対称式の最大最小｜仲間外れを意識せよ（旭川医科大）

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MathLABO〜東大発「みんなでつくる」数学ベスト良問集〜（マスラボ）

Күн бұрын

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Пікірлер: 35

@チテ-k7h 2 жыл бұрын

a+b=1, a^3+b^3+c^3=1からabとcの関係式は、c^3=3ab ab=tとおくと、aとbを2解に持つxの二次方程式はx^2-x+t=0　a,bは実数なのでD≧0　⇔t≦1/4　a,bは正なので0≦t≦1/4 …① a^2+b^2+c^2=1-2t+(3t)^(2/3) …②　→微分して傾きを調べると、②は0≦t≦1/3で単調増加　①の範囲ではt=1/4のときmax　→②に代入して、maxは1/2 + (3/4)^(2/3)

@はだしのゲンちゃん-c3m 3 жыл бұрын

一文字消去したり文字を設定したりするときには範囲を設定することの重要性を再認識されてくれる良問でした。

@s24031t 3 жыл бұрын

こういう、キレイとは言えない数字が解答として出てくると、正解なのか不安になる自分がいます。

@天使と悪 3 жыл бұрын

１０秒ほど暗くなりましたね。

@こんにちわんこ-m5b 5 ай бұрын

三乗根出た時に絶対違うやんって思ったけど合っててめっちゃ嬉しい... モチベ上がるわ

@k1ltz_ 6 ай бұрын

範囲出さずに解いて失敗したことがあったからしっかり範囲だしてとけた。

@ryomou0570 3 жыл бұрын

本質的には特に変わらないのですが、とりあえず試しにa+b=1を2乗3乗してみればなんとかなるやろって発想から入ると対称性を保ったまま処理できるので文字消去がちょっとだけ楽(綺麗)ですね

@数学徒-k5p 2 жыл бұрын

a + b = 1 …… ①の下では、a^3 + b^3 + c^3 = 1 ⇔ a^2 + b^2 = 1 - (2/3)c^3 …… ② 正の実数cが（連続的に）変化するごとに円②は半径のみが（連続的に）変化することに着目すると、　　①かつ②となる正の実数a, bが存在する ⇔　直線①と円②が第１象限において共有点をもつ ⇔　（原点と直線①の距離）≤（円②の半径）< 1　 ⇔　(原点と直線①の距離)^2　≤　(円②の半径)^2　< 1　 ⇔　1/2　≤　1 - (2/3)c^3　< 1 ⇔　0　

@azul5675 3 жыл бұрын

a^3+b^3+c^3からc^3をabで表して、相加相乗平均で範囲を出しました。

@YouTubeAIYAIYAI 3 жыл бұрын

備忘録70V" a > 0, b > 0, c > 0【 a, b に関する対称性に注意して( 常套手段 )、】 a＋b＝ 1･･･①, ab＝ x･･･② とおくと、aと bは t² －t＋x＝ 0 の正の解である。 f(t)＝ t² －t＋x＝ ( t－1/2 )² ＋x－1/4 とおいてグラフより、 f(0)＝ x > 0 かつ f(1/2)＝ x－1/4 ≦ 0 だから、 0 < x ≦ 1/4 ･･･③ a³＋b³＋c³＝ 1 ⇔ ( a＋b )³ －3ab( a＋b )＋c³＝ 1 これに ①②を代入して、 c³＝ 3x ⇔ c＝ (3x)^1/3 ･･･④ ①②④を利用して、 a²＋b²＋c²＝ ( a＋b )² －2ab ＋c² ＝ 1 －2x ＋( 3x )^2/3 ＝g(x) とおくと、 g'(x)＝ 2･{ ( 3x )^-1/3 －1 } ≧ 0 ( ∵ ③ ) だから、 g(x) は単調増加。よって、( 最大値 )＝ g(1/4) ＝ 1/2 ＋( 3/4 )^2/3 ■

@yulieskigourrielcastillo35 3 жыл бұрын

今月受けた阪大本レ文系数学に誘導付きでほぼ同じ問題が出題されていました！

@poipubay1991 3 жыл бұрын

個人的にはこの問題は文字消去より、文字固定の方が目的も過程もわかりやすくていい気がするなぁ cを固定して云々

@study_math 3 жыл бұрын

x³+y³+z³=1 (x,y,z≧0)の図形がどんな形になるか(球を膨らませたような？形)空間図形を認識できる人は答えはすぐに出る。穴埋め問題ならすぐだが答えの確認にも使えますね。 a=b=1/2の時なので、c=∛(3/4) から答えは1/2+∛(9/16) 普通に解くなら、 a³+b³+c³=(a+b)³-3ab(a+b)+c³=1 より c³=3ab a²+b²+c²=(a+b)²-2ab+c²=-2/3c³+c²+1 相加相乗平均、1=a+b≧2√ab より 1≧4ab ⇒ 3/4≧c³ 等号成立はa=b=1/2の時。あとは動画と同じ

@田村博志-z8y 3 жыл бұрын

a = b = 1/2 は a^2 + b^2 の立場からすれば最小値なんですよね。そのとき c が大きくなるから結果的に最大になるのですが、その論証が難しい。やはり普通の解き方が一番なのかなー。

@study_math 3 жыл бұрын

@@田村博志-z8y 空間座標で解いても、x³+y³+z³=1, x+y=1の交線の座標を求めるんですが、その時(1/2,1/2,0)を原点にとって、ベクトル(1,-1,0)方向をX軸の正の方向とするXz平面に座標変換すれば、 z³=3/4(1-2X²) となって、これと円の方程式 X²+z²=r² からX,zの実数解条件を検討すると解が出てきます。式自体は動画と同じ式となります。

@mathseeker2718 3 жыл бұрын

ある一日考えて、ようやく答えに到達しました。三次方程式の解と係数の関係からcの値の範囲を出そうとしましたが、複雑すぎて解けず。結局、abとcの関係式が得られるので、a、bを解に持つ二次方程式の判別式Dによりcの範囲が決まりましたね。類題を解いたことがあるのに、少し変わっただけで難しくなり、また勉強になりました。

@o2motsu3kmin 3 жыл бұрын

途中まで合ってたのにCの範囲でまんまとミスりました…精進します…。

@乃木はな 2 жыл бұрын

これテストに出て完答して授業中にこいつだけができてたって言われてドヤりたいw()

@多田晋也 3 жыл бұрын

対称性を意識するなら、a^3 + b^3 + c^3 =1 とa+b=1 からabをcの式で表す、という方針の方が見通しよく与式をcの式で統一できます。いずれにせよ、cの範囲を見極めるのが最大のミソな問題ですね。

@homefamily5400 3 жыл бұрын

cの範囲はaとbの解と係数でできる二次式の判別式>=0 を直後に記述する。最後の3次関数で使えるよ。

@パンキー-c2m 3 жыл бұрын

三乗根があるだけでやる気なくなる。計算がめんどくさい良問だ。

@anti_simulacre7907 3 жыл бұрын

解けました〜。同じ解法です〜。最大値・最小値の問題では、文字の取りうる値の範囲は常に意識しておく必要がありますね！

@ためちゃん寝る 2 жыл бұрын

a+b=kとa^n+b^n+c^nを見るととりあえずn乗したくなる。そうするとab=1-3ab+c^3がえられるので、これとa+b=1から解と係数の関係からcの範囲絞ったら同じ値になりました。（ちょっと怪しげだけど。）

@user-mapodofu 3 жыл бұрын

aが消去できてcだけの式になったのは今回の問題だけで偶然なのでしょうか。

@酒井悠祥 3 жыл бұрын

文字の数が3つ条件式が二つだから結局一変数じゃん！と瞬時に思えるかが腕の見せ所ですな

@homefamily5400 3 жыл бұрын

一文字消しをやりたかったんですかね。対称式→解と係数、実数解→判別式と考えれば、出てくる式は同じでも素直だと思います。a^3+b^3=1-c^3 a+b=1からabをcで表す。実数解なんで直後に判別式でcの範囲が限定すれば先生のいう抜けはないハズ。

@tmacchant 2 жыл бұрын

ラグランジュの未定乗数法を試して見ました。cについては極値じゃないからダメかなと思いましたがa, bについて極値なのでできました。未定乗数が2つですが、式の対称性から計算も簡単でした。

@田村博志-z8y 3 жыл бұрын

対称式なので a = b のとき最大だろうと予想して、a < b のときは最大でないことを示そうとしましたが計算がハードなのでやめました。方針を下記に示します。 a < b とする。p = ( 1/2 )・( a + 1/2 ), q = ( 1/2 )・( b + 1/2 ) とおくと次が成り立つ。 p + q = 1 a < p < 1/2 < q < b p - a = b - q = ( 1/2 )・( 1/2 - a ) q - p = ( 1/2 )・( b - a ) r^3 = 1 - p^3 - q^3 とおいて a^2 + b^2 + c^2 < p^2 + q^2 + r^2 が示せればOK、ただしこの不等式が超大変。体力のある人は挑戦してみてください。