Интегралы Френеля через контурный интеграл в комплексной плоскости

[@AlexeyEvpalov]

Понятное, подробное объяснение. Спасибо за интересное видео.

[@gornshtadt4261]

Высокий класс! Был бы такой учитель лет шестьдесят пять назад, точно стал бы математиком. Вряд ли математика много приобрела бы от этого, но лично я прожил бы интереснее. Полный респект!

[@stasessiya]

В одном видео вы радуете как тех, кто предпочитает комплЕксные числа, так и кОмплексные :)

[@Hmath]

или же огорчаю и те и других :)

[@СергейМухорьямов]

Хорошее качество и видеоряда, и повествования. Спасибо за творчество.

[@CthulhuYar]

Очень красиво! Спасибо за ваши видео, так интересно смотреть их всегда. Продолжайте, пожалуйста!

[@grosman4221]

Браво. Впервые вижу все эти интегралы, но представление получил и меня затянуло. Буду развиваться в этом направлении

[@Hmath]

заходите еще, будет больше :)

[@VSU_vitebsk]

Изящно и очень красиво! А, главное, без лишней воды!

[@Demiroff_M]

Для меня очень сложно, но интересно😊 Спасибо!

[@dashersbeatz]

Комплексные функции завораживают

[@sofiaafanaseva2231]

Спасибо Вам за видео! Очень интересно и понятно🙇🏼‍♀️❤️

[@nazimavaleeva3752]

Очень познавательно, объяснения понятны, тут много всего нужно знать, спасибо!

[@Hmath]

рад, что вам нравятся мои видео :)

[@МаринаЖуравель-ц7с]

​@@Hmathв12 24__ѳ 12:37

[@МатвейГерасимов-о9ж]

Очень интересно получилось!

[@КириллСмирнов-ч7г]

Очень интересно получилось, так держать

[@NikitaBotnakov]

Очень понятно и интересно, спасибо!

[@ЗахаровАндрей-ш7х]

Спасибо за ваши видео! Расскажите как-нибудь про эллиптические функции Якоби, после видео про эллипс с эллиптическим интегралом очень хочется узнать про вывод их свойств и применение))

[@Hmath]

это уже очень специфическая тема и там в коротких роликах ничего не рассказать, я думаю. А делать ролики на несколько часов, которые посмотрит потом 1.5 человека нет желания :) весь этот труд на ютьюбе ни кем ведь не оплачивается :) кстати, на русском вот есть канал, где рассказывал автор про эллиптические функции: kzbin.info/door/m9ENftqo0CAPDG2bVQfhAAvideos у него там видео больше, чем на час получилось, и посмотрели его менее 500раз за год.

[@AS_tutor]

Мега благодарен! Очень круто!!!

[@SHIZ584]

Спасибо!

[@gerpol1005]

Мне кажется, что интеграл в правом верхнем углу видео, который вы искали, можно было найти гораздо проще. Числитель и знаменатель показателя у e домножим на i. Сделаем замену и напишем гауссов интеграл(который вы в конце использовали). Выделим реальную часть и всё, ответ.

[@Hmath]

тут уже в комментарии ниже это же предлагали и я там отвечал. фактические вы делаете замену и получаете в интеграле не действительную, а комплексную переменную и хотите к нему применить результат полученный для интеграла с действительной переменной. Этот интеграл, кстати, получится не просто от 0 до бесконечности, а будет как раз контурный интеграл по наклонному лучу на комплексной плоскости. И он получается равен интегралу по действительной оси как раз по той причине, что интеграл по вертикальному участку контура стремиться к нулю. В общем-то об этом и есть всё видео :) я его просто еще раз пересказываю фактически. Т.е в вашем способе просто по умолчанию подразумевается, что интеграл по вертикальному отрезку стремиться к нулю, а это не всегда так :) Видимо уже нужно будет как-нибудь сделать видео, в котором как раз продемонстрировать это факт :)

[@gerpol1005]

@@Hmath понял, спасибо. Я просто ещё не слишком знаком с функциями от комплексных переменных, школьник все-таки)

[@malikaabdurashidova-d3l]

Спасибо большое

[@AliaksandraMakayeva]

Спасибо большое!

[@alexandergretskiy5595]

Равенство двух искомых интегралов очевидно, причем на любом интервале, кратном 2π. Или не совсем очевидно. Вроде x*x=2πk подходит.

[@АртурРудаков-н4н]

Очень интересно! Спасибо большое. Только есть небольшой вопрос: с чем связан выбор контура интегрирования, не могу для себя это никак уяснить? Или же можно выбирать любой произвольный замкнутый контур?

[@Hmath]

конечно, контур, как и функция, не могут быть любыми и выбираются так, чтобы в результате вычисления они: 1) привели к исходному интегралу (здесь интеграл по отрезку ОА равен исходному интегралу), 2) интеграл по контуру в итоге можно было легко вычислить. Здесь в плейлисте есть различные примеры: kzbin.info/aero/PLK_CvALNo5MfgQb1MJ5RFJLgkb0WhmSP8 каждый раз, это индивидуальный процесс. Как, в общем-то, и с любой заменой в интегралах

[@АртурРудаков-н4н]

@@Hmath спасибо большое!)

[@trolltrollskiy]

О, ну это пока ещё слишком глубоко для меня. Я только начал ангем изучать, какие ещё комплексные числа с интегралами

[@brutal425]

Это из раздела математического анализа))

[@motviybletb]

Замечательное решение! Есть только один единственный вопрос Почему мы выбираем именно такой контур OAB? У этого есть конкретные причины, или это так просто сверху спущено?

[@Hmath]

тут принцип как и у любой замены в интеграле: если получается найти, значит так и нужно делать :) здесь функция e^(ix^2) в интеграле, а интеграл от e^(-x^2) знаем, вот и нужно придумать такой контур, чтобы от e^(ix^2) прийти к e^(-x^2)

[@megistone]

Почему именно равнобедренний прямоугольний треугольник? почему именно такие направления?

[@Hmath]

чтобы получилось найти

[@megistone]

@@Hmath Не, єто понятно. Но почему именно такой. Почему не с углами 30 60 90, почему не квадрат и тп. Как понять что нужен именно такой) Спасибо.

[@Hmath]

цель ведь была изначально свести интеграл к тому, что известно: интеграл от e^(-x^2) по действительной оси - значит как-то в контуре должна была фигурировать действительная ось от 0 до бесконечности. Дальше нужно, чтобы как-то получались и те интегралы, которые нужно найти (с cos(x^2) и sin(x^2)). По ходу решения видно, что этого можно добиться взяв в контур наклонную прямую с углом 45 градусов. Дальше соединил это в замкнутый контур вертикальной прямой и доказал, что интеграл по вертикальной стремится к нулю. Можно было соединить и не вертикальной, а, например, частью окружности и тоже доказывать, что этот интеграл будет стремиться к нулю, если радиус окружности стремится к бесконечности (мне с вертикальной прямой показалось значительно проще, чем с окружностью) Универсального рецепта, подходящего к любому интегралу, нет :)

[@megistone]

@@Hmath А, теперь понял. Спасибо!)

[@ВладиславБабеков-ж2е]

интересно, кстати, что если такой интеграл решать другим способом: свести к реальной/мнимой части экспоненты(например, cosx^2=Re(e^(-i*x^2)) , и затем вычислять через первообразную, то если корень из мнимой единицы определить как (1+i)/sqrt2, ответ(используем Пуассоновский интенрал) получается тот же. но это уже замена, сопряженная с... многозначной функцией, корнем, потому что выбери я (-1+i)/sqrt2, ответ был бы с другим знаком. я выбирал, уже зная ответ, а вот было бы интересно узнать, как с такими заменами все таки работают по-честному. хотя вы, возможно, можете даже не быть в курсе, не знаю, насколько это глубокая и нужная тема.

[@Hmath]

посмотрите внимательно на этот способ: это на самом деле то же самое, что я и рассказываю в видео :) при замене вы получите фактически контурный интеграл (т.к переменная - комплексное число) по такой же наклонной прямой, как у меня было в видео и вы приравниваете его к интегралу по действительной оси, а это как раз возможно при условии, что интеграл по куску кривой, соединяющей горизонтальную прямую и наклонную равен нулю (в моем случае это интеграл по вертикальному отрезку, но можно и по дуге окружности сделать - в этом случае только сложнее доказать). С этим и будет связан тот факт, что вы при замене в итоге взяли корень (1+i)/sqrt2. Как лучше объяснить здесь в комментариях, я не знаю :)

[@nazimavaleeva3752]

Это может быть часть курсовой на мат факе

[@Українець-й4ы]

А почему когда получился интеграл от фукции e^i(x^2) нельзя было сделать замену t=x*(1+i)/√2 , тогда производная t будет (1+і)/√2 что просто вынести за интеграл , а в степени заранее упростив будет -t^2 , интеграл от фукции (√π)/2 и надо просто помножить на (1+і)/√2 , что будет тем же самым ответом что и в конце видео

[@Hmath]

я уже здесь же отвечал на такой же вопрос ниже в комментарии.

[@notaslave9628]

Здравствуйте Алексей, не могли бы вы подсказать мне учебник по интегральному и диф.исчеслению ,но только хороший (на ваш взгляд ).

[@Hmath]

На вкус и цвет все фломастеры разные :) Фихтенгольц Г.М (3 тома), Курант Р. (2 тома), Смирнов В.И. (тут вообще 7 книг с кучей разделов)

[@ЯрославБеляев-т5к]

Эти интегралы мне встретились при нахождении интеграла порядка ½ от синуса. Там получалось нечто вроде 2/√π * S[0, +oo) sin (x - t²)dt = 2/√π * ½ * √(π/2) * (sin x - cos x) = sin(x - π/4) У вас случайно нет видео про дифференцирование и интегрирование дробного порядка?

[@Hmath]

нет

[@AlbertvonBolsdädt]

Непонятен конец. Почему мнимая и действительная части равны? Мы же умножаем корень из пи пополам на (1+i)/sqrt(2). В мнимой части так и будет i*().

[@Hmath]

если z=a+bi, то действительная часть Rez = a, мнимая часть Imz = b. По определению.

[@sebastianholmes2391]

Замечательный ролик, а в какой программе вы делаете такие презентации и насколько это удобно монтировать?

[@Hmath]

все отдельно делаю: сначала слайды на весь ролик - 80-200 картинок в фотошопе (формулы отдельно набираю и вставляю), потом это все монтирую в видеоредакторе и записываю звук (я примитивным пользуюсь, но привык уже, советовать не буду :)) времени много уходит ~1 час работы на 1 минуту готового видео.

[@sebastianholmes2391]

@@Hmath понял, спасибо за ответ!

[@dmxumrrk332]

@@Hmath прям по Маяковскому 😊.

[@trappist707]

Класс! А зачем ставить огонь 🔥 на ответы)

[@Hmath]

не во всех видео 🔥, только в некоторых, где ответ огненный :)

[@MercuriusCh]

Ну начало видел не совсем правдиво, если говорить про интеграл Лебега, то изменение подинтегральной функции на множестве меры ноль вообще не меняет интеграл)

[@Hmath]

тяжело вам будет смотреть видосики с моими постоянными упрощениями :)

[@Max-ko2ce]

Ролик хороший, интересный, только где в жизни мы эти знания можем применить?

[@Hmath]

универсальный комментарий, можно его оставлять под любым видео на ютьюбе!

[@НовокузнецкиеСомелье]

Это вам нужно такой раздел физики ,как оптика изучить, тогда вопросов не будет ,где это знание может пригодиться

[@OrgStinx]

Вот вам и гамма функция

[@barackobama2910]

тут бы сходимость доказать...

[@123Qwe-gc3ku]

Замена t=x^2 и признак Дирихле. Если ещё нужно)

[@Kapibara3217]

Людишки зашли реально далеко