて、車の運転はやめたほうが、、、右車線から左折したり、右折車を右から捲くるタイプよ。

[@naoyasano4370]

加法定理は、かつて、秋田大学で出題されたベクトルの内積を使った問題（チャート式　代数・幾何の３２ページの試錬３５）が最も分かりやすいように思う。あと、一次変換（チャート式　代数・幾何の２１０ページの主題１３６）の使用例も分かりやすい。

[@yamayama1351]

1999年東大入試の問題は(1)一般角ΘについてsinΘ、cosΘを定義せよ という小問ありきの加法定理の証明問題ですけどね

[@たす-j3k]

どう定義するのが正解なんですか？

[@yamayama1351]

どう定義するのが正解、ではなく その定義に従って加法定理を証明しなければならないということです

[@yamayama1351]

なので余弦定理の証明なし使用もおそらく認められない厳しい問題です

[@OKOmi3]

「おなかがへりましたぁ」とか可愛すぎてほんと草

[@nekoneko3523]

99年東大で1番（1）がこれで頭が一瞬真っ白になった思い出 2番が数学的帰納法 3番が計算だけの確率だったのでそっちを先にやって後回しでした

[@あう-l1c]

今独学で数IIやってるけど教科書よりわかりやすくてありがたいです

[@TK-vg3pb]

ファミレス店員、回を追うごとに賢くなってて大草原。

[@ginza69gmail]

誰が加法定理？

[@渡辺樹-z5y]

ショートカットのもっちゃんも素敵(*´∇｀*)

[@oyabakadou]

もっちゃん頑張れ（二つ目の証明の途中）

[@数人-y1d]

貫太郎さんが少しキレてるけどその怒り方好きやわ。

[@私-s3v]

もっちゃん髪型新しくて洋服爽やかですごく可愛い👗☃️ たくみさんモノケシがケースに笑

[@carlossantiago2830]

22年前に地方公立大学大学院工学研究科修士を修了した者です。勉強からは遠ざかってますが、数学は好きだったこともありよく理解できました。興味深いチャンネルなので登録させて頂きました。それと、もっちゃんタイプです。かわいい😍

[@susataka9374]

天才数学少女キターーｗｗ

[@premiumdr.i9527]

単位円描いて2つのベクトルのなす角を内積で表せばチョロいですよね？ 今や行列が高校課程から消えたそうですが、ベクトルの行列表示くらいはやってもいいのでしょうか？ cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβって一番後に記載されてるけれど実は一番最初に導ける公式ですね。

[@yamayama1351]

cosΘを内積から定義したなら一番容易かも知れないですね だから(1)のcosΘ、sinΘの定義(一般角)が肝心な問題なんですよ

[@yamayama1351]

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβですけどね

[@premiumdr.i9527]

@@yamayama1351 いっけね笑 ちなみに私はこの公式を語呂合わせで覚えるとき「こすってこすって裏返してさすってさすって」と覚えました。

[@和田主水]

加法定理は昔東大の試験に出て、多くの人が失点しましたよね。確か。

[@物語京大受験]

かんちゃんとたくみさんが指導したら東大理系受かりそう

[@マスザワ内閣]

これは懐かしい...!!! 単位円書いて何かするのはわかったんですけどね〜 余弦定理とか全く覚えてなかったです...

[@kantaro1966]

そんなんじゃ東大受からないな！学歴詐称じゃねーの？

[@マスザワ内閣]

@@kantaro1966 東大生になれるように頑張りますwww

[@michi-the-mark]

もっちゃん可愛い♡ たくみさんかっこいい！ 貫太郎さん分かりやすい！

[@kantaro1966]

ありがとうございます。

[@yanoken4374]

家庭教師で数学が苦手な子に教えるとこんな感じになるんだろうな。 逆の言い方をすれば、東大生ですらわからないことがあるんだこら。 わからないからと言って遠慮せずにどんどん聞けばいいってことだよね。 数学が苦手な子には、粘り強く教えるしかない。

[@xashi7878]

初見でこの証明難しいな、、、

[@AIcia_Solid]

ファボゼロの服着てる人がいますね🤔

[@jif7707]

行列学びたい 加法定理の新しい証明方法学べた！

[@senhueichen3062]

The girl is cute, the FOUR BOYS are handsome and all of them are smart.

[@user-hf8jh1jl7n]

Nice joke

[@隙間日和]

あれれー？？？ 意外と難しいですね・・・ 今日はなんかもっちゃんへの当たりがソフトだ。 三角関数から始めて、半年後指数対数をやってます←頭がおかしくなりそうです←悔しいから１日やってましたそろそろねよう。

[@thdd3865]

e^iθ＝cosθ+isinθ(オイラーの公式)をしっていれば、θにα+β代入して計算して終わりやな

[@トロザーボン]

循環論法やな

[@jalmar40298]

複素数に対して指数法則を証明するのは加法定理以上に難しい…

[@over-all-p4d]

​​​@@トロザーボン 冪級数展開で三角関数の定義与えると、循環論法にはならないですね。 正しい理解には絶対収束性を抑えとく必要がありますが。 幾何的意味合いは逆から示す事になります。 1=exp[iθ]exp[-iθ] =(cos[θ]+isin[θ])(cos[-θ]+isin[-θ]) =(cos[θ]+isin[θ])(cos[θ]-isin[θ]) =cos^2[θ]+sin^2[θ] から単位円上の点 x=cos[θ] y=sin[θ] を媒介変数θで与えていることは簡単に示せる。 後は、冪級数展開の指数法則。 こっちはやり方知らないと 自力では難しい。

[@ドリトル-q7m]

気象大学校の過去問をやってください！

[@神速のインパルス-e4y]

この問題の正答率20%ぐらいだったらしいですよ

[@とりのそらね]

cos(α+β)まで導いたのに、sinの方はやらないんですね…。

[@user-bk9kq8qd4n]

そんなものあるの？笑

[@しばたゆみこ-b8x]

余弦定理は三平方の定理に余弦(cos)をイジる定理と気づいてましたが、この解説聞くと三角関数やっててよかったと満足感でいっぱいです！ 本質を理解すれば、暗記する事なんか少なくて済むんですね。

[@Hal__]

もっちゃんまた東大入る？

[@727norerore6]

・なんでAB間の長さを出そうと思えるのか ・線ABと原点-点Bの成す角が直角である断りは要らないのか 俺は多分↑でつまづいて先いけない(笑)

[@kamui7741]

今は第二余弦定理とは言わないんですね。

[@下山雄大-q4b]

2番目の証明だった。習った時

[@tetsuyainada8013]

お寿司の絵がかわいい　空腹には勝てませんw

[@shuninc9273]

サムネのたくみ、サイコパス感が凄い

[@gan356xs7]

いつもいつも

[@ああ-v1s6s]

sinの加法定理も同じ方法でできますか？

[@uncle6942]

コスモス･コスモス･咲かない･咲いた ･･･マイナス(否定)だから『咲かない』 昭和40年代はそんな具合に覚えたのだが 今は『咲いた･咲いた』なのですか!? やや驚き

[@馬神弾-t2x]

貫太郎さんもっちゃん大好きだな

[@ginza69gmail]

親戚じゃね？

[@kakip8463]

個人的には式の形の意味はベクトルOAとベクトルOBの内積と考えたほうが納得しやすいけど証明として成立するんですかね？成分表示の内積の証明も結局余弦定理から来るから循環論法にはならなそうですし

[@yamayama1351]

なのでcosΘとsinΘを定義せよという問題が小問で設定してるのです sinΘとcosΘを単位円と"x軸と反時計回りにΘの角をなす直線"との交点の座標で定義したならば内積やら複素数の積やら持ち出したら0点です

[@kakip8463]

@@yamayama1351 それはその定義だと角度の拡張がマズいということですか？「単位円で(1,0)から反時計回りにθ回転した点のx,y座標」なら問題ないのでしょうか

[@yamayama1351]

「単位円で(1,0)から反時計回りにθ回転した点のx,y座標」でも同じです 内積にcosを用いて良い根拠が存在しません

[@kakip8463]

すいませんちょっとわかりません…　 内積にcosを用いるのは内積の定義だと思うのですが

[@yamayama1351]

(1)でcosを定義せよという問題が存在するのです 内積の定義がcosで与えられるということは関係ありません

[@立花宗茂猛]

奇しくも、昨夜ふと図形でやってみてすぐデキた。自力で導いてやる～！と、授業そっちのけの高校時代を懐古。 今では、外積イメージで、sin(α - β) から。

[@aliiice01476]

これって複素数使って掛けると角度の足し算になる性質を利用して求めることもできそう？

[@yamayama1351]

複素数の積の作図を加法定理を使わずに示せば問題ないはずです 複素数の和、実数倍、i倍を説明して組み合わせれば積の作図を説明することができます

[@fu_ga_pi]

東大生でも文系だとこうも･･･

[@阿吽の呼吸-x9g]

東大でも人間なので文系ならなおさらいつまでも受験の知識覚えてないと思いますよ。。

[@coscos3060]

ほっこりする　分かり易い　証明！

[@piggy2018]

貫太郎先生はボス親分、他の人はカバン持ち。という感

[@井内正行-d7d]

思い出すだけなら、複素数の掛け算が簡単

[@あいうえお-z1i8h]

なんでa-cなんですか？

[@ch-wx6yc]

もっちゃんのファンです

[@jwk1028]

もっちゃんからは東大臭がしない。

[@jaehees3695]

慶應にいそう

[@りめるん-z8c]

最初の証明θがπ＜θ＜2πのときできてないよね

[@マスター白井]

加法定理の証明にベクトルが使えるらしいからそれもお願いします

[@kamui7741]

ベクトルを知っているならベクトルの内積も知っていますよね。 それで一発です。 ベクトルの外積をご存知ならsin(α - β) も一発半😁です。

[@ifbbfitnessbodybuilding8408]

複素数に置き換えてドモアブル使ったら一発じゃね

[@kantaro1966]

ドモアブルが加法定理を元にしてできている定理なので

[@ifbbfitnessbodybuilding8408]

@@kantaro1966 確かに帰納法で証明するとき、加法定理を使いますね

[@たっつぁん-z6x]

6:20 これってcosβ−cosαじゃないのか？自分が勘違いしてんのかな

[@kantaro1966]

たっつぁん さん 三平方の定理を使っているので、2乗するから、a−bでもb−aでも同じです。

[@たっつぁん-z6x]

鈴木貫太郎 返信ありがとうございます。結果は同じになりますが、なんか長さが負の値をとると違和感があって笑

[@ginza69gmail]

鈴木貫太郎さんも、もっちゃん同様に東大卒？

[@kantaro1966]

こちらをご覧下さい。kzbin.info/www/bejne/hoPMfaaofb6ghNE

[@ksh-kc7yl]

cosα－cosβって、マイナスにならない？笑わかんない

[@ショーさん-f5l]

バンカラジオの人たち背が高い

[@よいちょ丸-h9o]

オイラーからしか導けないです

[@hidekiono5495]

スシ食べながらエンディングの反省してるかな？

[@dreaminggun]

かんたろー下半身裸なの？

[@ginza69gmail]

コメント通報

[@dreaminggun]

@@ginza69gmail この前の動画で、鈴木貫太郎さんが自分の動画を撮るときは下が映らないのでジャケットだけ着ている、という話を知っている人はわかるネタです。

[@もちお-y1q]

令和教育委員会

[@ケケケの奇多浪]

なんかもっちゃんえちえちになってる()

[@織江濱田]

このこ本当に東大卒？？？

[@biootuichiweapon9860]

15:15女子にはもっともっと優しく

[@kantaro1966]

エニグマ暗号 さん 東大卒もっちゃんと数学 kzbin.info/www/bejne/fYnKfoSgpdaJg6M これの6:00からはもっとヤバいかも

[@oudon2656]

加法定理なんてただの指数法則だろ

[@orupa5401]

女性に対して威圧的な上に説明が言葉足らずな割りに謎の「わかるでしょ？」的傲慢な態度。これは…

[@bigchungus2944]

うっせえよ勘違いアジア人女。フェミニズムかぶれする前に鏡で自分の顔見てこい