Demostración sencilla de que raiz de dos es IRRACIONAL

En este video demostramos paso a paso, en cinco minutos, que el número raíz de 2 es irracional, por reducción al absurdo. Espero que os guste.
La pizarra donde están todos los cálculos realizados, la puedes descargar aquí:
drive.google.c...

[@4NAML]

No me imaginé que la demostración fuera tan sencilla, buen video

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario. Muchas veces problemas que parecen muy complejos, y que uno no sabe a priori como abordarlos, se pueden resolver de una manera muy sencilla, si se te ocurre como, por supuesto. Te recomiendo también la demostración de que hay infinitos números primos. Un saludo

[@matematicocompulsivo]

Te recomiendo por ejemplo la demostración del teorema de Pitágoras: kzbin.info/www/bejne/gorTh4p-rrt_g8U

[@jesuslorenteescudero4745]

@@matematicocompulsivo Cómo haces la demostración de que la raíz de un número primo es irracional

[@jesuslorenteescudero4745]

@@matematicocompulsivo En este caso lo has hecho con raíz de 2 pero si fuera raíz de 3 cómo lo harías?

[@matematicocompulsivo]

@@jesuslorenteescudero4745 El método es exactamente análogo, pero usando el 3 donde en esta demostración indica 2.

[@miguelfasanella6042]

Excelente demostración, sencilla y concisa

[@matematicocompulsivo]

Muchas gracias por el comentario! Ese es mi objetivo, hacer videos concisos y sencillos.

[@jorgearambulo7972]

Excelente, me sorprendió entenderlo a la primera, muy claro la explicación.

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje! Hay muchas demostraciones en Matemáticas que una vez las ves hechas son realmente sencillas, y este es un ejemplo. Ese tipo de demostraciones que dices, ¿Cómo no se me ha ocurrido antes? Aquí hay otra, que demuestra que hay infinitos números primos: kzbin.info/www/bejne/nWjMc2ill9yMmZo sorprende lo sencilla que es para lo complicado que parecía el problema en un inicio!

[@estudiantedeingenieria.]

Excelente video, muy buena demostración

[@matematicocompulsivo]

Muchas gracias por el comentario. Me alegra que te haya gustado!

[@AntaresVideoblog]

Estuve dando vueltas a esta demostración y por fin logré entenderlo ¡gracias!

[@matematicocompulsivo]

Me alegro mucho! Gracias por ver el video!

[@rojaslopezrominaalejandra9138]

De lo más sencillo y bonito que he visto

[@matematicocompulsivo]

Muchas gracias por el comentarios!

[@garciabravojosemanuel7743]

Exelente video amigo, me sirvió mucho para mi tara de mates. Sigue asi. Nuevo sub

[@matematicocompulsivo]

Muchas gracias! Cualquier sugerencia de tema que consideréis interesante será bienvenida!

[@luisaaraque3332]

Felicitaciones por tu loable intención de difundir el saber Matemático, sin embargo tú demostración me crea una pequeña duda, tu escribes en la definición de número racional que es el cociente de dos números (a y b) tal que pertenecen a los NATURALES,. en consecuencia el grupo de racionales formado por los naturales no incluye al cero y tampoco existen los racionales negativos, ya que los naturales van desde 1 hasta el infinito, a menos que digas que (a y b) pertenecen a los ENTEROS!!!

[@matematicocompulsivo]

¡Gracias por tu mensaje! No quería decir que no pudiera haber racionales negativos, ¡no era esa mi intención! Para el caso concreto de raíz de 2, dado que es positivo, basta suponer que es cociente de dos naturales sin pérdida de validez (podría ser cociente de dos enteros negativos, pero que multiplicando por -1 numerador y denominador, es equivalente a una fracción con dos enteros positivos, es decir, dos naturales). Pero por aclarar, no pretendo decir que al ser racional tiene que ser cociente de dos naturales, sino que al ser racional positivo, debe ser cociente de dos naturales. Espero haberme explicado, pero si no, me dices, por favor!

[@hirofackmaster5078]

Aclaro que en los naturales aun no es del todo cierto que el cero no es natural, aún hay un debate si es o no parte de este conjunto.

[@Alexis-MG]

@@matematicocompulsivo Pienso que lo correcto sería decir "El cociente de dos números enteros", porque así quedaría entendido que no importaría el signo.

[@johnjairo7576]

Laikaso, me gustó mucho la demostración.

[@matematicocompulsivo]

¡Me alegro mucho! ¡Gracias por tu mensaje!

[@JhonnyBravo-qi6bx]

Buena explicación

[@matematicocompulsivo]

Gracias por ver el video y por el comentario!

[@CassyRiv]

Qué voz mas bonitaa! Queda super bien con esa conclusión :0

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario, muy amable. Espero que te haya gustado el contenido! Un saludo

[@robertgerez3480]

esto se puede considerar como descenso al infinito ?

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario! No estoy seguro de a qué te refieres con descenso al infinito, no conozco esa terminología. Es más bien reducción al absurdo, partes de un supuesto inicial, para luego llegar a la conclusión de que ese supuesta es falso. Espero haberte ayudado un poco con la duda.

[@marcosmedel8938]

No entiendo bien el final. ¿Por qué se supone que k y m son una fracción simplificada de a y B?

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje! Partíamos de que a y b eran primos entre sí, que la fracción a/b era irreducible, o simplificada. Es decir, que si 2 es a/b, nos quedamos con la fracción ya reducida. Por tanto, cuando luego vemos que hay que seguir reduciendo la fracción, llegamos a una contradicción. También puedes verlo porque al final se llega a un ciclo infinito de simplificaciones por 2, porque al tener un 2 en un lado, obligas al otro lado a que sea par, y sería un proceso infinito que nunca acaba. Espero haberme explicado!

[@marcosmedel8938]

@@matematicocompulsivo Gracias por responder, ahora ya lo entiendo con la aclaración del ciclo infinito de simplificaciones entre dos.

[@matematicocompulsivo]

Me alegro!

[@xdtatareas6886]

Tengo una pregunta el 0.36 es irracional?

[@matematicocompulsivo]

No, 0,36 lo puedes poner en forma de fracción (36/100) así que es racional. Un saludo, y gracias por tu mensaje!

[@tomasheinrich1968]

No se que tan rigurosa sea la demostración, por lo menos a mi el final no me termina de convencer.

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje! La demostración es rigurosa, aunque parezca demasiado sencilla. Partes de un supuesto (es racional irreducible) y llegas a una contradicción (la fracción es reducible) así que tiene que el supuesto es falso. Suponíamos que era racional, y debe ser lo contrario, irracional. ¿Qué es lo que no te termina de convencer exactamente?

[@jeremypenaloza7601]

@@matematicocompulsivo y si el supuesto incorrecto es en verdad que la fracción sea irreducible?

[@matematicocompulsivo]

Si la fracción no es irreducible, se reduce y de todas las fracciones equivalentes, usas la irreducible. Porque la fracción equivalente irreducible, tiene que existir.

[@saiasi25007]

Quisiera ver esa demostración?🤔 No la visualizo.

[@kissie-22]

​@@matematicocompulsivo no digo que \sqrt{2} no sea irracional, pero la única "fracción irreductible" que equivalga a dos es el mismo 2/1. Estoy de acuerdo con @jeremypenaloza7601

[@JotaFl1]

tenes algun ejemplo con un numero que no sea primo? Tengo un ejercicio con raiz cubica de 250

[@matematicocompulsivo]

Para los casos que no son primos, debes hacer la descomposición factorial. 250 es 5·5·5·2. Su raíz cúbica sería 5 por la raíz cúbica de 2, que no es racional, porque la raíz cúbica de 2 no es racional. Si no me he explicado, me dices, por favor.

[@JotaFl1]

@@matematicocompulsivo Creo que lo entendi, muchas gracias

[@juancarlosg1411]

Pregunto... No tendrías que tener en cuenta los signos al elevar la fracción al cuadrado??

[@matematicocompulsivo]

Muchas gracias por vuestros mensajes. Efectivamente, el signo es positivo tanto en denominador como numerador, así que no hay problemas de signos.

[@manuelfalzoialcantara92]

He visto que hay dos formas de demostrar que raiz cuadrada de 2 es irracional, una es por contradicción de la unicidad de la factorizacion de un entero al cuadrado como que 2belevado a 2 es una factorizacion de exponente impar no puede ser igual a a elevado a 2 que es exponente par. La otra via es la que se ha expuesto en este video, que es utilizacion del axioma de la buena ordenacion , si a y b son primos relativos, a es un elemento minimo de subconjunto N, pero al elevar al cuadrado de la raiz de 2, llegamos a que a elevado a 2 es par por lo tanto en forma 2k y b tambien, no siendo minimos elemento del subconjunto de N.

[@matematicocompulsivo]

Muchas gracias por tu comentario!

[@yjose9328]

Me tomó repetirlo 3 veces pero ya entendí

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje! Me alegra que al final quedara claro. Cualquier duda o comentario, será bienvenido.

[@davidpineda3903]

Porque si no es racional tiene que ser irracional? Porque no puede ser otro tipo de número?

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario! Raíz de 2 es un número real, y estos se dividen en dos, racionales e irracionales. Dado que no es racional, debe ser irracional. Los irracionales los podríamos definir como aquellos números reales que no son racionales. Un saludo

[@Hellfuryfire666]

Hay una cosa que nunca entendí de esta demostración: Queremos demostrar que raíz cuadrada de 2 es irracional, pero para la demostración por absurdo se hace uso de una igualación del número a x/y, donde x y y pertenecen a los enteros. Es raro que tratemos de demostrar algo con las herramienta de las que precisamente carecemos y queremos hallar.

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario! Esa es precisamente la manera de proceder en la demostración al absurdo. Se quiere demostrar una cosa, por ejemplo A, así que se supone cierto lo contrario, por ejemplo B. Se intentan seguir los razonamientos habiendo supuesto lo contrario y se llega a una contradicción o algo imposible, así que llegamos a la conclusión de que B, que habíamos supuesto verdadero, no se puede dar y es falso. Y como B es falso, su contrario, A, debe ser verdadero. A y B es lo que se llaman sucesos complementarios: se tiene que dar A ó B (no hay una tercera opción, la unión de A y B es el suceso cierto) y nunca se pueden dar ambos a la ver (la intersección es nula). Espero haberlo aclarado un poco!

[@afiagi]

Porque a y b son primos entre si?

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario! Es un supuesto que no invalida el resultado. Partes de que raíz de 2 es el cociente de a y b. Si a y b no son primos entre sí, reduces la fracción hasta llegar a una fracción irreducible, donde numerador y denominador son primos entre sí. Si no te convence, piensa que al finalizar el desarrollo llegas a un bucle infinito donde uno y otro lado son múltiplos de 2, que no acaba nunca.

[@dicdu2830]

pero porque los numeros tienen que ser pares?

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje! Como estamos estudiando el caso concreto de raíz de 2, entonces tienen que ser pares. Si hiciéramos el ejercicio análogo de raíz de 3, tendrían que ser múltiplos de 3... Espero que este comentario te ayude!

[@PokeRisk72]

Q pasa si pones raiz de dos entre 1? Es una fraccion

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje! Es una fracción sí, pero no serviría. Un número racional es el cociente entre dos números enteros. Raíz de 2 no es un entero, así que no serviría usarlo en el numerador para demostrar que el propio raíz de 2 es racional.

[@felbovargas8863]

Sigo sin entender como eso demuestra que √2 es un numero irracional.

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje. Entras en un bucle infinito. Has supuesto que se puede poner como a/b, es decir, es racional, y entras en un bucle infinito, que te dice que lo que has supuesto inicialmente no puede ser cierto, así que no puede ponerse como a/b. Espero que te haya ayudado, si no, me dices. Un saludo

[@gedeonss4052]

Solo ha demostrado que a y b no son primos entre si , pero no que ✓2 sea irracional

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu mensaje! Al contrario. Partimos de que a y b son primos entre sí, dado que si es racional, podemos partir de la representación irreducible de la fracción, y llegamos a la conclusión de que a y b no son primos entre sí. Llegamos así a un absurdo, es decir, la hipótesis de la que partíamos, que raíz de 2 es racional, es falsa. Espero haberme explicado. Un saludo

[@gedeonss4052]

y si ✓2 es tacional pero con una fraccion reducible?

[@matematicocompulsivo]

Si es reducible, existirá su fracción irreducible equivalente, y raíz de 2 tendrá que ser igual a esa fracción irreducible. Entonces, partes de esa fracción irreducible para la demostración. Un saludo

[@pedrosuarez544]

Dentro de los reales, pero no dentro de los surreales.

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario. Uff, los números surreales son un tema demasiado avanzado! Nos quedamos en los números reales, y su división en racionales e irracionales.

[@pedrosuarez544]

@@matematicocompulsivo los surreales no son tan complicados pero son muy interesantes además de fundamentales, pero sin duda el premio gordo se lo llevan los números ocultos. Números ocultos H tal que 1^H≠1

[@matematicocompulsivo]

Gracias de nuevo! Vamos paso a paso. Muchos de estos ejercicios son como apoyo a clases de Matemáticas que imparto, y voy tratando los temas a la par de las clases, pero sí que me gustaría tratar temas diferentes y curiosos cuando tenga un poco de tiempo.

[@Crashelido]

No te metas en temas que nada que ver, desde un inicio definió en que conjunto de numeros se está trabajando.

[@pedrosuarez544]

@@Crashelido ¿ tienes miedo de demostrarlo para otros conjuntos o es que no sabes hacerlo ?

[@luisvh4922]

Para a/b racional, a y b son enteros, no naturales, pero bueno ...

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario! Dado que raíz de 2 es positivo, es suficiente que sean naturales.

[@JosuePalacios-rw7wy]

Solo lo vine a ver porque puse que √2 es irracional en un examen y me apareció como incorrecta ( es la única respuesta que me salió mal ) :'v

[@matematicocompulsivo]

Pues es irracional. Al corregirte mal, había dos irracionalidades, raíz de dos, y que el profesor te pusiera que era incorrecto! Gracias por ver el video!

[@hedleypanama]

En realidad, la raíz n de todos los primos es irracional

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario. Sí, así es. Tengo pendiente hacer otro video generalizando al caso que tú dices, sí. El proceso de razonamiento es el mismo.

[@urisalas1]

Si tienes un video con la demostración, envía el enlace. Gracias!

[@hedleypanama]

@@urisalas1 no tengo ningún video... pero por DEFINICIÓN los números primos solo pueden dividirse entre uno y entre ellos mismos.... por lo tanto es IMPOSIBLE que tengan soluciones del conjunto de números naturales

[@alejandrojuarez2939]

​@@hedleypanamaSí pero a lo que el autor del video se refiere es que hay que demostrar que esas raíces decimales son irracionales, otra cosa, hay que aclarar que n debe ser distinto de 1 en el comentario que hiciste más arriba, de lo contrario tendríamos raíces de primos que sí son racionales (ellos mismos). Saludos desde México.

[@salvadoralfonsoruizguerrer3289]

Has demostrado que raiz de 2 no es racional, no has demostrado nada de que sea irracional

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario! Se demuestra que raíz de dos no es racional, tal y como dices, por tanto tiene que ser la alternativa, es decir, irracional.

[@hugooneto1954]

Es 22/7 y san se acabo para q nos vamos a hacer tanto lio jaja

[@matematicocompulsivo]

Para la mayoría de nuestros cálculos es una buena aproximación... Pero no andas muy desencaminado. Tu comentario me ha recordado una anécdota de la que oí hablar una vez, y que he vuelto a buscar. Hay mucha información y por ejemplo podemos ver en esta entrada de Wikipedia: es.wikipedia.org/wiki/Proyecto_de_ley_de_Indiana_sobre_pi y es que en Indiana, Estados Unidos, hubo una propuesta de ley en 1897 que como consecuencia directa daría a pi el valor de 3,2. Cuando menos, curioso.

[@hugooneto1954]

@@matematicocompulsivo En el mundo hay 3 verdades : la científica, la jurídica y la religiosa, se aplica de acuerdo a la conveniencia política

[@carlosceschini4104]

Que tal si usamos 355/113 ? El valor es 2.667 x 10^ -7 mayor que pi de forma que un misil lanzado al lado opuesto de la tierra (20.000km) erraria en 1m15cm su blanco

[@matematicocompulsivo]

Gracias por tu comentario! Es una aproximación muy buena la verdad, que espero que si se usa, se haga con propósitos más constructivos que el lanzamiento de misiles.

[@carlosceschini4104]

@@matematicocompulsivo Como médico ( já aposentado ) não sou muito favoravel a coisas de esse tipo, mas depois de ter ensinado durante muitos anos, sei que as coisas que os alumnos aprenden e lembram na maioría das vezes é pelo apelo dramático mais do que pelo prático ou racional. Um professor de física pode dizer que ensina o número de tera wats liberados por uns gramas de matéria dizendo quantos anos pode manter o fornecimento de energia eletrica de uma cidade de cem mil habitantes ...pois o aluno, caso saiba o tamanho de uma cidade assim, vai esquecer antes de abandonar a aula... más vai lembrar para sempre o tamanho do buraco e as toneladas de terra que uma bomba atómica é capaz de remover do deserto de 'los álamos' e sairá ainda de clase comentando com os amigos .. A finalidade foi colocar que 355/113 e um numero racional muito aproximado do irracional PI e não desabonar a demonstração apresentada....pessoalmente, se precisar usar uma calculadora que não tem a tecla PI me resolve o problema. Se a alguém lhe serviu o número, a minha tarefa está cumplida...interessante que meu filho, professor de matemáticas pela USP não conhecía a fração.!