[UT#71] Les séries entières (Introduction)

Dans cette émission, je propose une petite introduction à la notion de série entière. Pour comprendre ce dont il s'agit, et ce qu'on fait avec, rien de tel que de revenir à une idée simple associée au mathématicien Taylor: approximer une fonction par une fonction polynomiale. Pour suivre ce contenu au mieux, une connaissance des modes de convergence des séries de fonctions, présentée dans l'émission [GS#3], en lien ci-dessous, est souhaitable.
🕒 Repères temporels:
0:00 - Problématique
0:19 - Exemple - La série géométrique
1:06 - Vers une potentielle généralisation ?
4:19 - Deux questions importantes
5:52 - Définition - Rayon de convergence
7:41 - Le lemme d'Abel
8:30 - Théorème #1 - Convergence
12:58 - Théorème #2 - Dérivation
15:00 - Récapitulatif sous forme d'une histoire
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✒️ Notions abordées: série géométrique, développement de Taylor, série exponentielle, convergence des séries de fonctions, rayon de convergence, lemme d'Abel, convergence normale, convergence absolue, cercle d'incertitude, dérivation terme à terme, fonction holomorphe.
🌞 Bonne écoute !
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[@teomottin559]

Bonsoir, Vos vidéos sont d'une qualité professionnelle absolue ! Tout est propre, les illustrations et les petites figures telles que les yeux dessinés et les têtes des savants de notre ère permettent une bonne imprégnation du sujet et le développement illimité de la curiosité pour ce dernier (et non limité, ah ah). Votre débit est parfait, avec un ton très bien maîtrisé, la vidéo est doublement intéressante, avec un mélange de savoir et d'histoire des sciences, ce qui donnent un accro ludique pour quelque chose qui n'est pas forcément si simple pour un terminale ou Bac+1. Je recommanderai votre chaîne à mes amis de faculté, vous méritez de faire répendre cette mine d'or d'informations sur la toile, bon courage et continuez ! Merci beaucoup beaucoup, Elève en N1 de maths 😆

[@oljenmaths]

Salutations et merci beaucoup pour ce message chaleureux 🥳! J'espère en effet continuer longtemps cette petite aventure dans laquelle je me suis lancé. En tout cas, je vais tout faire pour 💪🏻. Bonne continuation 👨🏻‍🎓!

[@Paulo-]

L'accent sur la rigueur allemande m'a eu, bien joué

[@oljenmaths]

C'était une occasion en or, je ne pouvais pas la manquer 😇!

[@AllemandInstable]

on fête les 2 mois du badge Marcel avec une nouvelle vidéo de qualité 🍻 Et vive le Petit côté historique des concepts abordés

[@oljenmaths]

J'aurais envie de :wobble: mais KZbin n'a pas (encore) prévu cela 🥳.

[@5SE5555]

La qualité de vos vidéos sont vraiment incroyables, c’est très beau ce que vous proposez. Bravo, et continuez s’il vous plaît je ne m’en lasserait jamais !

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻! J'espère revenir dans quelques mois avec plein de nouvelles histoires à raconter 😇!

[@sebwin6930]

Excellent comme toujours. On se régale à vous écouter.

[@Lem4212]

Vos vidéos sont les videos mathématiques les plus qualitatives qu'on puisse trouver sur youtube je trouve, merci

[@eyabenfredj2661]

Ce que vous faites est un travail magnifique

[@DamassiTV]

Comme toujours magnifique vidéo. Merci pour les explications ❤️

[@guizmaths]

Vous êtes un GÉNIE. J’adore vos vidéos. Je vais pouvoir me remettre un peu à niveau ;-) 🎉

[@nady2296]

Super vidéo. C'est bien mieux introduit et bien plus alléchant que mon cours de maths. Je m'empresse de regarder les autres sur les séries entières.

[@guizmaths]

C’est juste extraordinaire comme vidéos.

[@mouadmellouki8976]

J'apprécie énormement votre contenu !!,grâce à vous je suis toujours connecté aux mathématiques . Un grand merci .

[@oljenmaths]

Merci beaucoup Mouad, et merci de me soutenir dans ma folle aventure 🙏🏻!

[@paulcarpentier1564]

Merci pour cette belle vidéo !

[@frenchbaguette2856]

Magnifique travail comme à l'accoutumée

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻!

[@100physique4]

Tu es le @ScienceClic des mathématiques !

[@nathael0013]

Très bonne vidéo, merci ça m'a beaucoup aidé.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻!

[@meryemmeryem9111]

I like to study math in this way, thank u 🇩🇿🇩🇿🇩🇿

[@oljenmaths]

Au plaisir 😇!

[@rimamimi3459]

Merci bcp

[@vilgaxferrere5148]

Mince en regardant cette video, c'est dommage d'être en terminale en 2022, je devrai plutôt être en 1 ou 2 ème année mathématiques pour deguster et reagir pleinement en intelligence à ce cours concernant les series. J'ignore la philosophie qui peut bien resider dans les réflexions d'un savant tel que vous vraiment et je souhait de tout coeur vous rencontrer un jour, et vous serrez la main vous qui faites partie de ces savants qui veulent enseigner les profanes tels que moi de plus j'ignore le travail qui en découle mais quoiqu'il en soi je compte me regaler de toutes ces histoires qui constituent les Mathematiques.

[@rabiilahmamda1883]

Chaque chose en son temps terminal ou pas tu as une bonne mentalité crois moi si tu l'a garde tu ira loin

[@oljenmaths]

Je comprends la légère frustration, mais c'est pour ça que je fais des vidéos: elle sera encore là l'année prochaine, et celle d'après, et ainsi de suite 🥳! Merci pour ce message chaleureux et bonne continuation pour cette année de terminale !

[@user-he2qe9yh2m]

Depuis que je vous ai découvert, j'accompagne toujours l'apprentissage de mes cours avec vos vidéos et la compréhension en est devenue tellement plus aisée ! Vous êtes extrêmement pédagogue, c'est merveilleux. J'adore votre tendance à motiver l'étude de chaque objet mathématique. Vous réussissez parfaitement à mettre en évidence les liens logiques entre toutes les notions abordées. Merci, merci et merci pour vos vidéos ! PS : ils viennent d'où les jolis dessins sur votre bannière ainsi que le générique de fin ?

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce message chaleureux qui conforte la décision que j'ai prise cette année de me consacrer à cette activité à plein temps 🥳! Si mes vidéos sont encore loin de couvrir tout ce qui se fait dans les premières années du supérieur, j'y travaille 😇. PS: Les dessins de la bannière viennent d'une ancienne partition de musique décorée, mais je crains bien d'en avoir perdu les références il y a fort longtemps déjà. Quant au dessin du générique de fin, l'image qui apparaît en fond est une variation de « l'escargot de Pythagore » avec des traits de construction supplémentaires, sur un manuscrit bien ancien là aussi, avec le même manque d'organisation dont je faisais preuve à mes débuts (2018) 😁.

[@leninjacopieur4203]

SUPER INTERESSANT

[@coulommiersta4711]

JE SUIS D’ACCORD

[@Raqi799]

C'est sans doute la vidéo la plus claire et passionnante que j'ai vu sur ce sujet, merci ! Une vidéo sur les espaces affines est-elle prévue ?

[@oljenmaths]

Merci beaucoup 🙏🏻! Non, pas d'espaces affines en vue, je dois dire que cette notion et moi-même manquons d'affinités 🙃…

[@user-gv6dp8ex2q]

❤️❤️❤️

[@user-sn7mp6bl8e]

pedagogie, rigueur, qualité de presentation, tout est vraiment parfait je vous en felicite. or on aimerai bien si vous pourriez faire un cours plutot complet

[@oljenmaths]

Au plaisir 😁!

[@nmkjnmnjm]

Vous avez décidemment un vrai talent pédagogique rare, que j'envie. Bon, allez, pour être un peu vache, je dirais que l'accent anglais sur Taylor, Bernstein, et autres est un peu limite, mais c'est juste parceque je suis jaloux

[@oljenmaths]

Merci 🙏🏻! Aha, je me suis pourtant appliqué en faisant vérifier ça par des natifs 😄. Sinon, j'aurais pu te le faire avec un accent marseillais, c'était aussi en stock 🤖.

[@smokegaming8112]

Bonsoir, je dois dire que j’ai regardé quasiment toutes vos vidéos et que je suis bluffé du niveau de pédagogie que vous avez, est ce que vous avez déjà pensé à vous consacrer à plein temps à KZbin/ faire des livres ? Je pense que vous êtes extrêmement doué et c’est rare d’avoir de si bonnes vidéos en mathématiques gratuitement dans le supérieur, il me semble que vous pouvez apporter vraiment énormément (vous apportez déjà beaucoup, mais je me dis que votre poste de professeur en classe préparatoire doit vous prendre beaucoup de temps, ce qui vous en laisse moins pour tout ça). Enfin en résumé, ce que je cherche à dire c’est que les gens comme vous sont rares et que ce serait dommage de ne pas profiter de vous dans de meilleures conditions niveau temps.

[@oljenmaths]

Salutations ! Merci pour ce message chaleureux 😇! Je suis effectivement à plein temps depuis la rentrée, j'ai pris une disponibilité pour me consacrer pleinement à mes activités (avec le défaut mineur de ne plus avoir aucun salaire 😌). Après avoir publié une cinquantaine de vidéos de septembre jusqu'à janvier, je réalise actuellement beaucoup de travail en coulisses pour réaliser une transition du fonctionnariat à l'entreprenariat. Une fois que cela sera fait, je serai de retour 🥳!

[@naskobranlo]

Bonjour s'il-vous-plaît répondez moi , j'aimerais savoir quel logiciel vous utilisez , j'aimerais savoir quel est ce logiciel avec cette interface apparaissant comme un vrai tableau

[@Mathioux]

superr

[@elessar4864]

utile pour le DS de demain çà

[@germainpotet5025]

gg marcel

[@MrDrake1233]

Une petite question me vient à l'esprit lorsque l'on parle de convergence NORMALE ou ABSOLUE à l'intérieur du disque de convergence : sachant qu'il s'agit d'un disque OUVERT, ne peut-on pas trouver, pour tout complexe strictement situé à l'intérieur du disque de convergence, une petite boule strictement incluse dans le disque ? Ainsi on aurait de la convergence normale partout... J'imagine bien qu'il doit y avoir une subtilité quelque part, sinon on ne prendrait pas la peine de distinguer ces deux cas ! Merci !

[@oljenmaths]

La subtilité est presque exposée avec la question ! C'est la différence entre une propriété de convergence normale locale (pour chaque point, il existe un petit disque fermé qui le contient et sur lequel il y a de la convergence normale) et une propriété de convergence normale globale (il y a convergence normale sur tout le disque ouvert). Mentalement, le dérapage, c'est qu'on imagine toutes les petits disques fermés dont l'union est bel et bien le disque ouvert. Mais la propriété de convergence normale ne se propage pas ainsi: ce n'est pas parce qu'on a convergence sur tous les disques fermés qu'on a convergence normale sur leur union (qui est infinie) 👨🏻‍🏫.

[@MrDrake1233]

@@oljenmaths Ah je crois avoir compris ! Donc l'idée serait de prendre une succession de boules fermées centrées sur 0 et de rayon r_n < R : sur chacune de ses boules fermées on a bel et bien convergence uniforme , mais en passant à la limite, on ne peut plus utiliser la convergence normale car en utilisant la vidéo précédente sur les modes de convergence, la borne supérieure des r_n est R... Et là ça bloque ! Est-ce bien cela ? J'en profite aussi pour vous remercier pour vos vidéos qui me permettent de me rappeler des cours de prépa, c'est génial ! =D

[@oljenmaths]

@@MrDrake1233 Disons que la convergence normale sur chaque petite boule, ça veut dire que pour un epsilon donné, il existe « un rang à partir duquel blabla » sur chacune des petites boules. Mais le problème, c'est qu'on ne peut pas prendre « le plus grand de tous ces rangs », étant donné qu'il y a un nombre infini de boules et que ce rang n'existe potentiellement pas, effectivement, exactement comme dans [GS#3] 👨🏻‍🏫! Merci pour les encouragements, ça fait plaisir 😇!

[@erenksng5349]

Bonjour, j'aime beaucoup le tableau sur lequel vous écrivez. Pourriez-vous partager l'application s'il vous plaît ? Merci beaucoup

[@oljenmaths]

Salutations 👋🏻! En réalité, j'utilise donc toute une panoplie de logiciels: GoodNotes pour la composition graphique, puis Photoshop, Audition et Premiere pour toute la suite, du découpage des vignettes au montage en passant par l'enregistrement du son. Rien n'est automatique et j'ai tout configuré à la main 😉.

[@erenksng5349]

@@oljenmaths Merci beaucoup pour votre réponse, je vous souhaite une bonne continuation pour la suite. Je vous suis très régulièrement ♥️

[@shoker5035]

Je suis toujours impressionné par la limpidité de ces vidéos…

[@christophem6373]

Pour la série entière géométrique si z =0 on obtient 0=1... Alors le rayon de convergence ?

[@oljenmaths]

Là, il n'y a plus de rayon, et plus de roue non plus, on a cassé les maths 😅! Plus sérieusement, il s'agit de lire la somme des termes comme 1 + z + z² + … (le premier terme de la somme vaut 1), ce qui revient à écrire 0⁰ = 1, en bref.

[@christophem6373]

@@oljenmaths j'avais oublié le premier terme en fait.... dsl.

[@oljenmaths]

@@christophem6373 Aucun problème, je suis aussi coutumier de ce genre de boulettes, et je me rappelle même l'avoir faite devant mes élèves dans un moment de confusion des plus délectables 😇.

[@loicgeeraerts]

Ce serait cool que les bords des disques ouverts soient représentés avec des pointillés plutôt qu'avec une ligne continue afin de différentier les ouverts des fermés.

[@oljenmaths]

Mon cerveau a censuré l'idée pour une basse raison: la difficulté anticipée de produire des cercles en pointillés plaisants à l'œil avec mon dispositif 🤣. Je ferai l'essai, ça ne coûte pas bien cher 👍🏻.

[@loicgeeraerts]

@@oljenmaths Sinon il y a une autre possibilité qui consiste à faire des disques coloriés sans hachure avec un paramètre alpha adapté pour avoir de la transparence et un bord continu moins transparent pour les fermés.

[@oljenmaths]

@@loicgeeraerts Au summum, génial ! Très faisable, implémentable en moins de cinq secondes 👌🏻!

[@maguycharles-edouard]

As tu fait l’X ?

[@oljenmaths]

Négatif 😉. Je me suis consolé avec l'agrégation externe et un doctorat 🤣.