Гамма-функция и бета-функция: вывод основных соотношений

В этом видео познакомимся с гамма-функцией и бета-функцией, найдем все известные точные значения для гамма-функции, получим несколько интегральных представлений для этих функций, а также основные формулы, которые позволят сразу использовать их. Выведем соотношение связывающее гамма-функцию с бета-функцией, получим формулу дополнения для гамма-функции, а также рассмотрим несколько примеров.
Здесь найден интеграл, который используется при выводы формулы дополнения: • Несобственный интеграл...
Здесь про полярную систему координат: • Глаза гипножабы и площ...
Здесь подробнее про интеграл Эйлера-Пуассона (от e^(-x^2)): • Интеграл Эйлера-Пуассо...
Здесь другой способ нахождения интеграла Валлиса (от cos(x)^n): • Интеграл (cos x)^n. Об...
Здесь интеграл, аналогичный гамма-функции, но находится другим путем: • Два полезных интеграла...
00:00 Вступление
02:13 Определение бета-функции
04:57 Значение B(1/2,1/2)
05:47 Определение гамма-функции
06:28 Основное свойство гамма-функции
08:40 Значения гамма-функции при целых аргументах
12:44 Связь гамма-функции и бета-функции
20:30 Значение Г(1/2)
21:53 Значения гамма-функции при полуцелых аргументах
24:29 Ещё некоторые значения бета-функции
26:22 Формула дополнения для гамма-функции
31:50 итоги
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911

[@sbytuylethyk8081]

Может, это и не моё дело. Но всякий раз, когда я смотрю ваши работы. У меня возникает два вопроса-1.Больше узнать, о вашем пути, к такому уровню мастерства в математике. 2.Что взятие интегралов для Вас, искусство или набор технических приёмов. И конечно, чувство глубокого уважения к Вам.

[@Hmath]

Ну вот как наберётся 100к подписчиков, сделаю какое-нибудь такое видео с ответами на вопросы, хаха :)

[@sbytuylethyk8081]

@@Hmath Мне настолько интересно, что я готов ждать. Подождём.

[@ruslankinzibaev4480]

@@sbytuylethyk8081 Согласен) очень красиво)

[@user-wb6wc2ru9u]

это же на любом матфаке проходят

[@mykolanikolayev1714]

Пожалуйста сделайте видео про L функции

[@georgyzhilinsky]

Как обычно великолепно. Как то раз вывел связь между гамма функцией и дзета функцией и думал что открыл что то новое, а потом оказалось что это уже известно 😔

[@Hmath]

даа, такие вещи уже за столько веков нашли :) в этих разделах довольно трудно найти какую-но новую формулу. Хотя иногда кому-то удается...

[@VSU_vitebsk]

Браво! Получилось отличное обучающее видео для студентов. Автору искреннее уважение за титанический труд

[@user-ht8sp1cu9v]

Вот что значит, видеоролик ведёт математик: всё предельно лаконично, понятно, не упущен ни один важный момент -- сотреть/слушать одно удовольствие! Большое спасибо!

[@rwerterrwerter4105]

Интересное, познавательное видео.

[@al_fnas6520]

Спасибо за фильм про любовный роман двух функций

[@max_klimov]

Это божественно !! Спасибо большое за видео. Очень рад, что нашел этот канал

[@amaramar-tx5wb]

Без комментов просто супер Спасибо!

[@AlexeyEvpalov]

Отличное обучающее видео. Большое спасибо за великолепную лекцию.

[@rhuslc]

Открыл видео и сразу лайк. Спасибо, смотрю ваши видео с удовольствием по вечерам😊😊😊

[@GlockGucci]

Спс за столь годный материал. Экзамен на носу по интегралам от параметров в том числе, сказали , что это самая сложная тема из этого семестра по матанализу.

[@endlessvd]

Видео шикарное, как студент 1 курса, мало что понял, но для общего ознакомления с этими функциями вполне хватит, на канал подписался, будем дальше стараться понимать матанализ

[@garcializardemarcos1408]

Здравствуйте, большое спасибо за ваши замечательные видео, вы быстро даете мне эти определения, что трудно собрать эту информацию в сети, привет из Мексики, очень хороший контент, который вы загружаете.

[@Hmath]

gracias

[@jabahuyaba]

Обожаю твой канал!

[@sbytuylethyk8081]

Большое, спасибо.

[@yegorgorodzha9921]

Понравилась отсылка к Эйлеру-циклопу на заставке, ну и выведения формул конечно ;) Спасибо за работу и интересные задачи!

[@victor1978100]

8:14 Я бы решил предел t^a/e^t следующим образом. e^t можно представить как t^(t/ln(t)) (то, как это получается, требует отдельного объяснения). Тогда наше выражение будет выглядеть как t^a/t^(t/ln(t)). Дальше, поделим числитель и знаменатель на t^a. Получим 1/t^(t/ln(t) -a). Поскольку отношение t/ln(t), при стремлении t к бесконечности, стремится к бесконечности, а а - это фиксированное число, константа, то каким бы большим это число a ни было, показатель степени у t, как минимум, не будет меньше единицы. А так как t, а значит и знаменатель стремятся к бесконечности, то все выражение стремится к нулю.

[@user-bq8ng3mn7b]

круто, что в видео не использовались другие представления гамма-функции, а лишь одно интегральное. и сразу все формулы стали понятны, спасибо!

[@Hmath]

да, я старался коротко всё сделать. Мне кажется, чуть по-другому выводить и сразу в разы больше будет занимать.

[@Busterfizik]

Класс! Открыл для себя прекрасный канал по математике. Многие формулы знал и использовал в квантовой механики и статфизике, но откуда они взялись не знал. Очень интересно.

[@constuction.portal]

мощь, спасибо вам!!!

[@user-po6wl4ib4x]

prosto odno udovo;lstvie! SUPER!!!!

[@dizogdizog2591]

Очень толково. В первый раз я эту функцию увидел в уравнении Бесселя... И конечно не понял как так эти спец функции вылезли из пресловутого диффура... А тут вот с Гаммой и беттой боль менее понятно)))

[@nataliakondratyeva9686]

Супер!!!

[@user-wy3mr6nj6w]

Спасибо!

[@KalininEvgen]

Жду, когда автор канала выпустит видео с гамма- и бета-функциями от комплексных переменных)

[@KORCHMARYUK]

Гамма-функция - супер, без неё, в теории обобщённых функций - никуда! Дробный интеграл не посчитаешь, например. Кроме того, гамма уникальна тем, что выражает сразу два дробных интеграла. Со степенным ядром - по Риману-Лиувиллю от обратной экспоненты, и с экспоненциальным ядром - по Меллину, от степенной функции. Бета - дробный интеграл, по Риману-Лиувиллю, от гиперболы. Ещё о приложении беты надо заметить, что она позволяет обобщить биномиальный коэффициент, и это полезно для обобщения биномиального распределения - до нормального распределения. Так же хорошо было бы, в следующем ролике, рассказать про обратную гамму (полезно в отрицательной области), и логарифм гаммы (полезно при расчёте больцмановской энтропии). (Да, и я, наконец-то, подписался на Ваш канал. ;)

[@asliddinbaxriddinov5171]

Спасибо большое

[@VagifRamazanov-co8lh]

Алексей, как всегда, Вам респект!!!!

[@AbdulazizTurgunboyev-mc3rl]

Блиннн, просто супер!!! Я у шоке

[@a.osethkin55]

Спасибо!!!

[@wanterism]

Ну что , думаю найти нетривиальные нули дзеты функции Римана будет для тебя просто) как раз нам расскажешь в следующем видео, еще Атье не забудь рассказать)

[@Hmath]

ага, уже сделал такой видосик, но потом винт сломался, на котором он лежал, а теперь вспомнить не могу, как находил, хехе :)

[@dashersbeatz]

@@Hmath Винт можно сдать ремонтёрам

[@user-xi7pp8ri5q]

Замечательная работа!

[@alexeyholin1044]

Огромное Спасибо ! Очень понятно. Есть вопросы (возможно глупые): 1) Что руководило людьми при выборе именно этих видов функций, а не каких-то других ? 2) Получается здесь есть связь с операторным исчислением ? Как реализовано операторное исчисление и почему оно работает ? 3) Можно сделать видео на тему свёрток функций ? Чувствую, что это очень интересно и важно, но толком мало что понял, когда пытался читать самостоятельно.. Спасибо !!

[@Hmath]

не знаю, чем руководствовались 3 века назад при выборе функций, это вопрос к историкам :) Я думаю, что просто каждый в свое время придумывал свои функции, какие-то из них в итоге стали востребованными, потому что использовались в каких-то других задачах, а про другие просто сразу же забыли.

[@Sensibler2019]

Ну теперь-то сам бог велел разложить по косточкам гипергеометрическую. В общем, даёшь спецфункций больше и разных😉

[@dashersbeatz]

Наконец-то...

[@user-wy3mr6nj6w]

Бета-функция, выраженная через Гамма-функцию, похожа на формулу числа сочетаний в минус первой степени

[@BukhalovAV]

Вы очень понятно объясняете. Но одно остаётся непонятным: зачем же придумали эти гамма и бета функции? Что послужило причиной их придумывания, и где же они сейчас используются на практике?

[@Hmath]

другие интегралы определенного вида можно находить, для начала: kzbin.info/www/bejne/nqvVf6Vni5ydZpY kzbin.info/www/bejne/f5SzXmN6jcuro6M

[@AnatoliyRU]

У вас нет видео про сферические гармоники. Про всякие-разные повороты в D3 и разные свойства. Там большое множество свойств интересных для применения в компьютерной графике.

[@Hmath]

нет

[@AnatoliyRU]

а вообще про сферические функции и базисы?

[@5tonnxn]

Ничего не понятно, но очень интересно

[@ftorum19]

А почему всё таки более популярнее определение интегралла Эйлера 2-го рода как Гамма функции, а не П-функйии. Мне вот например удобней использовать П-функцию при вычислениях, а не гамма-функцию

[@vvoooov]

Кстати есть теорема Бора Моллерупа которая устанавливает единственность гамма функции при определенных условиях.

[@vvoooov]

И теорема Виландта. То же самое, но более общее en.wikipedia.org/wiki/Wielandt_theorem

[@user-no6xt6dc6g]

15:15 почему произведение можно воспринимать как повторный интеграл?

[@Hmath]

так устроены двойные интегралы. Это короткий ответ. Почитайте про двойные интегралы и как они вычисляются.

[@user-bm5xf6jn5u]

А были видео по функциям Бесселя?

[@Hmath]

подобного этому не было, но в 2х видео были интегралы с некоторыми функциями Бесселя

[@b1teforce786]

Связан ли минимум гамма функции с пи?

[@Hmath]

насколько я знаю, это неизвестно. Я не находил какой-либо информации об этом.

[@aliguseinov4836]

Уже там много известно об этих функциях, что хочется решить функциональное уравнение и узнать гамму и бету в явном виде, но это врядли можно сделать, иначе бы их определил не через интеграл😔

[@Andrew_Petrovich_Zykov]

лежандр - пеннивайз?

[@arseniylanin]

8:30 га плюс один равно ага

[@eam7560]

Про Омикрон есть чё?

[@Hmath]

омикрон - это сиюминутный хайп, а у меня проверенная классика!

[@user-ze7jv1vw4b]

В калькулятор вбил 0.5!, выдал √(π)/2. Из ваших расчетов Г(0.5)=√π. Почему разные результаты?

[@Hmath]

потому что Г(0.5) не равно 0.5! www.wolframalpha.com/input?i=gamma%281%2F2%29

[@user-ze7jv1vw4b]

@@Hmath Спасибо, сработало

[@user-hc7dc6eb1k]

​@@user-ze7jv1vw4bтам же хитрость. С минус 1. Поэтому программы не выдают ожидаемые значения. Гамма от трёх не равно 6, а 2. Гамма от четырех равно 6.

[@hl-life8738]

Хотел бы спросить, а Гамма функция единственная в своём роде или нет?

[@Hmath]

трудно ответить на этот вопрос, потому что непонятно, что вы подразумеваете под "единственная в своем роде"? В каком-то смысле может единственная.

[@hl-life8738]

​@@Hmath Есть ли другая функция которая могла бы быть продолжением факториала и иметь такие же свойства(f(x+1)=x*f(x), и при всех натуральных значениях f(x) = x!). Извиняюсь если снова что то не смог написать корректно.

[@Hmath]

с таким одним условием, видимо, не одна. но вот есть теорема о "единственности", там несколько условий: en.wikipedia.org/wiki/Bohr%E2%80%93Mollerup_theorem и вот еще в другом смысле "единственная" (т.е здесь другие несколько условий должно быть для того, чтобы она была единственной) en.wikipedia.org/wiki/Wielandt_theorem (на русском нет статьи в википедии)

[@hl-life8738]

​@@Hmath Спасибо, поизучаю) И если у вас есть время, вопросы из другой "оперы", если не сложно😅 Надо ли мне (в том плане что засорять ненужной, на данный момент, информацией голову) изучать темы из высшей матем. заранее(я 11 кл.)? Будет ли полезно заранее это изучить или наоборот отдохнуть и набраться сил для изучения уже в университете? И можете порекомендовать какие-нибудь книги, источники и т.д. для изучения вышмата(ваш ютуб канал я уже смотрю😊)?

[@Hmath]

изучайте то, что интересно, если на это есть время. А если только для того, чтобы в вузе легче было, то для этого и не стоит - там успеете. :)

[@user-we5jk1np4m]

А Гамма функций не является фракталом?, Я имею ввиду не общее значение этого слова, а как объект обладающий самоподобием

[@Hmath]

а зачем? гамма-функция - это функция. А так можно и обычную прямую назвать "объектом обладающим самоподобием" :)

[@avotini4400]

Правда 0!=1