[KDJ#5] Une identité combinatoire établie en finesse (Exercice)

[@antoinebrgt]

On pourrait aussi regarder le coefficient de x^m dans 1 + (1+x) + ... + (1+x)^n = ( (1+x)^(n+1) -1 ) / x , c’est joli !

[@oljenmaths]

🏆Antoine, c'est le prix de beauté !🏆 Commentaire épinglé 😇!

[@antoinebrgt]

@@oljenmaths haha merci :)

[@NC-hu6xd]

Toujours au top ces vidéos. Merci. En effet, plusieurs réflexes je pense qui mènent aux différentes solutions : - Quand on voit du n, penser récurrence, ça doit bien se faire avec la formule du triangle de pascal - Quand on voit une somme, surtout en prépa, penser directement à un télescopage, quitte à partir de la fin et de le forcer un peu - Quand on voit du coefficient binomial, ça veut dire qu'il y a une démonstration par combinatoire possible (d'ailleurs les exos classiques sont : montrer X, retrouver X par un raisonnement combinatoire) - Quand on voit du coefficient binomial bah on pense à la formule du binôme, je crois qu'on peut montrer ça en regardant le développement de (1 + x)^n

[@valentinevain6320]

Vos vidéos sont si bien réalisées. Merci beaucoup

[@jeanlouis97240]

Vous êtes toujours au top tant sur la rigueur mathématiques que sur la pédagogie. Merci pour vos vidéos.

[@oljenmaths]

Merci pour ce commentaire qui m'encourage 😇!

[@AllemandInstable]

Pascal ne cessera jamais de nous fournir des exercices sacré Pascal !

[@oljenmaths]

Pascal n'a pas beaucoup intéressé lors de la sortie de la vidéo, mais j'ose espérer qu'elle saura trouver du succès chez tous les étudiants qui trouveront cette identité à établir en DM à l'avenir 🤣.

[@smartcircles1988]

C'est très beau, surtout le raisonnement avec les ensembles

[@babybeel8787]

Qu'est-ce que c'est élégant ! J'aime bien le raisonnement ensembliste

[@oljenmaths]

Oh, un pseudo connu de longue date 🤩! Merci beaucoup🙏🏻!

[@michelbernard9092]

Compter les éléments d'un ensemble m'a toujours posé des problèmes. Par exemple que vaut Card {{a}} ? 1 ou 2 ?

[@oljenmaths]

{{a}}, c'est un ensemble qui ne contient qu'un seul élément: l'ensemble {a}. Ainsi, Card {{a}} = 1. Encore plus intéressant pour vous aider à comprendre: {{a,b}}, c'est un ensemble qui ne contient aussi qu'un seul élément: l'ensemble {a,b}. Ainsi, Card {{a,b}} = 1 (!).

[@smartcircles1988]

Deuxième commentaire, c'est déjà incroyable !🙂

[@francisfournier3177]

Votre voix et votre élocution amènent à mon fort intérêt pour vos vidéos.

[@oljenmaths]

Merci beaucoup pour ce message chaleureux 🙏🏻! Je réalise beaucoup d'efforts de ce côté-là et je suis très heureux que ces efforts soient remarqués !

[@sweazly9782]

Merci, vous avez sauvé ma prepa mdrr. Mtn je fais moins de maths et ça fait du bien 🤣

[@oljenmaths]

Il y a vraiment un côté « bourrage » que tous les préparationnaires ont vécu, en effet. Ça fait du bien quand ça s'arrête 😉.

[@ralphmasson3847]

Très belle vidéo merci pour ce travail de qualité. Je suis resté bloqué sur l'abstraction du singleton qui ne me semble pas intuitive (au moment de déterminer Card(P)). Si le cardinal d'un singleton est 1, comment peut-on l'ignorer ? Merci à toute personne qui pourra m'éclairer

[@oljenmaths]

Merci pour ce message 🙏🏻! Sur un exemple plus simple, je dis que le cardinal de l'ensemble: {{1, a}, {2, a}, {3, a}} que je peux aussi écrire comme { {1} u {a} , {2} u {a} , {3} u {a} }, c'est le même que l'ensemble {1,2,3}. En bref, tous les ensembles que j'ai écrits sont constitués de trois ensembles, donc leur cardinal commun est 3. Si je dois expliquer la confusion autrement, je dirais que { k+1, k, k-1, ... , 1} a pour cardinal k+1, mais que { {k+1} u {k, k-1, ... , 1} } a pour cardinal 2. Le premier ensemble est un ensemble de nombres, le deuxième est un ensemble d'ensembles. Et c'est exactement cela qui fait mal aux neurones dans le deuxième raisonnement: cela demande beaucoup de capacité de repérage pour ne pas confondre ces choses-là 👍🏻. N'hésiez pas à me poser d'autres questions si la confusion demeure.

[@ralphmasson3847]

Merci pour cette explication, c'est très clair maintenant 🙏

[@HermesOnEarth]

❤

[@mehdielabdaoui1955]

Assez technique la méthode 2, ça rappelle les questions ardues de combinatoires comme le nombre de partition d'un ensemble.

[@oljenmaths]

Ah oui, ça fait toujours bizarre, on est en plein dans le Royaume de l'Abstraction 😱!

[@thyresias]

C'est frustrant : quand j'ai appris tout ça, on notait "k parmi n" C_n^k, avec le n en bas et le k en haut, et je passe plus de temps à inverser mentalement la notation qu'à résoudre le problème. La force de l'habitude, c'est incroyable...

[@oljenmaths]

Ah oui ! De mon côté, j'ai vécu le changement: mon prof de MPSI notait C_n^k, puis le prof de MP notait (k parmi n), ça m'a retourné le cerveau 🤣 ! Mais avec le recul, je préfère la deuxième notation, à présent 😇!

[@vinceguemat3751]

Bonjour, Je me suis un peu intéressé aux nombres triangulaires et a ses différentes généralisations, via la somme des puissance n-ièmes des entiers, et les sommes de ces suites la. Dans mon voyage, je suis tomber sur des hyper-pyramide, et surtout, sur les suites qui formes les différents simplex (triangle en 2d, tétraèdre en 3d etc), et c'est via les simplexe que j'ai vu cette somme. Du coup, j'y vois une façon de dire que la somme des différentes tailles (de 1 à k) de simplex a m dimensions donne effectivement le simplex de taille k à m+1 dimensions. (je pense que mes mots sont vraiment pas les bons pour décrire ce que je tente d'expliquer, mais j'aimerai bien savoir si d'autres personnes ont déjà travailler sur ca, et si oui, qui ?)

[@oljenmaths]

Salutations ! Je ne sais pas s'il existe une discipline consacrée à cela. Mais le lien est tout à fait possible, du moins de ce que j'en comprends. Je fais des paquets de pommes dans une marmite, mais on peut retrouver les coefficients à bon nombre d'endroits… nombre de chemins, nombre de parties d'un ensemble… je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas dénombrer les simplexes dans le plus grand des calmes 😇.

[@vinceguemat3751]

@@oljenmaths je parle pas vraiment de dénombrer des simplexe, mais d'équivalent des nombres triangulaires, (j'ai fais tout ca par moi même donc j'ai surement beaucoup de vocabulaire de mathématique qui me manque). serait-ce possible d'en discuter en appel par exemple ?

[@oljenmaths]

@@vinceguemat3751 Honnêtement, je ne dispose pas du temps requis, j'ai des journées pas possibles 😅. Mais la généralisation des nombres triangulaires en augmentant le nombre de dimensions est parfaitement raisonnable, cela, j'en suis sûr 👍🏻.

[@alexlebogoss8297]

Pour proposer des idées de demonstration avant de voir les reponses je proposerai : 1)Une recurrence sur n (pas elegant) à m fixé 2)un raisonnement de denombrement

[@oljenmaths]

Au top ! Des solutions de bogoss 😄🍻 !

[@Rock_Phelaire]

C'est quel niveau ça ?

[@mehdielabdaoui1955]

Licence 1. Maths sup. Un très bon lycéen peut comprendre ça.