수학의 기초론 (feat. 논리주의, 직관주의, 형식주의, 프레게, 러셀, 브라우어, 힐베르트, 괴델)

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2 жыл бұрын

플라톤은 세계를 둘로 쪼겠습니다. 이데아의 세계와 현실의 세계. 이데아의 세계는 이성의 눈으로만 보이는 가지계이고 현실의 세계는 감각의 눈으로 보이는 가시계입니다. 그리고 이데아의 세계가 진짜 세계이고 현실의 세계가 가짜라는 겁니다. 그렇다면 이데아의 세계는 어떤 세계일까요? 그것은 관념의 세계입니다. 감각의 눈으로는 보이지 않지만 이성의 눈으로 보이는 것은 관념이죠. 그래서 플라톤은 이러한 관념이야 말로 진짜로 존재한다고 말합니다. 이러한 관념이야 말로 실재한다는 겁니다. 그래서 플라톤의 이러한 입장을 관념 실재론이라고 합니다.
자. 그런데 이러한 관념들의 결정체가 바로 수학이죠. 그래서 플라톤의 아카데미의 입구에 “기하학을 모르는 자 여기에 들어오지 말라”라고 써 있었던 겁니다. 따라서 플라톤의 입장을 받아들이면 1, 2, 3과 같은 자연수는 물론 루트2와 같은 무리수, 3i와 같은 허수, 함수, 복소수, 집합. 이런 것들로 실재로 존재하는 것으로 보아야 합니다. 따라서 피타고라스 정리나 오일러 등식과 같은 수학적 공식 또한“미국의 대통령은 바이든이다”와 같이 객관적인 사실이라는 겁니다. 이러한 입장을 수학에서의 플라톤주의라고 합니다.
그런데 흔히 이런 농담이 있습니다. “수학자들은 평일에는 플라톤주의자이지만 주말에는 반플라톤주의자이다.” 이 말은 수학자들이 주중에 수학 문제의 해법을 찾을 때에는 그 해법이 실제로 존재하는 것이라고 생각하지만, 막상 주말에 쉬면서 한발 떨어져서 보면 자신이 실제로 존재하는 해법을 찾고 있는 건지 아니면 그냥 숫자 놀음을 하고 있는 건지 잘 헷갈린다는 겁니다. 이런 의심을 하는 순간 수학자는 철학자가 됩니다.“수학이란 무엇인가?” “수학적으로 참이라는 것은 무슨 의미인가?” “수학적 명제가 참이라는 근거는 무엇인가?” 이러한 질문들을 다루는 철학의 분야를 수리 철학이라고 합니다.
20세기 초 이러한 질문에 대답하기 위해서 나타난 세 학파가 있습니다. 그것이 바로 프레게와 러셀의 논리주의, 푸앙카레와 브로우어의 직관주의, 힐베르트의 형식주의입니다. 오늘은 이들 학파가 나타나게 된 배경과 이들이 어떻게 서로의 이론을 반박하면서 발전해 나갔는지 그리고 어떤 한계에 봉착했는지에 대해서 이야기를 하겠습니다.

Пікірлер: 123

@drunktao7 2 жыл бұрын

방대한 수학철학 이론들에 대해 단숨에 그 스토리를 꿰뚫는 멋진 정리를 해주셨네요~^^ 저는 수학 전공자 출신으로 힐베르트의 형식주의 주장이 현대 추상수학에 가장 와 닿는 설명이라는 생각을 아직도 가지고 있습니다. ㅎ 그러다보니 학술지 논문이나 석사논문에서 직관주의 및 칸트/브라우어 비판으로 일관하게 되었습니다. 브라우어가 문제시한 배중율이라는 것은 사실 진술에 있어서 참과 거짓이 이분적으로 명확히 구분 가능한 논리 명제들에만 국한시켜야 한다는 생각이고, 그렇지 않다면 '배중률 개념을 일반 진술로 더 확대하여 '참이냐 아니면 참이라고 말할 수 없느냐'중 하나로 받아들여야 한다는 주장을 펴기도 했습니다. 말씀하신 것처럼 수학자들이 직관주의적 접근법에 철저히 발목 잡히다보면 실제 활용성도 큰 비유클리드 기하학이나 고차원 공간을 위한 대수기하학처럼 인간 정신의 자유로운 사유와 창조성이 제한당하기 쉽다는 생각입니다. 그냥 평범한 저의 수학관일 뿐입니다만.....ㅎㅎ

@dlskfktoa 2 жыл бұрын

시간의 단위란 것은 결국 인간이 임의로 나눈 것에 불과하므로 이 영상을 보는 구독자들이 21분을 5분으로 부르기로 합의할 경우 21분짜리 5분 뚝딱 철학 영상이 존재하는 것이 가능하다

@min-sp6jg 2 жыл бұрын

4:30

@user-zl4bi4gd2v 2 жыл бұрын

너무 사랑하는 주제입니다. 항상 좋은 영상 올려주셔서 감사합니다

@mrj9926 2 жыл бұрын

마지막 말씀이 인상깊습니다 철학의 재미로는 여러가지가 있겠지만, 그 중 가장 두드러진 것이 당연하다고 여겨온 지식에 대한 의문과 그에서 오는 경이감이라고 생각합니다 수학기초론을 처음 접했을 때, 그 무엇보다 확실한 지식체계인 수학에 대해서마저도 심각하고 진지한 인식론적 형이상학적 의문이 제기될 수 있구나 하는 생각에, 큰 흥분과 흥미를 느껴 늘 관심하는 분야가 되었습니다 그런 주제로 영상이 올라오니 참 반갑네요 유익하면서도 센스있는 영상 늘 감사합니다