04C.2 Bild, Rang, Kern, Defekt einer Matrix; lineares Gleichungssystem

[@Ehang216]

2:20 woher weiß ich denn mit welchen Basen ich alle darstellen kann?

[@JoernLoviscach]

Die Frage ist mir nicht klar. Mit jeder Basis eines Vektorraums lassen sich alle Vektoren darstellen!

[@Ehang216]

Jörn Loviscach Na angenommen unsere 3.Basis wäre ein wenig komplizierter, aber ein Vielfaches von den anderen beiden Bildern. Gibt es dann ein Verfahren um zu schauen ob ich mit den anderen beiden die 3.Basis darstellen kann?

[@JoernLoviscach]

Ah, ist gemeint: "Basisvektoren"? Eine Basis ist eine vollständige Menge an Basisvektoren. (Siehe meine Videos dazu: www.j3L7h.de/videos.html) Ebenso scheint mir die Mehrzahl bei "Bildern" eigenwillig. Aber zur Frage: Um festzustellen, ob ein Vektor eine Linearkombination aus anderen, gegebenen Vektoren ist, kann man notfalls ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen. Aber eigentlich wollen wir ja gerade das vermeiden.

[@Ehang216]

Jörn Loviscach Mein Prof gibt jedoch gerne ulkige Zahlen, weshalb wohl das LGS unvermeidbar ist ^^. Danke für die hilfreiche Antwort!

[@ajmg1993]

echt gutes Video! auch für Leute die schon Bild, Kern, Defekt und Rang berechnen können! denn hier wird klargestellt was das bedeutet :) (z.B.: Eindeutigkeit einer Matrix, - ist das so richtig formuliert? -. )

[@JoernLoviscach]

Hmm, "Eindeutigkeit einer Matrix" würde sich eher danach anhören, dass die Einträge der Matrix irgendwodurch eindeutig bestimmt sind. Was man sagen kann: "Eindeutigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dieser Koeffizientenmatrix". Das ist leider etwas länger.

[@ajmg1993]

hmmm ergibt Sinn :D danke

[@erichjustus8906]

Kann man auch den Defekt mit einer eingefügten Nullzeile an der Matrix ablesen?

[@JoernLoviscach]

Mir ist die Frage leider nicht ganz klar. Aber ich probiere mal was: Die Matrix (0 0) (1 0) (0 1) hat den Defekt 0, obwohl eine Zeile nur aus Nullen besteht. Der Zusammenhang ist also etwas komplizierter, als man hoffen könnte. Man müsste über dies gehen: Rang + Defekt = Zahl der Spalten.

[@erichjustus8906]

@@JoernLoviscach war nur auf Quadratische Matritzen wie im Video bezogen Mann kann ja wenn ich mich recht entsinne eine 3x4 Matrix mit einer Ergänzten Nullzeile in eine 4x4 Matrix umschreiben und dann anhand der Nullzeile ja aussagen, dass der Defekt mindestens 1 ist

[@JoernLoviscach]

Der Weg, daraus eine Begründung zu machen, scheint mir zu kompliziert. Direkter Weg so: Eine 3x4-Matrix hat maximal den Rang 3, denn der Rang ist definiert als die Dimension des Spaltenraums. Aus "Rang + Defekt = Zahl der Spalten" folgt damit: (maximal 3) + Defekt = 4, also ist der Defekt mindestens 1.

[@erichjustus8906]

@@JoernLoviscach danke für die Antworten, hat mir sehr geholfen