Несобственный интеграл cos(x)/(1+x^2) через вычеты ФКП.

Из этого видео вы узнаете, как находить несобственный интеграл cos(x)/(1+x^2) от минус до плюс бесконечности через вычеты функции комплексного переменного, применяя контурное интегрирование. Это неберущийся интеграл, для него нельзя найти первообразную обычными методами интегрирования и применить формулу Ньютона-Лейбница, поэтому для его нахождения используются более творческие подходы.
Более простой пример с функцией 1/(1+x^2) можно посмотреть здесь: • Несобственный интеграл...

[@AlexeyEvpalov]

Подробное, хорошее объяснение. Спасибо за видео.

[@Mapat2401]

Да, я слышал про верхнюю комплексную полуплоскость, хороший фильм. Жду вторую часть про нижнюю вещественную полуплоскость

[@barackobama2910]

этот итеграл как то мне приснился в плохом сне когда я ехал на верхней полке двухэтажного поезда. Подсознание сказало что косинус не удовлетворяет лемме Жордана а если заменить его экспонентой по получится пи/е . Я даже не заморочился проверкой типа на верхней полуплоскости экспонента затухает а на действительной оси ее модуль1. То есть выше оси модульэкспоненты заведомо меньше 1 и интеграл по дуге идет к нулю. Более строгое доказательство излишне. Тут поезд, идущий в Крым дернуло и мы начали торможение у Ростова на Дону, была полночь. Нормальным людям снится море и отдых, а несчастное детство ведет к таким снам.

[@Hmath]

детские травмы - они навсегда! :)

[@autolightview]

Мне периодически снится мехмат с самых разных ракурсов: я снова студент, либо скоро сессия, но готовность нулевая и иже с ним. Причем специализация по матстату не снится, а вот такие темы, которые я плохо освоил, залезли в подсознание и не дают спокойно жить. Похоже у меня один выбор: восстанавливать и улучшать упущенное хотя бы с помощью Ютуба. Спасибо в очередной раз автору за это хоть и старое, но полезное видео

[@Семён-т9с7т]

Очень интересно... и что-то даже понятно. Огонь!

[@fivestar5855]

Вот это задача огонь!

[@андреймарышев-з6е]

Спасибо за прекрасное объяснение!

[@NikitaBotnakov]

У меня возник вопрос: не удобнее ли в 9:08 величину e^(-R*sin(phi)) оценить сверху единицей в силу неотрицательности синуса? Ведь отсюда следует, что интеграл по дуге не больше pi*R/(R^2-1) \to 0, что сократит доказательство

[@Hmath]

да здесь можно так, я сильно после того, как сделал видео, заметил это. Делал по аналогии с более общим доказательством, где такой простой оценки для e^(-R*sin(phi)) было бы недостаточно. например, подобным же образом можно найти интеграл x*sin(x)/(1+x^2) - здесь степень числителя меньше степени знаменателя только на 1, и в этом случае уже без такой оценки (как сделано в видео) не обойтись.

[@NikitaBotnakov]

@@Hmath понятно, спасибо!

[@Hobbitangle]

Да, я тоже на это обратил внимание - вычисление интеграла с экспонентой по дуге было лишним. Достаточно было лишь заметить что подынтенгральная функция ограничена и сам интеграл стремится к нулю за счёт роста R в знаменателе. Что нам собственно и требуется

[@НоннаВитвицкая]

@@Hmath, получается, что можно даже немного повысить степень икса в числителе подынтегральной функции x*sin(x)/(1+x^2), то есть этот метод сработает и для x^p*sin(x)/(1+x^2), где р

[@Hmath]

@@НоннаВитвицкая в данном случае целое число p

[@yaroslav.b.82]

Круто🎉🔥

[@Mathematics_and_physics]

На самом деле для того чтобы вычислить интеграл из 0:39, можно рассмотреть интеграл, зависящий от параметра t: I(t) = integrate from -inf to +inf cos(tx)/(1+x^2) dx , и попробовать дважды дифферецировать I(t) , и получить диффур с начальными условиям.

[@Hmath]

такой способ есть, но не совсем так просто. потому что если тут так 2 раза дифференцировать, то полученный интеграл -x^2*cos(tx)/(1+x^2) - расходится.

[@Archik4]

Сразу видно, что чем больше R тем меньше экспонента под интегралом. Можно было не доказывать, что его значение меньше чем C/R. Тут хватило бы взять некое M, которое максимальное значение функции на промежутке 0 ... pi. Получили бы менее строгую оценку CR/(R^2+1) которая всё равно стремится к нулю.

[@sofalia5925]

привосходно. спасибо

[@creestlvalenokkprod.6190]

На 2:07 откуда мы взяли функцию, которую поставили в криволинейных интеграл по контуру?

[@Hmath]

Подбором, как со всеми заменами в интегралах: если получается, значит правильно подобрали. Тут нужно подобрать так, чтобы с одной стороны интеграл по контуру давал исходный интеграл, а с другой стороны его можно было найти через вычеты. Тут принцип: Если под интегралом функция вида P(x)*cos(x)/Q(x) или P(x)*sin(x)/Q(x), где P и Q - многочлены (конечно степени у многочленов должны быть такие, чтобы интеграл сходился), то в контурный интеграл берем функцию P(z)*exp(i*z)/Q(z) Если в исходном интеграле был cos(x), то в конце можно просто взять действительную часть от контурного интеграла, а если sin(x), то мнимую.

[@maxim-titov]

@@Hmath Здравствуйте. А если, например, P(x) * cos (n*x)/ Q(x), то в качестве функции в контурном интеграле надо брать P(z) * e ^ (i * n * z)/ Q(z) ?

[@Hmath]

да, можно так. по ходу решения видно, что тут n может быть не только целым числом, но любым положительным числом. хотя можно сделать сначала в интеграле замену. т.е если, например, интеграл cos(a*x)/(b^2+x^2) от нуля до бесконечности, то можно сделать замену: t=a*x после замены получится интеграл a*cos(t)/((a*b)^2+t^2) от нуля до бесконечности

[@hijranhasanov2439]

Синус от нуля до пи положительный .По этому exp(-R(sina))Всегда меньше единицы.Я думаю что у вас чуть длиннее получилось показать стремление к нулью второго интеграла

[@Hmath]

уже об этом здесь писали в комментариях

[@elenamussaui7800]

Здравствуйте, можно было бы использовать метод Фейнмана,это было бы проще.Спасибо

[@Hmath]

это видео о конкретном способе решения. то, о чем вы говорите - здесь: kzbin.info/www/bejne/l6K6d4x6irCBnq8

[@Oleg_Ivanov]

Получается, что для решения мы сначала усложняем задачу которая вышла простой. А через трюк Фейнмана не получится?

[@Hmath]

не думаю, что тут в итоге получилось усложнение :) все же зависит от строгости и подробности решения. Если тут сразу исходить из того, что подобные интегралы равны сумме вычетов в точках из верхней полуплоскости, то решение будет в пару действий - вычеты тут быстро находятся. Трюком Фейнмана тоже можно решить, но там точно не будет проще: там нужно исхитриться и свести к диф. уравнению, решение которого и будет ответом для интеграла. Но если говорить там о строгом решении, то отдельно потребуется доказывать возможность поменять знак интеграла и производной по параметру (равномерная сходимости и т.п). Самый быстрый способ для этого интеграла - с помощью преобразования Лапласа, но в нем, конечно, уже опираешься на известные и доказанные факты про это преобразование, а также на некоторые факты сходимости интегралов. Если их доказывать - опять будет решение больше. Как-нибудь я сделаю видео и с этими способами, они тоже красивые :)

[@Oleg_Ivanov]

@@Hmath Имелось ввиду усложнение не увеличением количества вычислений, а "философское" так сказать, - переход от линейного интеграла к поверхностному. 😧 Про др.способы - конечно интересно... ☺

[@АлексейСливницин-щ3к]

Жестко

[@rido4822]

Первые 14 минут доказательство леммы Жордана.

[@Hmath]

вы так говорите, как будто это что-то плохое :)

[@imione1602]

Скажите , а что если нет особых точек , которые лежат в верхней полуплоскости ?

[@Hmath]

здесь так не может получиться. тут рассматривается интеграл вида cos(x)/P(x), где P(x) - многочлен. Если у него нет комплексных корней, значит они лежат на действительной оси - этим методом нельзя найти. да и вообще интеграл в этом случае будет расходиться именно из-за этих точек. А если многочлен имеет комплексные корни, тогда половина из них будет в верхней полуплоскости.

[@Hmath]

подумал, что не совсем всегда интеграл будет расходиться. вот например, cos(x)/(1-x) от 0 до бесконечности сходится, но только в смысле главного значения :) но в любом случае, этим способом его значение не найти.

[@imione1602]

Спасибо

[@1Pancher]

а нельзя было в качестве оценки косинус просто на 1 заменить и свести к оценке для dx/(1+x^2)?

[@Hmath]

если взять изначальный интеграл cos(x)/(1+x^2) по модулю, то он, конечно, будет меньше, чем интеграл от 1/(1+x^2). Но что это дает? как отсюда найти значение интеграла? а там, где в видео происходит сравнение, там уже нет косинуса, там интеграл от комплексной функции e^(iz)/(1+z^2) по дуге окружность

[@1Pancher]

@@Hmath ну я имел ввиду применить это в той части, где выводится формула с вычетами. Так вроде оценку на инткграл проще получать.

[@Hmath]

Так не очень понятно, что имеете в виду :) там функция в интеграле e^(iz)/(1+z^2) и в нее еще вместо z подставляется z=e^(i*t). косинуса прямо в явном виде нет Можно, наверно, изменить вообще всё решение и рассматривать функцию cos(z)/(1+z^2) как функцию от комплексного аргумента z. но в этом случае все решение изменится и, мне кажется, проще там не будет. |cos(z)|, кстати, не всегда меньше 1, если z комплексное число. К примеру, |cos(2i)|=|ch(2)|=3.762...>1

[@1Pancher]

@@Hmath спасибо за ответы)

[@GlockGucci]

а почему у нас cos(x) превращается в e ^z , если оно по идее равно (e ^ iz + e ^ -iz )/2 ???

[@Hmath]

пришлось пересмотреть, нигде не сказано, что cos x превращается в e^z. Где вы нашли?

[@GlockGucci]

там мы от нашего интеграла римана переходим к интегралы от комплексной переменной где в числителе вместо косинуса стоит е^-iz

[@Hmath]

я не думаю, что в комментариях я объясню лучше, чем в самом видео. рассматриваем интеграл e^iz/(1+z^2) по определенному контуру (в видео рассказывается, что за контур) и в результате вычисление этого интеграла приводит к несобственному интегралу cos x/(1+x^2). Как именно приводит - об этом и есть всё видео.

[@GlockGucci]

@@Hmath а как понять что именно такой интеграл мы должны рассмотреть, чтобы свести его к нашему исходному интегралу? Это типо знать надо или догадаться можно?

[@Hmath]

тут всего 8 человек в комментариях писало, и один из них уже задавал похожий вопрос - посмотрите ответ. Универсального алгоритма, подходящего для любой функции нет.

[@АндрейВоронин-в8г]

Про значение нечётной функции на зеркальных пределах чума!