Einer der bekanntesten Grenzwerte der Mathematik 🤔📝

[@martincichy9495]

Gauss und Euler - die wirklich ganz Großen!! Sehr schön anschaulich dargestellt.

[@entwurzler]

Vielen Dank!

[@haukesievers7909]

Im Ernst, Euler ist ein geradezu beispielloses Genie gewesen.

[@ulgramvonchaos5328]

Euler ist mein Lieblingsmathematiker. Ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob Euler diesen Grenzwert *so* und *als erster* bestimmt hat. Seine Leistung besteht m.M.n. in zweierlei: 1) Er hat die Funktion e^x als Erster auf komplexe (insbesondere rein imaginäre) Argumente übertragen und erkannt, dass der Realteil der Kosinus und der Imaginärteil der Sinus ist. 2) Er hat viele der heute üblichen Bezeichnungen eingeführt, z.B. f(x), pi, die imaginäre Einheit i und ... auch die Schreibweise e. Als Begründung nennte er die Akürzung 'e für Exponential' und nicht 'e für Euler'. Ein paar Jahrzehnte vorher hat der Schotte Naper schon eine Konstante in seiner Arbeit benutzt, die sich heute ln (10) schreiben würde.

[@Nikioko]

Es gibt ja mehrere Definitionen von e. Die bekanntesten sind der hier vorgestellte Grenzwert, aber auch die konvergierende Summe von Quotienten aus Quadraten und Fakultäten: e = [Σ(n = 0→∞) n²/n!] / 2

[@Delulu-s9p]

ist de nicht als der grenzwert definiert? oder nutzt ihr die reihen darstellung und du hast jetzt gleichheit gezeigt?

[@Rafau85]

Anmerkungen: Bei 5:06 hast du wohl lim vor f'(x)/g'(x) vergessen. Allerdings hast du die Regel von de l'Hospital nicht korrekt wiedergegeben (siehe auch das Bild bei 5:11). Nur WENN ZUSÄTZLICH der Limes von f'(x)/g'(x) existiert, DANN gilt die von dir beschriebene Regel. Lustigerweise wird immer direkt mit der Regel von de l'Hospital geschossen, obwohl es eigentlich ohne diese Regel geht auf elementare Weise. Denn wenn x gegen unendlich läuft, so strebt ja 1/x gegen 0. Man kann im Limes also 1/x durch h ersetzen, wobei dann h gegen 0 laufen muss. Was wir dann durch die Substitution erhalten ist nichts anderes als der Differenzenqotient des natürlichen Logarithmus an der Stelle 1 mit der h-Methode: lim_{h\to 0} [ln(1+h)-ln(1)]/h

[@koopakidlarry8408]

yes wollte das auch schreiben, diese Methode ist deutlich eleganter!

[@Terrabert-h4l]

Wirklich sehr schönes Video, du hast es echt gut erklärt, aber bei 5:10 hast du die L'Hopital Regel verwendet. Ich hab aber von der noch nie gehört und kann mir nicht vorstellen, warum wenn lim von f(x) für x gegen c gleich 0 und g(x) für x gegen c auch gleich 0 ist, dass dann der lim von x gegen c aus f(x) durch g(x) das gleiche sein soll wie f'(x) durch g'(x). Ich fände es aber echt spannend, dazu eine Herleitung und Erklärung zu sehen! Könntest du bitte das mal in einem Video erklären?

[@entwurzler]

Gerne!

[@berndkru]

Die L'Hopital Regel wird zwar gelegentlich auch im Gymnasium vermittelt und eingesetzt, aber der Beweis erfordert Methoden, die erst an der Uni gelehrt werden.

[@hobbyist6181]

Bei mir ist es genau umgekehrt. Während ich die Regel von l'Hospital kenne, weiss ich nicht, wieso man am Anfang die Grenzwertfunktion und die ln-Funktion in ihrer Reihenfolge vertauschen darf. Gilt das allgemein? Das ist ja nicht trivial.

[@tomalaska1977]

...hmm, täusche ich mich, oder hinkt die Beweisführung dahingehend, dass wenn ich z.B. im ersten Schritt den log10 einsetze, dann als Ergebnis des Grenzwertes die 10 erhalte. Ich erhalte immer die Basis desjenigen Logarithmus als Ergebnis (nach deiner Beweisführung) welchen ich in Schritt 1 der Gleichung auf beiden Seiten antue - oder mache ICH jetzt einen Denkfehler ...?

[@saschatrumper]

Ja, du täuscht dich. Ich gehe davon aus, dass du log zur Basis 10 meinst, also lg. lg((1+1/x)^x) = x lg(1+1/x) ... lg(1+1/x)' = 1/(1+1/x) • 1/x² • 1/ln(10) Denn die Ableitung von log(x) zu einer beliebigen Basis a hat einen Korrekturfaktor von 1/ln(a) ... lg(L) = lim 1/(1+1/x) • 1/ln(10) = 1/ln(10) basisumwandlung loga(x) = logb(x)/logb(a) ... lg(L) = lg(e)/lg(10) = lg(e) L = e

[@tomalaska1977]

Stimmt!! Ich hatte den Ableitungsschritt des ln im Video bei 6:00 min übersehen. Und klar, der ln abgeleitet gibt natürlich ein anderes Ergebnis als der lg abgeleitet. Danke!😊

[@pizzanapoli820]

Die Beweisführung hinkt insofern, dass gleich am Anfang der ln auf beide Seiten angewendet wird und hier stillschweigend vorausgesetzt wird, dass ln(lim(...)) = lim(ln(...)) ist.

[@saschatrumper]

@@pizzanapoli820 nö. Eigentlich nicht. Die stetigkeitsbedingung wurde doch erwähnt. Oder täusche ich mich?

[@pizzanapoli820]

@@saschatrumper Ja, aber das funktioniert doch nur wenn der Grenzwert existiert, was wir ja noch garnicht wissen.

[@einfisch-z9f]

Und wie sieht dann der Graph der Funktion aus

[@tolltobipkmn7154]

Gute Frage: Ich hatte auch keine Ahnung. Ich habe es einfach mal in einen Grafikrechner eingetippt. Das kannst du ja vielleicht auch machen. Für x>0 ist nur der Grenzwert interessant, der Rest ist nicht spektakulär.

[@peterlankton11]

Der sieht schön aus 😂

[@Tzubazaah]

Danke, nettes Video ich bin ein bisschen schlauer geworden

[@Nikioko]

1:36: Um den Grenzwert einer Gleichung zu bestimmen, benutzen wir den Logarithmus, der ebendiesen Grenzwert als Basis hat... Bin ich der einzige, der hier einen Zirkelschluss sieht? Wie will ich den natürlichen Logarithmus benutzen, wenn mir dessen Basis unbekannt ist, weil ich ja gerade diese bestimmen will?

[@herbertwedelmann395]

Da hast Du recht. Du kannst auch den dekadischen Logarithmus verwenden. Das dumme dabei, auch bei diesem kommt das e über den Korrekturfaktor des natürlichen logarithmus 1/ ln(10) rein.

[@justg4898]

War mir zu kompliziert - habe mir einen Taschenrechner geschnappt und einfach mal losgerechnet (habe immer höhere Werte für x eingesetzt) und bin auf einen Grenzwert von 2,71828205 gekommen. Wisst ihr welchen Wert die eulersche Zahl e hat?

[@alexbathe3491]

Trollkommentar? Wenn ja ist's lustig... Wenn nicht hast du Mathematik nicht verstanden ;)

[@justg4898]

@alexbathe3491 ich weiß dass die Formeln dazu da sind um sich die Arbeit leichter zu machen und allgemeingültige Formeln zu finden - zum Beispiel hilft einem der Grenzwert von 1/x bei x→0 überhaubt nicht weiter...man würde auf einen Grenzwert von Unendlich kommen, wenn man es so wie ich macht....was aber falsch ist was man spätestens dann merkt, wenn man den selben Grenzwert von den negativen x-Werten aus gegen 0 laufen lässt - da ist der Grenzwert bei 1/x plötzlich -Unendlich - was verdeutlicht, dass 1/x keinen Grenzwert hat für x→0 Aber wo ist bei dieser Formel das Problem bei (1+1/x)^x? Ich meinte meinen Kommentar ernst und hätte mir eine ehrliche Antwort gewünscht

[@tolltobipkmn7154]

❤

[@karlbesser1696]

✔️

[@haukesievers7909]

Ich möchte lösen: e 😅

[@popogast]

5:19 Es heißt "Regel von de L'Hospital."

[@tolltobipkmn7154]

Das ist tatsächlich von Literatur zu Literatur unterschiedlich 😊

[@hobbyist6181]

Eigentlich wird es mit Accent circonflex geschrieben, welches ich auf meiner Tastatur aber auch nicht gefunden habe (Klugscheiß😂). Aber das ist ein Ersatz für das fehlende s hinter dem o.

[@popogast]

@@hobbyist6181 Interessant. Man lernt nie aus.

[@bernhard254]

Aber das ergibt ja jetzt nur Sinn weil ich bereits weiß was e und ln sind. Auch wichtig das so zu zeigen aber ich hätte ein anderes Video erwartet. 😅

[@saschatrumper]

Dass die Ableitung von lnx = 1/x ist benötigt zwingend die Definition dass e der Grenzwert von L ist. Das heißt, du kannst zumindest l'Hopital nicht anwenden. Du benutzt das Ergebnis des grenzwerts, den du zeigen willst, um ihn zu berechnen. Deine Lösung ist somit falsch

[@entwurzler]

Guter Einwand! Wenn man jedoch e^(ln(x))= x zulässt, kommt man durch die Kettenregel auch auf ln‘(x)=1/x

[@saschatrumper]

@@entwurzler ja, aber für diese Eigenschaft musst du erst zeigen, dass die Exponentialfunktion e^x eben genau diese eine funktion ist, die abgeleitet sich selbst ergibt, ohne korrekturfaktor. Auch das geht nur über die notwendige Grenzwertdefinition. Die Reihenentwicklung führt nicht zu der Eigenschaft.

[@Rafau85]

@@saschatrumper nicht unbedingt. Man kann auch die Exponentialfunktion als Potenzreihe einführen: exp(x)= sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}. Dann kann man die Technik im Video im Grunde benutzen, auch wenn es da kleine Unsauberkeiten gibt.

[@saschatrumper]

​@@Rafau85das will ich sehen, wie du vom grenzwert auf die reihenentwicklung kommst, und daraus e erkennst 😊. Ich lass mich gern eines besseren belehren. Und unsauberkeiten sind vielleicht in der Physik, aber nie in der mathematik erlaubt. 😊 Und auch für die taylorentwicklung benötigst du die eigenschaft der faktorfreien selbstreproduktion der exp(), die du über die grenzwertdefinition der Ableitung nur dadurch erhältst, dass e = lim(1+1/x)^x ist.

[@saschatrumper]

Man könnte jetzt aus dem blauen heraus definieren, dass es eine exponentialfunktion der basis namens e die Eigenschaft haben soll, dass d/dx e^x = e^x ist. Dann kommt man auf die Reihenentwicklung und über die Kettenregel auf eine Ableitungsdefinition des ln(x)... aber dann muss man die existenz dieser funktion beweisen. Sozusagen die Abgeschlossenheit und sinnhaftigkeit der Definition zeigen. Denn sonst müsste man diese definierte Exponentialfunktion immer von allen anderen ausklammern und gesondert betrachten

[@lowersaxon]

Für den halbgebildeten Anwendungsmathematiker sieht das tautologisch aus. Im Schlussschritt wird vorausgesetzt, dass ln und e Umkehrfunktionen sind, daher Tautologie. Es wird vorausgesetzt ( d.h. e) was zu bestimmen/beweisen war. Es wurde auch nicht gesagt, wie versprochen, warum der lim durch 1/x dividiert wird. Typische Mathematikertricks. Undurchschaubar für die, die das Ergebnis noch nicht kennen. „The Explanation is left as a homework for the reader“ 😅. Extrem arrogante Vorgehensweise, extrem schlechte Didaktik, kein Wunder, dass Mathe keine gute Presse hat.

[@blauebazille8530]

Wissen das die Welt nicht braucht.

[@valeriuskaiser739]

Напротив, это основа математического анализа.

[@hydra-f9h]

Was ist der Unterschied zwischen Konvergenz und Divergenz? Außerdem, wie kann man ln verwenden, wenn man zur Berechnung e und damit die Basis noch nicht kannte? Und wieso erklären Sie ein Problem, welches eine Naturkonstante zur Folge hat, nicht auf Basis der damaligen Kenntnisse, als ein e zum Auflösen von ln(L) noch nicht bekannt war?

[@tolltobipkmn7154]

Eine Reihe / Grenzwert heißen konvergent, wenn es einen Grenzwert gibt, also eine endliche Zahl rauskommt. Sie divergiert, wenn es keinen Grenzwert gibt, also das Ergebnis (minus) unendlich ist. Und das zweite ist eine super berechtigte Frage. Es gibt einfach mehrere Möglichkeiten, das Thema einzuführen. Ich gehe mal davon aus, dass ihr zuerst den ln in Ana1 über eine Reihendarstellung eingeführt habt. Und dann habt ihr die Exponentialfunktion als Umkehrfunktion eingeführt. Wenn das der Fall ist, dann verstehe ich, dass es verwirrend erscheint. Es ist aber tatsächlich auch möglich zuerst die Exponentialfunktion einzuführen und dann auf den Logarithmus zu schließen. Man kann zeigen, dass exp(x) = e^x = lim(n->unendlich) (1+x/n)^n. Bei der letzten Gleichheit bin ich mir nicht ganz sicher, ob die so aussah, aber ungefähr. Und wenn man das ganze so einführt, ergibt das Sinn 😊

[@hydra-f9h]

@ Ich meinte, wie konnte man damals, als man den Grezwert berechnete, den Logarithmus effizient anwenden, da ohne das Ergebnis e zu kennen, kein Log zur Basis e existieren kann

[@berndkru]

@@tolltobipkmn7154 Die Divergenz ist leider falsch erklärt: Divergenz bedeutet, dass kein Grenzwert vorliegt und das bedeutet nicht, dass bei der versuchten Bildung des Grenzwertes plus oder minus unendlich herauskommt. Beispiel: Die Funktion sin(x) ist für x-> Unendlich divergent, aber es ist weder plus noch minus unendlich.

[@tolltobipkmn7154]

@@berndkru Stimmt, ich habe vergessen, wenn kein eindeutiger Grenzwert vorliegt. Beispiel: a_n = (-1)^n Ja gut, dass Sie mich darauf hingewiesen haben 👍

[@tolltobipkmn7154]

@@hydra-f9h Naja, ein Logarithmus muss nicht unbedingt zur Basis e sein. Aber die Seefahrer haben damals schon gut mit dem zur Basis 2 und 10 rechnen können. Was genau die angestellt haben, weiß ich nicht, aber mein Prof meinte, dass das irgendwas mit der Beladung des Schiffes zu tun hatte.