哥尼斯堡七桥问题：什么样的图形可以一笔画？

[@ruotui]

图论问题比较直观，在数学分支中相对独立，适合作纯智商测试。几十年前学的图论课，今天李老师帮我复习了😛🙏 我知道美国的一位教授设计了一个软件就是让校车尽量少跑重复的路径，其实就是解决一笔画的问题。该教授由此成立了一家公司。另外，我怀疑李老师是故意画错一次以便引进弗勒里算法😜🤪

[@changliu9578]

留言慢了，我也想说，永乐大帝是不可能出错的，第一次画错靠的是深厚的演技。。。

[@triggerost9023]

"图论问题比较直观，在数学分支中相对独立，适合作纯智商测试" 如果你只把本科学的那点图论就当这门学科的全部的话，那只能说眼光太狭隘了。图论中大多数基础理论都是以静态的情况展现给人们，例如路径规划，聚类问题等等，这些算法在动态领域还大有研究空间；目前热门的NPL（自然语言处理）就是基于图论类聚发展而来的；还有目前3d建模中的多边形简化，也都是结合图论相关算法而研究的；不要小看任何一个学科，人外有人天外有天。

[@leolee-d1h]

作图是直观，但为了证明而动用数式就难了。就如尺规作图问题，看似是动手的画图，但要证明时都是一整页数式，而不是给出绘图步骤。

[@magnuswu1129]

银行解款车也是一个道理。他们也需要这种设计

[@Henry-yr2hn]

你怕是不知道代数图论吧。

[@Haru-21121]

11:57 這個旅行聽起來更痛苦了... 15:40 答案是不可能，可以將此圖想成 A,B,C,D,E,F(外部空間) 等6個nodes，度數序列分別是: 5,5,4,5,4,9，根據影片內容，奇度數數目為4，因此不會有 Euler trail 或 Euler circuit。如果要形成一Euler trail，可以從 { (A,B), (A,D), (A,F), (B,D), (B,F), (D,F) } 中任選一組加入一扇門，藉此將兩個奇度數點變成偶度數，若要形成一Euler circuit，則須從上述集合中挑選node不重複的兩組邊，例如 (A,B)及 (D,F) 加入門，則可以將所有node變成偶度數，最終得到一原點出發原點結束的路徑。

[@run-cizhou9172]

只要居民有闲情··其实也不是不行 。B岛出发-到A岛- 中间的桥到D-右下的桥穿过B岛到C-中间的桥回到A-左下边的桥到D ·······然后······绕地球走一圈再穿过左上回到A岛

[@wxw0924]

三维空间里的七桥问题

[@candycrush5406]

大西洋上没桥

[@candycrush5406]

除非你游泳

[@peifenchen1762]

为了串连七座桥还得浪一圈地球，服！

[@BacchusDS]

绕地球走一圈可不是有闲情啊😂

[@Wade_Chen]

最後思考題，將五個房間視為點，外部空間也當作一個點，總共六個點；三個房間有五個門跟外部空間有九個門，因此有四個奇點無法一筆畫，但可以兩筆畫完成

[@po-haokao1433]

延伸思考一下：把下方中間房間對外的門封了，就可以消除兩個奇點。變成從上方左右任一房間出發，另一房間收尾，可一筆劃的歐拉路徑。

[@austinliu9673]

外部空间只算又1个点吗？为什么不是2个？

[@po-haokao1433]

跟李老師講歐拉的七橋案例一樣，南岸和北岸各為一個點，每個河岸點各有3個條線（橋）聯接。同理，屋外的東西南北面也應各視為一個點。

[@lulumi586]

@@austinliu9673 南岸不是自由走到北岸，但房外空間是自由的

[@austinliu9673]

@@lulumi586 谢谢

[@kassizhang4646]

突然觉得这个无所不能，无所不问的“小朋友”就是李老师自己。😁

[@tajenli]

李老師人格分裂!? 😅

[@tomoyafuruya3526]

@@tajenli 玩够

[@ymj5161]

课后作业：门视为线，房间和屋外视为点。一共三个大房间和屋外4个奇点，大于2个，不能一笔画。

[@helenlee7480]

數学原理在人生成長路程及日常生活中给予我的啟發太广太多了。感謝李老師。

[@fisher5243]

柯尼斯堡七桥问题我很小的时候就接触到了，当时是尚雄哥给我出的趣味题，尚雄哥是1978级的大学生，我姐则是1979级的，他和姐姐对我的知识体系有很大影响。我初中作业有次是个求极值问题，我用的是常规方法，他告诉了我导数，我便应用导数求极值的简便解法交了作业，弄得江老师有些惊喜，把她大学时的微积分教材拿给我。 我没有学习过图论，纯粹就是大脑演绎和推理。我甚至想，自己早出生几百年，没有欧拉，我们中国人通过钻研同样会归纳出解法。这也是我很早就有民族自信的一部分。

[@ciditan1615]

佩服

[@c65242007]

這也扯什麼民族自信，人家歐拉的原文你去看過沒？那可不是你這種民科等級的小聰明。

[@zhongzhongclock]

15:44 答案：不可能有这样一笔画。原因是这五间房子中的三间大房子的门的个数都是奇数（五个门），同时最外部的空间所接的门的个数也是奇数(9个门)，所以无法一笔画出走过所有门的画法。

[@masonliuhs4327]

你忘了说：根据欧拉定理 哈哈

[@walt54506]

解：多啦A梦任意门

[@az362951847]

沒有說不可以走第三維度，所以是可以的

[@wileyyang1567]

@@az362951847 可以走第三维度的话无论什么样的二维的门都可以一笔走完了，题目就没有意义了

[@ambery7277]

求further explanation！

[@battlewar6245]

求四色問題和水杯分水問題！！永樂老師講得超好，跟以前的老師一樣淺顯易懂。感覺我們快要進入拓墣學領域了XD

[@jizhou749]

感兴趣，麻烦李老师再讲两期相关知识的课吧。感谢🙏

[@user-kq1kg1jt4e]

me too

[@lingyu6534]

Me three

[@user-zm3wi9wc6e]

Me four

[@lildwayne8545]

旅游爬山的时候总是纠结如何不走冤枉路看完所有景点，这下豁然开朗了。李永乐老师讲的东西都太接地气了。

[@jiangjet946]

李老师的视频太棒了，每天都陪着小孩一起看，一起讨论👍👍👍

[@pickachu555327]

原來這個主題就是圖論的範疇，以前想過這個一筆畫問題，沒想到有番學問在裏頭~ 期待老師做更多圖論相關的內容!

[@vincenthuang2388]

自从知道这个七桥问题之后，一笔画游戏就被我卸载掉了

[@lipeng0820]

天呐！几分钟前刚在Tiktok上看到了这个科普（关于地铁图和拓扑学）紧接着就收到了这个推送！大数据细思极恐 哈哈哈😄

[@lipeng0820]

然后接着被李老师点赞翻牌子…我这位小朋友今晚不加个鸡腿儿庆祝一下是说不过去了🍗

[@lipeng0820]

（收到这个推送的时候视频刚发出来56秒）我看的那条视频发布于7小时前，每次这种情况我就认为是大博主们统一收到了命题作文😂是这样么？

[@mobilestudio7387]

也有可能是幸存者偏差

[@lipeng0820]

@@mobilestudio7387 有道理👍真的没可能是KZbin联合Tiktok发布的命题作文吗？😂（这俩公司凭啥联合😆笑死

[@liketheblue5082]

思考题应该不能一笔画...每个格子是一个点，整个外面也是一个点： 从左上到右下ABCDE，外面是F，度数为： A：5 B：5 C：4 D：5 E：4 F：9 4个奇点，所以不能一笔画.. 如果在下面中间（D）多i开一个门就可以一笔画

[@zhiyuanliu8207]

可以的，bro

[@wxw0924]

我认为不能把五个格子看成五个点，大格子五个门，小格子四个门，题干要求的是每个门只走一次，16个门不能多走也不能少走

[@user-dp9bl1gd6o]

关闭a又下小门也可以一笔画完。不知道我算的对不对

[@liketheblue5082]

@@wxw0924 你可以把每个门看成一条线，然后就是每条线都只能画一次

[@liketheblue5082]

@@user-dp9bl1gd6o 应该也可以，只要减少一对奇点就行😄

[@user-vd9wj7ct1b]

以为这么简单的图，老师都画错了，原来是作为后面讲解伏笔的。我是太年轻了。。。

[@maselfsk8900]

之前看一休里面有一集就是有人考一休一笔画一个“田”字，看完李老师的视频才知道，聪（ji）明（zei）的一休把纸的一角折过来连接了“田”字的其中两个奇点😂

[@fuqiangkang367]

这就涉及到虫洞了……

[@ruotui]

这个有点意思。不过不是折一个角，是把田字按角对折一下，其图形是一个欧拉路径。

[@weien1991]

好棒的內容，謝謝李老師

[@hubenbu]

李老師真的是國寶，化繁為簡鬼斧神工。

[@Yi5Ba6BC]

听到老师说翻车了就莫名的喜感🤣

[@Petey-The-Cat]

原来画错是故意的，是为了讲弗勒里算法.. 李永乐真是个好老师！👍👍

[@user-dm6gs5pd8g]

现在公务员考试就有这类考题，讲的比粉笔软件上的都好🥰

[@L-iu]

粉笔只是应试技巧，不像这个讲的完善正常哈哈

[@bengaminbutton1667]

感谢老师！特别是最后的思考题，希望以后的课程后面都留点思考题，学到了才是自己的！

[@wuyungtai7487]

佩服李老師如此講解

[@jasons6460]

这种数学问题更接近于逻辑归纳，不需要太多的数学知识。很适合训练中小学小朋友的分析能力。家长们可以试试。

[@dawei6697]

别霍霍小朋友😂

[@lincbky]

我小学看的一本奥数书就有讲这个，结果现在大学了电子工程还在学这个🤣图论真的是可深可浅

[@jolu628]

感謝李老師讓複雜的數學問題變得生動有趣清楚明瞭！ 要是國中的我就認識了李老師，現在的成就或許會不同。

[@Hi-lm7gw]

不會吧，多看一兩部數學科普影片不會讓你人生改變多少，你還是一樣讀書然後想著賺錢

[@toddyq6756]

9:33 一个图形积点必为偶数个我不认同，随便加一笔修改一个积点就不是偶数了

[@Hi-lm7gw]

@@toddyq6756 那你是不是多了一個奇點？

[@user-zm3wi9wc6e]

@@toddyq6756 应该是指封闭图形吧

[@raydeng7604]

最后的思考题，可以把五个房间各自看作一个点，外面的世界整个看作一个点，五个房间之间还有各自与外面世界之间的门都看作一条线，画出图来，显示有四个奇点，所以是不能一次性不重复走完的。

[@lanliu2665]

李老师讲得真是深入浅出，很期待李老师什么时候可以完整地讲讲离散数学

[@EgD996]

记得当年小朋友二年级，第一次学而思数学课是七桥问题一笔画

[@tinlu4137]

能整理出規則的人就是大師。。

[@VictorSpeed9]

李老师身在异乡却不忘思念着家乡故里，真令人敬佩！

[@vincenthuang2388]

神人欧拉！！！感谢李老师！！！

[@zachz6331]

在很多平台都看过李老师的视频，感谢老师的分享，有点意思。

[@wu_hugo]

李老师多做几次离散数学的视频吧！这期很有意思

[@sshanrs]

大学没好好学是不是

[@hsiehjerry2276]

希望老師可以介紹四色問題

[@alfredkhew1634]

四色猜想的故事很有趣, 曾难倒明可夫斯基。他以为是随手能在课堂上证明的数学题, 谁知这猜想一路难倒很多聪明人。好多年后经电脑辅助, 才得出证明。

[@david30930]

雖然我數學不好不感興趣 但我從小就覺得數學是極其偉大的一門學科 一項知識! 萬物的原理 來自於物理 物理的基礎 來自於數學! 世人覺得數學無聊 乏味 無用 但我覺得超級有價值! 生活上的很多應用 都是含有數學原理的 只是民眾不自覺 再者很多數學原理 過去當下無用 但後來很有用 被未來拿來解決問題 促進科技進步!

[@winniealexander7566]

李永乐老师能否解释下为什么两个人相隔800米可以时空伴随，而几万个人紧挨着排队核酸检测就不会传染呢？

[@user-ek2ny2uo9c]

這問題比較像 感染的人症狀已經出現去感染其他人 沒被感染的人去看驗證自己是否感染 不保證他檢測時沒有症狀 現實比較大的可能就是傳染時是沒有像口罩基本防護措施在的 而檢測環境 感染力沒那麼強吧 我猜

[@gowxx242]

口罩

[@howardw8664]

這個問題涉及國家機密，老師不會答的。

[@chao.m]

讲的真好👍有趣而且深入浅出，没有难懂的数学，但足以促进对数学的兴趣

[@DavidDENGcn]

前半部分其实只证明了必要性，没有证明充分性，也就是如果有两个奇数点必定可以一笔画。最后的算法可能也能够证明，但不太直观。其实充分性证明不难：从一个奇数点出发，必然可以找到一条路径到另一个奇数点，否则奇数点个数肯定大于二。然后把找到的路径去掉，剩下的子图必然没有奇数点了，可以类似的证明肯定能找到一条回路，再去掉，直到所有的路径都用完，因为每条回路至少用掉两条边，所以一定能最后全部去掉。所有的回路再加上最开始的路径可以串在一起作为原图的一笔画。

[@lawrencelee6647]

高質量的課程，看到忘記吃飯，謝謝永樂老師！

[@t.w.3198]

可以讲一期”福特-福尔克森“算法计算最大网络流的问题。

[@user-pv5qo8vb2o]

李老師！真厲害啊！什麼都懂，簡直是全能博士。

[@dra9on]

能解决生活中实际问题的，希望老师多讲讲🎉

[@cshine7262]

考公务员的时候学过一笔画题型，但一直属于知其然不知其所以然，李老师把原理解释明白了

[@aldrichzeng825]

研一的时候上过图论课程，确实挺难的，老师说是思维的体操。不过在现实生活中真的应用广泛。

[@maylin1715]

太有趣了，謝謝李老師講解

[@johnzhang7628]

当年上学时，能进李老师的班就好了

[@vikiyao]

游客通常会利用集体智慧默认“踩”出k-1条路来，园区只用在游客踩得最多的草坪之类的地方修条路就行了……

[@chunyinli9714]

高👍

[@user-ec8gi5os6k]

早几年看李老师的视频，我现在可能也当老师了

[@user-oq6my7qg9w]

看完后，我三秒就忘了

[@alicewang797]

讲得太清晰透彻了👍👍👍

[@royaguo9069]

李老师真🐃👍👍👍我小时候怎么没遇到您！😀

[@gloria-dj4ol]

老師可以做一期關於玻色-愛因斯坦凝聚態的視頻嗎？

[@skullywag5937]

这个思维方法好。通过简化问题得出计算方法。

[@user-gs6io4ic8w]

離散數學的內容，非常值得學。

[@sisyqiu6411]

老师可以推荐这些有趣数学问题的书籍或者其他资源吗？ 文科生听不懂很干枯的知识，就喜欢这些有意思的。

[@jimshen1309]

老師能不能講講巴塞爾問題. 看網上23種證明沒一個看得懂, 3B1B有個圖解法挺有趣的, 但也不是100%懂 (畢竟是英文的).

[@ivy3293]

我记得这个问题，老师出的书里有记载！！！米线的问题。

[@cklai8886]

又学到了，谢谢李老师！

[@machongwei7082]

我最佩服欧拉的地方就在于，他的解法貌似在高维空间中也是成立的

[@user-oh8ou8cf1r]

最後的思考題 只穿門就很容易 要走回起點就沒有想到

[@shirleyhe6695]

李老师，可以讲讲半变异图吗，semivariogram

[@tommymairo8964]

最後思考題有四個奇點，可以兩筆畫 😂

[@edall3545]

李老师懂得真多！获益了。

[@yusamuel9876]

李老师，能讲一讲，博弈论中，K-level model strategic thinking吗？

[@e-fz.1zeroe223]

有一期节目李永的老师说过怎么把地图用几角形圈出来

[@zdsu1969]

非常感谢，老师辛苦了。

[@shirleywei2037]

一笔画在学而思小学二年级的数学中有教，不过感觉李老师讲得更通透一些。

[@user-rg1vr7xu3c]

可以出更多圖論的主題，很喜歡

[@jizhou749]

最后的房子问题，奇点为四个，要两次才能走完，一次走不完。不知道分析的对否，敬请李老师指正。

[@shu-xianwu1054]

這對規劃建設旅遊路線景點有莫大幫助

[@waltermitty6446]

学到了，谢谢李老师

[@Pythonee]

李老师，下次单独讲一下思考题吧

[@hehuang4943]

很实用啊。

[@kevinnginliang]

李老师新发型好帅！

[@user-it9kd4wq6v]

学习了！感谢!

[@U.S.President]

李老师可以和youtube其他科教类博主 比如veritasium，vsauce联合做一些节目

[@atussentinel]

总觉得奇偶点的论述只解决了必要性问题，用来给七桥问题下结论是足够的，但是没有给出充分性证明。一般讲七桥问题的时候都是在这着急下结论“只要0/2个奇点的时候一定存在路径（若图形是连通的）” 这个结论是对的但并没有这么直观。

[@niuza0]

所以一筆劃走完七橋有什麼好處？解鎖歐拉的手機屏幕嗎？

[@yalaoguo7100]

也许能让你的快递早一天到你家

[@eddielu2193]

谢谢李老师

[@user-wd1bn9gn3y]

永樂老師的板擦好苦愛！！！

[@xuj62]

小时候看过这个七桥问题，一直记着。

[@user-bd6bt9if5k]

老師 你能講解一下盪鞦韆的原理嗎 為什麼盪的力量不會被自己抵銷 卻可以約盪越高

[@user-vz2ds9gh9d]

因為當人在上面時候 站起來蹲下改變重心 其實是對地施力 也就是鞦韆受到地面的反作用力 你對鞦韆儲存能量

[@helenlee7480]

我是幼教工作者。看了您這视频给我很大啟發。和2到3岁小朋友可以玩出很多种遊戲。欧

[@yjbooky6256]

看来李老师也是个明白了啊！👍👍👍👍👍😂

[@user-ql1mi9yq2d]

12:20不是不知道 而是知道的都不在了🤭

[@albertxyz]

小时候讲奥术的时候学过这个，然后课上我好像是幻听了，我就记得老师讲，0个奇点随便起笔，1个奇点从奇点起笔在奇点结束，两个奇点从一个起笔另一个结束。 然后这个问题困扰了我小学好几年，到底是怎么弄出1个奇点的。。。。。。。。

[@indujai-00]

非常有趣👍🏻👍🏻

[@hardcat-tn6jx]

老师我想问你一个问题，射雕英雄传里黄容向瑛姑提了一个问题:什么数除6剩1，除5剩2，除4剩3,除3刚刚好，请问是什么数

[@user-ik3pt6ui7w]

那道思考题要走一遍的门包含了通往外界的门吗？

[@zenkeicheung1536]

欧拉的方法能用到三维空间嘛

[@sjx5197]

点和线可以2维也可以三维，完全没影响啊

[@mjwei3819]

李老师能讲一讲最短路径算法吗

[@jizhou749]

李老师竟然是吉林人，老乡呀。好熟悉的北山。👍

[@user-nj7zw5fw7e]

中國教育界有您，學生之福， 講得清楚，太棒了！

[@yalaoguo7100]

图论提供理论工具，运筹学解决实际问题。

[@HaHa-dv1bw]

李老师前几天有在抖音直播，但要0.7元的付费 我支付不到，所以无法观看😅 李老师有没有机会在YT开启这样的直播

[@quentintsang]

可否教: 量子計算? 和群論?

[@jackhan8691]

解决了困扰很久的公考一笔画问题

[@user-tf1in5vw8u]

欧拉是怎么想的，为什么会从点连线数的奇偶作为出发点去思考一笔画的问题？

[@user-ve6lv8bb9h]

老师的问题无解太难了😂