Hessiano uguale a zero . Svolgimento di una funzione a due variabili .

Hessiano uguale a zero.Come scoprire la natura dei punti stazionari quando il determinante della matrice Hessiana risulta uguale a zero .
Nella presente videolezione si illustra passo passo come determinare la natura dei punti stazionari di una funzione a due variabili , la cui matrice hessiana ha il determinante nullo in corrispondenza di tale punto .
In generale ogni esercizio è a se stante , ma la regola generale impone che deve essere fatto uno studio locale in un intorno di tale punto utilizzando diverse strategie .
Per l'esattezza ho studiato tale funzione lungo due distinte restrizioni facendo vedere che il punto origine (punto stazionario nel nostro caso ) è un punto di sella .
In una videolezione realizzata in precedenza ho già affrontato una tematica simile , ma ho utilizzato una diversa strategia per stabilire la natura dei punti stazionari .
Tramite il presente link vi rimando al video in questione e magari è istruttivo eseguire un controllo incrociato per farsi un 'idea che ogni esercizio va affrontato in modo diverso , pur presentando le stesse problematiche (in questo caso l hessiano nullo ) .
Buona visione e se avete delle domande non esitate a scriverle nei commenti .
Ulteriore videoiezione relativa ad hessiano nullo :
• Funzione a due variabi...
#salvoromeo #funzioniaduevariabili #hessianonullp

[@user-xb4pd7ju1c]

Oh, finalmente adesso mi sono ricordato cosa si fa quando il determinante è uguale a zero...

[@alfonsoruzzo4867]

Grazie mille

[@matteodicarloo__]

Grazie!

[@tullionicolussi3963]

Molto chiaro. Grazie.

[@salvoromeo]

La ringrazio Tullio .

[@stefaniatiberio7850]

Grazie, molto chiaro. Quale “lavagna” usa per la lezione?

[@salvoromeo]

Grazie per l'apprezzamento .Utilizzo una glassboard (White )

[@navim8752]

Madonna del cristo quanti ne servirebbero come te. Se settimana prossima va bene, grazie a te ho passato analisi 1 e 2 eheheheheh godo

[@giuseppecammarata7528]

Prof Salvo grazie! Domanda: può capitare di dover cercare anche altre restrizioni oltre a quelle sugli assi se quest'ultime non dovessero bastare? Se ad esempio hessiana ha determinante zero e con le restrizioni sugli assi trovo che è un massimo (o minimo) mi posso fermare?

[@salvoromeo]

No assolutamente .Se lungo gli assi o in generale lungo un numero finito di restrizioni passanti per un punto ottengo un minimo relativo ,potrebbe benissimo esistere una restrizione in cui la regola viene infranta e si tratterà di un punto di sella . Lo studio lungo delle restrizioni viene fatto nella "speranza" di trovare due risultati contrastanti e stabilire quindi che si tratta di un punto di flesso .

[@giuseppecammarata7528]

Grazie prof., chiarissimo 😊

[@alessioleo9257]

salve prof volevo chiedere che succede se il cambio verso, del "grafico", avvenisse in un punto diverso dal origine come bisogna comportarci? avendo una situazione di questo tipo (credo da pc si dovrebbe vedere correttamente) ^ ^ ^ y=2 v v

[@salvoromeo]

Buonasera .Si fanno le stesse considerazioni per l'origine .Per il punto (0,2) non ho informazioni sufficienti .Nella restrizione x=0 sembra un minimo , na non avendo altre informazioni riguardo le altri restrizioni non posso dirLe nulla di certo purtroppo .

[@dinochiari3647]

Chissà se esistono funzioni con addirittura 3 variabili. Praticamente (x,y,z), ma questo in un grafico 3d. Non solo un piano ma bensì tutto lo spazio. Ma dobbiamo stare ancora più attenti a farne le derivate perché se scegliamo di derivare rispetto ad x, y e z si considerano costanti, rispetto ad y x e z costanti e rispetto a z x e y costanti.

[@salvoromeo]

Salve Dino .Esistono certamente tali funzioni e spesso vengono proposti nei temi d'esame .In generale esistono funzioni ad n variabili a valori reali o anche funzioni vettoriali .Ovviamente in questi casi fare un disegno è impossibile o poco comodo , ma il significato di massimo, minimo , sella restano sempre quelli . Realizzerò anche un video in cui si studierá una funzione a tre variabili e se richiesta anche su un vincolo .

[@dinochiari3647]

Per quanto ho capito, sella trattasi del punto 0;0. Quindi origine. Minimo, parabola concava e massimo parabola convessa.

[@salvoromeo]

Il punto della non è detto che sia sempre il punto (0,0) ma dipende dal tipo di funzione . Potrebbe essere anche un luogo geometrico , ma qui il discorso si fa più complesso (pur non difficile ) .

[@francescomastrangelo7407]

professore invece di utilizzare il metodo del grafico posso calcolare le derivate prime delle due funzioni segnate e vedere se 0 è di max o di minimo o il punto è di sella?

[@salvoromeo]

Buon pomeriggio .Il problema è che se il determinate della matrice Heasiana è zero , non è possibile stabilire se il punto è di max , Min , o sella .Occorrono altre indagini .

[@francescomastrangelo7407]

@@salvoromeo eh si mi sono dimenticato di dire che faccio lo studio del segno delle derivate prime; se 0 é ad entrambi Massimo sarà Massimo se è ad entrambi minimo sarà minimo se invece è ad uno massimo e all’altro minimo sarà di sella giusto?

[@rown3499]

Professore scusi, ma come si verifica che ogni punto dell'intorno è minore/maggiore di 0?

[@salvoromeo]

La funzione in (0,0) risulta "zero" e questa è una cosa importante .Se consideri le due restrizioni in una è come se fosse un punto di minimo relativo , quindi è logico che in quell'intorno la funzione assume valori maggiori di "zero " proprio per la definizione di minimo relativo studiata in analisi matematica 1 .Nell'altra restrizione invece nell'intorno di (0,0) rappresenta un massimo relativo e quindi nell'intorno di tale restrizione la funzione ammette valori inferiori a "zero" per la definizione di massimo relativo . Da qui si deduce che in un intorno del punto (0,0) (dove la funzione assume il valore "zero" )si ha che si hanno zone in cui la funzione è negativa e zone in cui la funzione è positiva .In altre parole mettiti nel punto (0,0) e guardando lungo un asse vedi punti più bassi davanti e dietro di te, mentre se guardi a destra e sinistra vedi punti più alti rispetto a te Se qualcosa ancora non ti è chiara , riscrivimi pure .

[@rown3499]

@@salvoromeo Si, mi scusi Professore ma credo di essermi espresso male. Intendevo, non in questo caso, ma in un caso generico come si può dimostrare per esempio che dato (0,0) punto stazionario e determinante dell'hessiana=0 in quel punto, che esiste almeno un intorno in cui TUTTI i valori assunti dalla funzione sono solo positivi o solo negativi quindi un punto di minimo o massimo. Bisogna fare il limite per (0,0)? Come si possono esaurire le direzioni? Poiché ho visto un altro suo video in cui la funzione era definitivamente positiva in tutto R^2 e di conseguenza il punto che trovata era di minimo.

[@salvoromeo]

@@rown3499 ok ok adesso ci siamo .Ogni esercizio è diverso dall'altro e come hai avuto modo di vedere nell'altro video da me realizzato , questa tecnica delle restrizioni non dava informazioni utili e significative .Da ciò utilizzando una tecnica di algebra (un completamento al quadrato ) si dimostrava a livello rigoroso che si trattava di un punto di minimo (assoluto) .Infatti come hai detto tu stesso è improponibile provare tutte le infine restrizioni . La paura (condivisibile ) di ogni studente è quella di trovarsi davanti un esercizio che non sia risolvibile con nessun metodo , ma si tratta di una paura irrazionale dal momento che noi docenti assegniamo sempre esercizi didattici risolvibili carta e penna con metodi più o meno elementari Se un metodo non funziona , allora conviene cambiare metodo fino a trovare quello giusto .Purtroppo non esiste un metodo universale che consente di stabilire la natura di un punto stazionario con un metodo unico , ma con molta esperienza e studio continuo poi "ci si fa l'occhio " . Ho svolto i due esercizi diversi , per mettere a confronto due tecniche diverse . Spero di averti chiarito i dubbi e se hai qualche funzione simile da proporre , inviala pure alla mail in descrizione , e se la ritengo interessante sarà mia cura realizzare una videolezione con molto piacere .

[@rown3499]

@@salvoromeo La ringrazio Professore per la risposta molto esauriente, è stato chiarissimo. Ho da poco scoperto il suo canale e vorrei complimentarmi per l'ordine e la precisione con cui presenta i vari argomenti, mi sta dando una grande mano nello studio di Analisi 2. Purtroppo non mi sono trovato molto bene con l'esercitatore della mia Facoltà di conseguenza il suo canale è per me un'importante risorsa.