ГЛАВНАЯ ЗАДАЧА ГЕОМЕТРИИ

Стороны BC и AB треугольника ABC разделены точками M и K в отношении 1:1 и 1:2. Отрезки AM и CK пересекаются в точке O. Площадь 4-ка OKBM равна 5. Найти площадь ABC.

[@GeometriaValeriyKazakov]

ДЗ для сверки kzbin.info/www/bejne/fJrFpaSmlsuMZ6Msi=sFOgmyesTWQPnW7R

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за подробное решение.

[@СергейРыбалкин-н4п]

Можно проще.Проводим МН параллельно СК.КН=АК=НВ.КО -средняя линия в треугольникеАНМ.АО=ОМ. Площадь треугольника АКО равна 1/6 площади АВМ,значит она равна 1/5 площади КВМО,то есть равна 1.Площадь треугольника АВМ равна 6.Площадь всего треугольника АВМ равна 12 .

[@smirnov-49]

Вы не из параллельного класса? 😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, конечно, влево проще. Но я рассматриваю более общий случай m:n и k:p.

[@viktorviktor5820]

Точно также решил.

[@СтасМ-ъ8б]

Ещё проще(для 4-6кл). BH=HK, и соединяем ещё K с M. Получаем, очевидно, 2 равных по площади треугольника, и еще 2 равных по площади треугольника , больших по площади в 2 раза первых. Посчитав треугольники, находим нужное.

[@СтасМ-ъ8б]

​​@@GeometriaValeriyKazakov, а в чем большая общность то Вашего решения? Т.е. M и K могут быть произвольно на сторонах треугольника расположены?

[@ЭдуардПлоткин-р3л]

Обозначил площади треугольников:а,в,с. a+5=b+c 2(a+b)=c+5 2a+c=5 a=1,b=3,c=3. S=1+3+3+5=12 Не люблю что-то строить.Разве что из себя...😅

[@КссКсс-у1л]

Вот (три неизвестных и три уравнения) и всё. Коротко и ясно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

А теперь эту:kzbin.info/www/bejne/jHO0enSOnL1lpbcsi=qfWGbwYBqEHIKThJ

[@mrcay256]

Необходимо найти площадь AKO=x. Тогда найдем площадь ABM, затем площадь ABC. 1. Проведем BO. Площадь_KBO=2x, Площадь_MBO=Площадь_MCO=5-2x, Площадь_AOC=3x 2. Отношение площадей ACK и BCK равно 1\2, то есть 4х\10-2х=1\2, то есть х=1, х+5=6, Искомая площадь равна 12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, левые треугольники я оставил зрителям. Там чуть короче. Спасибо.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Мы уже расматривали раньше 5 роликов с разбиением 4-ка и введением переменных, поэтому не было необходимости повторяться. kzbin.info/www/bejne/f5TLoKeXjaygl5Isi=y71IcEpk2QuY18gs

[@GeometriaValeriyKazakov]

Как-то вы очень пренебрежительно отзываетесь о таких мощных теоремах. Школьники должны решать так, как я показал. Олимпиадники лучше, как вы. @@AndreyAntonov-d9u

[@GeometriaValeriyKazakov]

kzbin.info/www/bejne/jHO0enSOnL1lpbcsi=qfWGbwYBqEHIKThJ

[@viktorsd8301]

обозначим площади кеусочков АОК = Х, МОС = У, АОС = Z. Т.к. площади треугольников равны высоте на основание, то АВМ = 5 + Х = АМС = У+ Z ( 1.медиана делит тр. на равновеликие части. 2. оба тр.имеют общее основание АМ и одинаковую высоту т. В и С.) Также, площадь тр. КВС = 5 + У = 2 х АКС = Х + Z ( см. п.2 выше, но высота т.В вдвое больше высоты т. А). И еще У = Z (тоже по п. 2, и высота у них одинакова) Соединив В и О делим желтый на две части, правая равна У, левая = 2Х, т.е. еще одно уравнение У + 2Х = 5 или У = 5 - 2Х. выше имеем 5 + Х = 2 У, дальше забыл как.

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@Cubometer]

Я провел ВО и принял площади пяти получившихся треугольников как 5 неизвестных. Записал систему из 5 независимых уравнений относительно этих площадей, зная разбиение сторон. При этом используется минимум теорем и построений. Вроде просто, но при этом отсутствует захватывающая процедура с вычислением соотношений отрезков, это и плюс и минус.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Отлично. Этот подход мы рассматривали у же в 5 роликах. Здесь мы использовали только теорему Фалеса и формулу площади треугольника.

[@GeometriaValeriyKazakov]

kzbin.info/www/bejne/jHO0enSOnL1lpbcsi=qfWGbwYBqEHIKThJ

[@viktorviktor5820]

Чуть проще. Точка О делит АМ в пропорции 1:1. Доказывается проведением через т М прямой, параллельно КС. Значит Sako=Sabm/6. Отсюда Sako=1, Sabm=6, Sabc=2*6=12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, левое деление я оставил зрителю, рассматривал более общий подход: деление сторон m:n, p:k. Но разумеется при 1:1 нужно бить влево.

[@igorrromanov]

1) Проведем линию ВО 2) Проведем медиану треугольника КОВ из точки О к линии КВ 3) Обозначим точку пересечения как Р 4) Обозначим треугольники АОК, КОР и РОВ как F (равные по площади) 5) Обозначим треугольники ВОМ и МОС как G (равные по площади) 6) Обозначим треугольник ВОС как D 7) 5 = 2F + G 8) AMB = AMC = 3F + G 9) D = 3F 10) Проведем линию от Р к С 11) КС медиана треугольника АСР 12) РС медиана треугольника КСВ 13) Отсюда 4F = ½(2F + 2G) = F + G 14) Отсюда G = 3F 15) Отсюда F = 1 16) Отсюда площадь треугольника = 12F = 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@КонстантинПосошнов]

Проводим отрезок ОВ. S т. ОВМ = S OMC = x. S AKO = y, S KOB = 2y. S AOC = z, тогда S AKC * 2 = S KBC => 2(y+z) = 2x+2y => z = x. S ABM = S AMC => 2x = x + 3y => y = 1/3x, тогда вся S ABC = 4x. Далее 5 = 2*1/3х + х, x = 3, Ответ 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@constantinfedorov2307]

В этой задаче спрятан ключ к решению, причем на самом видном месте. Ключ этот такой - фиолетовая чевиана делит зеленую медиану пополам (AO = OM). Доказать это не так и трудно, а если вы знfете теоремы Чевы и Ван-Обеля, то - элементарно в одну строчку. Дальше все решается совсем просто (ну, тр-к BOM имеет площадь 3, BOK 2, AOK 1, .ABC 12) Поэтому лучше я скажу пару слов про медиану Что такое медиана, знают все. Но есть несколько важнейших свойств, которые делают медиану в треугольнике мощнейшим инструментом, но вот как раз эти свойства никто не знает, или знали, но - забыли. Первое (наиважнейшее!!!!!!) свойство такое. Если взять на медиане любую точку, соединить её с концами стороны (к которой она проведена), то там получится две пары треугольников (пара - треугольник справа и аналогичный слева от медианы). Так вот, площади этих треугольников в парах равны. Если выбранная точка совпадает с основанием медианы, то это означает, что медиана делит треугольник на два, равных по площади. Вроде все просто. Но тут важно, что это утверждение работает в обе стороны. То есть его можно принять за определение медианы. Скажем, есть угол, и в нем проведен какой то луч внутри из вершины. Если на разных сторонах угла выбраны две точки, соединены - каждая, - с какой то (не важно с какой, как-то выбранной) точкой на луче, и получились два равных по площади треугольника, то этот луч делит отрезок между двумя этими точками пополам. Второе. В задаче проведена чевиана (фиолетовая) из правой нижней вершины, и она делит левую сторону в пропорции 1:2; Если через точку пересечения чевианы с медианой провести третью чевиану из верхней вершины (ну, BO...), то она поделит противоположную сторону в той же самой пропорции (такое свойство есть только у медиан!). И соответственно, если соединить концы чевиан, то получится прямая, параллельная стороне (я напомню, чевиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне, название происходит от имени автора теоремы Чевы). И, что тоже не маловажно, медиана и его делит пополам. Второе свойство доказывается очень просто с помощью первого. На самом деле, знакомство с теоремами Чевы и Ван-Обеля "накрывает" все это, но вполне можно и не полагаться на эти простые инструменты, в школе почему-то не изучаемые.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Согласен!

[@think_logically_]

В примечании под видео написано "Стороны BC и AB треугольника ABC разделены точками M и K в отношении 1:1 и 1:3". Я понял, что AK:KB=1:3 и получил жуткие числа. Смотрю видео - оказывается AK:KB=1:2. Пришлось решать снова. А решал я практически так же, как @user-nl2ex6xn4u. Проводим прямую, ML || KC (точка L лежит на AB) и видим, что точки K и L разбивают сторону AB на три равных отрезка (с AK:KB=1:3 получается не столь изящно). Далее, если S(AKO) = x, то S(AML)=4x; S(BML)=S(AML)/2 = 2x; S(OKLM) = S(AML)-S(AKO) = 3x, так что S(OKBM) = S(OKLM)+S(BML)=5x. Таким образом 5x=5, x=1, откуда S(ABM) = S(AML)+S(BML)=6x=6 и S(ABC) = 2S(ABM) = 12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, да, извините, уже поправил.

[@АлексейБагларов]

У меня получилось! Решал правда подругому, провел третью чевиану через ОВ и выражал площади шести получивших я треугольников друг через дружку. Оказалось что жёлтую фигуру ОВ делит на треугольники с площадью 3 и 2, ну и одно за другим получилось 12. Поначалу вообще не понимал как её решить, раза четыре бросал.

[@Cubometer]

Нижний треугольник можно было не разбивать. Тогда всего 5 неизвестных и всего 5 уравнений😅

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Отлчино. А теперь попробуйте эту kzbin.info/www/bejne/jHO0enSOnL1lpbcsi=qfWGbwYBqEHIKThJ

[@ЗлюкинЗлюкин]

Красиво!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@ОлегКозловский-о8е]

Отрезок из М параллельно СК придет в середину АВ из чего следует что О - середина АМ и треугольник АКО по площади 1/6 от АВМ. Ответ 12.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@МарияБаран-и8к]

Запутал простую задачу. Бывает.

[@GeometriaValeriyKazakov]

НЕ согласен. Задача совсем не простая. Я решал ее в общем виде. Все такие задачи решаются именно так (ну, еще системками, о чем я уже говорил в 5 ранних роликах). Такие задачи непросто рассказывать неподготовленному школьнику, поэтому длинно получается и, да, где-то запутанно. Если вы столь сильны, то решите следующую kzbin.info/www/bejne/jHO0enSOnL1lpbcsi=rJgGvwHfSEmtdTbe.

[@mikhailkadomtsev4886]

На этот раз я не очень доволен решением. По этой причине приведу свое. Самое интересное в задаче, как мне кажется, это то, что прямая СК делит медиану АМ пополам., т.е АО=МО. Как это доказать? Проведем из точки В прямую, параллельную медиане и продолжим АС левее точки А. Назовем точку пересечения этих двух прямых D.. По построению очевидно, что АD=AC и, стало быть, в этом большом треугольнике ВА стало медианой стороны DC. Соответственно, поскольку медиана поделена в отношении 2 к 1, продолжение СК тоже будет медианой для стороны ВD. Медиана пересечет среднюю линию тоже в отношении 1 к 1. Т.е это доказано, ну а далее, все совсем просто- треугольник АОК имеет основание в два раза меньше, а высоту втрое меньше, чем треугольник АОК. Т.е его площадь равна 1. Таким образом площадь АОК равна 6, а всего искомого треугольника- 12. Еще раз подчеркну- помимо нахождения площади , мне важно было доказать именно этот занимательный факт. Саму же площадь, наверное, можно было бы найти и иначе

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Да, для частного случая (когда все там красиво) есть элегантные быстрые решения (как ваше). При делении же m:n и p:k всем наступает капут.

[@АнатолийВикторов-х9л]

Домашнее задание: S(ABM)=S(ACM)=(1/2)*S, S=S(ABC) Проведём МH∥ВР, H∈АС, СH=HР, так как ∠АВС пересечён параллельными прямыми ВР и МH, и ВМ=СМ(теорема Фалеса). АР=HР, так как ∠МАС пересечён параллельными прямыми ВР∥МH и АK=МK. АС=3*АР, АМ=2*АО, (АК*АР)/(АМ*АС)=S(AKP)/S(ACM), (AK*AP)/(2*AK*3*AP)=S(AKP)/(S/2), S(AKP)=(1/12)*S, S(CMKP)=S(ACM)-S(AKP), S(CMKP)=S/2-(1/12)*S, 10=(5/12)*S, S=24. Ответ: S=24.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@smirnov-49]

А можно мне? Проводим MN параллельно CL. Обозначим площадь треугольника AKO d. Далее KNMO 3s, NBM 2s.... 😊

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@ПавелСергеевич-й5б]

Подскажите, пожалуйста, какой класс?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Это 8 класс, площади Фалес, если Атаносян. У Погорелова площади в конце 8-го. Менелай - лучше в 9.

[@SB-7423]

Главная задача геометрии в ЛЮБОЙ постановке решается стандартно и легко с помощью векторной алгебры ( самое её начало). Если обозначить ВК/ВА=ε , BM/BC=δ, то можно получить в каком отношении точка О делит отрезки АМ и СК, а затем и связь между площадью треугольника АВС и площадью ВМОК : S(ABC)=S(BKOM)∙(1-ε∙δ)/[ε∙δ∙(2-ε-δ)]. В приведенном примере ε=2/3, δ=1/2. После подстановки S(ABC) = 5∙12/5=12 Не нужны Менелаи, Чевы и даже Фалес(в подобных задачах).Только простейшие действия с векторами! Нужны только два первых факта из ролика о площадях, на которые автор регулярно обращает внимание. Все действия чисто технические без дополнительных построений. При ЛЮБЫХ ε и δ!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. Согласен. Правда в 8 классе далеко до векторной.

[@SB-7423]

@@GeometriaValeriyKazakov А что такого сложного есть в самом начале векторной алгебры, что ученик не может это осилить самостоятельно? Меня научил азам векторной алгебры папа еще в 7 классе. А потом я взял книжку и разбирался сам. А старшеклассникам эту задачу решать запрещено? Им не нужно приводить такие примеры и показывать, как их решать?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. А теперь попробуйте эту векторной: kzbin.info/www/bejne/jHO0enSOnL1lpbcsi=qfWGbwYBqEHIKThJ

[@SB-7423]

@@GeometriaValeriyKazakov Сделано! Пересечение AL и ВМ даёт ВА1/BM=6/7. Тогда и CB1/CN=AC1/AL=6/7. Чистая векторная алгебра НАЧАЛЬНОГО УРОВНЯ. И снова никакой Менелай тут не нужен. Я убежден, что всё, что решается с помощью т. Менелая, можно решить с помощью начальных сведений о векторах. Более того, если бы во времена Менелая была известна векторная алгебра, ему бы и в голову не пришло выводить эту формулу. Так мне кажется. Я не знаю, даются ли в России теоремы Менелая и Чевы в качестве вспомогательного материала на экзаменах (лист с формулами). Если нет, то ошибиться при применении этой теоремы очень легко, к ней нужен четкий рисунок. Мне эта формула просто не нравится, зачем грузить память? С векторами получается понятно и просто. А далее используем только первый из двух фактов из ролика о площадях. Получим S=12. Стороны здесь нужны только для вычисления общей площади. Для отношений отрезков чевиан стороны не нужны вообще, их длины на отношения отрезков не влияют.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, векторами хорошо. Но векторы не изучаются почти и на экзамене их нет. Менелай стандартно идет на повышенном и входит в обязательный набор. Но вы правы, что если изучить векторы, то многие задачи геометрии решаются проще (но пропадает красота). Так китайцы на межнаре решают - векторами.

[@adept7474]

Наконец - то свежатина отменного качества! 1. РМ - ср. линия в ▲КВС. РВ = РК = АК. 2. КО - ср. линия в ▲АРМ. АО = ОМ. 3. S(АКМ) = 1/3 × 1/2 = 1/6. S(АКО) = 1/12. 4. S(КВМО) = S(1/2 - 1/12) = (5/12)S = 5. S(АВС) = 12. Р. S. В описании отношение 1:3(?).

[@GeometriaValeriyKazakov]

Не, такой точно еще не было, тягомотная, но нужная школьникам. Обычно олимпиадников учат вводить a,b,c,d, но у меня, вы знаете уже куча уже роликов была на эту тему. Спасибо. Я же общий подход качал для m:n, p:k. 1:1 дал дял упрощения и как раз возможности средних линий.

[@adept7474]

Если бы не 1:1 - была бы "тягомотная", а так - нормальная.@@GeometriaValeriyKazakov

[@GeometriaValeriyKazakov]

Так вот я и метался между общим и частным. Но дал частное, а метод все-таки общий. Компромисс. @@adept7474

[@adept7474]

Мудро.@@GeometriaValeriyKazakov

[@pojuellavid]

Никак не могу доказать, АО=ОМ Или не равны? Или не важно? upd. Долго бегал с площадями (долями от S) пар смежных треугольников, но прибежал, куда нужно ... (в двенадцатых долях) : ∆КВМ - 4 доли, КВМО-∆АОС=2доли, ∆АОС-∆ОКМ= 2 доли, откуда ∆ОКМ= 1 доля и КВМО = 5 долей. Ответ:12 ...... Зря стеснялся своего решения. У меня решение намного школьнее, чем у аффтара...

[@pojuellavid]

Полное решение в 1/12 долях. ∆СКВ=8д , ∆АМС=6д. КВМО - АОС =2д. ∆СКМ = 4д (∆СКМ - ∆КВМ) и ∆АМС=6д. Откуда ∆АОС - ∆ОКМ = 2д. Но КВМО - АОС = 2д . Из двух равенств получаем ∆КОВ = 1д, ∆АОС = 3д и КВМО = 5д. Но КВМО по условию равно 5. Ответ:12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Проведите ML параллельно CK,

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@olrskd]

Всем рекомендую найти более простое и красивое решение, введя 3 переменные а,в,с - где площадь АВС это 5+а+в+с

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. У меня есть 5 роликов про "красивое и простое". Но это общий подход, школьный, не олимпиадный и я об этом сказал.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Это один из 5 ролков на системы. Вы правы, олимпиадников учат чрез системы. Они из школы знают Фалесовм и Менелаем. kzbin.info/www/bejne/f5TLoKeXjaygl5Isi=y71IcEpk2QuY18gs

[@GeometriaValeriyKazakov]

Я присоединяюсь к вашим рекомендациям. И тоже рекомендую попробовать решить эту задачу вашим способом. kzbin.info/www/bejne/jHO0enSOnL1lpbcsi=qfWGbwYBqEHIKThJ

[@olrskd]

Извините, Валерий, я сразу в системы, факультет АСУ закончил в 88.@@GeometriaValeriyKazakov