Equazione di quarto grado

Equazione di quarto grado risolta in modo strambo

[@anyelo2026]

Sfruttando i tripli prodotti ho cercato di evidenziare all’interno del polinomio la presenza di un cubo di binomio: x^4 + 3x^3 + 3x^2 - 2 =0 x ( x^3 + 3x^2 + 3x ) - 2 = 0 x [ (x+1)^3 - 1 ] -2 = 0 x (x+1)^3 - x - 2 = 0 A questo punto ho cercato di esprimere tutto il polinomio in funzione di (x+1) [ (x+1) - 1 ] (x+1)^3 - (x+1) - 1 = 0 (x+1)^4 - (x+1)^3 - (x+1) - 1 = 0 Dopodiché ho scomposto il primo e l’ultimo termine come differenza di quadrati e ho scomposto il secondo e il terzo termine mettendo in evidenza il fattore in comune [ (x+1)^2 + 1 ] [ (x+1)^2 -1 ] - (x+1) [ (x+1)^2 + 1 ] = 0 Infine ho messo in evidenza il fattore in comune contenuto nella prima e nell’ultima parentesi quadrata [ (x+1)^2 +1 ] [ (x+1)^2 - 1 - (x+1) ] = 0 E svolgendo le due espressioni contenute in ciascuna parentesi quadrata, si ottiene ( x^2 + 2x + 2 ) ( x^2 + x - 1 ) = 0 Una volta scomposto il polinomio si ottengono le seguenti soluzioni nel campo complesso x = -1 ± i x = ( -1 ± sqrt 5 ) / 2

[@GaetanoDiCaprio]

Fantastico!

[@stefanotonon5265]

Ingegnoso!

[@max031066]

Ottima risoluzione elementare, bravo!

[@powereln]

io ho fatto nello stesso modo, ma quando sono arrivato a scrivere (x+1)^4-(x+1)^3-(x+1)-1=0 ho sostituito y=x+1 e ho ricavato y^4-y^3-y-1=0. In genere a questo punto provo e guardo se fra le soluzioni, oltre a +-1 c'è anche i. Se lo trovo, come in questo caso, deve esserci anche -i, per cui il polinomio deve essere divisibile per y^2+1. La divisione rende y^2-y-1=0 che ha come soluzioni y= 1/2 (1 + Sqrt[5]) e 1/2 (1 - Sqrt[5]) da cui ricavo subito x.

[@mariadettorre2074]

CHAPEAU!

[@sergiodorsi6457]

bellissimo ragionamento, complimenti!

[@stefanotonon5265]

Buonasera Gaetano. Davvero interessante!

[@GaetanoDiCaprio]

Grazie!

[@stefanotonon5265]

Non ricordavo il teorema che hai citato...

[@BruceLee-io9by]

Gran bel lavoro. Avevo utilizzato il tuo stesso ragionamento per risolvere un'equazione di quarto grado delle olimpiadi di matematica. Non so se ci sono altri modi per arrivare alla fattorizzazione... magari, con più allenamento, si potrebbero "intuire" le due equazioni di secondo grado...

[@bonaventurapaolillo451]

Interessante la soluzione. Solo una cosa: il sistema è di ottavo grado mi pare di capire? Anche se ciò non influisce

[@GaetanoDiCaprio]

Sì, hai ragione, è di ottavo grado perché anche la terza equazione è di secondo grado, grazie della precisazione

[@andrea.8458]

5:58 come hai fatto a sapere che quelli sono i valori corretti?

[@GaetanoDiCaprio]

Delle quattro possibilità, due portano a un sistema impossibile e due a una soluzione. Nel video ho presentato soltanto una delle due che porta alla soluzione (l'altra è semplicemente simmetrica). Per quanto riguarda le due che portano a un sistema impossibile basta sostituire e verificare, è abbastanza immediato

[@robyzr7421]

x^4 +3x^3 +3x^2 - 2 =x^2(x^2+x +1) +2(x^3+x^2 - 1) =... = (x^2+x+1)(x^2+2x) - 2(x+1) = (x^2+x+1)(x^2+2x) - 2(x^2 +x+1-x^2) =..... (x^2+x+1)(x^2+2x - 2) +2x^2 Qui mi blocco x un bel po' 😮 Poi... (x^2+x+1)(x^2+2x - 2) + 4(x^2 +x+1) - 2(2x^2 +4x +4) = (x^2+x+1)(x^2+2x - 2 +4) - 2(x^2+2x + 2) = (x^2+x+1)(x^2+2x+2) - 2(x^2 + 2x +2 ) = (x^2+2x +2)(x^2 +x - 1)

[@francescosmerilli5384]

Io uso sempre questo metodo, Ruffini mi sta antipatico, ho risolto allo stesso identico modo.

[@roccosilano]

Stavo provando a lavorare sul fatto che aggiungendo e togliendo x, raccogliendo una x si ottiene il cubo di x+1 ma rimane un - x-2 e non ci faccio niente

[@GaetanoDiCaprio]

Guarda il commento in primo piano

[@roccosilano]

@@GaetanoDiCaprio alla fine ci soni arrivato anch'io aiutandomi, dopo essere arrivato a x(x+1)^3-(x+1)-1=0, con t=x+1. Dopo due passaggi ho ottenuto t^4-t^3-t-1 e a qui ho capito che potevo sfruttare la differenza tra quadrati tra t^4-1 ecc ecc

[@MatematicaGuetti]

4.20 Sistema di ottavo grado...

[@GaetanoDiCaprio]

Sì certo già segnalato, grazie

[@chaossspy6723]

Come si chiama il teorema?

[@GaetanoDiCaprio]

A quale ti riferisci?

[@chaossspy6723]

4:46 questo

[@GaetanoDiCaprio]

@@chaossspy6723 Il teorema non ha un nome, è una conseguenza de teorema "Se un polinomio a coefficienti interi è riducibile in Q allora è riducibile in Z"

[@chaossspy6723]

@@GaetanoDiCaprio ah ok, grazie. È che proprio non lo conoscevo. Cioè non sapevo proprio esistesse🤣🤣