Доказать, что кривая плоская | Дифференциальная геометрия

[@richardkruger9838]

Радует конечно, что появляются действительно полезные видео, а не только как разрушить что нибудь.

[@letsimage]

спасибо за разбор, однако было бы классно, если бы ещё дополняли, почему данный способ используется и работает, как, например, с определителем для людей, кто давно это не изучал

[@andreyan19]

@@letsimage Соглашусь с Вами, Пожалуй, впредь буду какие то факты и теоремы обосновывать)

[@letsimage]

@@andreyan19 спасибо, успехов)

[@MathPTU]

как только вы взяли точку на кривой мне сразу же эта идея пришла в голову

[@andrewpavl4284]

Всё это замечательно, но такой способ выглядит несколько искусственно. Обозначив x = (1+t)/(1-t), y = 1/(1-t^2), z = 1/(1+t), попробуем доказать, что существуют A, B, С и D такие, что Ax + By + Сz + D = 0 для всех допустимых значений t. После подстановки указанных выражений в последнее уравнение и умножения обеих частей на (1-t^2) получим уравнение A(1+t)^2 + B + С(1-t) + D(1-t^2) = 0 Отсюда, пользуясь методом неопределённых коэффициентов, получим систему из трёх уравнений с четырьмя неизвестными. Выражая из неё B, С и D через A получим: D = A, С = 2A, B = -4A. Таким образом, получаем уравнение Ax - 4Ay + 2Az + A = 0. Разделив обе части на A, будем иметь: x - 4y + 2z + 1 = 0. Осталось убедиться, что координаты всех точек кривой удовлетворяют этому уравнению. Так удаётся обойтись без определителей и действий над дробями.

[@MathPTU]

а что искусственного в определителе? по факту так он и выводится в общем случае

[@andrewpavl4284]

К определителю претензий нет. Не совсем понятно (по крайней мере сразу), почему выбираются именно значения t, равные 0, 2, и 3.

[@andreyan19]

@@andrewpavl4284​​⁠В данном случае можно взять любые значения t из областей определений х(t), y(t), z(t) Поскольку все они все равно будут принадлежать одной плоскости (рассуждения от обратного)

[@ДмитрийУдраскин]

@@andreyan19 а вы разве доказали, что при любом значении параметра из области определения будет одна и та же плоскость? Вы просто по трём точкам построили плоскость, к которой исходная кривая принадлежит и подстановкой убедились в правильности построения своей плоскости.

[@andreyan19]

@@ДмитрийУдраскин Мы рассуждали от обратного. Предположили: да, кривая плоская, давайте построим вот такую плоскость и подставим в нее координаты вектор функции, зависящие от t. Получили 0 в итоге, значит, всё сошлось

[@muamarkinik]

Подскажите пожалуйста не совсем понял. Вы умножаете на (1-t)^2. каким образом получается в первом (1+t)^2, a в третьем слагаемом вообще превращается (1+t) в (1-t)....

[@andreyan19]

Конечно! Итак, для начала, вспомним формулу разность квадратов Выражение 1-t^2 = (1-t)(1+t) При умножении на первую дробь, 1-t в числителе и знаменателе сокращается, остается (1+t)(1+t)=(1+t)^2 По аналогии поступаем и с дробью, в знаменателе которой 1+t (Вы, вероятно, подумали, что умножаю на скобку (1-t)^2 На самом деле, 1-t^2. Скобки поставил на всё выражение 1-t^2)

[@muamarkinik]

​@@andreyan19да, теперь понял. Ступил. Благодарю Вас.

[@skw1ik643]

Почему вы говорите "разложим определитель по определению" и раскладываете с помощью алгебраических дополнений, хотя по определению определитель это сумма всевозможных произведений... ну и так далее. Рассудите, пожайлуста

[@andreyan19]

@@skw1ik643 Имел ввиду по первой строке*)

[@skw1ik643]

@@andreyan19 Все, понял вас, спасибо!)