遇到不會的問題怎麼辦？｜朗伯W函數｜Lambert W function｜指數與對數​⁠

[@hgh468]

有次在積分橢圓的弧長，本來以為用sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx可以積出來 結果也是卡住，才發現有所謂的橢圓積分，也是需要用到nonelementary functions

[@gary0617]

謝謝

[@johnwong-dy3tx]

​@@gary0617uuuuuiyuyyyy

[@s4455667788]

我認為 這個函數的性質或是歷史背景要足夠好 才會去接受這個解答 比方說三角函數的性質很好且我們又很常碰到它 生活中有很多例子都是這樣 橢圓積分 我們很常碰到它 但又解不出來 或是 log函數 等等 這些都是有足夠好的性質 又有很多數學背景在裡面 我個人認為 在解決這個問題之前 可能還是要前情提要一下 這個W函數它的背景會好一些 也不會覺得好像是在不會就在逃避問題的感覺

[@gary0617]

@@s4455667788 謝謝

[@boblin9263]

Take exponential on both side, then we get e^x* e^(e^x)=e^2. Then apply W on both side, we get e^x=W(e^2), which results in x=ln(W(e^2)).

[@gary0617]

Thanks

[@weili2279]

1) x^x=2 2) x^x^2^2=2^2^2=16 3) x^2^x^2=16=2.745^2.745 4) x^2=2.745 5) x=root(2.745)

[@kai-sk8pj]

2到3不對吧

[@1c15leungpuicheung9]

@@kai-sk8pj 他有加√

[@kai-ot9ye]

@@1c15leungpuicheung9 2怎麼直接導到3的? 如果能不靠推導直接得出 [n^n=16時，n為2.745] 那一開始問的 [x^x=2時，x為多少?]，為什麼不能直接導出來? 2和16有什麼不一樣嗎

[@lamonthelemon4281]

答案不一樣 用desmos去看x^x=2的話x是1.55961(所以老師沒記錯) 用你的算法算出x=1.65680 你的解題過程2到3出錯了 x^x^2^2和x^2^x^2是不同的東西(前者是x^x^4) 多層次方的次方項不能互換

[@lamonthelemon4281]

然後樓上@kai-ot9ye也說得很對，既然你都能把16拆成2.745^2.745了，那你幹嘛不直接拆2就好?脫褲子放屁?

[@阿偷-p6r]

覺得這個思路怪怪的， 既然最終都要查表或數值解才能得到w(ln(2)) 那乾脆引入 g(x) = x^x 的反函數， G(x) = g'(x), 答案就得到等於 x=G(2)

[@divisix024]

但他可以把整個class of equations 的解都寫成W跟elementary function的代數式

[@今晚打胖虎-z9c]

用exponential把x+exp(x)换成exp(x)*exp[exp(x)] = exp(2),再用Lambert W function就好了

[@小兵-j1r]

建議教一些應用。像是CNN DNN. 計算如何精簡。運算原理。推理訓練等等。

[@gary0617]

好👌

[@nobuhiro-gbf]

然後我就發現曹老師的過去的影片被演算法推薦出來了，哈哈 片名↓ Lambert W Function Intro & x^x=2

[@gary0617]

謝謝

[@emryswinchester9588]

for x+e^x=2 e^x=2-x let t=2-x, then x=2-t the equation becomes t=e^(2-t)=e^2/e^t t*e^t=e^2 W(t*e^t)=W(e^2) t=W(e^2) x=2-t=2-W(e^2)

[@楊易昇]

果然惹誰都不能惹數學老師

[@gary0617]

哈哈哈哈

[@fpn12099]

取 e^囗 ， 完。 我腦袋比較笨，看了老半天，才知道當 ❆ 和 ▲ 相乘，如果一個數是 e 的另一個數次方，那就能湊 W 。 要從 x +e^x 變出 x e^x 無非就平方，但冒出另外兩項有 x 的東西，很明顯不是習題類會出的。 但又要如何把加變成，還要保留住 ❆▲ = 常數的特性？

[@gary0617]

謝謝

[@鄭吉汶]

請教一下，在xlnx=ln2時 為何不能兩邊同時微分 變成ln x+1=0 錯誤在哪

[@曾千易]

因為這兩個方程式只會在一點相同

[@PulsarDD]

因為這樣只是在算斜率=0的點

[@kjdhekwn]

这种新定义函数，然后以类似查表的方法得出一些数值的函数值。这种其实算是数值解吧？ 如果可以用这种方法解方程，那么我有一个高一学生都会的解法：二分法。 所以我觉得这个结果看起来做了不少，其实什么都没有做。

[@gary0617]

謝謝

[@HowDareYouEatMyLunch]

log5 也要查表才知道數值 可見依你的高見 log function 是沒有屁用的東西

[@Cjdjdbsiofo192]

@@HowDareYouEatMyLunch 他打了不少字 但其實甚麼都沒講

[@moregirl4585]

x+e^x=2 e^x e^e^x = e^2 e^x = W(e^2) x = ln W(e^2) 之前講productlog老有人理解成生產日誌

[@gary0617]

謝謝😊

[@mayihelpyou5557]

我還是沒弄懂e^W(ln 2)怎麼算出來 為什麼下一步直接跳出答案

[@mayihelpyou5557]

@@林岑洋-steven 原來是了計算機... 那一開始就直接用計算機就好了啊 為什麼要人工做得更複雜 再丟給計算機?

[@mayihelpyou5557]

@@林岑洋-steven 我的問題點是為啥要手算 又沒有比較快 而且手算還算不出來

[@李米龍]

請問老師 最簡分數可以是帶分數嗎?

[@gary0617]

要化成假分數再判斷

[@李米龍]

@@gary0617 高中考題 1.5循環5化成分數 寫1又九分之五倍高中老師打錯 正確是九分之十四 ??

[@gary0617]

不是這個意思，他要先化成假分數，判斷為最簡分數，再化成帶分數

[@gary0617]

但如果他是要化成最簡分數，還是必須要是假分數的形式

[@fang1004tw]

既然能用計算機的話....用工程用計算機，十分逼近法 1.55961

[@gary0617]

沒錯👍

[@林明信-j5f]

討厭數學的一點就是這樣，題目明明問的是 等於2，結果最後官方答案給 約等於2... 這時候就回覺得，都給你們說就好了

[@b68srhr85]

@@林明信-j5f 把x=e^W(ln 2)帶入x^x確實等於2，用近似值1.55961帶入才會約等於2

[@3240952]

=>e^(x+e^x)=e^2 =>e^x * e^(e^x)=e^2 又e^x=2-x =>(2-x)*e^(2-x)=e^2 同取W func =>2-x=W(e^2) =>x=2-W(e^2) 耶下課

[@孔子1]

老師請問 網路上哪裡找得到amc10中文版歷屆試題

[@gary0617]

目前沒有授權，可以去蝦皮找，九章出版社以前有出過

[@楊伯挺]

Let exp(x) = e^x x + exp(x) = 2 exp(x) = 2-x 1 = (2-x)exp(-x) exp(2) = (2-x)exp(2-x) W(exp(2)) = 2-x x = 2-W(exp(2))

[@viscourtroy]

基本上，求分數下，馬上做另一題😅😅

[@gary0617]

謝謝

[@wallychang3483]

直接定義 f(x)=x*lnx 的反函數不是更快xD

[@gary0617]

也可以

[@2688jojo]

f(x)=x*lnx 本身有點問題，例如x=0沒定義，x

[@wallychang3483]

@@2688jojo f(x)=x*lnx 在(1/e, ∞)有定義而且是1-1函數，ln2也在f的值域裡，所以小心定義反函數的話沒問題。 其實g(x)=x*e^x在實數上也不是1-1函數，所以影片裡的w函數的domain也有限制。 kzbin.info/www/bejne/h5Oae3yKqMesgdU&ab_channel=blackpenredpen

[@brucemak4017]

用Newton iteration method 就可以解到了

[@gary0617]

是的

[@derekwen]

有道理

[@expl0s10n]

Newton’s method不是求解，而是估計解的值

[@sptoo123]

def f(x): return x + math.exp(x) - 2 def df(x): return 1 + math.exp(x) import math # 初始近似值 x0 = 1.0 # 最大迭代次数 max_iter = 100 # 精度 tolerance = 1e-6 for i in range(max_iter): fx0 = f(x0) dfx0 = df(x0) x1 = x0 - fx0 / dfx0 if abs(x1 - x0) < tolerance: break x0 = x1 print("解 x 的近似值为:", x0)

[@gary0617]

謝謝

[@choupeter-jd2le]

前面幹嘛打叉，不是接下去嗎

[@ikramkika5196]

Professor, I am from Algeria and I have understood some of your mathematics concepts. Do you have an Instagram page with exercises to help us more? Thank you.

[@gary0617]

You can search blackpenredpen

[@mayihelpyou5557]

用程式跑啊... 先設定x有幾位數小數 讓他跑x^x

[@gary0617]

謝謝

[@yuan0]

暴力解www

[@mayihelpyou5557]

@@bdc9561 才不會更簡單精確 這樣的程式 不用一分鐘就寫完了 小數點後十位數跟一萬位數 相差不用1秒 分數能精準到幾位數

[@yu65708]

按计算机solve😂

[@gary0617]

哈哈哈🤣

[@lisanpang4791]

why w(x)e^(w(x)) = x

[@TozoKoyasu]

兩邊同時再做一次W(W(x)e^W(x))=W(x)會成立

[@arrowob]

-因為他是-

[@rcblcs]

f^-1(x)=w(x) => f(f^-1(x))=f(w(x)) => x= f(w(x))=w(x)e^(w(x))

[@oceanz8892]

f(X) = x e^x Sub in x = w(x) f(w(x)) = w(x) e^(w(x)) w(x) = f^-1(x) Hence w(x) e^(w(x)) = f(w(x)) = f(f^-1(x)) = x

[@KyyTyy]

😂😂😂

[@gary0617]

@@KyyTyy 👍👍👍

[@許瑞哲-m9e]

外國老師感覺真的比國內老師還強，國外名校就是不一樣

[@gary0617]

曹老師好厲害

[@gregglee1243]

曹老師在哪裡教書

[@RYytchannel]

​@@gregglee1243美國 但不知道是高中還大學 感覺是大學因為很多很難的微積分影片

[@wolfpackz.7476]

曹老师的一只手两支笔用得好😂 不愧是黑笔红笔👍

[@LP77DOG]

崇洋媚外，兩個人都在教中學數學，沒什麼好不好，互相交流而已，很多沒出國念過書的數學老師，也能教出跟曹差不多的內容。

[@L开门见山]

let u=e^x, x=ln(u) ln (u) + u = 2 e^(ln (u) + u) = e^2 ue^u = e^2 u = W(e^2) x = ln (W(e^2)) 😝

[@gary0617]

thanks

[@killuaz5517]

十分逼進法不香嗎？

[@gary0617]

不錯

[@林麗妃]

學術研究區域😂

[@gary0617]

很難

[@李米龍]

這題又不難

[@gary0617]

謝謝🙏