Integrali doppi | Jacobiano "strano" e Cambio di Coordinate | Esercizio Svolto

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Nell'esercizio di questo video si chiede di calcolare l'area di una figura definita da due rette passanti per l'origine e due iperboli equilatere, nel primo quadrante del piano cartesiano.
In pratica, dobbiamo calcolare l'integrale doppio della funzione f(x,y)=1 nel dominio normale di cui vogliamo trovare l'area.
Tuttavia, non tratteremo il dominio come normale, e cioè non spezzeremo la figura in tre parti per calcolare l'integrale doppio su ciascuno di questi, ma anzi useremo un piccolo trucco di cambio di coordinate, dove riusciremo addirittura a trattare questa figura come un quadrato!
Andremo in particolare prima a disegnare il dominio D nel piano cartesiano e poi effettueremo un cambiamento di variabili per calcolare al meglio l'integrale proposto. Dopodiché, calcoleremo lo jacobiano di questa trasformazione geometrica, facendo il calcolo del determinante della matrice jacobiana. Prendete appunti perché vi serviranno quando affronterete un esercizio simile all'esame di Analisi 2!
Buono studio!
-Marco, ClearMath
00:00-01:20 Disegno del dominio nel piano cartesiano
01:20-03:35 Come fare il cambio di coordinate per l'integrale doppio
03:35-04:41 Calcolo della matrice Jacobiana e dello Jacobiano
04:41-05:38 Calcolo dell'integrale dopo aver svolto il cambio di variabili
Analisi 2 , integrali doppi, domini normali, cambiamento di variabili, cambio di coordinate, piano cartesiano, esercizi svolti.

[@Hibyss_]

In giro se ne trovano veramente pochi di esercizi di questo tipo, non sapevo proprio come "inventarmi" i cambi di coordinate. Sei una salvezza, Grazie!

[@evaristoonofri4944]

Davvero istruttivo

[@ClearMath1]

grazie mille!

[@acrommclain5233]

Non c'era bisogno di invertire la funzione e poi calcolare la jacobiana poichè il determinante della jacobiana di un diffeomorfismo è il reciproco del determinante del diffeomorfismo inverso. In pratica ti usciva che |det(f)|^(-1) = |det(f^(-1))|. Ovviamente risultava 2|y/x| che diventa 2|u|.

[@ClearMath1]

Per carità, giusto, ma mettiti nei panni di uno studente all'esame di analisi 2, che deve necessariamente far vedere i passaggi del cambio di base: per domini così generici (non come per le coordinate polari) generalmente si esige la costruzione dello jacobiano col conto diretto.