ГОВОРЯТ, ЧЕРТЕЖ НЕПРАВИЛЬНЫЙ! Вранье!

[@constantinfedorov2307]

Из двух Пифагоровых треугольников (9,12,15) и (5, 12,13) можно составить треугольник с целыми сторонами (13,14,15) это очень известный треугольник, полно задач про него. Одна ерунда - у него площадь 84. Но кто сказал, что можно только складывать? Можно и вычесть. У первого треугольника (9,12,15) на катете 9 отмечается точка на расстоянии 5 от прямого угла, и соединяется чевианой с концом гипотенузы (если не понятно, с каким, можно с обоими :)), и получится (тупоугольный) треугольник (4, 13, 15) с высотой 12 к стороне 4. У которого площадь как раз 24. Это я - так, к вопросу о не совсем прямых путях... Меня в этой истории вот что поразило, и это не в первый раз. При "тригонометрическом" подходе (см. в других комментариях) вылезает другая Пифагорова тройка (16, 63, 65), причем ничто не предвещало...У меня давно есть ощущение, что между этими числами есть какие-то более тонкие связи, чем теорема Пифагора, но я - увы, - недостаточно умен и компетентен, чтобы это исследовать.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Супер.

[@sparseremark]

Валерий, а почему вы выбрали наибольший корень (12), почему не наименьший?

[@closer_to_the_unknown]

По формуле S = absin(a)/2 находим, что sin(a) = 16/65. По ОТТ cos(a) = +-63/65 Случай 1: a < pi/2 Тогда cos(a) = 63/65. По т. косинусов находим, что AC = 4. Тогда по формуле S = ch/2 (не путать с гиперболическим косинусом) находим, что h = 12 Случай 2: a > pi/2 Тогда cos(a) = -63/65. По т. косинусов находим, что AC = 2sqrt(193). Тогда по той же формуле находим, что h = 24sqrt(193)/193. Сравнивая эти числа понимаем, что 12 больше. Ответ: 12

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@AlexeyEvpalov]

Для фиксированной площади S=24, высота будет больше при меньшем основании, а основание меньше когда основания прямоугольных треугольников вычетаются. То есть треугольник тупоугольный. Спасибо за видео.

[@Alexander--]

Мгновенно: из одной из формул для площади треугольника ищем синус угла между данными сторонами: 2S/(AB•AC) = 2•24/(13•15) = 16/65. Сам угол может быть острым и тупым, следовательно, при таких данных есть два треугольника. Большая высота получается, если угол меньший, т.е. острый. Найдём косинус этого угла: ±√(1 - (16/65)²) = ±63/65. По теореме косинусов находим третью сторону: AC² = 13² + 15² - 2•13•15•(±63/65) = 394 ∓ 378. Для острого угла выбираем знак "-", получаем AC² = 16, AC = 4. Тогда BH = 2•24/4 = 12. Ради интереса можно найти высоту в альтернативном треугольнике: AC² = 394 + 378 = 772, AC = √772 = 2√193, BH = 2•24/(2√193) = 24/√193 - это явно меньше 12, т.к. √193 явно больше 2.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично, если триги не боиССЯ!

[@КонстантинВинников-р6б]

Формулы не подвели Казакова! Есть 2 треугольника с такими параметрами у которых присутствуют тупые углы. У первого основание равно 4 и тупой угол у основания со стороной 13, а у второго тупой угол между сторонами 13 и 15, по этому и возник вопрос о правильности чертежа, который не может дать площадь 24, и похож на треугольник с основанием 14, и площадью 42. Правда, у меня основание второго треугольника получилось √722=19√2, а высота h =48√2/38=1,786375...

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.

[@kulikovsergey3522]

Не решая и не смотря видео, сразу как решить - по формуле Геррона площади тр-ка через полупериметр и 3 стороны находим третью сторону зная площадь и 2 стороны, далее по формуле площади через основание и высоту, зная площадь и основание находим высоту.

[@GeometriaValeriyKazakov]

Идеи правильные. реализация!

[@_math-class]

В учебнике Атанасяна (а это самый популярный в российских школах учебник по геометрии) формула Герона дается как раз в 8 классе 🙂

[@GeometriaValeriyKazakov]

Да, я в курсе. И это правильно (зад № 524). У Погорелова, Шарыгина, Смирновых и в моем учебнике (Геометрия 9, В. Казаков) в 9 кл.

[@rabotaakk-nw9nm]

[ABC]=½AB•BCsinB=24 => sinB=16/65 (

[@rabotaakk-nw9nm]

ДЗ: AB=13; BC=15; [ABC]=84 => => sinB=56/65; cosB=±33/65

[@GeometriaValeriyKazakov]

Спасибо.

[@AndranikAdamyan-f3b]

Давйте немного схитрим. Площадь тр-ка со сторонами 13,14,15 равна 84. Значит вместо стороны 14 надо брать 14/(84/24)=4. 4+13 больше 15, так, что все нормально.

[@ЛеонидРубинштейн-ф8ь]

S=1/2ac sin(B); sin(B)= 48/(13*15); cos(B)=+ - sqr(1-sin^2(B)); b = sqr(a^2+c^2-2ac cos(B)); hB=S/b

[@pojuellavid]

Блин, я скоро ентот трекольник буду знать как свою спальню -- рефлекторно.

[@GeometriaValeriyKazakov]

ахах

[@pojuellavid]

Предварительный ответ получается, если взять тупоугольный варьянт. Тогда основание =4, а высота =12. А теперь семиклассник будет думать, как доказать, что длиннее не бывает .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Вот-вот.

[@lonwyislusty]

уже 3-4 задача на эту тему ведь

[@GeometriaValeriyKazakov]

Серия!!! Все верно.

[@rabotaakk-nw9nm]

AB=13; BC=15; BH=12; AC=4 => => ΔAHB: AH=5; ΔCHB: CH=9 => => CH-AH=9-5=4=AC => => ΔABC - тупоугольный (рис. 2)

[@rabotaakk-nw9nm]

ДЗ: AB=13; BC=15; AC=14; BH=12 => ΔAHB: AH=5: ΔCHB: CH=9 => => AH+CH=5+9=14=AC => => ΔABC - остроугольный (рис. 1)

[@ОлегПолканов-д1н]

Мозг сломал, но вроде получилось. Решил использовать формулу герона. И развернуть обратно найдя сторону c. В итоге заменил переменную что бы не работать с уравнением 4 степени. И когда решил, то получил два варианта стороны: 4 и 2√193 второе может быть ибо это чуть меньше 28, а значит треугольник может быть со сторонами 13, 15 и 27,7 то есть он сильно сплюснут. В результате чего высоты получились 12 и 24/√193 соответственно.

[@boriskurenkov4977]

Вывод о форме треугольника неправильный. По теореме Пифагора АН=5, НС=9. Опозорились.

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@КонстантинВинников-р6б]

Но у этого треугольника площадь равна 42, а не 24. Конечно чертёж неправильный, так как не может быть острого угла между основанием 4 и стороной 13, треугольник будет косой, с высотой слева от стороны 13.

[@vladimirvershinin8853]

самое простое решение: 15 -13 = 2 24 / 2 = 12

[@Vanson_Rad]

Интересно, а это шуточное решение или оно действительно имеет смысл?

[@vladimirvershinin8853]

@@Vanson_Rad это очевидная закономерность

[@GeometriaValeriyKazakov]

[@SB-7423]

*h = 2∙S/√[(a² + c²) ± 2∙√(a²∙c² - 4∙S²)] .* Подставляя, получим: h₁ =12, h₂ = 24/√193 . Всё получается очень просто, приводится к выражению h² = f(a, c, S). Даже не уравнение. Простая формула в общем случае для любых a, c, S . Поэтому легко получаем ответ в Д.З.: h(max) = 12 .

[@GeometriaValeriyKazakov]

Отлично.