ЯПОНСКИЙ ТЕСТ ДЛЯ 15-ТИЛЕТНИХ. Сможешь устно решить?!

На стороне AC построена полуокружность. Угол MOK = 80. Найти угол B.
#геометрия_8_класс #уголМежудСекущими

[@GeometriaValeriyKazakov]

Извините, ввел два угла альфа! Снизу и сверху. Снизу пусть альфа очень маленькое. . Дз для проверки решения. kzbin.info/www/bejne/rYaUm5WXZ89npaMsi=jceGypdNSWt9anZS

[@Irina_Gordeeva]

В учебнике есть задача на доказательство равенства угла между секущими полусумме дуг. Это именно задача, а не теорема. Можно ли использовать результат задачи для решения другой задачи? Или надо предварительно решить вспомогательную задачу?

[@dmit333]

Способ для тех, кто постоянно забывает теоремы. Пусть отрезок АВ пересекает полуокружность в точке К, а отрезок СВ - в точке М. Тогда угол АКС равен 90 градусов, как опирающийся на диаметр. А угол КСМ равен половине внутреннего угла, опирающегося на дугу КМ, т.е 40 градусов. Угол альфа и угол 40 градусов в сумме дают свой внешний угол АКС=90. Отсюда альфа = 90-40=50 градусов. Ну или сразу можно понять, что треугольник СКВ прямоугольный. И сделать то же действие: 90-40=50

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@user-yr2jg7cm5r]

Провести хорду СК - самый короткий и верный путь решения задачи . Спасибо за подсказку . "Мучился" , вычисляя углы , проведя хорду КМ .

[@user-fi8lx4zz4o]

Огонь

[@alishernizamov9441]

Чисто геометрическое решение и без формул

[@user-ud9vv9wz5g]

Супер!

[@AlexeyEvpalov]

Спасибо за два разных способа решения.

[@user-gf6uj3vm8o]

Моё решение: провёл прямую КС, угол АКС равен 90° так, как опирается на диаметр, ВКС стало быть тоже 90°. А угол ВСК будет равен 40°, так как опирается на одну дугу с центральным углом КОМ, и равен половине. Ответ: 180°-90°-40°=50°.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@user-bf4ug6kz1n]

2 способ очень красивый, а главное короткий.❤❤❤❤❤❤❤Спасибо Вам. С новым годом вас. Желаю здоровья, мира, счастья, удач, успехов, процветания ❤❤❤❤❤❤❤🎉🎉🎉🎉🎉🎉🎉

[@GeometriaValeriyKazakov]

Очень приятно!

[@user-ih2dw1sq8r]

Интересен вывод - этот угол не зависит от расположения заданного в полуокружности. Видимо теорема и доказательство.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, это инвариант и можно рассматривать равнобедренный.

[@user-og6jm4nu9f]

Само свойство уже в упор не помню, но как-то интуитивно посчитал 180-80 в пополаме. ))) Видимо, хорошо учили в советской школе!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, хорошо.

[@mrcay256]

Угол BKC прямой, угол KCB=40°, след. alfa=50°.

[@viktorviktor5820]

Супер!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен. Не, для вас ДЗ я повесил.

[@viktorviktor5820]

@@GeometriaValeriyKazakov уже решал это дз.

[@user-bd4ic1nl6v]

ДЗ. Сперва я соединила СО и DО, получив равнобедренный треугольник. Внутри него проложила от точки О еще один отрезок под углом 60 градусов к KD, получив внутри равносторонний треугольник. Осталось вычислить КО. Это было сделано в 2 приема при помощи нашего Пифагора. Сперва была вычислена длина перпендикуляра из С на диаметр (4 корня из трех), расстояние от полученной перпендикуляром точки до К (4, т.к. там образовался удобный треугольник с углами 30 и 60), затем найдено расстояние от точки пересечения перпендикуляра с диаметром до центра (11), и далее 11-4=7. В итоге у нас получились два боковых треугольника со сторонами 8, 7 и 13, и средний равносторонний со стороной 7. На RD приходится 8+7=15. Где-то я похожий треугольник видела. Или почти похожий...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@user-yr2jg7cm5r]

Д. з. С т.О проводим перпендикуляр ОМ на хорду СД , который будет делить ее пополам . В прямоугольном тр - ке КМО КМ = Х , гипотенуза ОК = 2Х , так как катет КМ лежит против угла 90* - 60* = 30* . По свойству пересекающихся секущих АК х ВК = СК х КД - (R-OK) х (R+OK) = CK(CK+2КМ) , (13 - 2Х)х(13+2Х)=8(8+Х+Х) , 13*2-4Х*2=64+16Х , 4Х*2+16Х- 105=0 , Х*2+4Х- 105/4 , Х=-2+\/4+105/4 = -2+11/2 = 3,5 . СД=СК+КД= 8+8+(2х3,5)= 23 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@Andrej_rybak]

Благодарю.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@levskomorovsky1762]

Теорема об угле между двумя секущими доказывается гораздо проще. Если соединить точки А и М, то угол АМC - внешний для треугольника AMB. Угол ABC равен разности углов AMC и BАМ, т.е. половине разности дуг, на которые опираются эти углы. (180-80):2

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@ShubeTube1]

поскольку положение угла 80 градусов не определяется однозначно в условии, то поворачиваем угол вокруг О скажем влево до совпадения ОК с ОА и рассматриваем прямоугольный треугольник с прямым углом С-АК----вершина альфа. Да, там есть вопрос про угол альфа, но такие начальные условия.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-ig8de5jf6h]

Соединим точки пересеч в хорду и получим тре-к с 80 50 50 По бокам два равнобедр тре-ка с б и с И того 50+б+с=180 раз угол развернутый А раз сумма углов тре-ка тоже 180 то а+б+с=180 Ну отсюда а=50

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@genadzm271]

В силу произвольности условия можно считать треугольник равнобедренным тогда считается устно без формул

[@GeometriaValeriyKazakov]

Можно Но в письменном решении придется обсновать этот инвариант.

[@pbirth1307]

Красивая задача)

[@GeometriaValeriyKazakov]

дА, СОГЛАСЕН.

[@user-om8wy7dn4w]

Я провела отрезок АМ и воспользовалась свойствами вписанных углов для МАС, а потом АМС, из чего получила угол МСА=50°. Из свойств углов равнобедренных МОС=80°, САВ=80°, и из суммы углов треугольника В=50°

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@user-hr5vv3nm3x]

Да, конечно, устно. Внешн. угол=полуразность дуг (180-80)/2=50

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@thinkingabout5641]

Интересные способы. Задание было в уме 😉. А в уме нужно было подвигать отрезок КМ, пока треугольники АКО и ОМС не станут равными равнобедренными (т.е. пока КМ не станет параллельно АС) и тогда а+2*115+80=360° откуда а=360-210=50°

[@GeometriaValeriyKazakov]

МСогласен.

[@staskrivosheev1349]

Очевидно, что положение точки В - не имеет значения. Значит можно довести ситуацию до крайнего случая - совпадения радиуса ОК (или ОМ - симметричное решение) с полудиаметром ОА или ОС. Треугольник АВС станет прямоугольным. Один из углов альфа или бета станет нулём. Оставшийся - 100. Останется равнобедренный АКО с углами 40+40+100. И четырехугольник ОКВС (точки М и С совпадают) с прямым углом ОСБ, с углами 80, 140 (как 180-40) и 90. 360-80-140-90 = 50.

[@-wx-78-]

Мудрёные какие-то вычисления (после преобразования до прямоугольного △ABC). Вписанный в окружность угол △ABC опирается на ту же дугу что и центральный 80°, значит он 40°, а искомый - 50°.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отчилно.

[@anushkarapetian7381]

Домашнее задание: Из "С" опускаем перпендикуляр на АВ. Получаем прямоугольный треугольник СКМ со стороной КМ =8/2 =4. СМ = √(64-16)=√48; Из прямоугольного треугольника СОМ СО = √(169-48 ) =√121 =11. МА = 13-11=2; КА=4+2=6; КВ=26-6=20; СК*КД=6*20; КД= (6*20)/8 =15.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@abc_777]

У вас ошибка. Вы находите не СО (он известен, это R=13), а ОМ.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. За каждую найденную ошибку - приз в студию! @@abc_777

[@innaveltman5646]

А можно использовать только бета. О справа б, слева 100-б. Это углы при вершине равнобедренных тр., тогда при базисе 90- 0.5б и 40 +0.5б , внешние 140 -0.5б и 90+0.5б. Сумма внешних +а+80=360 ( сумма углов четырёхугольника). а=50

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@viktorviktor5820]

Простенькая устная задачка. Ответ 50 градусов. Смотрим.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вам в Японию! На олимпиаду!

[@user-ig8de5jf6h]

А можно попросить док-во теоремы секущаих и о градусах дуг?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Докзывал в 4-х роликах. Проведите хорду и рассмогтрите внешний угол тр-ка. И вписанные углы равны половине дуги.

[@innaveltman5646]

А ещё проще ( но детям это тяжелее). Сумма углов при вершине 100, тогда при базисах 260, двух из четырёх 130, внешних 230 плюс 80 =310. 360-310=50

[@lol_lolipopovich]

А можно по подробнее. О каких базисах вы говорите?

[@innaveltman5646]

@@lol_lolipopovich основаниях. Я никогда не преподавала на русском .))

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо!

[@pojuellavid]

Ура! Мне снова 15.. правда японец... Решал первым способом, т к о втором не знал. Нужно запомнить.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Запомните! В японии пригодится

[@galinaberlinova3896]

КМ, сумма углов А и КМС равна 180. Угол КМО (180-80)/2=50, значит х+у= 180-50=130, угол В равен 180-130=50

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично!

[@coda6702]

Проводим из точек А и С перпендикулярные отрезки TA и FC, тогда угол а = TAK + MCF, дуга KM = 80, AK + MC = (180-80) = 100, углы при дугах равны половине меры дуг, значит a = 100/2 = 50

[@viktorviktor5820]

Классное объяснение! Что за отрезки? Чему перпендикулярны? Что за точки? Мои экстрасенсорные способности сегодня просто никакие... Не могу полюбоваться красотой вашего решения...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Тоже интересно!

[@coda6702]

Опускаем перпендикуляры к точкам A и C, также еще перпендикуляр из B, к AC. Далее по решению выше@@viktorviktor5820

[@lol_lolipopovich]

Хех, кажись у меня один из самых простых решений: Сумма Вас и ВСА это полусумма дуг АКМ и КМС, или вписанный угол опирающийся на диаметр и половина дуги КМ. Это 90°+40°=130°. По сумме уголов треугольника получаем искомый в 50°

[@GeometriaValeriyKazakov]

Конечно!

[@user-ix4ku3ze3d]

А если просто уяснить, что суммарно нижние углы составляют 130 градусов (что очень легко), то, соответственно, верхний угол равняется 50 градусам. И не нужно никаких дополнительных построений и размышлений.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-dm1nl3lc9g]

что-то слишком замороченно. Конструкция не жесткая, можно просто "уронить" угол 80 градусов влево, например, чтобы точка К совпала с А. Тогда найдется второй угол в маленьком треугольнике - 180-80=100, два других угла в равнобедренном треугольнике - по 40. Получаем четырехугольник с искомым углом- один угол 90, второй 80, третий 180-40=140. Четвертый угол считается просто 360-90-80-140=50

[@GeometriaValeriyKazakov]

А можно еще равнобедренный ABC рассмотреть. Что-то у вас очень заморочено. У нас (сп. 2 за 1 сек (180-80):2).

[@user-dm1nl3lc9g]

@@GeometriaValeriyKazakovсо специальными формулами быстро, но не все их знают или помнят. Повернуть угол проще имхо

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да. Хотя поворот - еще та история. А абитуриент обязан знать две формулы с углами в окружности (между хордами и между секущими). Знание - сила! @@user-dm1nl3lc9g

[@GeometriaValeriyKazakov]

Но поворот отлично. @@user-dm1nl3lc9g

[@user-fi3ro9fv5v]

Я про домашние задание Вот такое отношение как x:x√3:2x если у нас треугольник имеет отношение как 30:60:90 градусов. По этому x√3=13, От сюда x=13√3/3. Тогда 2*13√3/3=26√3/3

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо. ДЗ смотрите в ролике.

[@SergZak]

50 градусов. "УСТНОЕ" рассуждение: окружность делает треугольники равнобедренными (стороны=радиусу). Два нижних треугольника в сумме 360о. Минус 100 (то есть 180-80) = 260о. Треугольники равнобедренные, значит сумма углов слева и справа от верхних точек одинаковая и =130о. Треугольник между точками - тоже равнобедренный, сумма углов, кроме того,который равен80, равна в сумме 100о (50 и 50). Два развернутых угла в сумме =360. Минус 130, минус 100 = 130. На верхний угол остается 50о. Правда, мне не 15, в 4 раза больше.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@ALARMus75]

BKO и BMO - это 180-x и 180-y (x+y=130), а BKOM в сумме 360 => B=50

[@GeometriaValeriyKazakov]

супер!

[@user-yf1zt2dg8m]

Японцы любят красиво... У наций с иероглифами графическое мышление. Неспроста оригами придумали японцы А задачка простая - слева-справа равнобедренные и через 180 градусов в треугольнике легко считается 50. Второй способ автора проще но требует бОльших знаний. Упрощать непросто :(

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@user-is3d21e3s]

Могу. Сначала рассматриваем развернутый угол, потом берем из 2-х тр-ков сумму нужных углов, потом большой тр-ик

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер!

[@mrLumen2]

Если мы ищем угол "альфа", то другой неизвестный угол уже нельзя называть "альфа". Следовательно, выражение "альфа"+"бета" вводит в заблуждение.

[@user-jz1kh9dq6q]

Совершенно верно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Это условности назвать можно!

[@GeometriaValeriyKazakov]

Обычно да, договариваются, что при решении задачи в общем виде, при выводе формул и при обозначении углов тр-ка буквами A,B,C. Но это не обязательно. Иногда в олимпиадах половинки угла А обозначают альфа, иногда x (это удобно). А как обозначать углы, если треугольник получился AKC. Думайте про нахождение решения.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Понял о чем вы. Вы правы. Ввел два угла альфа. В прикрепленном уже извинился. Техгническая описка. Спвасибо.

[@-batya669]

@@GeometriaValeriyKazakov Обозначение двух разных углов одной и той же буквой недопустимо в математике, это может вызвать путаницу. Каждый угол должен быть обозначен одной единственной буквой, исключение равные углы.

[@user-nu2rn5gv1b]

Не проще ли в 1-м варианте соединить точки К и М?! В четырёхугольнике АКМС сумма углов 2х+2у+(180-80)=360, следовательно, х+у=130, а искомый угол 50, как, собственно, я и решал перед просмотром ролика.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Можо и так. Как кому.

[@user-cp8ln1vj9k]

ЮТУБ решил что в 3 часа скролинга это видео нужно мне

[@GeometriaValeriyKazakov]

Правильно решил!

[@adept7474]

∠АОК = β, ∠МОС = γ. ∠АСК = β/2, ∠МАС = γ/2. ∠А = 90° - β/2, ∠С = 90° - γ/2. α = 180° - ∠А - ∠С = (β + γ)/2 = (180° - 80°)/2 = 50°. Для японцев как-то слабовато... Они ведь умные!

[@adept7474]

Посмотрел. Похоже, моё решение отличается от обоих Ваших.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Дайте нашим 15-летним! Напишите, чем кончилось. Думаю наберет гораздо больше наших "сложных"!

[@adept7474]

Не могу, некому дать: дети выросли, внуки не доросли. Ещё один способ: через биссектрисы (высо́ты) в боковых тр-чках с образованием вписанного 4-ка.@@GeometriaValeriyKazakov

[@user-jk2tz2ry3q]

Опечатка в самом начале. Должно быть: ∠АОК.

[@adept7474]

Спасибо, исправил.@@user-jk2tz2ry3q

[@-wx-78-]

ДЗ. Проведём хорду AE||CD, пусть OE пересекает CD в точке F. △AOE равносторонний (как равнобедренный с ∠OAE=60°), значит △KOF тоже (два угла по 60°). AEDC - равнобокая трапеция (т. к. вписана в окружность), тогда △ACK = △EDF (AC = ED, AK = AO−KO = EO−FO = EF, ∠CAK = ∠CAE−∠KAE = ∠DEA−∠FEA = ∠DEF), следовательно DF = CK = 8. Для хорд AB и CD получается AK·BK = (AO−KO)(BO+KO) = CK·DK = CK·(DF+KF), то есть (13−KO)(13+KO) = 8(8+KO) 169−KO² = 64+8·KO KO²+8·KO−105 = 0 Корни -15 и 7, логично что CD = 2·8+7 = 23.

[@GeometriaValeriyKazakov]

А я думал куда вы пропали. Отлично.

[@abc_777]

Откуда вывод что АОЕ=60°?

[@-wx-78-]

@@abc_777 AE || CD (по построению), AK - секущая, значит ∠EAO = ∠DKO = 60° как соответственный. Равнобедренный треугольник (радиусы OA = OE) с углом 60° является равносторонним.

[@-batya669]

Только не надо да разных угла обозначать одной и той же буквой альфа, это может вызвать путаницу.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ужас-ужас! Ладно буду знать!

[@-batya669]

@@GeometriaValeriyKazakov C кем не бывает. Тем более что эти два альфа разных цветов 😁.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ну, вот и ладушки.@@-batya669

[@GeometriaValeriyKazakov]

@@-batya669

[@akr749]

если нам нужно "альфа" найти, то, наверное, неправильно обозначать "альфа" угол АОК? ;)

[@akr749]

@@GeometriaValeriyKazakov то есть АВС="альфа" и одновременно АОК="альфа" - это правильно?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Не-не, там конечно, описочка. Машинальная. ну, вы погняли. Спасибо большое. Но переписывать уже не буду. Много просмотров. @@akr749

[@yurykovalenko2940]

Второй способ легче, но все забывают эту теорему.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Теперь запомните

[@dmitrylomasov343]

Я один не расслышал ничего в условии задачи, что точка О это центр окружности?

[@GeometriaValeriyKazakov]

Еще дано ттреугольникЮ чтобы был развернутый снизу. Да, остальное на рисунке. А чего не хватает?

[@dmitrylomasov343]

@@GeometriaValeriyKazakov прошу прощения, не очень понял комментарий. На рисунке всё ясно. И с треугольником понятно. Просто не указано, что красные отрезки проведены не абы откуда с диаметра, а из центра окружности.

[@natashok4346]

Не хочу придираться по мелочам, но игнорировать пи и радианную меру дуги означает дискриминацию 🐶

[@GeometriaValeriyKazakov]

Тоерема не будет понятна явосьмиклассником. если фоормулировать "... половине градусной или радианной меры дуги".

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вообще то, лучше говорить про угловую меру дуги, но так сегодня уже устаревшим считается. Так что вы правы, я это знаю, но тут методические проблемки. Спасибо.

[@user-ge9wm3ki2l]

Однозначно второй способ😂

[@GeometriaValeriyKazakov]

Согласен.

[@user-ke3jo1pj2r]

Всё просто - такой угол равен полуразности дуг, которые он отсекает.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Ничего себе, вот это поворот!Вот учили в наше время!

[@adept7474]

Краткость формулировки впечатляет!

[@vadlocksvadlearn7746]

Изи, угол между секущими

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер, именно так я и предполагал!

[@user-en8ve9wg4u]

Альфа = (180-80):2 = 50

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.