СУПЕРСКИЙ ОТВЕТ! Вы обалдеете!

[@SB-7423]

*Можно решить совсем просто, обозначив ∛(√5 + 2) = a, ∛(√5 - 2) = b. Отсюда: a³ - b³ = 4 = (a - b)∙[(a - b) ² + 3∙a∙b] . Но a∙b = 1, a - b = х. Поэтому х³ + 3∙х - 4 = 0 ⟹ х = 1.* Так обычно решает В.Волков, его коронная фраза: " давайте всё, что нам не нравится, обозначим буквами а и b" .

[@dmytrosotnichenko5970]

Обалденно красивая задача, и решения классные 👍 Благодарствую ❤

[@sergeygaevoy6422]

В процессе второго решения мы отбросили два комплексных корня квадратного полином. Но вот надо ли это было делать в общем случае? Гарантированно ли они комплексные? Могут ли на других числах в задаче получиться вещественные? Кубический корень на комплексной плоскости имеет три значения. Логика подсказывает, что те два отброшенных корня тоже являются ответами к данной задаче, когда кубические корни принимают комплексные значения с других лепестков/ветвей. При этом оба (чисто интуитивно) принимают значения с одного лепестка, наверное, иначе бы их произведение не упростилось. Дальше еще интереснее. Если взять за корень из 5 его отрицательное значение, то выражение превращается в самого себя! Опять же приняли, что их произведение равно 5, значит, они с одного лепестка. Самый простой вариант, наверное, проверить два других корня численно. Не строго, но для начала нормально. Но на вопросы из первого абзаца ничего в голову приходит только то, что куб суммы/разности всегда будет давать одинаковое значение для вещественной суммы/разности и двух других комплексных.

[@Георгий.Цыфаркин]

я согласен с тем, что комплексные ответы тоже подходят насчёт 3 действительных чисел вопрос тоже интересный, вроде логика говорит "нет", но чем чёрт не шутит, математика умеет удивлять

[@DmitryKrechet]

Не подходят комплексные корни. Мы вычисляем х, который заведомо действительный. Все остальные корни посторонние. Не может разность двух действительных чисел быть сразу действительным и двумя комплексными.

[@sergeygaevoy6422]

@@Георгий.Цыфаркин В теории сумма двух комплексных значений (в нашем случае кубические корней) может быть действительной. Если бы под корнем было одно и то же выражение, то комплексные значения с разных лепестков дали бы в сумме действительное значение. Я думаю, что секрет в том, что задание формировали в обратном направлении. То есть усложнили простое выражение. Поэтому появились комплексные решения, но вот появления других действительных избегали. И да. Я еще делал предположение, которое делается в формуле Кардано, о том, что лепестки кубических и квадратных корней связаны (мы ж их сокращали! Как собственно и в выводе формулы Кардано). Без этого решений не 3, а 3*2*3*2 = 36 потенциально. Не хочу проверять, есть ли среди них одинаковые. Если ж корни на одних лепестках, а знак квадратного корня ничего не меняет, то каждое из значений получится поворотом другого на 120 градусов на комплексной плоскости.

[@sergeygaevoy6422]

@@DmitryKrechet Разность действительных чисел не может стать комплексной величиной. НО извлечение корней целой степени n из ненулевого значения порождает n значений. Например, корень четвертой степени из единицы может быть: +1, -1, +i, -i. Отсюда и полином третьей степени. И два комплексных корня.

[@DmitryKrechet]

@ но мы не ищем корни полинома, мы вычисляем значение выражения.

[@SB-7423]

Обозначим: ∛(√5 + 2) = a + b∙√5. После возведения в куб получим систему уравнений: a³ + 15∙a∙b² = 2 (1), 3∙a²∙b + 5∙b³ = 1 (2). Умножая (2) на 2 и приравнивая, получим однородное уравнение, из которого легко получить: a = 1/2, b = 1/2 . *То есть: ∛(√5 + 2) = (√5 + 1)/2.* *Аналогично получим: ∛(√5 - 2) = (√5 - 1)/2.* *х = (1/2 + √5/2) - (- 1/2 + √5/2) = 1* . Попросту использовался метод неопределенных коэффициентов без предварительных вычислений и догадок.

[@Andrej_rybak]

Благодарю.

[@Valid01]

Можно ещё инженерный калькулятор взять и просто посчитать.

[@Пётр-з7п]

Я примерно неделю назад решил уровнение x^3+3x-4=0 методом Кардано и пришел к такому же вырожению, корень этого уровнения, очевидно равен 1.Все.Тут в коментариях об этом уже написали.Еще можно рассмотреть куб константы золотого сечения и ему сопряженного, я думаю, что если знать про числа Фибоначи до этого можно догадаться.

[@lina9o9o9]

спасибо за решение

[@ЕвгенийФролов-ш7ф]

Предлагаю попробовать третий способ. Бумаги под рукой нет, но мысль такая - домножить и поделить одно из подкорренных на сопряженое. Тогда в числителе под корнем будет 1, а в знаменателе - другое покоренное. И тогда имеем разность корня и обратного корню. Может быть из этого что-то получится?

[@zawatsky]

9:09 действительных корней нет. Но так мы нашли комплексные. D=1-16=-15, √D=i√15. x=(-1±i√15)/2. В итоге вышло, что разность двух действительных чисел равна разности действительного и комплексного, да ещё и сумме отрицательных до кучи: ³√[(√5+2)]-³√[(√5-2)]=i√(3¾)-½=-i√(3¾)-½. Как так-то?🤔

[@GeometriaValeriyKazakov]

х=1

[@zawatsky]

@@GeometriaValeriyKazakov пожалуй, моё утверждение не получится ни подтвердить, ни опровергнуть. Например, нехитрые манипуляции легко позволяют доказать, что i=1, или что ε=0, но оно не так по самому определению понятий. Затем, собственно, комплексные величины и придуманы. %)

[@zawatsky]

@@GeometriaValeriyKazakov мне, кстати, всё время было интересно, как комплекса применяется на практике. Сложно себе представить ситуации, где мнимая единичка или нолик прям пригодились-пригодились...

[@artegal8362]

Кто изучал формулу Кардано таких вопросов не задает. У уравнения x^3+3x-4=0 имеется 3 корня. 1 действительный и 2 комплексных. Число из задачи очевидным образом равно только одному из этих корней. Так что утверждение легко опровергается. Вообще возведения в степень добавляют лишние решения, которые надо аккуратно отсекать.

[@zawatsky]

@@artegal8362 "Очевидным образом" - это не доказательство. Нужна формулировка. Просто методом исключения: вот, у нас только один действительный, значит так оно и есть - нуу, такое себе...🙄Железно можно быть уверенным только напролом решая, без иксов.

[@raghvendrasingh1289]

❤ an important observation , if we solve cubic x^3+3x - 4 = 0 by cardano's method we get reat root 1 in the form given in the problem.

[@SB-7423]

Why use Cardano's method here if the perfectly obvious root x = 1 and the other two are complex? *Don't crack a nut with a sledgehammer.*

[@raghvendrasingh1289]

@SB-7423 please think critically , by RRT real root is x = 1 and since function is increasing , other roots are imaginary ( we get the same result by factorisation) if we use Cardano's method then what is benefit ? we will arrive at the starting point . I want to say something else.👍

[@lucatherine4089]

Let x = ³√(2 +√5) + ³√(2 -√5)) for x³ +3p x +2q = 0, ∵ -q = 2 and q² +p³ = 5, ∴ q = -2 and p = 1 ⇒ x³ +3x -4 = 0 ⇒ x = 1【or other complex#】 ⇒ ³√(√5 +2) - ³√(√5 -2) = 1 👈

[@irinavolkova4380]

Неужели трудно записи делать стандартным шрифтом?!