Differentialekvationer del 19 - partikulärlösning fall 2, exponentialfunktion

Endimensionell analys. Envariabelanalys. Partikulärlösning till linjär ekvation av ordning två. Fall 2 - exponentialfunktion i högerledet.

[@FroekenLindblom]

Tur att det finns såna som du så att även vi som inte tycker att all matematik är självklar kan hänga med!

[@75gauss]

+FroekenLindblom Tack ska du ha!

[@berxwedanjiyane1821]

Jonas är räddningen i nöden nu när distansföreläsningarna i matte har så usel kvalitet.

[@TheOfficialJeppezon]

Vad blir ansatsen om det är en konstant framför e? Exempelvis 4e^-x. Blir det ze^-x eller z4e^-x?

[@ArthurTheGrat]

svaret är ze^-x då konstaten(4) är ett polynom av grad 0

[@motorfuria05]

Tjena Jonas! Om man istället fått frågan "hitta ALLA lösningar till ekvationen", är det då så enkelt att man skulle löst den homogena ekavtionen också och lagt till i svaret?

[@75gauss]

Just precis. Det stämmer.

[@antoncarlsson5151]

Bra video! Om man istället för ett polynom hade haft ett rationellt uttryck i högerledet, så fungerar det väl inte att använda denna metoden, men att istället göra ansatsen på liknande vis som i lösningsformeln för rationella primitiva funktioner? Ex. y'' - 2y' - 3y = e^(- x) * (4x + 1) / (x^2) Medför att ansatsen blir: Z = A / x + B / (x^2) Frågan är alltså om denna ansats är fel och hur man i sådana fall kan lösa uppgiften istället.

[@75gauss]

Nej, ansatsen du föreslår ser inte så lämplig ut. T.ex. blir derivatan av B/x^2 lika med -2B/x^3, ett uttryck som inte alls finns i högerledet. Jag kan tyvärr inte så här på rak arm ge dig ett svar på hur du ska göra i stället. Det blir ett mycket besvärligare problem.

[@abbas9257]

Hej! Varför måste du multiplicera med x i 7:15 när en konstant saknas? I det här fallet z :)

[@75gauss]

+Abbas Jafari Det händer då vi har en term e^(3x) med samma vinkelfrekvens, dvs. 3, som vi har i den homogena lösningen. Vi märker detta genom att z-termen helt försvinner efter bytet till z. Notera att vi med en saknad z-term, med ansättningen z=A, A konstant, hade fått endast 0-termer i vänsterledet av ekvationen. Den kan vi därför inte lösa. Genom att multiplicera med x så höjer vi graden av ansättningen, och får då någonting kvar i vänsterledet efter derivering.