Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, nochmals Geodäten

[@lukasvictorweyland1064]

Sehr geil, Topologie, wäre auch nicht schlecht auf Ihrem KZbin - Channel, so als Zeitvertreib. Würde bestimmt mega gut ankommen, macht man sehr gerne in der Freizeit oder beeindruckt damit jemanden in der Disco. Bei Ihnen versteht man solche Geschichten so schön. LG

[@JoernLoviscach]

In meiner Playliste "Reisen durch die Raumzeit" gibts da ja so einiges. Ob man damit aber in der Disco angeben kann? Ich denke, man käme eher als realer Sheldon Cooper rüber.

[@yan6560]

Ist die Herleitung der Gleichungen von 26:00 bis 36:00 nicht im Endeffekt der Lagrange-Formalismus? Falls ja, kannst Du Litaratur empfehlen, in der das vielleicht mithilfe der Lagrange-Funktion hergeleitet wird? Würde das für mich gerne in Verbindung mit den Vorlesungen der theoretischen Physik, die ich gehört habe, bringen. LG

[@JoernLoviscach]

Es ist in der Tat verdächtig nahe am Lagrange-Formalismus. Weil es darauf ankommt, die Eigenzeit stationär zu machen, kann man einfach d Eigenzeit / dt als Lagrange-Funktion nehmen. Literatur wüsste ich auf Anhieb nicht. Auf Stack Exchange Physics gucken bzw. fragen.

[@naib8644]

6:47 Warum ist die Karte andersrum bzw. warum müssen wir die Inverse benutzen?

[@JoernLoviscach]

Allgemein bezeichnet man die Abbildungen von (passenden Untermengen) der Mannigfaltigkeit nach R^n als "Karten". Eine solche "Karte" liefert zu einem Punkt dessen Koordinaten. Das wirkt vielleicht natürlicher als andersherum. Mag mal eine Bauchentscheidung gewesen sein. Man müsste die Historie ansehen, um das (vielleicht) zu klären. Schöne Aufgabe für eine Abschlussarbeit in Mathematik-Geschichte.

[@naib8644]

Achso :) Danke für die schnelle Antwort!

[@JannikPitt]

Jörn Loviscach Aber die Kurve ist ja auf der Mannigfaltigkeit definiert, man muss mit der Karte von der Mannigfaltigkeit in den R^n um ableiten zu können, also df(x(t))/dt, wenn f die Karte ist.

[@JoernLoviscach]

Nein, der Tangentialvektor soll im wahren Raum liegen und von der Karte unabhängig sein. Wenn die Mannigfaltigkeit in einen R^m eingebettet ist, geht das Ableiten im wahren Raum. Daraus lernt man, wie sich die Komponenten beim Kartenwechsel transformieren. Und damit kann man dann (siehe Video) Tangentialvektoren auch ohne Einbettung definieren. (Der in der Literatur übliche Weg ist ein ein anderer, deutlich abstrakterer: Derivationen von Funktionskeimen. Aber als Physiker geht man gerne über das Transformationsverhalten.)

[@screwhalunderhill885]

Geniales Video. Respekt

[@JoernLoviscach]

Weil es auf KZbin Gemecker über das Niveau der frisch hochgeladenen Vorkursvideos gab, nun das zweite Video zur Allgemeinen Relativitätstheorie.

[@veronicanoordzee6440]

Was ist ein Komponent? V-superscript x e-subscript? Oder V-superscript alleine (9:14)?

[@JoernLoviscach]

Das Letztere. Komponenten sind Zahlen.

[@veronicanoordzee6440]

Danke. Und was ist dann das Produkt von V-superscript x e-subscript?

[@JoernLoviscach]

Das ist ein Vektor, denn es ist eine Linearkombination der Vektoren e_...

[@JoernLoviscach]

Wenn ich die Mannigfaltigkeit verbiege (falls ich das kann) ändern sich die Koordinaten in der Karte nicht. Die sind ja wie die Kästchen auf einem kartierten Blatt Papier. Denen ist egal, ob man das Papier ausbreitet oder es zusammenrollt.

[@JoernLoviscach]

Die Länge wächst proportional zu r, das Skalarprodukt des entsprechenden Vektors mit sich selbst (a^i g_ij a^j) ist die Länge ins Quadrat, wächst also proportional zu r². Tipp: 0:52 schreiben, dann macht KZbin einen Link draus.

[@AlexMueller94]

Ich habe ein Problem mit diesen Differentialformen, von denen auch im Video kurz die Rede war. Kann ich mir das (vorsichtig) erstmal so vorstellen, dass die Elemente, in denen eine Differentialform (es sind ja alternierende Multilinearformen) linear sind die Basisvektoren an einem Punkt p sind und dass die aus der Koordinatenfuntion an diesem Punkt gewonnen werden? Ich weiß, dass Differentialformen für koordinatenunabhängige Integration auf Mannigfaltigkeiten gebraucht werden, aber ich habe das alles noch nicht zusammengebracht. Muss aber auch dazu sagen, dass ich mir das alles nur um der Sache willen ansehe und nicht etwa im Rahmen eines Studiums oder so.

[@JoernLoviscach]

Sich das um der Sache willen statt wegen eines Studiums anzugucken, ist ja auch die einzige Chance, so etwas wirklich zu verstehen. :-) Grundidee der Differentialformen: Damit man koordinatenunabhängig integrieren kann, muss die Jacobi-Determinante für den Koordinatenwechsel automatisch auftauchen, so dass sich beim Koordinatenwechsel nichts ändert. Genau das klappt mit alternierenden Multilinearformen. Das ist verwandt mit det(AB) = det(A) det(B).

[@AlexMueller94]

@@JoernLoviscach Damit ist zwar nicht alles restlos klar für mich, aber das ist auch nicht verwunderlich, wenn es an einigen Grundlagen zu Differentialformen noch fehlt. Ich habe da in den letzten beiden Tagen parallel hierzu tiefer gegraben, Sie haben mir mit dieser Grundidee das Gedankengerüst geliefert. Unabhängig davon und nochmal zur Relativitätstheorie: Sie haben an einer Stelle mal geschrieben, dass Sie diese Videos u. a. darum gemacht haben, weil alles, was Sie dazu gefunden haben, nicht zufriedenstellend war. Kennen Sie die Videos zur Relativitätstheorie von Leonard Susskind (Stanford) und Ramamurti Shankar (Yale), die alle auf KZbin sind? Wenn ja, was halten Sie von denen bzw. was ist es, was Ihnen daran nicht gefällt?

[@JoernLoviscach]

@@AlexMueller94 Susskind ist arg konzeptlos und bekommt nicht mal kontravariant vs. kovariant korrekt erklärt. Shankar ist zu wenig anschaulich. Ich für meinen Teil könnte es jedenfalls nicht mit deren Vorlesungen verstehen. Wir hatten Susskind übrigens für meinen Kurs über Differentialgleichungen interviewt: kzbin.info/www/bejne/fJSno6J7f9hqpdk

[@AlexMueller94]

@@JoernLoviscach Ich finde Susskind's Vorlesungen grundsätzlich ganz passabel, mit einem größeren Problem: Sie sind mir etwas zu langatmig für zu wenig Stoff, der in rund zwei Stunden vermittelt wird. Das bringen Sie mit diesen Videos, finde ich, gut hin, Sie haben eine gute Rate Stoff pro Zeit, ohne dass bei der Anschaulichkeit Abstriche gemacht werden müssen. Sie machen mit diesem Kanal generell eine sehr gute Arbeit, das sehe ja nicht nur ich so. Ich jedenfalls komme schon seit Jahren immer wieder gerne zurück (auch das alles der Neugier und des Interesses wegen). Ich meine mich zu entsinnen, an einer anderen Stelle gelesen zu haben, dass sie eine solche Reihe auch für die Quantenmechanik im Sinn hatten. Schwebt Ihnen das noch immer vor oder sind Sie davon (aus Zeitgründen?) abgekommen?

[@JoernLoviscach]

@@AlexMueller94 Ja, zu langatmig und eben etwas planlos. Zur Quantenmechanik: Um dazu Videos meiner Art zu machen, müsste ich sie erst einmal verstanden haben. Rechnen ja. Aber verstehen?! Wie schon Feynman gesagt hat: "I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics." Ich lese durchaus hin und wieder die entsprechenden Paper, was sich die Leute aktuell so an Modellen ausdenken. Vielleicht gefällt mir ja mal eines.

[@omegapirat8623]

ist der Ausdruck d^-1(phi(x(s))/ds an der Stelle überhaupt definiert? weil man betrachtet die Ableitung einer Abbildung von R -> M, wenn M jetzt die Mannigfaltigkeit bezeichnet. Definiert hat man die Ableitung aber erstmal nur für Abbildungen R->R^n

[@JoernLoviscach]

Ich lüge mich damit raus, dass ich sage (3:38), wir stellen uns erst mal vor, dass die Mannigfaltigkeit eine Einbettung besitzt (in einen R^n). Der Trick ist dann, die Begriffe so zu formulieren, dass die Einbettung zum Schluss gar nicht mehr vorkommt (13:15), also egal ist. Offiziell macht man das anders, nämlich indem man eine abstrakte Fassung des Tangentialraums definiert (am verständlichsten noch über "Derivationen", angedeutet bei 15:06). Das finde ich aber didaktisch unklug.

[@Marmelademeister]

Doch: Vladimir I. Arnold, "Mathematical Methods of Classical Mechanics". Trotzdem: Diese Videos sind Gold wert!

[@jonnymaddox2540]

Hallo Herr Loviscach. Was ist denn mit den Ebenen die von dem binormalen und dem Tangentialvektor von einer Kurve auf einer Oberfläche aufgespannt werden? Es gibt auch noch die Ebene die von den Ableitungen des Positionsvektors nach den Parametern aufgespannt wird(zu denen N orthogonal ist). Sind das auch Tangentialräume?

[@JoernLoviscach]

Die Videos zur Relativitätstheorie sind ganz heftig per Hand geschnitten, im Stil von Udacity.

[@franc8256]

Hallo Herr Loviscach, erst mal sehr schönes/anschauliches Video. Ich habe noch Mühe folgendes zu verstehen: Wieso spielt die Einbettung keine Rolle, wenn man nur das Transformationsverhalten der Komponenten betrachtet?

[@matrixtensor]

Guten Tag her Loviscach, die Transformation zwischen Koordinaten kann ja auch durch x'^a=dx'^a/dx^b x^b dargestellt werden oder? Stimmt es, dass für eine Funktion y(x) mit der inversen x(y) folgendes stimmt: dy/dx = ( dx/dy )^(-1)? Wenn beides stimmt dann kann ich ja die Komponenten der Inversen jeder Transformation von Tensoren durch ^(-1) herleiten: dx'^a/dx^b = (dx^b/dx'^a)^(-1). Stimmt das?

[@JoernLoviscach]

+Matrix Tensor Frage 1: Nein, siehe 14:47 in diesem Video, wie es richtig ist. Man muss zwischen den Vektorkomponenten und Koordinaten unterscheiden. Frage 2: Ja, wenn mit dy/dx die Jacobi-Matrix gemeint ist und wenn man die Funktionen an der richtigen Stelle auswertet. Frage 3: Ja.

[@ouldasahra2533]

welches Program benutzen Sie in dieser Presentation? Vielen Dank im voraus

[@JoernLoviscach]

+Ould Asahra Zu meiner Technik siehe www.j3L7h.de/videotech.html Aber ab diesem Semester benutze ich nur noch meine eigene Software, wie schon hier zu sehen: kzbin.info/www/bejne/i5m5kKRsoadsa9k

[@lucadiekgraefe8868]

Sehr gutes Video! Aber ich habe noch nicht ganz verstanden, wieso die zeitartigen Geodäten die größte Eigenzeit haben müssen. Müsste das nicht eigentlich die kleinste sein?

[@JoernLoviscach]

Siehe mein Video "Äquivalenzprinzip, Geodäten, gekrümmte Raumzeit".

[@lucadiekgraefe8868]

Jörn Loviscach Vielen Dank für die schnelle Antwort, aber widerspricht das nicht der Formel c*dt=ds , denn laut der müsste ja eine größte Eigenzeit eine größte Strecke entsprechen?

[@JoernLoviscach]

Luca Diekgraefe Wir vergleichen verschiedene Bahnen zwischen denselben zwei Ereignissen. c*dt = ds hat damit nichts zu tun (und würde auch nur für Licht in schönen Koordinatensystemen gelten). Lieber meine Playliste "Reisen durch die Raumzeit" ganz von vorne anfangen.

[@HomerBeeSimpson]

Das sind also Mannichfaltichkeiten... So einfach wird das natürlich nirgenswo erklärt

[@norbertprebeck2024]

Sehr gut!

[@tomsailor7579]

Super Video :)

[@fisic2012]

Kannst du deine Videos mit untertittel auf Englisch machen? Für mich ist sehr schwierig verstehen auf Deutsh :/, aber ich sehe dass die Qualität ist geil! Tschüss!

[@JoernLoviscach]

Ich habe das Buch als 18-Jähriger verschlungen. Ist aber schon etwas härterer Tobak als meine weichgespülte Version hier.

[@nDrizza]

Welches Buch können Sie empfehlen?

[@JoernLoviscach]

@@nDrizza Leider keines.

[@JoernLoviscach]

Wahrscheinlich wird einem deutschen Lehrstuhlinhaber sofort die Venia Legendi aberkannt, wenn er das auf diese Weise erklärt. (Im Fernsehen Klamauk-Storys und irreführende 3D-Animationen zu dramatischer Musik zu präsentieren, ist dagegen für Lehrstuhlinhaber kein Problem.)